TP T1 : CONDUCTION THERMIQUE : ETUDE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS DES BARRES METALLIQUES DETERMINATION D UNE CONDUCTIVITE THERMIQUE

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1 TP T1 : CONDUCTION THERMIQUE : ETUDE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS DES BARRES METALLIQUES DETERMINATION D UNE CONDUCTIVITE THERMIQUE Capacités exigibles : Mettre e œuvre u dispositif de mesure de coductivité thermique, le protocole état doé. Le but de ce TP est de détermier expérimetalemet la coductivité thermique du cuivre. Pour cela, o opérera de la maière suivate : O s itéressera tout d abord à la propagatio de la chaleur e régime trasitoire das ue barre de cuivre, e égligeat les pertes thermiques latérales. Grâce à cette première approche, o détermiera ue valeur approximative de la coductivité thermique du cuivre. O s itéressera esuite à l étude de la barre de cuivre e régime permaet. O motrera l existece de pertes thermiques latérales. O s itéressera esuite à l étude d ue barre d acier e régime permaet. O évaluera alors quatitativemet les pertes thermiques latérales. O s itéressera efi à ouveau à la propagatio de la chaleur e régime trasitoire das la barre de cuivre, mais cette fois sas égliger les pertes thermiques latérales. Grâce à ce modèle plus fi, o détermiera avec ue meilleure précisio la coductivité thermique du cuivre. I) Présetatio de l expériece : 1) Descriptio de l expériece : O cosidère deux barres métalliques cylidriques, l ue e cuivre, l autre e acier. Ces deux barres sot etourées latéralemet par u isolat thermique. O doe : Le rayo des barres est R = 0,011 m. Matériau Coductivité thermique λ (W.m -1.K -1 ) Cuivre 389 Acier 54 Isolat 0,038 Das chacue de ces barres sot implatés, à itervalle régulier de 10 mm, 8 capteurs de température appelés C0, C1,, C7. La distace etre le capteur C0 et l extrémité droite de la barre est L = 0,846 m. A l extrémité gauche de chaque barre, u crayo chauffat permet la motée e température de celle-ci. O va chauffer et maiteir cette extrémité à 70 C. O relève régulièremet la température au iveau des différets capteurs.

2 A l extrémité droite : de la barre de cuivre : la barre est couplée thermiquemet à l extérieur grâce à u échageur costitué d u radiateur à ailettes et d u vetilateur extracteur de chaleur. Ceci permet de maiteir costate la température à cette extrémité (température proche de la température ambiate). Le couplage thermique réalisé par cet échageur est évalué par le coefficiet de trasfert coducto-covectif h. D après la loi de Newto : =L) = h π R [Tc=L) - où T c ] T est la température de l air extérieur (température ambiate). c de la barre d acier : u isolat est placé au bout de la barre. L extrémité droite est doc isolée de l extérieur. ) Résultats expérimetaux : Le logiciel utilisé (Sychroie) a permis d imprimer les courbes représetat les températures des huit capteurs (C0 à C7) e foctio du temps. Il a égalemet permis de relever les tableaux de valeurs correspodat à chaque acquisitio. Pour atteidre le régime permaet, il faut attedre u temps suffisammet log. Les eregistremets réalisés ot été effectués sur ue durée de s ( h 47 mi), ce qui est la durée maximale possible d acquisitio avec le matériel dot ous disposos au laboratoire. La phase d acquisitio état doc trop logue pour être réalisée pedat les h de TP, je vous fouris les résultats suivats :

3 Barre de cuivre : Le jour où cette maipulatio a été réalisée, la température ambiate était : Relevé de la température (e C) e foctio du temps pour les différets capteurs : T c = 3,0 C. Relevé umérique de la température (e C) e foctio du temps pour quelques capteurs : Capteur C Capteur C3 Capteur C4 Capteur C5 Capteur C6 Temps (s) 3,8 3,1 3,0 3,0 3, , 4, 3, 3,0 3, ,8 6,9 4, 3, 3, ,8 9,9 5,8 4,0 3, ,7 3,5 7,5 4,9 3, ,9 34,6 9,3 5,9 4, ,7 36,5 30,8 7,1 5, ,0 38,1 3, 8,3 5, ,1 39,3 33,5 9,4 6, ,1 40,5 34,6 30,3 7, ,8 41,5 35,6 31,3 8, ,5 4,4 36,5 3, 9, , 43,1 37,4 33,1 9, ,8 43,9 38,3 33,9 30, ,1 44,5 38,9 34,5 31, Au bout de s, o relève : Capteur C0 C1 C C3 C4 C5 C6 C7 Positio x (m) 0 0,10 0,40 0,360 0,480 0,600 0,70 0,840 Température Tc ( C) 67,9 61,8 56,4 51,6 47,3 43, 39,1 35,5

4 Barre d acier : Le jour où cette maipulatio a été réalisée, la température ambiate était : T a = 7, C. Relevé de la température (e C) e foctio du temps pour les différets capteurs : Au bout de s, o relève : Capteur C0 C1 C C3 C4 C5 C6 C7 Positio x (m) 0 0,10 0,40 0,360 0,480 0,600 0,70 0,840 Température Ta ( C) 67,7 53,9 44,8 39,3 34,9 3,5 31,0 30,6 3) Premières remarques : a) Iterpréter l allure de ces courbes. O expliquera otammet pourquoi des oscillatios apparaisset sur la courbe relative au capteur C0. b) Grâce à l équatio de la diffusio thermique (équatio de la chaleur), évaluer l ordre de gradeur de la durée du régime trasitoire pour la barre de cuivre et la barre d acier. c) Peut-o assimiler les valeurs des températures relevées au bout de s aux valeurs des températures e régime permaet? d) Ces résultats sot-ils e accord avec l allure des courbes? Doées : masse volumique du cuivre : μ = 8, kg.m -3 capacité calorifique massique du cuivre : c = 385 J.kg -1.K -1. coductivité thermique du cuivre : λ = 389 W.m -1.K -1 masse volumique de l acier étudié : μ = kg.m -3 capacité calorifique massique de l acier étudié : c = 5.10 J.kg -1.K -1 coductivité thermique de l acier étudié : λ = 54 W.m -1.K -1 logueur des barres : L = 0,846 m Pour la suite du TP, o assimilera tout de même les valeurs des températures relevées au bout de s aux valeurs des températures e régime permaet (il aurait fallu eregistrer pedat plus de s pour avoir les valeurs de températures e régime permaet, mais ce était pas possible à cause du logiciel utilisé).

5 II) Etude de la barre de cuivre e régime trasitoire e égligeat les pertes thermiques latérales : détermiatio de la coductivité thermique du cuivre : 1) Etude théorique : O cosidère ue barre cylidrique de sectio circulaire costate et de logueur L très supérieure au rayo R de la sectio. Das u premier temps, o fait l hypothèse que la barre est parfaitemet calorifugée latéralemet, les pertes latérales serot doc égligées. O cosidère doc qu il y a pas d échage de chaleur autre qu à travers des plas perpediculaires à l axe de la barre. O se rapproche aisi du cas uidimesioel, ce qui reviet à cosidérer que la température est uiforme das chaque sectio droite de la barre. E effectuat u bila d éergie et e utilisat la loi de Fourier, établir l équatio de la diffusio thermique : T T μ c λ t x μ est la masse volumique de la barre et s exprime e kg.m -3 c est la capacité calorifique massique de la barre et s exprime e J.kg -1.K -1 λ est la coductivité thermique de la barre et s'exprime e W.m -1.K -1. ) Méthode de détermiatio de la coductivité thermique : Pour détermier la coductivité thermique du cuivre, o va exploiter l eregistremet du régime trasitoire (ou plutôt le tableau de valeurs umériques associé), et l équatio de la diffusio thermique. Cosidéros les courbes de température de trois capteurs (distace a etre chaque capteur). T e C capteur -1 T i+1 ) Ti) Ti-1) capteur capteur +1 a x a 0 (i-1) i (i+1) temps e s T Soit la durée etre deux acquisitios. Motrer que ) est approximativemet égal à : t T 1 ) Ti 1 ) Ti 1 ). t τ T Soit a la distace etre deux capteurs. Motrer que ) est approximativemet égal à : x T 1 ) T i a) T i a).t i ). x a O peut aisi détermier pour le capteur, placé à l abscisse x, à l istat i, la valeur de la coductivité thermique du cuivre.

6 3) Détermiatio expérimetale de la coductivité thermique du cuivre : Doées : masse volumique du cuivre : μ = 8, kg.m -3 capacité calorifique massique du cuivre : c = 385 J.kg -1.K -1 distace etre deux capteurs cosécutifs : a = 0,10 m. Grâce aux relevés umériques de températures e foctio du temps pour différets capteurs, détermier, à l aide du logiciel Excel, la coductivité thermique λ du cuivre, à différets edroits et différets istats. E élimiat évetuellemet certaies valeurs aberrates, détermier : la valeur moyee de la coductivité thermique : λ l écart-type expérimetal l icertitude type l itervalle de cofiace à 95% : λ λ Δλ Comparer à la valeur tabulée : λ = 389 W.m -1.K -1. Quelles sot les sources d erreur? III) Etude de la barre de cuivre e régime permaet e égligeat les pertes thermiques latérales : 1) Etude théorique : O cotiue à faire l hypothèse que la barre est parfaitemet calorifugée latéralemet. L équatio de la T T diffusio thermique est doc toujours : μ c λ t x E régime permaet (ou statioaire), la température e déped plus du temps. L équatio de la diffusio T T thermique doe : 0 0 T) A x B t x La température varie doc liéairemet le log de la barre. Si T1 est la température à l etrée de la barre = 0), T la température à la sortie de la barre et L la logueur T T1 de la barre alors : T) x T1 L Le flux thermique s écoulat das la barre (puissace thermique) s écrit (e utilisat la loi de Fourier) : T1 T Φ λ S avec S = π R L ) Exploitatio expérimetale : a) Grâce à Excel, tracer la courbe Tc) et modéliser par ue droite. Doer l équatio de la droite. b) E déduire le flux thermique Φ s écoulat das la barre. c) E déduire le coefficiet de trasfert coducto-covectif h au iveau de l ailette e exploitat la cotiuité du flux thermique e x = L : = h π R [Tc=L) - c T ]. d) La modélisatio de la courbe Tc) par ue droite est pas tout à fait satisfaisate. E effet, la courbe semble icurvée par rapport au modèle liéaire. Justifier que le ses de courbure de la courbe Tc) peut correspodre à des pertes thermiques latérales.

7 IV) Détermiatio des pertes thermiques latérales grâce à l étude de la barre d acier e régime permaet : 1) Positio du problème : E réalité, bie que les barres soiet etourées latéralemet par u isolat, elles e sot pas parfaitemet calorifugées, et il y a doc des pertes thermiques (la coductivité thermique de l isolat est pas ulle). O va à préset cosidérer ces pertes thermiques et o va chercher à les évaluer. Pour cela, o modélise les échages de chaleur latéraux des barres avec l extérieur par des trasferts de type coducto-covectifs, avec h le coefficiet d échage de chaleur superficiel. Nous allos chercher à détermier le coefficiet h (o suppose que le coefficiet h est le même das le cas de la barre d acier et de la barre de cuivre). Nous pourros le détermier grâce aux mesures effectuées sur la barre d acier. ) Etude théorique : O cosidère ue barre cylidrique de sectio circulaire costate et de logueur L très supérieure au rayo R de la sectio. La barre est chauffée e permaece à ue extrémité. Le matériau costituat la barre métallique est bo coducteur de chaleur, de sorte que la chaleur se propage par coductio le log de la barre et trasversalemet à celle-ci pour se déverser das le milieu etourat la barre. O admet que les sectios droites de la barre sot isothermes de sorte que le problème soit uidimesioel. La schématisatio de celui-ci est idiquée ci-dessous. O suppose que les pertes latérales sot de la forme : L = h SL [T) - latérale et T est la température de l air ambiat. T ], où SL est la surface d échage E effectuat u bila d éergie pour u élémet de volume (S dx) de la barre (tel celui idiqué ci-dessus où S = R est la sectio de la barre) et e utilisat la loi de Fourier, établir l équatio de la diffusio thermique : T T μ c R λ R - h (T - T ) (1) t x μ est la masse volumique de la barre et s exprime e kg.m -3 c est la capacité calorifique massique de la barre et s exprime e J.kg -1.K -1 λ est la coductivité thermique de la barre et s'exprime e W.m -1.K -1 h est le coefficiet d échage de chaleur superficiel et s exprime e W.m -.K -1.

8 E régime permaet, l équatio (1) coduit à l équatio différetielle du deuxième ordre à coefficiets costats : d T h - α T - T 0 avec α () dx λ R dot la solutio géérale est de la forme : T) = T + A exp(- x) + B exp( x) (3) Les coditios aux deux extrémités (coditios aux limites) permettet de détermier les costates A et B. 3) Détermiatio du coefficiet d échage h : Das le cas de la barre de cuivre, o costate qu au bout de s (doc quasimet e régime permaet), Tc = 0,840 m) = 35,5 C T c = 3,0 C, doc o e peut pas cosidérer que cette barre est ifiie. La modélisatio expérimetale de la répartitio de température pourrait s avérer laborieuse. Par cotre, das le cas de la barre d acier, o costate qu au bout de s (doc quasimet e régime permaet), T a = 0,840 m) = 30,6 C T = 7, C, doc o peut cosidérer que cette barre est ifiie. a A l extrémité o chauffée + ), la température ted vers celle du milieu ambiat T a. Le coefficiet état positif, il est écessaire que B soit ul pour que la température reste fiie. Doc, si l o ote T a0 = Ta = 0) = 67,7 C, o trouve que : Ta ) - Ta = exp(- x) Ta 0 - Ta Ta ) - Ta Et doc l ( ) = - x T - T a 0 h =, qui a la dimesio de l iverse d ue logueur, caractérise l attéuatio de la température le λ R log de la barre. Ta ) - Ta a) Tracer la courbe l ( ) = f). Modéliser par ue foctio liéaire. Ta 0 - Ta b) Costater que le poit correspodat à x = 0,840 m est pas aligé avec les autres poits. Quelle peut e être la raiso? Ta ) - Ta c) Tracer à ouveau la courbe l ( ) = f), mais sas teir compte du derier poit = Ta 0 - Ta 0,840 m). Modéliser par ue foctio liéaire. Doer l équatio de la droite. d) E déduire acier. e) E utilisat la défiitio de doée par (), e déduire la valeur de h. a 4) Discussio sur la validité du modèle : h = est l iverse d ue logueur caractéristique de la propagatio de la chaleur le log de la barre. λ R Le ombre L est utilisé pour décider si la barre peut être cosidérée comme ue barre de logueur ifiie au ses de la coductio de la chaleur. Calculer L pour la barre d acier et pour la barre de cuivre. Coclure.

9 V) Etude de la barre de cuivre e régime trasitoire e cosidérat les pertes thermiques latérales : détermiatio de la coductivité thermique du cuivre : 1) Etude théorique : O cosidère à préset les pertes thermiques latérales pour la barre de cuivre. Das le paragraphe précédet, o a établi l équatio de la diffusio thermique : T T μ c R λ R - h (T - T ) (1) t x ) Méthode de détermiatio de la coductivité thermique : Pour détermier la coductivité thermique du cuivre, o va utiliser la même méthode que précédemmet (partie II)). O va doc exploiter l eregistremet du régime trasitoire (ou plutôt le tableau de valeurs umériques associé), et la ouvelle équatio de la diffusio thermique. 3) Détermiatio expérimetale de la coductivité thermique du cuivre : Doées : masse volumique du cuivre : μ = 8, kg.m -3 capacité calorifique massique du cuivre : c = 385 J.kg -1.K -1 rayo de la barre de cuivre : R = 0,011 m température de l air ambiat : Tc = 3,0 C distace etre deux capteurs cosécutifs : a = 0,10 m. Grâce aux relevés umériques de températures e foctio du temps pour différets capteurs, détermier, à l aide du logiciel Excel, la coductivité thermique λ du cuivre, à différets edroits et différets istats. E élimiat évetuellemet certaies valeurs aberrates, détermier : la valeur moyee de la coductivité thermique : λ l écart-type expérimetal l icertitude type l itervalle de cofiace à 95% : λ λ Δλ Comparer à la valeur tabulée : λ = 389 W.m -1.K -1. Quelles sot les sources d erreur?