Calcul de déterminants

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1 [ édité le juillet 4 Eocés Clcul de détermits Exercice [ 693 ] [correctio] Clculer le détermit + x (x) où x,,, réels (x) + x Exercice 5 [ 386 ] [correctio] Soit λ,, λ C disticts et P (X) = (X) = P (X) X λ i= P (X) (X λ i ) Clculer : P (X) X λ X λ λ λ λ Exercice [ 74 ] [correctio] Soiet x,, x C Clculer V (x,, x ) = x x x x x x x x x Exercice 6 [ 748 ] [correctio] Pour (i, j) [[, ]], o cosidère i R et b j R tels que i + b j Clculer ( ) det [détermit de Cuchy] i + b j i,j Triter e prticulier le cs où i [[, ]], i = b i = i [détermit de Hilbert] Exercice 3 [ 384 ] [correctio] Clculer pour,, K le détermit suivt D = Exercice 7 [ 749 ] [correctio] ( Etblir que l iverse de l mtrice H = i+j ) i,j Exercice 8 [ 99 ] [correctio] O pose P (X) = X X + (vec ) est à coefficiets etiers Exercice 4 [ 385 ] [correctio] Clculer D k = k k+ k k+ k k+ ) Motrer que P dmet rcies distictes z,, z ds C b) Clculer le détermit de + z + z + z Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

2 [ édité le juillet 4 Eocés Exercice 9 [ 386 ] [correctio] [Détermit de Hurwitz] Soiet, λ,, λ C Clculer le détermit de l mtrice suivte H = + λ () () + λ Exercice [ 34 ] [correctio] Soiet,,, b,, b C Clculer le détermit de l mtrice de coefficiet { i + b i,j = i si i = j sio b j Exercice 3 [ 3577 ] [correctio] Pour ue fmille de réels disticts (x k ) de [, π], o pose P = (cos x i cos x j ) i<j ) Combie le produit défiisst P comporte-t-il de fcteurs? b) Pour (i, j) [[, 4]] écrire l mtrice M M 4 (R) de coefficiet géérl m i,j = cos ((j )x i ) c) Motrer que m i,j est u polyôme e cos x i d) Clculer det M e foctio de P 4 et motrer det M < 4 Exercice [ 3578 ] [correctio] Soiet u turel et (x,, x ) ue fmille de réels disticts de [, π] O pose P = (cos x j cos x i ) i<j et o cosidère l mtrice M M (R) de coefficiet géérl m i,j = cos ((j )x i ) ) Motrer que m i,j est u polyôme e cos x i et doer so coefficiet domit b) Clculer det M e foctio de P Exercice [ 3366 ] [correctio] Motrer 3 D = + ( + ) = ( ) Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

3 [ édité le juillet 4 Correctios 3 Correctios Exercice : [éocé] E retirt l première coloe ux utres, o obtiet u détermit où e figuret des x que sur l première coloe E développt selo cette première coloe, o obtiet ue expressio ffie de l vrible x + x (x) = αx + β (x) + x Il reste à détermier les réels α, β exprimt cette foctio ffie D ue prt + x (x) () β = = = (x) + x x= () et d utre prt α = d + x (x) dx (x) + x x= L dérivée d u détermit est l somme des détermits obteus lorsqu o e dérive qu ue coloe () α = j= () où l coloe formée de est à l positio j Chque détermit se clcule e développt selo l lige e cotet que le coefficiet et l o obtiet α = j= i j Exercice : [éocé] O rélise les opértios élémetires C C x C, C C x C,, C C x C : x x x (x x ) x (x x ) V (x,, x ) = x x x (x x ) x (x x ) i O développe selo l première lige et o fctorise pr lige : O réitère V (x,, x ) = vec V (x ) = Aisi Exercice 3 : [éocé] Cosidéros le polyôme V (x,, x ) = j= (x j x )V (x,, x ) j= (x j x ) (x j x ) j=3 V (x,, x ) = Celui-ci se développe sous l forme i<j (x j x )V (x ) j= (x j x i ) P (X) = (X )(X ) (X ) P (X) = X + α X + + α vec α,, α K et e prticulier α = ( + + ) E procédt à l opértio C C + α k C k+, les coefficiets de l derière coloe de l mtrice sot trsformés e Aisi k= i + α k k i = P ( i ) α i k= = α = α i cr P ( i ) = Scht clculer u détermit de Vdermode, o obtiet D = i= i i<j ( j i ) Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

4 [ édité le juillet 4 Correctios 4 Exercice 4 : [éocé] Cosidéros le polyôme Celui-ci se développe sous l forme P (X) = (X )(X ) (X ) P (X) = X + α X + + α vec α,, α K et e prticulier α k = ( ) k σ k où les σ,, σ désiget les expressios symétriques élémetires e,, E procédt à l opértio C C + k α j C j+ + α j C j, les coefficiets de j= l derière coloe de l mtrice sot trsformés e Aisi D k = ( ) + k σ k j= P ( i ) α k k i = α k k i cr P ( i ) = k k+ k k k+ k k k+ E permutt de fço circulire les k derières coloes, o obtiet k k k+ k k k+ D k = σ k k k k+ Scht clculer u détermit de Vdermode, o obtiet D k = σ k ( j i ) i<j Exercice 5 : [éocé] E développt selo l première lige, o peut ffirmer que est u polyôme de degré iférieur à Pour k {,, }, (λ k ) = ( ) k+ i k (λ k λ i )V (λ,, ˆλ k,, λ ) = ( ) + V (λ,, λ ) k où V (,, ) désige le Vdermode de (,, ) Le polyôme coïcide e poit vec le polyôme costt égl à ( ) + V (λ,, λ ), ils sot doc égux Exercice 6 : [éocé] ( ) D = det = i + b j i,j +b +b +b +b +b +b +b +b Vi C C C,, C C C puis fctoristio : D = (b b ) (b b ) ( + b ) ( + b ) +b +b +b +b +b Vi L L L,, L L L puis fctoristio : D = (b b ) (b b )( ) ( ) ( + b ) ( + b )( + b ) ( + b ) Pr coséquet Puisque et i,j D = i<j i<j (i + j) = o obtiet ds le cs prticulier i,j ( j i )(b j b i ) ( i + b j ) (j i) =!! ( )! ( + )! ( + )! ()!!!! D = (!! ( )!)3! ( + )!( + )! ()! +b +b +b +b +b +b Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

5 [ édité le juillet 4 Correctios 5 Exercice 7 : [éocé] O H = t det H comh vec comh = (H i,j ) Pr opértios élémetires, ( ) ( j i )(b j b i ) i<j det = i + b j i,j ( i + b j ) E simplifit les fcteurs commus, o obtiet i,j H k,l det H = ( ) k+l ( + k )!( + l )! (k + l )(k )! (l )! ( k)!( l)! puis ( ) ( ) ( ) H k,l + k + l k + l det H = ( )k+l (k + l ) Z k + l k + l k Exercice 8 : [éocé] ) Pr l bsurde, supposos que P possède ue rcie multiple z Celle-ci vérifie O e tire () et () doet P (z) = P (z) = z z + = () et z = () ( )z = (3) () impose z lors que (3) impose z > C est bsurde b) Posos χ(x) le polyôme crctéristique de l mtrice étudiée O vérifie + z z i () χ(z i ) = () + z z i E retrcht l i-ème coloe à toutes les utres et e développt pr rpport à l ième lige, o obtiet χ(z i ) = j=,j i (z j z i ) = ( ) P (z i ) Cepedt les polyômes χ et P e sot ps de même degré E revche, les polyômes χ et ( ) (P P ) ot même degré, même coefficiet domit ( ) et preet les mêmes vleurs e les poits disticts z,, z O e déduit qu ils sot égux E prticulier le détermit cherché est χ() = ( ) (P () P ()) = ( ) Exercice 9 : [éocé] O décompose l première coloe e somme de deux coloes + λ λ = + = λ E + C vec E coloe élémetire et C coloe costituée de O décompose de même chcue des coloes O peut écrire det H = det (λ E + C,, λ E + C) O développe pr multiliérité et o simplifie scht que le détermit est ul lorsque l coloe C pprît deux fois O obtiet et doc det H = det(λ E + + λ E ) + det H = i= det(λ E,, C,, λ E ) i= λ i + i= k=,k i Exercice : [éocé] Notos D le détermit recherché O décompose l première coloe e somme de deux coloes λ k + b b b = + b = E + b C b b Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

6 [ édité le juillet 4 Correctios 6 vec E coloe élémetire et C coloe costituée de O décompose de même chcue des coloes O peut écrire D = det ( E + b C,, E + b C) O développe pr multiliérité et o simplifie scht que le détermit est ul lorsque l coloe C pprît deux fois O obtiet D = det( E + + E ) + det( E,, b i C,, E ) i= E répétt l démrche, o obtiet det M = α i<j Il reste à détermier l vleur de α U clcul immédit doe α = E développt selo l derière lige (cos x j cos x i ) = α P det M = cos(( )x ) det M + et doc D (,,, b,, b ) = i + b i i= i= k=,k i k où les poits de suspesios cotieet ue expressio polyomile e cos(x ) de degré < E idetifit les coefficiets domit des expressios polyomile e cos(x ) ds cette églité, o obtiet Exercice : [éocé] ) cos(x i ) est u polyôme e cos(x i ) de degré cos(x i ) est u polyôme e cos(x i ) de degré Pr récurrece double, o motre que cos(jx i ) est u polyôme e cos(x i ) de degré j e exploitt l reltio : cos ((j + )x i ) + cos ((j )x i ) = cos(x i ) cos(jx i ) O peut ussi pr récurrece ffirmer que le coefficiet domit de cos(jx i ) est j pour j O peut même être plus précis et ffirmer que cos ((j )x i ) est ue expressio polyomile de degré j e cos(x i ) d) det M est ue expressio polyomile e cos(x ) de degré u plus Puisque cos(x ),, cos(x ) sot rcies distictes du polyôme correspodt, o peut écrire det M = λ(x,, x ) (cos x j cos x ) L expressio du coefficiet λ(x,, x ) est polyomile e cos(x ) de degré u plus (cr il y déjà le fcteur cos(x ) cos(x ) ds le produit) et puisque cos(x 3 ),, cos(x ) e sot des rcies distictes, o peut écrire j= λ(x,, x ) = µ(x 3,, x ) (cos x j cos x ) j=3 Cette reltio permet de coclure α = α α = ( )( ) Exercice : [éocé] E sommt toutes les coloes sur l première ( + ) 3 D = E retrcht à chque lige l précédete (e commeçt pr l fi) ( + ) D = Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

7 [ édité le juillet 4 Correctios 7 O développe selo l première coloe et o se rmèe à ( + ) (b) D = (b) [ ] vec = et b = L poursuite du clcul doe lors d où l formule proposée D = ( + ) ( ) Exercice 3 : [éocé] ) Il y utt de fcteurs que de pires {i, j} ie ( ) ( ) = b) M = cos x cos(x ) cos(3x ) cos x cos(x ) cos(3x ) cos x 3 cos(x 3 ) cos(3x 3 ) cos x 4 cos(x 4 ) cos(3x 4 ) c) L propriété est immédite pour j = ou j = Pour j = 3, cos(x i ) = cos x i Pour j = 4, cos(3x i ) = 4 cos 3 x i 3 cos x i d) det M est ue expressio polyomile e cos(x ) de degré u plus 3 Puisque cos(x ), cos(x 3 ), cos(x 4 ) sot 3 rcies distictes du polyôme correspodt, o peut écrire det M = λ(x, x 3, x 4 ) 4 (cos x cos x j ) j= E répétt l démrche, o obtiet det M = α i<j 4 (cos x i cos x j ) = αp 4 Il reste à détermier l vleur de α Ue démrche logue à l précédete urit doée cos x cos(x ) cos x cos(x ) cos x 3 cos(x 3 ) = βp 3 et cos x cos x = γp vec γ = E développt det M selo l derière lige et e cosidért le coefficiet domit de det M vu comme polyôme e cos(x 3 ) o obtiet et de fço logue o ussi O e déduit 4βP 3 = ( ) 3 αp 3 γp = ( ) βp α = 8 Puisque CrdS 4 = 4, det M peut se voir comme l somme de 4 termes qui sot tous iférieurs à e vleur bsolue O e déduit det M 4 Certis des termes (pr exemple cos(x ) cos(x ) cos(3x 3 )) étt strictemet iférieurs à e vleur bsolue, o ussi det M < 4 L expressio du coefficiet λ(x, x 3, x 4 ) est polyomile cos(x ) de degré u plus (cr il y déjà le fcteur cos(x ) cos(x ) ds le produit) et puisque cos(x 3 ), cos(x 4 ) e sot des rcies distictes, o peut écrire λ(x,, x ) = µ(x 3, x 4 ) 4 (cos x cos x j ) j=3 Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd