Les similitudes planes

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1 Les similitudes planes 1. Transformation du plan On dit que f une application du plan dans lui même est une transformation du plan lorsque f est une bijection du plan c est dire que pour tout point M du plan il existe un unique antécédent M par f. Les isométries (les translations, les rotations, les symétries) sont des transformations du plan. Les homothéties sont des transformations du plan. Exercice 1 Soit D une droite du plan et p la projection orthogonale sur D c est dire l application du plan P dans lui même qui tout point M associe le point M, intersection de la droite D avec la droite passant par M et perpendiculaire D. p est-elle une transformation? Exercice (a) L application f qui au point M d affixe z, associe le point M d affixe z = 3iz + 4 est-elle une transformation du plan? (b) L application g qui au point M d affixe z, associe le point M d affixe z = z 3i est-elle une transformation du plan?. Application réciproque Exercice 3 Déterminer la transformation réciproque f 1 des transformations f suivantes : (a) f est la translation de vecteur u. (b) f est la rotation de centre Ω et d angle θ. (c) f est la réflexion d axe. (d) f est l homothétie de centre Ω et de rapport k. Exercice 4 On considère l application f du plan dans lui même qui tout point M d affixe z associe le point M d affixe z = (1 + i)z + i. (a) Montrer que f est une transformation du plan (b) Quelle est l écriture complexe de sa réciproque f 1? 1

2 3. Composée de transformations Rappel L criture complexe de : la translation de vecteur w d affixe b est z = z + b. l homothétie de centre le pointωd affixe ω et de rapport le rel k est z = k(z ω) + ω. la rotation de centre le pointωd affixe ω et d angle le rel θ est z = e iθ (z ω) + ω. la réflexion d axe (O; u ) est z = z. la réflexion d axe (O; v ) est z = z. la symétrie centrale de centre O est z = z. Exercice 5 (a) Montrer que la compose de deux rotations r et r de même centre le point Ω d affixe ω et d angle respectivement θ et θ est une rotation de centre Ω et d angle θ + θ. (b) Montrer que la compose de deux rotations r et r de centre respectivement le point Ω d affixe ω et le point Ω d affixe ω et d angle respectivement θ et θ est : une translation si θ + θ = 0 [π] une rotation d angle θ + θ sinon (c) Montrer que la compose d une rotation r de centre le point Ω d affixe ω avec une translation de vecteur w d affixe b est une rotation d angle θ. Exercice 6 ABC est un triangle rectangle isocèle tel que ( AB, AC ) = π. On note r B la rotation de centre B et d angle π, r c la rotation de centre C et d angle π de vecteur BC. et t la translation (a) Faire une figure (b) Montrer que la transformation r c t r B est une symétrie centrale. (c) Déterminer son centre Exercice 7 Reprendre l exercice précédent en posant z A = 0, z B = et z C = i. (a) Vérifier que ABC est un triangle rectangle isocèle en A. (b) Déterminer les écriture complexes de r A, r C, t (c) Déterminer l écriture complexe de r c t r B. (d) Conclure Exercice 8 ABC est un triangle l équilatéral que ( AB, AC ) = π 3. r A est la rotation de centre A et d angle π 3, r B la rotation de centre B et d angle π 3.

3 (a) Faire une figure (b) Montrer que la transformation r B r A est une rotation. (c) Déterminer son angle et son centre Exercice 9 Reprendre l exercice précédent en posant z A = + i 3, z B = 0 et z C = 4. (a) Vérifier que ABC est un triangle équilatéral (b) Déterminer les écritures complexes de r A, r B (c) Déterminer l écriture complexe de r B r A. (d) Conclure Exercice 10 Dans le plan orient, on considère un triangle ABC tel que AB=AC et ( AB, AC ) = π. I,J et K sont les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB]. On note r la rotation de centre I et d angle π et t la translation de vecteur 1 BC. On pose f = r t et g = t r. (a) Faire une figure (b) Trouvez l image de K par f et celle de J par g. (c) i. Précisez la nature de la transformation g f 1. ii. Quelle est l image de A par g f 1? Caractérisez cette transformation. iii. M est un point quelconque du plan,m 1 l image de M par f et M l image de M par g. Construisez le quadrilatère ACM M 1. Exercice 11 On note t la translation de vecteur ( ) w d affixe i et r la rotation de centre Ω d affixe 1 + i et d angle π 4. (a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de t r. (b) Quelle est la nature de r t? (c) Le point O est-il invariant par r t? (d) A-t-on r t = t r? 4. Les similitudes planes Exercice 1 On considère l application f du plan dans lui mme qui tout point M d affixe z associe le point M d affixe z = (1 + i)z + i. Soit A, B et C les points d affixes a = 1 + i, b = i, c = 1 i. (a) Déterminer les affixes des points A, B et C, images de A, B et C par f. 3

4 (b) Montrer que A B C est un triangle semblable au triangle ABC. (c) On considère quatre points M, N, P, Q (M N)etP Q) dont les images par f sont notes M, N, P,Q. Démontrer que M N P Q = MN. On dit que f conserve les rapports des distances. PQ Une similitude plane est une transformation du plan qui conserve les rapports des distances. Si on nomme A, B et C les images par la similitude s des points A,B et C, on a A B Une similitude plane multiplie les distances par un rel rel strictement positif k. Ce dernier est appel rapport de la similitude. On a A B = kab. Une similitude de rapport 1 est appelée isométrie. Les translations, les rotations, les symétries et leurs composes sont des isométries B C = AB BC. Exercice 13 Omega est un point du plan d affixe ω. Pour tout point M du plan, on considère le point M 1 l image de M par la rotation de centre Ω et d angle π 3. On appelle M le milieu de [MM ]. Soit f l application qui M fait correspondre le point M. (a) Déterminer l écriture complexe de f. (b) Démontrer que f est une similitude et donner son rapport. Exercice 14 (a) Soit f l application du plan dans lui même ayant pour écriture complexe z = 1 iz. f est-elle une similitude? (b) Soit g l application du plan dans lui même ayant pour écriture complexe z = z + z. g est-elle une similitude? 5. Écriture complexe d une similitude plane Une application du plan dans lui même ayant pour écriture complexe z = az+b ou z = az+b avec a C, b C est une similitude de rapport k = a. Réciproquement, toute similitude a une écriture complexe de la forme z = az+b ou z = az+b avec a C, b C Une similitude conserve les angles géométriques. Une similitude transforme un triangle en un triangle semblable. Exercice 15 4

5 A, B, I, J et K sont les points d affixes respectives z A = 4i, z B =, z I = 3, z J = 1, z k = 3 i. (a) Faire une figure. (b) Montrer que les triangles IJK et OAB sont semblables. (c) Existe-t-il une transformation d écriture complexe z = az +b, qui permettrait de passer du triangle OAB son image le triangle IJK? (d) Existe-t-il une transformation d écriture complexe z = az +b, qui permettrait de passer du triangle OAB son image le triangle IJK? (e) On considère la rotation r de centre O et d angle π, l homothétie h de centre B et de rapport 1 et la réflexion s d axe (0, u ). Construire les images de O, A et B par l application f = s h r. (f) Donner l écriture complexe de f. Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l application identité. Une similitude qui admet deux points fixes A et B est soit l application identité soit la réflexion d axe (AB). Exercice 16 On note D la droite d équation y = x, r la rotation de centre O et d angle π, s la réflexion d axe (O, u )et s la réflexion d axe D. A est le point d affixe 1. (a) Montrer que les points O et A sont invariants (fixes) par l application s r. (b) En déduire que s s = r. 6. Similitudes directes Remarques Une similitude conserve les angles géométriques. Nous aurons donc celles qui conservent les angles orients : les similitudes directes. Puis celles qui transforment une angle orient en son opposé: les similitudes indirectes. Les translations, les rotations, les homothéties sont des exemples de similitudes directes. Les réflexions sont des exemples de similitudes indirectes. La compose de deux similitudes directes ou de deux similitudes indirectes est une similitude directe, la compose d une similitude directe avec une indirecte est une similitude indirecte. On appelle similitude directe toute similitude qui conserve les angles orients. s Toute similitude plane d écriture complexe de la forme z = az +b avec a C, b C conserve les angles orientés. Le rapport de la similitude est alors k = a et son angle θ = arg(a)[π]. Une similitude directe qui n est pas une translation a un point invariant (point fixe) unique. Ce point est appel centre de la similitude. s Un déplacement est une isométrie qui conserve les angles orients. Les déplacements du plan sont les translations et les rotations. 5

6 Exercice 17 Pour chacune des similitudes directes f donner le rapport, l angle et le centre éventuel. (a) f d écriture complexe z = 3z + 1 5i. (b) g d écriture complexe z = (1 + i)z i. (c) h d écriture complexe z = z i. Soit f une similitude directe qui n est pas une translation. SoitΩ l unique point fixe de f, k le rapport de f et θ l angle de f. f est la compose de l homothétie h(ω; k) et de la rotation r(ω; θ). Ces deux applications commutent,on peut écrire f = h(ω; k) r(ω; θ) = r(ω; θ) h(ω; k). Une similitude directe f qui n est pas une translation est déterminé par la donnée de son centre Ω son rapport k et son angle θ.on la note f = S(Ω; k; θ) Cas particuliers Soit f = S(Ω; k; θ) Si k = 1, la similitude f est la rotation r(ω; θ). Si θ = 0 [π], la similitude f est l homothétie h(ω; k) Si θ = π, la similitude f est l homothétie h(ω; k) Soit f la similitude directe ayant pour écriture complexe z = az + b avec a C, b C. Si a = 1 et b = 0 alors f = Id. Si a = 1 et b 0 alors f est la translation de vecteur w d affixe b. Si a 1 alors f est la similitude directe ayant un seul point invariant Ω son centre, de rapport k = a et d angle θ = arg(a). Remarque Une similitude directe ayant au moins deux points invariants est nécessairement l application identité. Exercice 18 Donner dans chaque cas les éléments caractéristiques de la similitude f. ( (a) f d écriture complexe z = 1 + i ) 3 z 1 (b) g d écriture complexe z = iz + 1 (c) h d écriture complexe z = z i (d) k d écriture complexe z = 3z + 4 i ( (e) l d écriture complexe z = 1 + i ) 3 z Exercice 19 Donner dans chacun des cas suivants l criture complexe de la similitude. 6

7 (a) f est la similitude de centre O, de rapport et d angle π 3. (b) g est la similitude de centre Ω d affixe i de rapport 1 et d angle π. (c) h est la similitude de centre Ω d affixe 1 i de rapport et d angle π 4. Exercice 0 On note h l homothétie de centre A d affixe 1 + i et de rapport - et r la rotation de centre B d affixe -1 et d angle π. (a) Montrer que les transformations h r puis r h sont des similitudes directes. (b) Donner les éléments caractéristiques de h r puis de r h (c) A-t-on h r = r h? Exercice 1 ( ) ABC est un triangle tel que BA, BC = π [π], AB = 3, AC = 4. I est le milieu de [BC]. On suppose qu il existe une similitude directe f qui transforme A en I et B en C. (a) Faire une figure (b) Déterminer l angle et le rapport de f. (c) Donner une construction géométrique de Ω son centre. Exercice A, B et C sont les points d affixes respectives 3 i, 1 i, et i. (a) Montrer qu il existe une similitude directe f et une seule qui transforme A en B et O en C. (b) Donner les éléments caractéristiques de f. Soient A, B, A et B quatre points du plan tels que A B et A B. Il existe une unique similitude directe qui transforme A en A et B en B. Exercice 3 A, B, C et D sont les points d affixes respectives z A = i 3, z B = 1 i, z C = 5 et z D = i. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe qui transforme A en B et C en D. Exercice 7 A, B, C, P, Q et R sont les points d affixes respectives a = 1 i, b = +3i, c = +i, p = 1+3i, q = i et r = 4 + 4i. Montrer qu il existe une similitude directe f qui transforme le triangle PQR en ABC. 7. Similitudes indirectes 7

8 Une similitude plane est dite indirecte lorsqu elle inverse les angles orientés. Proprit Tout similitude plane d écriture complexe de la forme z = az + b avec a C, b C inverse les angles orients. Le rapport de la similitude est alors k = a et son angle θ = arg(a)[π]. Une isométrie qui inverse les angles orients est un antidéplacement. Exercice 4 Le plan complexe est rapport un repère orthonormal ( direct (O; u, v ). ) g est l application d écriture complexe : z 1 3 = i z. (a) Justifier que le point O est invariant par f. (b) On note s la symétrie d axe (O; u ). Montrer que f = r s, o r est une rotation que l on déterminera. (c) En déduire le deuxième point invariant par f. (d) Quelle est la nature de f? ( ) (e) On considère l application g dont l écriture complexe est z 1 3 = i z + 1. Donner une construction géométrique de l image d un point M par g. Exercice 5 1. Le plan complexe est rapport un repère orthonormal direct (O, u, v ). Soient A, B et C les points d affixes respectives s 1 désigne la symétrie d axe (AB). z A = + i, z B = 5 + i et z C = i. (a) Démontrer que s 1 transforme tout point M d affixe z en un point M d affixe z telle que ( 4 z = ) 5 i z + ( ) i (b) En déduire l affixe de C, symétrique de C par rapport (AB). (c) Démontrer que l ensemble des points M tels que z est imaginaire pur est la droite (D) d équation 4x + 3y = 1. (d) Vérifier que le point C appartient (D).. (a) Démontrer que les droites (D) et (AB) sont sécantes en un point Ω dont on précisera l affixe ω. (b) On désigne par s la symétrie d axe (D) et par f la transformation définie par f = s s 1. Justifier que f est une similitude directe et préciser son rapport. (c) Déterminer les images des points C et Ω par la transformation f. (d) Justifier que f est une rotation dont on donnera le centre. 3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les tapes de sa démarche même si elle n aboutit pas. (a) Déterminer les couples d entiers relatifs (x ; y) solutions de l équation : 4x + 3y = 1. 8

9 (b) Déterminer les points de (D) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure 9. Exercice 6 Partie A On suppose connu le résultat suivant : Une application f du plan muni d un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z = az + b, où a C et b C. Démonstration de cours : on se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A et B sont quatre points tels que A est distinct de B et A est distinct de B, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A et B en B. Partie B Dans le plan complexe muni d un repère orthonormal direct (O, u, v ), on considère les points A, B, C, D d affixes respectives z A = 3 i, z B = 1 i 3, z C = 3 + i et z D = 1 + i (a) Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes z A, z B, z C et z D. (b) Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique cm). (c) Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient z B z A. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.. On considère la similitude directe g dont l écriture complexe est z = e i π 3 z +. (a) Déterminer les éléments caractéristiques de g. (b) Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J par g des points A, C et O. (c) Que constate-t-on concernant ces points E, F et J? Le démontrer. Exercice 7 Le plan complexe est muni d un repère orthonormal (O, u, v )(unité graphique : 1 cm). On fera une figure que l on complétera tout au long de cet exercice. Soient A, B et C les points d affixes respectives a = 3 + 5i, b = 4 + i et c = 1 + 4i. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d affixe z, associe le point M d affixe z définie par z = ( i)z Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.. (a) Déterminer l affixe du point B image du point B par f. (b) Montrer que les droites (CB ) et (CA) sont orthogonales. 3. Soit M le point d affixe z = x + iy, où on suppose que x et y sont des entiers relatifs. Soit M l image de M par f. Montrer que les vecteurs CM et CA sont orthogonaux si et seulement si x + 3y =. 4. On considère l équation (E) : x + 3y =, où x et y sont des entiers relatifs. (a) Vérifier que le couple ( 4 ; ) est une solution de (E). (b) Résoudre l équation (E). (c) En déduire l ensemble des points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l intervalle [ 5 ; 5] et tels que les vecteurs CM et CA soient orthogonaux. Placer ces points sur la figure. 9

10 Exercice 8 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v ). On désigne par A et C les points d affixes respectives 1 et i. Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB]. 1. (a) Justifier le fait qu il existe une unique similitude directe s qui transforme O en I et A en C. (b) Déterminer l écriture complexe de s. En déduire les éléments caractéristiques de s et, en particulier, établir que l affixe du centre Ω de s vaut 1 + 3i. 5 (c) Vérifier par un calcul que Ω est situé sur le cercle Γ de centre A passant par O.. Soit f l application du plan complexe d écriture complexe z 3 4i 5 z i. 5 (a) Déterminer les images par f des points A et C. En déduire la nature précise de f, puis démontrer que I est l image de Ω par la symétrie orthogonale d axe (AC). (b) Construire le cercle Γ sur le dessin et placer également le point Ω en utilisant les informations géométriques précédentes. 3. À tout point M d image M par s, on associe le point M défini par l égalité vectorielle M M = ΩM. (a) Quel est le point Ω associé à Ω? (b) Construire avec soin le point A en laissant les traits de construction. (c) On suppose maintenant que M a pour affixe z. Démontrer que M a pour affixe z = iz i. 5 En déduire que M est l image de M par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques. (d) Déterminer et représenter sur le dessin l ensemble Γ des points M lorsque M décrit le cercle Γ. Annexe (exercice 8) C B I v O u A 10