GEOMETRIE PLANE. VECTEURS ET DROITES.

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1 I. Les vecteurs : rappels et compléments. GEOMETRIE PLANE. VECTEURS ET DROITES. Propriétés et définitions à connaître : 1) Un vecteur AB est caractérisé par trois données : sa direction (celle de la droite (AB)), son sens (de A vers B) et la longueur AB appelée norme du vecteur AB et notée AB. 2) Soient A, B, C, D quatre points du plan. On a AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). 3) Pour tout point A du plan et tout vecteur u, il existe un unique point M du plan tel que AM = u. Le vecteur u a une infinité de représentants. 4) La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur w associé à la translation résultant de l enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v. On note w u v. 5) Pour tous points A, B et C du plan, on a AB BC AC (relation de Chasles). 6) Dans un parallélogramme ABCD, on a AB AD AC x B y B, alors le vecteur AB a pour coordonnées AB( x B x A y B y A ). 8) Dans un repère, si u (x ; y) et si k est un réel, alors le vecteur k u a pour coordonnées k u(kx ; ky). 9) Si u est un vecteur et k un réel positif, le vecteur k u est le vecteur de même direction que u, de 7) Dans un repère, si A( x A y A ) et B( ) même sens que u et de norme k u Si u est un vecteur et k un réel négatif, le vecteur k u est le vecteur de même direction que u, de sens u opposé à celui de u et de norme ( k)

2 Exemples : 1. Soit ABCD un parallélogramme et E un point du plan n appartenant pas à la droite (CD). La translation de vecteur AE transforme B en F. Montrer que DEFC est un parallélogramme. 2. Le plan est muni d un repère (O ; I ; J). Soient A(1 ; 1), B(2 ; 1) et C(3 ; 2). a. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB]. b. Calculer la longueur AB. 1 c. Placer le point N tel que AN = BC 2 AB. d. Déterminer les coordonnées du point N. e. Déterminer les coordonnées du point P tel que OP + 1 AB = 2 PC. 4

3 II. Colinéarité. Activité colinéarité. 1. Définition. Définition : Soient u et v deux vecteurs non nuls. Les vecteurs u et v sont k s appelle le Ainsi u et v sont s ils ont la même Remarque : Le vecteur nul ( 0) est colinéaire à tout vecteur du plan. 2. Condition analytique de colinéarité. Propriété : On se place dans un repère (O ; I ; J) du plan. u et v sont deux vecteurs du plan de coordonnées respectives (x ; y) et (x ; y ). On a alors : Démonstration : voir activité. Exemples : 1. Dans un repère, on a A(2 ; 3), B(1 ; 5), C Montrer que les points A, B et C sont alignés Déterminer les coordonnées du point d intersection de la droite (AB) et de l axe des abscisses. Exercices 3, 7, 10, 12 pages 190

4 III. Equations de droites. 1. Vecteur directeur d une droite. Définition : Un vecteur est appelé lorsqu il a Exemple : Dans un repère (O ; I ; J), on donne A(2 ; 3) et B(4 ; 4). 1) Donner les coordonnées d un vecteur directeur de la droite (AB). 2) Les vecteurs u(4 ; 2), v (5 ; 4) et w sont-ils des vecteurs directeurs de la droite (AB)? 7 Remarque : Une droite a une infinité de vecteurs directeurs. Dans toute la suite, on se place dans un repère (O ; I ; J). 2. Equations cartésiennes d une droite. Activité Equations cartésiennes de droite. Théorème : Toute droite d du plan a une équation de la forme. Démonstration :

5 Théorème réciproque : Toute relation de la forme Démonstration : Définition : 3. Lien entre vecteur directeur et équation. a. D un vecteur directeur à une équation. Lorsqu on connaît un point et un vecteur directeur d une droite, on peut déterminer une équation cartésienne de la droite. Exemple : Soit A(2 ; 4) et u(1 ; 2). Déterminer une équation de la droite d passant par A de vecteur directeur u. b. D une équation à un vecteur directeur. Lorsqu on connaît une équation d une droite, on peut en déterminer un vecteur directeur : Propriété : Soit une droite d équation cartésienne ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0). Alors le vecteur u( ) est un vecteur directeur de la droite.

6 Démonstration : c. Conséquence. Exemple : Soit D, D et D trois droites d équations cartésiennes respectives 2x + 4y 7 = 0 ; 3x + 6y 1 = 0 et 6x + 8y + 1 = 0. D et D sont-elles parallèles? D et D sont-elles parallèles? On a : Propriété admise : Soit deux droites D et D d équations cartésiennes respectives ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0) et a x + b y + c = 0 avec (a ; b ) (0 ; 0). Les droites D et D sont parallèles si et seulement si. Exercices 22, 24, 16, 17, 20, 27 et 28 pages 191 IV. Expression d un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires. 1. Décomposition de vecteurs. Exemple 1 : sur la figure ci-dessous, exprimer AB en fonction de FC et DE. Propriété admise : Soient u et v deux vecteurs non colinéaires. Alors pour tout vecteur k du plan, il existe un unique couple (a ; b) de réels tels que k = a u + b v Exemple 2 : Dans un repère, on donne u(2 ; 3), v ( 1 ; 4) et w(5 ; 6). Montrer que u et v ne sont pas colinéaires puis exprimer w en fonction de u et v.

7 2. Applications à la résolution de problèmes. Exemple 1 : ABCD est un parallélogramme et les points E et F sont définis par DE 3 DC et AF 1 2 AD. 1. Exprimer FE et FB en fonction de DA et DC. 2. En déduire que E, B et F sont alignés. Exemple 2 : ABCD est un parallélogramme. F et G sont les points tels que : BF = AC 2 BC et CG = 7 CB 4 BA. Exprimer les vecteurs AF et BG en fonction des vecteurs AB et AD puis montrer que les droites (AF) et (BG) sont parallèles. Exercices 31, 34, 38 et 39 pages 191 Puis ex 54, 58, 50, 52, 53, 65