Chapitre 4 : production du son par les instruments de musique

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1 Chapitre 4 : production du son par les instruments de musique 1 définition et caractéristiques générales Un instrument de musique est une machine à fabriquer des sons, c est-à-dire à produire des vibrations aériennes, des différences de pression acoustique. Tout instrument nécessite une source d énergie, qui est généralement le musicien lui-même : force musculaire pour appuyer et tirer un archet, air comprimé des poumons pour exciter un tuyau, etc. D autres fois, c est un aide du musicien qui joue ce rôle (souffleur de l orgue, aujourd hui remplacé par un moteur électrique). Les instruments traditionnels sont donc des transformateurs d énergie mécanique en énergie vibratoire aérienne. Pour obtenir un rendement sonore maximum, les facteurs d instruments tiennent tous compte (souvent empiriquement) de la zone sensible de l oreille humaine où ils essaient de placer au mieux les sons de leurs instruments (il est bien inutile de dissiper des quantités énormes d énergies si elles sont placées dans des régions où l oreille, saturée, n entend plus que du bruit). Un instrument de musique efficace est donc une machine à fabriquer des sons, dont le fonctionnement et le rayonnement doivent implicitement tenir compte des propriétés du système auditif.

2 Du point de vue mécanique, un instrument de musique comporte nécessairement deux parties distinctes: un système excitateur(qui constitue la source des vibrations), auquel le musicien fournit de l énergie; un système amplificateur ou résonateur qui est une structure vibrante (corps sonore) dont les déformations sont à l origine du champ acoustique rayonné, et qui va amplifier les vibrations produites.

3 L excitateur se présente sous des aspects divers. Par exemple, on peut utiliser l énergie cinétique d une masse en mouvement (cas des percussions, qui produisent des phénomènes apériodiques ou quasi périodiques, cf. tambour et piano) ou d une corde vibrante pincée (cas de la guitare). Mais l énergie peut aussi être transformée en vibrations périodiques entretenues (c est le cas pour l archet des instruments à cordes frottées comme le violon ou les instruments à anche comme la clarinette). Le système amplificateur ou «corps sonore», sollicité par l excitateur, agit à son tour sur l air ambiant, par l intermédiaire d une surface solide élastique (table d harmonie) ou en produisant en un point assez localisé des variations de pression aérienne de grande intensité (pavillon des cuivres).

4 Exemples excitateurs/corps sonore: Pour les instruments à cordes, l excitateur est une corde vibrante mais une corde seule ne produit qu un son à peine audible. Il faut lui associer un résonateur pour transformer efficacement l énergie mécanique de la vibration en énergie acoustique. Dans la majorité des instruments à cordes, le résonateur est une plaque en épicéa, appelée table d harmonie, une pièce de bois (en hêtre ou en érable) appelée chevalet servant d intermédiaire entre la corde et la table. Le son rayonné par un instrument à cordes provient principalement des déformations de la caisse (table d harmonie, fond, éclisses), et de la vibration de l air enclos dans le volume intérieur. Dans les instruments à vent, l excitateur peut être une anche en roseau (clarinette, saxophone, hautbois), les lèvres de l instrumentiste(cor, trompette, trombone), un jet d air sur un biseau (flûte, orgue), et le résonateur est la colonne d air délimitée par le tube de l instrument. L air contenu dans le tube vibre et le son rayonné par l instrument provient des orifices de la cavité. Pour les instruments à percussion, l excitateur peut être par exemple une lame, une plaque ou une membrane et le résonateur peut être un tuyau ou une caisse contenant de l air et accordé sur le fondamental de l excitateur.

5 Mode de génération du son dans les trois principaux groupes d instruments de musique.

6 2 Classification des instruments selon le type d excitations On peut tout d abord classer sommairement les instruments de musique selon le type de vibrations sonores produites par l excitateur : ces vibrations peuvent se classer en deux catégories: les vibrations libres où l excitation initiale est unique, comme par exemple un choc, un pincement, une brusque compression ou dépression ; l excitation est suivie d une série d oscillations plus ou moins rapidement amorties; les vibrations entretenues ou relancées périodiquement, par synchronisation sur un des modes propres de la structure vibrante. Dans la première catégorie, on trouve les instruments à percussion, le clavecin, le piano, la guitare, mais aussi le violon lorsqu on joue en pizzicato. Les vibrations sont dites libres car après une action brève (percussion, pincement), le corps n est plus soumis à aucune sollicitation extérieure, et continue de vibrer librement. Dans la seconde catégorie, on trouve les instruments à vent (bois, cuivres, orgue) et les instruments à cordes frottées (violon, violoncelle, alto, contrebasse). Le son y est entretenu parl actiondusoufflepourlesventsoudel archetpourlescordes.

7 Classification des instruments selon le mode de production du son : son entretenu (classe I) ou non entretenu (vibrations libres, classe II).

8 Les systèmes excités par une seule impulsion (classe II) transforment l énergie cinétique qui leur a été communiquée en énergie vibratoire acoustique par le moyen de déformation des plaques qui les constituent ; celles-ci entraînent la vibration des cavités aériennes qu elles délimitent(caisses des tambours, des instruments à cordes). Les systèmes alimentés par une source d énergie continue comme le courant d air ou le frottement de l archet (classe I) transforment cette énergie en énergie vibratoire dès le systèmeexcitateur(archet+cordeou«robinet»périodiquedel ancheoudujetd air).

9 Schéma d'un système auto-oscillant Dans un système auto-oscillant on distingue généralement deux éléments fonctionnels : Un ou plusieurs résonateurs : Ce sont des éléments passifs. On peut en général les décrire comme des systèmes linéaires(des filtres) On y distingue des modes d'oscillation ayant leurs propres fréquences de résonances Exemples: corde de violon, corps du violon, colonne d'air contenue dans un tuyau d'orgue, membrane d'une timbale Un excitateur : L'élément actif de l'instrument. Il est chargé de créer et maintenir les oscillations dans les résonateurs, en transformant une source continue d'énergie en un apport pulsée Il s'agit normalement de systèmes fortement non-linéaires

10 Il peut être difficile de séparer morphologiquement l'excitateur du résonateur, par exemple dans le violon, l'excitateur est l'interaction frottement, l'archet pouvant être vu comme un autre résonateur. Autres exemples: la valve constituée par l'anche ou les lèvres dans les cuivres. Les résonateurs existent aussi dans les instruments à oscillations libres, mais contrairement aux auto-oscillants, on y excite un ou plusieurs modes de résonance et les laisse évoluer librement dans le temps. Les excitateurs existent aussi dans les instruments à oscillations libres, mais leur action est limitée dans le temps, et il n'existe pas de rétroaction du résonateur vers l'excitateur.

11 3 Facteurs de qualité d un instrument de musique 3.1 Impératifs anatomo-physiologiques. Il est indispensable que le musicien soit à l aise pour jouer : l instrument ne sera «bon» que s il est adapté à l anatomie humaine. Tout d abord, la force humaine est limitée. Or, la musique utilise des sons très graves (c est-àdire de grande longueur d onde). Pourfabriquerdessonsde30 Hzassezintensespourêtre nettementperçus (ilfautdegrands niveaux pour que les sons graves soient audibles, cf. acoustique physiologique), les poumons seraient bien insuffisants dans le cas des instruments à vent. Avec des instruments à cordes, il faudrait des caisses de résonances énormes, impossibles à manier (cf. l expérience du luthier Jean-Baptiste Vuillaume qui construisit une contrebasse énorme, l octo-basse, de 4 m de haut). Mais les facteurs traditionnels ont toujours su contourner la difficulté en exploitant certaines propriétés de l oreille, à propos de la sensation de hauteur (absence de fondamental). Bien sûr, cela implique certains sacrifices, comme le fait que le timbre devient nasillard, mais le résultat est atteint. D autre part, la main humaine a aussi des limites. Chaque fois que les dimensions de la main humaine sont insuffisantes, on doit imaginer une«cléterie» adéquate.

12 L octobasse fabriqué par Vuillaume, à la demande de Berlioz, ne possède que trois cordes, accordées ut-1, sol-1 et ut1. L'octobasse descend donc une octave et une tierce plus bas qu'une contrebasse classique, et le son qu'elle produit est beaucoup plus puissant. Sur la photo, le personnage (1,65 m) donne l échelle de l objet(hauteur: 3,45m). Pour en jouer, l'instrumentiste doit monter sur un petit escabeau intégré à l instrument et, du fait de la hauteur du manche, c est grâce à des leviers et des pédales, et non avec ses mains, qu il agit sur les cordes.

13 3.2 Impératifs perceptifs La musique est faite pour être entendue. Les propriétés du système auditif humain impliquent de nombreuses conditions sur la facture des instruments de musique. Les instruments traditionnels en tiennent compte, car ils se basent sur une longue expérience empirique, mais sûre, qu il ne faut pas sous-estimer lorsqu on essaie aujourd hui de dépasser par la technologie électronique l efficacité auditive des instruments traditionnels. 3.3 Impératifs de fabrication Les matériaux dont sont faits les instruments traditionnels sont généralement justifiés pour des raisons variées, acoustiques ou pratiques. Par exemple, on choisit l ébène pour la clarinette parce que sa couleur foncée empêche une maculation visible de l instrument, parce que sa grande masse volumique empêche les parois de vibrer, mais aussi parce qu il est possible de tourner ce bois, d y planter des boules soutenant efficacement dans le temps les axes des mécanismes, etc. On choisit l étain pour les tuyaux d orgue parce qu on peut facilement le souder et le déformer lors de l harmonisation, etc. On choisit l argent ou le maillechort pour la flûte traversière parce que ces matériaux se polissent bien et que la soudure d argent y tient. La fabrication des instruments impose d innombrables contraintes techniques de ce genre : chaque fois qu on a voulu remplacer un matériau traditionnel par un autre, on s est heurté à des difficultés sans nombre.

14 3.4 Impératifs commerciaux Le facteur étant bien obligé de vendre son instrument pour subsister, le commerce impose des modes de fabrication qui ne sont pas toujours en rapport avec l intérêt musical de l instrument. 3.5 Impératifs musicaux Un bon instrument, en plus de satisfaire aux impératifs perceptifs signalés ci-dessus, doit surtout permettre de réaliser vite et bien des sons musicaux différents, c est-à-dire des formes acoustiques déformables dans une large mesure. Cette condition n est réalisée que si le musicien peut agir systématiquement sur l excitation et sur le «corps sonore» de façon à régler aisément, isolément ou simultanément, les trois grandeurs caractéristiques du son: l intensité, la hauteur et le timbre. L intérêt d un instrument de musique est directement fonction de ses«champs de libertés» champ de liberté de l intensité La«dynamique» d un instrument conditionne ses possibilités expressives. Elle est fonction des possibilités de modification de la hauteur et du niveau physique des sons etdeleurtimbre. L instrument le plus intéressant est celui qui sera le plus expressif, c est-à-dire qui permettra les plus larges nuances d intensité.

15 3.5.2 champ de liberté des hauteurs Un instrument intéressant est d abord celui qui a une large étendue de hauteur, c est-à-dire «beaucoupdenotes»enpuissance. De ce point de vue, le piano (7 octaves) est supérieur au violon (4 octaves ½) ou à la flûte (2 octaves½). Mais l intérêt d un instrument dépend aussi de la possibilité de moduler la hauteur des notes qu ilproduit,del infléchiràvolontéverslehautouverslebas. Ainsi, l étendue mise à part, le violon reprend l avantage sur le piano. Il en est de même pour la flûte. En revanche, le piano permet la polyphonie, et cette qualité compense l inconvénient des notes quasi fixes, donc musicalement peu intéressantes.

16 3.5.3 champ de liberté des timbres Certainsontunchampdelibertédestimbrespresqueinfini.C estlecasduviolon,oùl onpeut agir sur l excitation de mille manières, à l inverse de celui de l orgue, dont les tuyaux ont un timbre pratiquement fixe. Mais pour l orgue, cet inconvénient est contrebalancé par la possibilité de combiner ces tuyaux entre eux pour réaliser de véritables synthèses sonores d une variété infinie, même avec un petit nombre de jeux conclusion : champ de liberté de formes Ces trois champs de libertés en forment un seul : le champ de liberté des formes. Comme le sculpteur, le musicien, lorsqu il fabrique un son, modèle en bloc une forme à trois dimensions. Un instrument de musique intéressant n est pas nécessairement un instrument compliqué, permettant de jouer de nombreuses notes. C est un instrument qui permet de réaliser un grand nombre d effets, de formes musicales différentes. Sans champs de libertés réglables, les formes acoustiques sont figées : ce sont des «objets morts», et non les êtres sonores que la musique réclame.

17 4 Classification des instruments par familles Si l on s intéresse aux instruments de musique du point de vue de leur rendement acoustique, il est raisonnable de les classer selon l air de famille des groupes de sons qu ils produisent. Cet air de famille, très clairement mis en évidence par les sonagrammes, dépend en premier lieu des caractéristiques du système excitateur. La classification devient alors très simple car le nombre de manières d exciter une plaque, une colonne d air, une corde, est tout à fait limité. De plus, cette classification rejoint celle des musiciens et on distingue ainsi trois grandes familles d instruments (les «cordes», les «vents»etles«percussions»),diviséeselles-mêmesengroupesetensousgroupes. Nous présentons dans la suite une classification sommaire des instruments. Une classification plus détaillée est fournie dans l annexe 5. Seuls les instruments électroniques et quelques«monstres» de la lutherie sont impossibles à rattacher à l une ou l autre de ces catégories. 4.1 les instruments à cordes ou «cordes» Le système excitateur est une corde faite de matériaux variés et qui fait vibrer un corps sonore, généralement constitué de minces plaques de bois associées de diverses façons ou de peaux tendues sur une caisse(banjo). Les trois grands groupes de cette famille sont alors définis par la façon d exciter la corde, qui détermine trois types caractéristiques de sonagrammes:

18 la corde frottée fournit par définition des sons entretenus donc harmoniques, à raies strictement équidistantes et qui s éteignent quasi simultanément. L attaque présente des bruits de frottements brefs, assez faibles et quasi blancs. la corde pincée à vibration libre, comporte un spectre quasi harmonique dont les raies s écartent très légèrement au fur et à mesure qu elles sont placées plus haut. Il s agit donc d un spectre légèrement inharmonique. Sur le sonogramme, la note débute par un léger trait vertical, indice du petit choc que produit la corde sur l instrument au moment où on l abandonne. Les partiels s éteignent diversement dans le temps(en général, les partiels graves sonnent plus longtemps que les partiels aigus. la corde frappée également à vibration libre, présente un spectre identique au cas précédent. Il s agit donc aussi d un spectre légèrement inharmonique. Mais ici, le choc de l attaque est beaucoup plus intense : sur le sonogramme, le trait vertical est plus gros et plus large et on note des décalages dans l apparition des divers partiels.

19 4.2 les instruments à vent ou «vents» Pour exciter le corps sonore, qui est une colonne d air avec du vent, il n existe pratiquement que deux moyens utilisables pour les instruments traditionnels, c est-à-dire deux excitateurs : souffler sur une arête ou utiliser une anche.

20 le premier cas (souffle sur une arête) est celui des flûtes (de pan ou traversière) et des tuyauxd orguedits«àbouche». Le spectre est facile à reconnaître : les raies sont équidistantes, puisqu il s agit de sons entretenus, harmoniques par définition. Mais ces raies sont habituellement en nombre restreint et les harmoniques graves sont relativement intenses. On note aussi la présence d un certain taux de bruit venant du souffle. Les transitoires d attaque sont très caractéristiques : l attaque est graduelle et les harmoniques apparaissent dans un ordre irrégulier. L intensité des harmoniques décroît régulièrement avec la fréquence et une ou deux composantes inharmoniques apparaissent avant le son proprement dit(son de bouche). le second cas (utilisation d une anche) regroupe plusieurs types, dont les spectres sont toujours riches en harmoniques. Ceux-ci n apparaissent pas simultanément. De plus leur intensité n est pas régulièrement décroissante avec leur rang. On observe généralement des «régions formantiques» où des groupes d harmoniques voisins sont très intenses. On regroupe dans cette catégorie plusieurs familles d instruments, selon le type d anche qu ils utilisent: anches simples, anches doubles, anches libres ou anches lippales(cas des cuivres).

21 4.3 les instruments à percussion ou «percussions» Elles se caractérisent par leur transitoire d attaque qui est généralement brutal et intense. Après le choc, le phénomène peut affecter diverses allures:

22 un choc sec, sur un matériau très amorti (du bois par exemple) se traduit par une hachure verticale d une faible largeur. C est un bruit d impact ; la crécelle fournit des successions de chocsdecegenre. un choc coloré, obtenu lorsqu on frappe une plaque composite en bois ayant, par exemple, deux résonances. Le son possède une certaine «hauteur» mais la sensation en est plus ou moinsfloueetambiguëselonlecas. un choc bruyant, comme par exemple un coup sur un tambour, avec une résonance grave de hauteur indéfinissable. un choc sur un corps non amorti à deux dimensions importantes, métallique en particulier. S il est très long (tringle, tube en métal, etc.) ou très mince (plaque de fer), bref s il a deux dimensions importantes comparativement à la troisième, on obtiendra un spectre d allure vaguement harmonique dont les partiels s éteignent à des moments différents. un choc sur un corps sonore non amorti, mais ayant trois dimensions comparables (plaque épaisse, cloche, etc.) produit un spectre tout à fait inharmonique. Toutes ces percussions ont en commun l allure du transitoire du début, qui contient toutes les fréquences et se traduit sur le sonagramme par une hachure verticale.

23 5 Caractéristiques physiques et perceptives des instruments 5.1 Directionnalité On peut explorer l espace environnant l instrument aux différentes fréquences émises, après avoir choisi les conditions expérimentales: enregistrement en champ libre(anéchoïque) ou en salle réelle? à quelle distance de l instrument faut-il faire les mesures? quelle surface d exploration doit-on choisir? La surface d ne sphère centrée sur l instrument ou certains plans de coupe? faut-il faire jouer l instrument par un musicien ou le remplacer par un excitateur normalisé(archet automatique, soufflerie)?

24 Directionnalité du violon dans le plan horizontal passant par le chevalet. On observe un rayonnement omnidirectionnel jusqu à 500 Hz, puis une prédominance de la zone du chevalet (0 ) entre 550 et Hz. De à Hz, on constate de nombreux pics très variables avec la fréquence.

25 Directionnalité comparée de la flûte traversière, du trombone à coulisse et du violon.

26 Légende et commentaire des graphiques précédents Tous les points d enregistrement sont à la surface d une demi sphère de 2m de rayon dont l instrumentiste est le centre. 1, 2, 3 et 4 sont dans un plan horizontal passant par l instrument, 5, 6, 7 et 8 sont dans un second plan horizontal situé à 1m du premier ; 9 est dansl axeverticalpassantparlatêtedumusicien,à2mdupremierplan. Pour la flûte, très grande variabilité du champ sonore selon l angle du micro. Le signal le plus intense est fourni par le micro au zénith(position n 9). Pour le trombone, le rayonnement est très homogène mais avec une nette prédominance dans l axe du pavillon(position n 1). Pour le violon, le spectre est homogène aux basses fréquences, même dans le dos de l instrumentiste (position n 3) ; on remarque d importantes variations selon la position du microphone par rapport à l instrument à partir de 500 Hz. On peut observer aussi le renforcementdelazonecompriseentre500et1500hzdansl axedumanche(positionn 8).

27 Etudions à présent les caractéristiques sonores perceptives des instruments, comme la tessiture (qui caractérise les hauteurs que l instrument peut émettre), la dynamique (qui caractérise les intensités que l instrument peut émettre) et le timbre. 5.2 Tessiture et contenu spectral Définitions La tessiture est l étendue en fréquence de toutes les notes que peut émettre un instrument donné. Ce qui intéresse le preneur de son n est pas la fréquence du fondamental, mais le contenu spectral réel. Très peu d instruments suivent le schéma classique du son harmonique des manuels : fondamental intense accompagné d harmoniques dont l intensité décroît avec le rang. La tessiture musicale et le contenu spectral ne se suivent donc pas parallèlement.

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29 5.2.2 Exemples Le schéma suivant présente quelques analyses spectrales d instruments. Sur chacun d eux, lesmusiciensontjouéunegammechromatiquedusonleplusgraveauplusaigu. Chaque diagramme représente l analyse spectrale en 1/3 d octave d une gamme chromatique, jouée dans un local peu réverbérant. La zone claire encadrée par une fenêtre correspond à l étendue fréquentielle des fondamentaux de l instrument. On voit que beaucoup d instruments (basson, accordéon, voix chantée) ont leur maximum énergétique situé en dehors de la tessiture musicale. Les instruments pour lesquels les maxima d énergie sont inclus dans la tessiture sont les flûtes, la guitare, le piano. Certains instruments présente une zone maximale d énergie bien circonscrite, située à la limite aiguë de la tessiture et au-delà, comme le hautbois, le basson, la trompette, le cor et lavoixchantée:cesontlesinstrumentsàformants. D autres instruments présentent des maxima très étalés (comme la clarinette) ou débordent largement la limite aiguë de la tessiture(comme le clavecin et l accordéon).

30 Tessiture et contenu spectral de quelques instruments

31 Tessiture musicale (zones blanches en bas) et tessiture spectrale (zones en haut de densité variable, les parties les plus sombres correspondant aux sommets du spectre).

32 Tessiture musicale des principales voix humaines

33 5.3 Dynamique des instruments L oreille et les db : le crescendo instrumental Pour les sons instrumentaux, la variation dynamique d un son (par exemple un crescendo) n est pas un simple grossissement du son, comme cela est fréquemment réalisé en synthèse sonore, mais correspond plutôt à un enrichissement du spectre dans la bonne zone sensible de l oreille, autour de Hz. Pendant le crescendo, le fondamental peut très bien conserver la même intensité ou même diminuer. Sur la figure, on a représenté en a) l analyse d un son émis «piano» puis «forte» avec un spectresemblable,etenb)l analysed unsonréelinstrumentaljoué«piano»,puis«forte». Un crescendo instrumental efficace à l oreille ne se traduit donc pas toujours par une importante déviation de l aiguille d un Vu-mètre.

34 Un crescendo sur une note tenue de trompette est caractérisé par un considérable enrichissement du spectre en composantes aiguës, plus particulièrement dans la zone compriseentre1500hzet3000hz. Au piano, le crescendo produit également un important enrichissement du spectre accompagné d une forte augmentation des bruits de percussion dans le grave et le médium.

35 5.3.2 Gamme dynamique de quelques instruments Les questions importantes sont : Comment varie l intensité maximum d un instrument, du grave à l aigu? Quel est l écart le plus grand possible entre les sons fortissimo (ff) et les sons pianissimo (pp)?

36 Commentaires: Des instruments présentés, le plus intense est sans conteste la trompette, le plus faible la flûtedanslegrave; Presque tous les instruments ont une courbe du maximum d intensité qui croît avec la fréquence, mais celui dont la pente est la plus forte est la flûte ; ceci s explique par le grand débit d air de cet instrument. La courbe inverse de la contrebasse s explique par la nécessité de produire un son très intense aux basses fréquences, où l oreille est peu sensible. L écart entre les deux limites (pp et ff) renseigne sur la dynamique en db de l instrument et la variation de cette dynamique avec la fréquence.

37 5.4 Timbre des instruments Le timbre est le phénomène physiologique par lequel il nous est possible de distinguer la qualité d'un son parmi d'autres ayant tous la même intensité (amplitude) et la même fréquence(hauteur). Letimbreperçupourlesond uninstrumentdépend: du spectre, c est-à-dire du nombre et de l'intensité relative des harmoniques, qui sont fonction du principe de fonctionnement, de la forme, et de la dimension de l instrument. de l'enveloppe du spectre des harmoniques : les transitoires, c est-à-dire l'attaque et l'extinction, est très importante dans l'identification de l'instrument sonore. des conditions d'écoute : le filtrage de la salle teinte lui aussi à sa manière la couleur du timbre. Certains harmoniques sont atténués, amortis ; d'autres, au contraire, amplifiés par le phénomène des résonances, et par la réverbération. Le timbre en ressort altéré, teinté des caractéristiques spécifiques d'un local donné. des capacités physiologiques de notre oreille, différentes des autres, qui nous font percevoir un timbre particulier, que personne d'autre n'entend exactement de la même manière.

38 Détaillons un peu plus l enveloppe spectrale: Le transitoire d attaque correspond à la durée d établissement de la vibration. C est la véritable signature de l excitateur (archet, anche, jet d air oscillant pour les sons entretenus, oupincement,percussionpourlessonsnonentretenus).ilestcaractériséparsadurée(de1 à 100 ms), par l ordre d arrivée des composantes, par sa pente dynamique et par sa composition spectrale (bruits, fréquences inharmoniques, instabilités). Une transformation importante du transitoire d attaque peut faire perdre l identité de l instrument. Exemples de durée du transitoire d'attaque : 20 ms = trompette 36 ms = saxophone 50 ms = clarinette 200 ms = flûte 800 ms = orgue (certains jeux) La partie tenue du son des instruments à vent et à archet est généralement considérée comme stable et périodique. Mais l analyse montre de nombreuses fluctuations d intensité ou de fréquences, dues à la fois aux variations de jeu produites par le musicien et à la complexité du champ sonore. Ces fluctuations confèrent au son des instruments réels une vie sonore qu il est difficile de reproduire par voie synthétique.

39 Le transitoire d extinction est fort différent selon que l instrument est à vibration entretenue ou non. Pour les instruments à vibration libre (non entretenue), le son proprement dit est constitué du transitoire d extinction. La structure percutée ou pincée vibre sur ses modes propres, qui conditionnent le contenu fréquentiel du transitoire : il peut être quasi harmonique (pour la corde pincée ou frappée), accordé pour produire une sensation de hauteur plus ou moins ambiguë (pour une verge de bois ou de métal ou une membrane circulaire), ou encore consister en un bruit plus ou moins coloré (bloc de bois). La durée d extinction totale dépend de l amortissement du système et des caractéristiques du local d écoute. L étouffement du son peut produire des bruits singuliers : pose du doigt sur la corde, lancement du partiel de l étouffoir au piano, bruits de retombée du sautereau au clavecin, etc. Le transitoire d extinction des instruments entretenus est généralement très bref et peu caractérisé, à l exception des instruments à cordes qui font entendre de faibles résonances. L arrêt du son des instruments à vent est brutal (quelques périodes), ce qui rend intéressant un lieu d écoute qui prolonge le son après l arrêt de l entretien par le musicien.

40 6 Les instruments à cordes : principes généraux de fonctionnement 6.1 le système excitateur : la corde harmonique Modes vibratoires d une corde Une corde excitée est susceptible de vibrer simultanément selon quatre modes vibratoires que l on peut également isoler et qui déterminent les qualités musicales de la corde. Ces quatre modes coexistent et déterminent le spectre de la corde isolée. Chaque mode est lié à une grandeur physique. Mode transversal (a), longitudinal (b), torsionnel (c) et mode d octave (d) si l un des points de fixation est mobile.

41 6.1.2 Vibration transversale Ce mode de vibration est le plus anciennement et le mieux connu, parce qu il est observable à l œil nu. Lorsqu on écarte la corde de sa position d équilibre et qu on l abandonne à elle-même, elle se met à vibrer et décrit une espèce de fuseau plat, facile à observer car il est limité par deux lignes nettement définies, correspondant aux deux positions extrêmes de la corde où la vitesse est nulle. L annexe 1 présente une étude générale des vibrations transversales d une corde théorique tendue. Une corde théorique n aurait ni raideur, ni frottements internes et son mouvement serait périodique et de durée infinie. On y montre en particulier que la fréquence de vibration transverse fondamentale s obtient parlaloidescordesvibrantes(ouloidetaylor): f t = 1 T 2L µ où L est la longueur de la corde, T la tension de la corde et µ la masse linéique de la corde, c est-à-dire la masse par unité de longueur de la corde. La fréquence fondamentale de vibration transverse est inversement proportionnelle à la longueur, proportionnelle à la racine carrée de la tension et inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse linéique.

42 La loi de Taylor donne la fréquence fondamentale de la corde. Comme il s agit d un mouvement théoriquement périodique, ce fondamental est accompagné de toute la série des harmoniques(série de Fourier), multiples entiers du fondamental(cf. annexe 1). Ces harmoniques sont bien entendus«juste», par définition. Leur amplitude est inversement proportionnelle à leur rang. Ainsi l harmonique 3 a une amplitude 3 fois plus faible que le fondamental;onditquelacordedélivreunspectreen1/n,nétantlerangharmonique.

43 6.1.3 Vibration longitudinale Frottons dans le sens de la longueur une corde tendue avec un chiffon colophané ou plus simplement avec un archet en biais par rapport à la corde. Nous entendons alors un son très aigu, généralement plusieurs octaves au-dessus de la vibration transversale : c est la vibration longitudinale, où la corde s étire et se contracte périodiquement. Lesamplitudessonttrèsfaibles,etcommelemouvementsefaitdanslesensdelacorde,ce mode vibratoire échappe à la vue. On peut cependant l observer en regardant un point brillant de la corde au microscope. Cette vibration implique évidemment pour la corde une certaine élasticité, c est-à-dire une certaine capacité à s allonger sous l effet d une force et de revenir à sa forme d origine dès que la force cesse. La formule qui donne la fréquence fondamentale de cette vibration longitudinale est: 1 E fl = 2L ρ où L est la longueur de la corde, E le module d élasticité ou module de Young de la corde et ρ lamassevolumiqueoudensitédelacorde. Pour rappel, le module d élasticité est le poids en kilogrammes qu il faudrait accrocher à une corde de 1 mm2 de section pour l allongerdu simple au double (même sion le calcule à partir d un petit allongement). Ce nombre est inversement proportionnel à l élasticité de la corde dans le sens vulgaire du mot : un boyau, très élastique, a en fait un petit module de Young, tandisqu unecordeenacier,trèspeuélastique,aunfortmoduledeyoung.

44 La formule précédente correspond au fondamental de la vibration longitudinale excitée par le frottement. Comme il s agit d une vibration périodique, puisqu entretenue, le fondamental sera bien entendu accompagné de son cortège d harmoniques en 1/n, comme pour la vibration transverse. Remarques: la formule précédente montre que la longueur de la corde intervient dans le même sens que pour la fréquence de la vibration transversale. Il en est de même pour la masse volumique, la masse linéique étant fonction de la masse volumique. par contre, la tension totale, qui fait monter la note transversale, ne joue aucune rôle dans la vibration longitudinale ; on le vérifie facilement en tendant la corde pendant qu on la frotte longitudinalement, le son ne monte pratiquement pas (cette formule n étant, comme la précédente, juste en toute rigueur que pour une corde théorique) le module d élasticité, par contre, ne jour théoriquement aucun rôle sur la vibration transversale. Effectivement, une corde de boyau ou d acier ont exactement la même fréquence transversale si elles ont même longueur, même tension et même masse linéique, mais elles n ont pas du tout la même fréquence longitudinale. Quelle que soit la tension, la vibration longitudinale, à longueur égale de corde, trahit le matériau utilisé, puisque chaque matériau a son module de Young particulier. Si nous reconnaissons le timbre spécial d une cordedeviolon enacierparoppositionàceluid unecordedeboyau,c estgrâceàlavibration longitudinale.

45 6.1.4 Vibration de torsion Reprenons l expérience du pendule de torsion de Coulomb. On accroche un barreau à une corde suspendue à un point fixe et on donne une impulsion à l extrémité du barreau, qui se met à osciller quasi périodiquement de façon torsionnelle. La vibration serait strictement périodique et non amortie avec une corde théorique. On peut aussi faire vibrer torsionnellement une corde tendue entre deux points : il suffitde la pincer, entre deux doigts, et de la rouler, puis de l abandonner à elle-même (une petite aiguille de papier, collée au milieu, mettra aisément en évidence le phénomène. On vérifie par la même méthode qu il existe des vibrations torsionnelles dans une corde normalement frottée par un archet. Le son donné par la vibration de torsion est généralement plus grave que le fondamental transversal. Sa fréquence fondamentale, pour une corde théorique, est donnée par la formule: f r = 1 2L G ρ où L est la longueur de la corde, G le coefficient de rigidité de la corde et ρ la masse volumique ou densité de la corde.

46 Si le mouvement torsionnel est entretenu (cas de la corde frottée), ce fondamental est accompagné de ses harmoniques en 1/n. S il est amorti, ce seront des partiels quasi harmoniques. Cette vibration torsionnelle existe effectivement dans beaucoup d instruments à cordes et conditionne partiellement le timbre, qui est donc lié aussi au module de rigidité. Ainsi, le guitariste ou le harpiste font-ils tourner la corde lorsqu ils la pincent avec le gras du doigt ; le violoniste fait de même avec son archet. Dans les cordes frappées, le mouvement torsionnel n existe évidemment pas.

47 6.1.5 Vibration d octave Fixons l une des extrémités d une corde au milieu d une membrane et faisons la vibrer transversalement. On peut alors observer un phénomène curieux. Le point A est fixe, mais le point B, au milieu de la membrane est assez mobile. Lorsque le point M (milieu de la corde) passerademàm1,lemilieude lamembranepasserade B en C. Puis, quand le milieu reviendra de m1 vers M, le point C retournera vers B. Pendant la deuxième demipériode transversale de la corde, le point M passera vers m2, corrélativement, B reviendra vers C. Pendant le retourdem2versm,lepointcretourneraencoreversb. Bref, pendant une vibration complète, une période de la corde, la membrane aura vibré deux fois, produisant ainsi un son à l octave du fondamental transversal. Ce phénomène est qualifié de vibration d octave. Il existe dans la quasi-totalité des instruments à cordes, les points de fixation n étant jamais rigides. Cette disposition typique seretrouvedanslaharpe,oùaulieudemembrane,onaunetablederésonance. La vibration d octave contribue partiellement aux particularités du timbre de divers instruments: elle favorise l harmonique 2. La vibration d octave est synchronisée sur la vibration transversale et s accompagne de sa série propre d harmoniques ou de quasi harmoniques.

48 6.1.6 Coexistence des 4 modes vibratoires La vibration transversale excite automatiquement la vibration longitudinale, puisque celle-ci implique des allongements et des raccourcissements périodiques. On ne peut d autre part pas frotter une corde ou la pincer (c est-à-dire la déplacer latéralement) sans la faire tourner, ce qui excite le mode de torsion. Quant à la vibration d octave, dès que la corde est fixée sur une caisse, ayant nécessairement une certaine élasticité dans le sens de la corde au point de fixation, elle existe toujours également. Dans la réalité instrumentale, les quatre modes vibratoires coexistent donc toujours. Leur combinaison détermine le spectre, et donc le timbre de la corde isolée. L importance relative des 4 modes dépend des dispositions de la caisse et de la façon d attaquer la corde. Ainsi, en effleurant à peine la corde de violon, près du chevalet, la vibration transversale peut devenir importante alors que la vibration de torsion est quasi nulle. Inversement, en éloignant l archet du chevalet et en accrochant bien la corde, la vibration de torsion devient importante et le timbre change. De même, un guitariste peut pincer la corde avec l ongle ou avec un plectre : l entraînement tangentiel de la corde sera faible alors et la vibration de torsion peut importante ; mais s il l attaque avec le «gras» du doigt, la torsion devient évidente et le timbre n est plus le même. Par contre, c est le luthier qui règle le dosage de la vibration d octave par les dispositions particulières des points de fixation, c est-à-dire par la structure du corps sonore de l instrument (épaisseur des tables, hauteur des voûtes, etc.).

49 6.2 le corps sonore et son couplage avec les cordes généralités Le spectre de la corde isolée va être amplifié et déformé de façon compliquée par le corps de l instrument à cordes. Un instrument à cordes traditionnel est généralement fait de plaques de bois variés, associées en corps de forme plus ou moins compliquée. Ces plaques sont indispensables. En effet, une corde isolée, fixée entre deux étaux absolument rigides, vibre très longtemps mais le son est imperceptible (l énergie disponible est largement étalée dans le temps). Si par contre on associe une plaque à la corde par l intermédiaire d un chevalet, cette plaque va mettre en vibration une grande surface d air. Le son sera alors beaucoup plus intense, mais corrélativement, à cause des frottements, il s éteindra plus vite. L association de planchettes de bois réalisée dans les instruments traditionnels n est pas du tout arbitraire, elle répond à de multiples impératifs mécaniques et acoustiques. Pour qu un instrument ait un son intense, il faut des cordes relativement lourdes et tendues. Si les planchettes de la caisse sont trop faibles, elles se déforment rapidement et se bloquent, rendant impossible toute amplitude vibratoire. À l opposé, si pour compenser la déformation, on utilise des tables trop épaisses, le résultat n est pas meilleur, puisque les possibilités vibratoires sont limitées par la rigidité des plaques. La solution choisie dans la quasi-totalité des instruments traditionnels résulte d un compromis situé à la limite de la déformation permanente des matériaux.

50 6.2.2 courbe de réponse du corps sonore Pour mettre en évidence les propriétés d un corps sonore, il suffit de frapper dessus avec une petite masselotte. On entend un «bruit» de durée, de hauteur et de timbre variable, avec la nature du matériau et la structure de l instrument. On peut enregistrer sur le sonagraphe le bruit du choc précédent et en tirer un sonagramme. Le diagramme ainsi obtenu présente un grand nombre de pointes de résonances, fréquences qui sonnent plus ou moins longtemps. On peut vérifier que chacune de ces pointes correspond à une des parties excitées isolément, dont elle traduit les dimensions et caractéristiques élastiques. Il n existe aucune courbe de réponse homogène : il est impossible que les diverses parties de l instrument donnent des pointes de résonance de même intensité et de même amortissement. Un instrument qui sonne fort est celui qui a des pointes dans la zone sensible de l oreille (entre500et5000hz). Sion utilise des matériaux plus amortis,les pointes sontplus aplaties etla courbe de réponse plus homogène, mais amortissement signifie aussi perte d intensité. Il est finalement heureux que la courbe de réponse ne soit pas plate, c est justement parce que la courbe de réponse n est pas plate que les instruments traditionnels sont plus intéressants que les instruments électroniques.

51 7 Les instruments à cordes frottées 7.1 présentation Les instruments à cordes frottées sont utilisés avec un archet, à l'exception de quelques instruments comme la vielle à roue, dont les cordes sont frottées par le bord d'un disque. Vielle à roue L annexe 2 présente une analyse de la vibration transverse produite par le frottement d un archet.

52 Les instruments à cordes frottées de l'orchestre symphonique sont : Le violon Le violon alto ou alto Le violoncelle La contrebasse Violon Archet de violoncelle

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54 On va se limiter dans la suite au violon. Accord du violon Numéro de la corde Note sol 2 ré 3 la 3 mi 4 Fréquence du fondamental (Hz) 195,56 293, Vu sa tessiture, les partitions de violon sont toujours écrites en clé de sol. Tessiture du violon

55 Timbre du violon : spectre d un la3

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57 8 Les instruments à cordes pincées 8.1 Présentation Un instrument à cordes pincées est un instrument de musique dont les cordes sont pincées, soit manuellement (guitare, harpe), soit mécaniquement (clavecin par exemple), soit à mains nues, soit à l'aide d un plectre(vina, mandoline, guitare de jazz). Plectres et onglet Harpe Mandoline celtique Mandoline L annexe 3 présente une analyse de la vibration transverse produite par la corde pincée.

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59 On va se limiter dans la suite à la guitare et au clavecin. Accord guitare mi1, la1, ré2, sol2, si2, mi3 Les partitions pour guitares classiques sont écrites une octave au dessus du son réel émis par la guitare. Par exemple le la de référenceà440hzsenotesurlaportéedansladeuxièmeinterligne, or il sera au final joué comme un la à 220 Hz. Ceci permet d'utiliser pournoterlamusiquelaclefdesol,laplusconnue.

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61 Timbre de la guitare Spectre du ré, fondamentale à 145 Hz, on remarque que la quatrième harmonique, qui devrait êtreà580hzn estpaslà.effectivement,onpinceàpeuprèsauquartdelacorde.

62 Le clavecin est aussi un instrument à corde pincées. Le piano n'est pas une évolution technologique directe du clavecin. C'est en effet un instrument à cordes frappées, dont le mécanisme et les principes de construction sont très différents. Son étendue couvre environ cinq octaves et n'a jamais été normalisée. Les cordes, à raison de deux à trois cordes par note, consistent en un simple fil métallique et contrairement à celles du piano, elles ne sont pas «filées». Elles sont disposées dans le sens de la plus grande longueur (du clavier vers la pointe). Elles sont tendues entre une pointe d accroche et une cheville d accord. Entre ces deux points fixes, la corde enjambe deux pièces de bois dur : sillet (fixé sur le sommier) et chevalet (collé sur la table d'harmonie), dont la position fixe la longueur vibrante et donc émettant le son. Les vibrations des cordes sont transmises à la table d'harmonie qui joue un rôle d'amplificateur. Cette transmission se fait par l intermédiaire du chevalet. La cavité de la caisse sert de résonateur, elle est fermée vers le basparle«fond».

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64 L'élément principal du mécanisme du clavecin est une lamelle de bois dur appelée sautereau qui se présente verticalement au dessus de la partie arrière (cachée) de la touche.

65 Mécanisme du clavecin ou sautereau. Les figures (a) et (b) décrivent le sautereau ; les figures(c) et(d) montrent comment la corde est pincée une seule fois, lorsqu on frappe une note.lesautereauéchappeeneffetlorsduretourdelatouche.

66 9 Les instruments à cordes frappées 9.1 Précurseurs du piano L idée de frapper des cordes avec une baguette est ancienne. Il existe par exemple en Béarn un «tambour à cordes» qui peut rythmer les mélodies ; on peut moduler le spectre selon le point de frappe et les cordes touchées, mais on ne joue pas vraiment de mélodie. On a inventé aussi de véritables instruments à cordes frappées, beaucoup plus élaborés, comme le tympanon du Moyen âge, ou le cymbalum. Le tympanon comporte des cordes tendues sur une table, et frappées par des mailloches. Tympanon

67 Chaque corde est subdivisée en trois fragments de longueur inégale (par exemple 15, 12 et 10) par deux chevalets mobiles, ce qui donne trois notes par corde, selon le point de frappe. Les rapports CD/AC=15/12=5/4 et CD/DB=15/10=3/2 donnent latierceetlaquinte. Les modèles perfectionnés ont des cordes croisées, reposant sur des chevalets de hauteur inégale ; ces cordes sont associées aux touches blanches et noires du piano. Joueur de cymbalum

68 Cette combinaison de chevalets et de cordes croisées permet une virtuosité extrême : les champs de liberté des intensités et des timbres sont très riches. Mais l instrument est difficile àjouer,ilfautallerviteetviserjuste. Ces difficultés ont conduit les facteurs d instruments à imaginer des dispositifs à touches pour frapper les cordes. Le jeu devient alors beaucoup plus facile, mais on perd du même coup la possibilité de varier le timbre par modification du point de frappe. LesrecherchesdanscesensontaboutienEuropeàlacréationduclavicordepuisdupiano.

69 9.2 La corde frappée Prenons une corde AB, vibrant en mode fondamental transversal (mode comportant un seul fuseau). Si on pince cette corde en son milieu M, ce point est animé d un mouvement sinusoïdal, et on entend une note dont la hauteur est fixée parlaloidetaylor. Si on frappe la corde avec une batte en M, du haut en bas, cette batte atteint avec une certainevitesselepointm,puiscontinueversp.arrivélà,dedeuxchosesl une: soitonlaisselabattebloquéedanscetteposition,etalorslepointpnepeutpasrevenir.par contre, les deux moitiés de corde (arc AP et BP) vont par inertie se mettre à vibrer, chacune à la même hauteur (puisque les longueurs des deux arcs sont égales). On entendra toujours une seule note, comme dans le cas de la corde pincée en son milieu, mais à l octave de la précédente.sionavaitfrappéenunpointr,situéparexempleau1/5delalongueurtotalede la corde, on aurait par contre entendu deux notes : celle correspondant à l arc APS, sonnant unetierceplushautquelanotedelacordetotale(puisquele rapportdelongueurestde4/5), et celle correspondant à l arc SB, sonnant une double octave au-dessus de APS.

70 soitonretire la batteenlafaisantremonterverso.deuxcaspeuventalorsseproduire.le plus simple est réalisé lorsqu on retire la batte avec une vitesse plus grande que celle de la corde à son retour. Dans ces conditions, la corde se met à vibrer normalement, dans son modefondamental,surtoutesalongueurab.dansl autrecas,onretirelabattemoinsviteet on freine alors partiellement la corde lors de son retour. Dans ces conditions, les segments déterminés par le point de frappe se mettent à vibrer chacun pour son compte, mais le fondamental de la corde entière existe toujours, quoique légèrement atténué. On entend alors trois notes : le fondamental de la corde entière, et les deux fondamentaux des segments déterminés par le point de frappe. Comme le fondamental de la corde entière possède une plus grande amplitude, il prédomine dans le spectre total émis. La hauteur perçueestalors unesensationunique,celledelacordetotale,maisletimbreseracolorépar l accord des deux segments. Selon la position du point de frappe, on peut ainsi régler le timbre.

71 9.3 Le clavicorde Le clavicorde dérive du clavecin, mais avec un mécanisme de corde frappée plutôt que de corde pincée. Leprincipeesttrèssimple.Chaquetoucheporteasonextrémitéun«couteau»métalliqueou autre. En frappant sur la touche, ce couteau vient heurter la corde au point C. Comme le système est assez inerte, le couteau reste en contact avec la corde pendant un certain temps. On entend alors normalement les trois notes mentionnées dans le paragraphe précédent. Pour n en émettre qu une,on colle en permanence du feutre surle boutmortcb qu on ne veutpas entendre sonner. Dans ces conditions, quelle que soit la vitesse de retour du couteau, on n entend qu une seule note, celle du segment AC qui continue à sonner tant que l on appuie sur la corde. Mais le son s amortit instantanément dès que le couteau quitte la corde, à cause du feutre. Le clavicorde eut beaucoup de succès car l instrument était expressif : il suffit de frapper plus fort pour jouer plus fort, et inversement, ce qui est un avantage par rapport au clavecin. Par contre,le sonétaitassezmaigre etd autre part, l appuidu couteautendaitun peu plusfortla corde, et le son montait quelque peu. C est pourquoi l instrument fut peu à peu abandonné auprofitdesonrival,lepiano.

72 9.4 Le piano Anatomie 1 mécanique 2 clavier 3 caisse du piano 4 sommier des chevilles 5 barrage 6 table d harmonie 7 chevalet 8 cadre métallique

73 Cadre métallique(1, 14) Abattant du couvercle (2) Capo d'astro ou barre harmonique (3) Tête d'étouffoir (4) Couvercle (5) Chevalet d'étouffoir (6) Rail des chevalets d'étouffoir(7) Barre de transmission de la pédale forte(8) Levier de la transmission du forte(9) Tige de Lyre (10) Pédale, droite (forte), gauche (piano) (11) Chevalet (12) Cheville d'accord (pointe d'accroche) (13) Table d'harmonie (15) Corde (16)

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76 9.4.2 La mécanique C est la mécanique qui définit le piano. Elle apparaît dès 1709, grâce à un inventeur italien, Cristofori, qui trouva du premier coup tous les organes fondamentaux de la mécanique de tout piano, à savoir le marteau articulé, le système d échappement et l étouffoir.. Appuyons en T sur la touche articulée, qui pivote autour de M. Son extrémité T se relèvera, poussantl extrémitézdelapièceyz,mobileautourdel axex. Tout d abord, l extrémité Y va s abaisser et l étouffoir E libèrera la corde, qui est alors prête à vibrer. La présence de l étouffoir individuel de chaque corde évite de fâcheux effet de trop grande résonance que l on trouve dans le cymbalum ou dans le piano, lorsqu on a actionné la pédale forte. Ensuite, corrélativement, l extrémité Z de la même pièce va être poussée vers le haut. Cette pièce porte un deuxième petit organe articulé, appelé pilote (P), dont la tête t est poussée normalement vers la gauche par un petit ressort, de sorte qu elle bute contre le prolongementndelapièceyz.

77 Si l on enfonce lentement la touche, la tête t du pilote va à son tour pousser sur le nez du marteau (point c). Ce marteau, tournant autour de l axe O, va se mettre à monter vers la corde(ab). Quand la tête du marteau atteindra un certain point, situé à une distance déterminée de la corde, appelée limite de décrochement, le pilote va brusquement «échapper» vers la droite:lemarteaunepeutplusmonterdavantage,ilnepeuttoucherlacorde. Sil onenfonceàprésentlatouched un coupsec,lemêmemouvementvaseproduire,mais grâce à l énergie cinétique plus importante, le marteau va cette fois dépasser la limite de décrochement, et continuera à monter, même après l échappement du pilote. Bien entendu, dès lors,le marteau estlibre etla mécanique ne peutplus agirsurlui. De ce fait, le marteau ne bloque jamais la corde, il rebondit sur elle et son retour est d autant plus rapide que le poids s ajoute(cas des pianos à queue où les cordes sont horizontales). La transitoire de la note, court instant pendant lequel le marteau touche la corde, engendrera les trois sons associés aux segments AB, AE et EB. Mais ce sera extrêmement bref,etla«note»quel onentendestsurtoutcelledelacordeentière.

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79 Il faut attendre plus d un siècle après Cristofori pour que ses idées ne soient reprises et menées à leur perfection par un facteur de pianos génial, Sébastien Erard, avec sa mécanique improprement appelée«à double échappement». Erard remplaça les deux pièces : pilote et porte-étouffoir par un assemblage plus compliqué, mais plus efficace. D une part, un ergot convenablement disposé oblige le pilote à basculer au moment voulu, et l échappement devient ainsi moins aléatoire que dans la mécanique de Cristofori. D autre part, on dispose de deux possibilités lorsqu il s agit de frapper la même corde plusieurs fois de suite: soit on laisse à chaque fois la touche redescendre à fond, ce qui plaque chaque fois l étouffoir sur la corde entre les notes successives; soit, grâce aux dispositions particulières des pièces, on ne laisse descendre la touche qu un petitpeu,detellemanièrequel étouffoirnetouchepaslacordeentrelesnotessuccessives; le son ne s éteint alors pas à chaque fois ; de plus, le marteau en revenant ne retombe pas sur sa barre de repos, mais est maintenu près des cordes, tandis que l échappement se replace sous le manche du marteau, ainsi préparé à une nouvelle frappe, et on peut ainsi répéter plus rapidement la note. Le terme de «double échappement» est incorrect, il faudrait plutôt parler de «double effet»oude«doubleaction».

80 La figure du haut montre la touche au repos ; celle du bas illustre le fonctionnement du mécanisme lorsque la touche a été enfoncée. On note aussi que l étouffoir agit ici sous la corde.

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82 On divise les pièces de la mécanique en 3 parties actives principales : le chevalet, le marteau et l étouffoir. Le chevalet Sur la barre de vis, pièce maîtresse du mécanisme, destinée à recevoir toutes les pièces vissées, se trouve le chevalet, ou bascule, juste au-dessus de la partie avant de la touche située près des cordes. C est une petite pièce de bois, fixée à la barre de vis au moyen d une fourche, qui lui permet de monter et descendre grâce à un centre (axe) facilitant l articulation de l échappement. Sur l avant du chevalet, près des cordes, une petite pièce métallique, la cuiller, sert à actionner l étouffoir de la note correspondante. Sous le chevalet, presqu en son centre, se trouve une pièce de bois rectangulaire ou carrée, généralement recouverte de feutre:c estlepousse-pilotesilepiloteestfixésurlatoucheoulepilotedanslecascontraire. Le pilote se soulève et soulève l ensemble du chevalet (aidé par la touche) pour laisser vibrer lescordesfrappéesparlemarteau.ilrevientàaplacedèsquelapressiondudoigtacessé. L échappement Petite pièce de bois articulée au milieu du chevalet, c est la partie la plus importante du mécanisme. Elle oblige le marteau à revenir en arrière avec douceur, rapidité et précision aussitôt après la percussion sur les cordes. Le double échappement, inventé par Erard, permet defrapperlanoteautantdefoisetaussivitequ onledésire,avecuneinfimepertedetemps, le marteau n ayant pas besoin de retomber complètement et étant toujours prêt à reprendre ses percussions.

83 Toujours sur le chevalet, une autre tige métallique, base d un rectangle de bois garni d un feutre très épais forme l attrape, qui reçoit en permanence le contact de la contre-attrape du marteau. Devant-elle se trouve une autre tige métallique, terminée par une torsade, dans laquelle on fixe la lanière du marteau : c est l accroche-lanière ou la queue de cochon, qui empêche la lanière de sortir de son logement. Lemarteau Il frappe la corde et la met en vibration. Il comprend trois éléments majeurs en bois : la tête recouvert de feutre solide, résistant et très souple ; le manche, collé dans la tête ; la base du marteau ou noix, au sommet de laquelle est collée l autre extrémité du manche. Dans la noix, perpendiculairement, un autre petit manche, collé lui-même à l autre bout dans une petite pièce de bois, la contre-attrape, garnie de peau. Àl entrée ouàlasortiedu petit manche,la lanièresertderappeldumarteau ;l extrémitéest fixedanslaqueuedecochon.plusbasquelepetitmanchesetrouvelenezdumarteau,garni de plusieurs épaisseurs de feutre, sur lesquelles l échappement, au repos sur un petit coussin de feutre, pousse le marteau contre la corde et glisse lors des mouvements imprimés à la touche.

84 L étouffoir Son rôle est d étouffer les vibrations des cordes frappées par le marteau. Placé devant les cordes, il appuie en permanence sur elles et ne les quitte que si le marteau les frappe. Il comporte un épais coussin de feutre, collé sur un ensemble dit patte d étouffoir. On fixe cette patte dans le sommet de la lame d étouffoir, longue tige de bois au centre de laquelle se trouve une fourche, vissée sur la barre à vis du châssis et munie d un puisant ressort permettant à l étouffoir de reprendre sa place sur les cordes après l avoir quittée, soit sous la poussée de la touche correspondante, soit sous la poussée de la barre de la pédale forte. L étouffoir est supprimé pour les 17 ou 18 dernières notes aiguës, en raison du petit nombre de vibrations des cordes.

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96 9.4.3 Corps sonore du piano Le corps sonore du piano est constitué d une table normalement en épicéa, qui porte vers l arrière pourunpianodroit,verslesolpourun pianoàqueue,uncertain nombredebarres d épicéa dont le nombre et la disposition varient selon les facteurs. Ces barres sont légèrement courbes, ce qui donne à la table un certain «bombé». Comme pour la guitare, les barres jouent simultanément un rôle acoustique et un rôle de consolidation. Sur la face avantdelatablesontcollésleschevalets,enhêtreouenérable.

97 9.4.4 La structure portante Le cadre en fonte moulée est prévu pour résister à la traction des cordes, tout en masquant aussi peu que possible la table d harmonie. Le cadre est boulonné à la structure portante sur son pourtour et assujetti à la table d harmonie par la rosace, ce qui met l ensemble en résonance. Les cordes sont tendues entre les pointes d accroche (qui leurs donnent un ancrage solide) et les chevilles (qui permettent de les accorder par variation de la tension). Les pointes d accroche sont solidaires du cadre en fonte ; les chevilles sont vissées dans un bloc de hêtre ou d érable, appelé sommier, assujetti au cadre pour assurer la stabilité de l accord.

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99 9.4.5 Le cordage

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101 9.4.6 Les pédales a Pédales d un piano à queue Les pédales d un piano à queue sont accrochées sous le plateau de clavier et contenues dans la lyre. La pédale de gauche du piano à queue est parfois celle d una-corda. Lorsqu elle est actionnée, elle déplace le blocdu claviervers la droite, de sorte que les marteaux de la section des aigus manquent une des trois cordes du chœur constituant la note ; dans la section des basses, ils frappent les cordes avec une autre partie de leur bec, qui sonne différemment. L effet d ensemble est donc une sonorité différente, perçue comme plus douce. Une fois la pédale relâchée, un ressort placé dans l oreille du côté des aigus remet le bloc du clavier en position normale. La pédale de droite est la pédale forte : elle soulève en même temps les étouffoirs de toutes les cordes, permettant à celles-ci de vibrer librement même lorsque l touche est relâchée. La pédale du milieu est dite «tonale» ou «d expression» : elle permet d écarter les étouffoirs uniquement sur les cordes correspondant à la touche enfoncée. Dans certains pianos à queue, la pédale du milieu actionne un mécanisme de sostenuto sur les basses. Certains facteurs ont commencé d introduire une quatrième pédale qui met en fonctionnement un mécanisme de sourdine, que l on trouve couramment sur les pianos droits. C est la pédale douce.

102 9.4.6.b Les pédales d un piano droit Les pédales d un piano droit sont montées dans le bas de la caisse du piano et reliées à la mécanique par une tringlerie de leviers et de chevilles. La pédale de gauche est appelée «pédale douce». Lorsqu elle est actionnée, les marteaux se rapprochent des cordes, ce qui réduit la puissance avec laquelle ils frappent les cordes. L inconvénient de cette pédale est qu en rapprochant les marteaux des cordes, elle enlève une partie du mouvement entre le pilote et le marteau, entraînant un toucher moins confortable et moins contrôlable. La pédale forte est toujours à droite : lorsqu elle est actionnée, elle libère les cordes des étouffoirs, pour les laisser résonner jusqu à ce qu elle soit relâchée. La pédale du milieu est le plus souvent une sourdine. Lorsqu elle est actionnée, une fine bande de feutre vient s interposer entre les marteaux et les cordes, assourdissant la sonorité de l instrument.

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104 10 Instruments à vent, principes de fonctionnement 10.1 Généralités Il s agit d instruments de musique à son entretenu, soit directement par le souffle de l instrumentiste(bois, cuivres), soit par une soufflerie mécanique(orgue). Comme pour les instruments à cordes, on trouve deux parties dans l instrument : un système excitateur et un corps sonore. Le système excitateur est soit une lame d air, soit une anche. Lecorpssonoreestuntubeouvertàuneextrémité. Pour émettre un son, il faut faire vibrer la colonne d'air qui se trouve dans le tube de l instrument; celle-ci est alors le siège d une onde stationnaire.

105 10.2 Le système excitateur : biseau et anches Iln existeenfaitquedeuxmoyenspratiquespourexciterunecolonned air: souffler sur un biseau ou une arête du tuyau (cas des flûtes ou des tuyaux de l orguedits«àbouche»); adapter une anche au tuyau (cas des autres bois, des cuivres, tuyaux d orgue à anche).

106 Le système lame d air-biseau Dans les instruments à vent traditionnels, l énergie est fournie par de l air comprimé venant des poumons. Cet air sort en jet par l ouverture de la bouche, dont on peut modifier à la fois la section et la forme. Lorsque l ouverture de la bouche est quasi circulaire, le jet d air qui en sort, plus ou moins freiné par les bords arrondis des lèvres, prend une forme tronc-conique. Lorsque l ouverture est une fente, réalisée par des lèvres tendues, faiblement écartées, on produit une lame d air. Celle-ci s élargit plus ou moins en forme de pyramide tronquée. Dans tous les cas, si ces écoulements se font à l air libre, le jet d air produit des chuintements de«couleur»,detimbreetdehauteurvariés,d autantplusintensesqueledébitestgrand. D autre part, une arête placée devant la sortie du jet fait osciller celui-ci alternativement de part et d autre de l obstacle, et l on entend alors un léger sifflement, généralement très aigu : c estlesondebiseau. En forçant le souffle, le son monte et devient simultanément plus intense ; à la limite, il dégénère en bruissement aigu. C est ce sifflement qui apparaît dans les transitoires d attaque des tuyaux à bouche et qui lancent, avec un petit retard, le régime normal du tuyau.

107 Le système des anches On appelle «anche» une lamelle de métal, de bois ou autre matériau élastique, relativement étroite, longue et mince. Cette languette seule, lorsqu elle est fixée dans un étau et pincée au doigt, vibre plus ou moins longtemps, selon l amortissement du matériau, et produit un son de hauteur bien définie dont la fréquence s appelle la fréquence propre de l anche. Pour un matériau donné, cette fréquence est d autant plus grave que l anche est longue et plus chargée (le son baisse en collant, soudant une petite masse à l extrémité vibrante ; il baisse encore quand on amincit par grattage l anche du côté opposé, c est-à-dire près de son point de fixation sur l étau; il baisse aussi lorsqu on réduit la largeur de l anche). Dans les instruments, il faut bien sûr fixer cette anche quelque part.

108 Dans l orgue par exemple, on l adapte sur la rigole, et on l accorde en faisant glisser un fil de fer, la rasette, qui appuie sur l anche et raccourcit ou allonge la partie vibrante, ce qui fait monter ou baisser le son. La clarinette présente un système excitateur similaire : l anche en roseau est fixée sur un «bec»quijouelerôledelarigole. Pour les anches doubles (type hautbois), les phénomènes sont similaires mais deux anches battent l une contre l autre. L anche libre (type accordéon) fixée sur une plaquette, vibre librement à travers une ouverture légèrement plus grande qu elle-même. Un type particulier d anche battante double est celui que réalisent les deux lèvres serrées l une contre l autre : ce sont les anches lippales. Elles ont ceci de particulier qu on peut modifier largement la fréquence propre en réglant le tonus des muscles des lèvres, en les gonflant ou en les allongeant latéralement. Leur fonctionnement est facilité par la présence d une embouchure.

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110 10.3 le corps sonore et son couplage avec l excitateur Le son est produit par les instruments à vent grâce au phénomène d ondes stationnaires qui peuvent s établir dans la colonne d air. Certaines caractéristiques de l instrument, comme le timbre, résultent de la configuration de ces ondes dans la colonne généralités Une onde plane, engendrée par la compression ou la dépression brutale d une tranche d air par une surface plane (comme celle d un piston), se propage dans l air, milieu élastique, en déplaçant chaque particule d air autour de sa position d équilibre: c est une onde progressive. Lorsqu une compression (ou une dépression) rencontre un obstacle solide (une surface plane fermant le tuyau), l onde rebondit vers l arrière et une nouvelle compression(ou une nouvelle dépression), ayant simplement changé de direction, se propage dans le tuyau : une onde de compression (ou de dépression) est réfléchie sans changement de signe sur un obstacle, elle reste une compression(ou une dépression). Par contre, si une onde de compression arrive sur une surface plane percée d un trou, elle sort du tuyau par le trou, mais simultanément, elle produit en arrière du trou une busque dépression, qui va cheminer en sens inverse dans le tuyau. L inverse est vrai aussi : une onde de dépression est réfléchie par un trou avec un changement de signe et devient une onde de compression.

111 période et fréquence d un tuyau : loi de Bernoulli Par convention un tuyau rigide qui est ouvert aux deux extrémités est appelé tuyau «ouvert»;tandisqu'untuyaurigidequiestouvertàuneseuleextrémitéetquiaunesurface rigideàl'autreextrémitéestdésignésouslenomdetuyau«fermé».

112 Dans le cas d un tuyau fermé (cas du bourdon de l orgue, tuyau cylindrique fermé à un bout), une onde de compression (notée +), engendrée par un piston, se propage vers le fond où elle se réfléchit sans changement de signe (compression, signe +) pour retourner vers l ouverture; là elle rencontre un trou, et est donc réfléchie avec changement de signe (dépression, signe -) et retourne à nouveau vers le fond. Là, elle est réfléchie une fois de plus sans changement de signe (elle reste -) et revient vers l ouverture où elle va changer de signe à nouveau et redevenir +. Après avoir parcouru quatre fois la longueur du tube, elle recommencera donc le même cycle, qui se répèterait indéfiniment si les frottements n amortissaient pas graduellement l onde. Entre (a) et (d), l onde a donc accompli une période T, valant la distance parcourue (quatre foislalongueurldutuyau)diviséeparlacéléritédel onde(c,lavitesseduson),donc: 4L c La fréquence f caractéristique du tuyau fermé vaut donc: T f = c = 4L

113 Pourlestuyauxouverts,l onde+,aprèsunpremierallervatout de suite trouver en arrivant au bout opposé du tuyau un trou, et va donc se réfléchir avec changement de signe, pour revenir vers l ouverture d origine. Comme il existe également un trou ici, elle va donc encore se réfléchir avec changement de signe et redeviendra onde +. Après seulement deux trajets, le cycle est donc complet. Entre (e) et (f), l onde a donc accompli une période T, valant la distance parcourue (deux fois lalongueurldutuyau)diviséeparlacéléritédel onde(c,lavitesseduson),donc: 2L c La fréquence f caractéristique du tuyau ouvert vaut donc: C est-à-dire l octave de la fréquence fondamentale du tuyau fermé. T f = c = 2L

114 Remarques: Les valeurs obtenues par ces formules sont théoriques. En pratique, dès que l on excite un tuyau en soufflant à l une de ses extrémités par un procédé quelconque, il se produit des phénomènes très compliqués et l expérience montre que les mesures et les calculs ne concordent pas rigoureusement. Un tuyau ouvert est en fait souvent un tuyau semi-bouché (ce qui abaisse la fréquence fondamentale). D autre part, le diamètre du tuyau intervient, et les facteurs d instruments cherchent souvent des formules de correction faisant intervenir cette variable(correction de bouts). Ces formules n ont aucun sens dans les tuyaux à anche forte, où c est l anche qui impose sa fréquence propre au tuyau, comme on le verra plus loin. Les lois de Bernoulli restent valables(théoriquement) pour les tuyaux coniques.

115 Ondes progressives dans les tuyaux ouvert et fermé Onde progressive dans un tuyau fermé Onde progressive dans un tuyau ouvert

116 Résonance d'un tube ouvert Les tubes cylindriques ouverts résonnent approximativement à des fréquences de : où «n» est un nombre entier (1, 2, 3 ) représentant le mode de résonance, «L» est la longueur du tube et «V» est la vitesse du son dans l'air (qui est approximativement de 344 mètresparsecondeà20 Cetauniveaudelamer). Une équation plus précise considérant une correction de fin est donnée ci-dessous: où d est le diamètre du tube de résonance. Cette équation compense le fait que le point exact auquel une onde sonore se reflète à une extrémité ouverte n'est pas parfaitement à la section d'extrémité du tube, mais une petite distance en dehors du tube. Le rapport de réflexion est légèrement inférieur à 1 ; l'extrémité ouverte ne se comporte pas comme une impédance acoustique infinie ; en revanche, elle a une valeur finie, appelée l'impédance de rayonnement, qui dépend du diamètre du tube, de la longueur d'onde, et du type de réflexion probable autour de l'ouverture du tube.

117 Résonance d'un tube fermé Un cylindre fermé aura approximativement des résonances de: avec n un entier naturel. Ce type de tube a sa fréquence fondamentale une octave inférieure à celle d'un cylindre ouvert (c'est-à-dire, la moitié de la fréquence), et peut produire seulementlesharmoniquesimpairs,«f»,«3f»,«5f»...parrapportautubeouvert. Une équation plus précise est donnée ci-dessous:

118 Tubes Coniques Un tube conique ouvert, c'est-à-dire sous la forme de tronc d'un cône avec les deux extrémités ouvertes, aura des fréquences de résonance approximativement égales à celles d'un tube cylindrique ouvert de la même longueur. Les fréquences de résonance d'un tube conique arrêté -un cône ou un tronc complet avec une extrémité fermée - remplissent une condition plus compliquée(cf. annexe A4.4) : où le nombre d onde «k» est : et «x» est la distance de la petite extrémité du tronc au sommet. Quand «x» est petit, c'està-dire quand le cône est presque complet, ceci devient : ce qui donne des fréquences de résonance approximativement égales à celles d'un cylindre ouvert dont la longueur égale «L» + «X». Autrement dit, un tube conique complet se comporte approximativement comme un tube cylindrique ouvert de la même longueur, et ce comportementnechangepassilecônecompletestremplacéparuntroncdecônefermé.

119 onde stationnaire, nœuds et ventres, harmoniques et partiels Jusqu ici, nous avons considéré le cas d une compression (ou d une dépression) unique qui se propage dans le tuyau par allers-retours successifs. Mais on peut imaginer pendant ses voyages d envoyer, à un moment quelconque, une deuxième compression (ou dépression). Celle-ci va a son tour cheminer dans le tuyau et nécessairement heurter la première à un instant donné. Quant deux compressions de même valeur, mais de sens contraire, se rencontrent en une particule d air, la vitesse de cette particule s annule évidemment : une nœud de vitesse se produit donc au point de rencontre. Par contre, au même point, les pressions s ajoutent, créant au point de rencontre un ventre de pression. Lors du choc, chaque onde va rebondir en sens inverse, se réfléchir à nouveau sur les bouts, revenir, heurter encore l onde venant en sens inverse, etc. Le nouveau point de rencontre ne sera pas nécessairement au même endroit que précédemment (tout dépend du moment où l onaenvoyéladeuxièmeonde);bref,l étatdutuyauvarieraàchaqueinstant. Si l on envoie en plus d une deuxième compression, une troisième, une quatrième, etc. à intervalles réguliers, la situation se complique encore. Théoriquement, les nœuds et les ventres de vitesse (ou de pression) changeront constamment de place si la fréquence d excitation est quelconque par rapport à la longueur du tuyau. Mais il se produira un phénomène spécial lorsque la fréquence d excitation sera un multiple exact de la fréquence propre du tuyau : nœuds et ventres deviendront alors fixes et plus marqués car excitation et tuyau seront en résonance: c est le phénomène d onde stationnaire.

120 Deuxcassontalorsàconsidérer: le bourdon a toujours un ventre de vitesse au bout ouvert et un nœud de vitesse au fond. On ne peut le découper en parties égales où nœuds et ventres alternent nécessairement qu en le divisant en trois, cinq, sept parties, etc.(nombres impairs). letuyauouvertauxdeuxboutspossèdeunventredevitesseàchaqueextrémitéetpeutpar conséquent être découpé en 2, 3, 4, 5, parties égales, en respectant l alternance nœudsventres.

121 La combinaison d'ondes progressives aller et retour (réflexion sur une extrémité ouverte) forme des ondes stationnaires

122 Les ondes stationnaires sont différentes dans un tube ouvert ou fermé

123 Soufflons sur l arête du bourdon (tuyau ouvert-fermé) en augmentant graduellement le vent. Pour un jet bien orienté, ce son de biseau excitera une fréquence qui correspond au découpage a 1 : c est le fondamental du bourdon. Comme il s agit d un son manifestement périodique, il ne peut être que sinusoïdal ou composé d une série d harmoniques justes. Dans la réalité, cette série d harmoniques existe toujours, et il ne s agit que des harmoniques impairs. En augmentant le souffle, l expérience montre qu à un certain moment, on saute brusquement à une autre note, la deuxième note possible avec ce tuyau, qui n a rien à voir avec l harmonique 2 du tuyau entier en régime fondamental. Pour cette deuxième note le tuyau se découpe conformément à la figure a 2, en trois parties égales. Le nouveau son est un nouveau son fondamental, périodique, accompagné de sa série d harmoniques propres (impairs aussi). Ce nouveau fondamental, théoriquement à la douzième du fondamental précédent, s en écarte dans la pratique de façon parfois considérable : ce n est donc pas un harmonique. C est le partiel 2 du bourdon, correspondant approximativement à l harmonique 3 du fondamental. Ensoufflantencoreplusfort,on bloqueaussibienlefondamentalquelepartiel2etonréalise le découpage a 3, qui sonne musicalement la dix-septième au-dessus du fondamental du tuyau entier. Ce troisième son est encore un nouveau fondamental avec ses harmoniques impairs propres. Il est plus ou moins voisin de l harmonique 5 du fondamental du bourdon.

124 Refaisons la même expérience avec le tuyau ouvert aux deux bouts. On vérifie qu en forçant le souffle, on saute d abord au découpage b 2, qui sonne à peu près l octave (et non la douzième comme précédemment). Puis, en soufflant encore plus fort, on aura le découpage b 3 (c est-àdire la douzième approximative du fondamental), et ainsi de suite. Ici, le partiel 2 correspond à peu près à l harmonique 2 du tuyau entier, le partiel 3 correspond à peu près à l harmonique 3, etc. En résumé, en soufflant de plus en plus fort sur du bourdon, on obtient une série de sons partiels dont la fréquence correspond à peu près à celle des harmoniques impairs du tuyau entier. Ces partiels sont des fondamentaux nouveaux, accompagnés chacun de sa propre série d harmoniques. Avec les tuyaux ouverts, les partiels correspondent approximativement à la suite complète des harmoniques du tuyau entier. On peut noter enfin que la série des partiels obtenus en forçant le souffle se rapproche d autant plus de la série des harmoniques du fondamental du tuyau entier que la taille (rapport longueur/diamètre) du tuyau est grande.

125 Trou latéral dans un tuyau Pour construire la tessiture d'un instrument de à vent, plusieurs solutions s'offrent au facteur: construire un tuyau par note dont la longueur est ajustée pour produire la hauteur désirée:c'estlasolutionretenuedansl'orgueetdanslaflûtedepan; construire un tuyau de longueur variable. C'est le jazzoflûte et les autres flûtes «à coulisse» enfin, la solution utilisée pour de nombreux instruments consiste à ouvrir successivement des trous latéraux depuis l'extrémité passive de l'instrument vers l'embouchure afin de monter la gamme. Les instruments de la famille des bois à trous latéraux font presque toujours appel à plusieurs régimes d'oscillation du tuyau : une fois tous les trous latéraux ouverts pour monter une gamme sur le premier régime, le musicien continue sa gamme ascendante sur le second régime un refermant tous les trous puis en les ouvrant un à un. Il obtient le second régime en modifiant les paramètres d'embouchure et éventuellement en ouvrant un trou «de registre», trou de petit diamètre situé dans la première moitié du corps de l'instrument. A l'image du violoniste ou du guitariste qui force la corde à vibrer sur son second régime en effleurant du doigt la corde en son milieu, les trous de registre ouvrent une «fuite» à la position d'un ventre de pression du premier mode, par exemple, qui coïncide avec la position d'un nœud de pression du second mode (pour un passage du premier au second modedanscecas).

126 Pour une flûte traversière moderne, le second régime sonne une octave au dessus (f2/f1=2) du premier régime et le facteur doit ménager 12 trous latéraux pour obtenir une gamme chromatique alors que pour une clarinette, le second régime sonne une douzième au dessus (f2/f1=3) et le facteur doit ménager 18 trous latéraux pour obtenir une gamme chromatique. Le positionnement des trous «de note» détermine la justesse de l'instrument à l'intérieur d'un même régime. Le trou latéral, lorsqu'il est ouvert, se comporte approximativement comme une extrémité ouvertedutuyauàconditionquesondiamètresoitvoisindeceluidutuyau. Si son diamètre est plus petit, il convient de placer le trou plus près de l'embouchure afin d'obtenir la même hauteur de note. Le facteur peut donc opérer un compromis entre position et diamètre relatif du trou.

127 Cependant, la possibilité d'ouvrir un trou de diamètre plus petit en le plaçant plus proche de l'embouchure se paie au niveau des rapports de fréquence entre les divers régimes du tuyau. Ceci influencera donc la justesse de l'instrument entre ses différents régimes. La figure ci-contre présente les fréquences des trois premières résonances d'un tuyau de 19mm de diamètre et 63cm de long ouvert avec un trou latéral permettant d'obtenirunenoteuntonaudessusdecelle obtenue trou bouché. Trois cas sont présentés, correspondant à un diamètredutroulatéralde19mm,16mmou 4mm, le trou étant positionné à distance de plus en plus grande de l'extrémité afin d'obtenir même fréquence de résonance du premier régime. Il apparaît que l'inharmonicité des partiels du tuyau augmente à mesure que le diamètre du trou diminue.

128 Le problème du positionnement des trous est un problème théoriquement simple si on admet que percer un trou latéral équivaut à couper le tuyau en ce point. Malheureusement, la réalité est tout autre. La seule conclusion générale est que le son monte au fur et à mesure qu on agrandit un trou et qu on le rapproche de l embouchure. La place et les dimensions des trous dans les divers instruments traditionnels résultent de patientes observations et de longs tâtonnements empiriques des facteurs qui réalisent des compromis variés entre la section et la place des trous en fonction de la section du tuyau, compte tenu des réactions réciproques des trous les uns sur les autres. Detoutefaçon,ilfautperdretouteillusionquantàlapossibilitédemiseenéquationfacilede tels problèmes, d autant que le musicien modifie continuellement le système d excitation, et que celui-ci réagit largement sur le fonctionnement du tuyau. Les paragraphes suivants analysent sommairement ce problème de couplage excitateur-corps sonore. Les deux modes principaux d excitation d un tuyau, bouche et anche, doivent être considérés séparément, car les mécanismes de couplage sont très différents.

129 Problèmes du couplage lame d air-tuyau Prenons le cas d un grand bourdon d orgue (tuyau à bouche, ouvert à l extrémité). Soufflons sur le biseau, le jet d air heurte une arête, ce qui produit un sifflement aigu, jouant sur le transitoire du début et donc le timbre du son. Une partie de l air entre dans alors dans le tuyau, créant une compression de l air. Cette compression, engendrée à la bouche de l instrument, se propage, se réfléchit en s inversant à l extrémité ouverte, revient vers la boucheetyaspirelalamed air. La lame d air se met donc à osciller de part et d autre de l arête : la lame d air constitue une véritable anche aérienne souple. Dans les systèmes à lame d air, c est le tuyau qui impose pratiquement sa fréquence de vibration à la lame d air.

130 Problème du couplage anche-tuyau Comparativement à la lame d air précédente, l anche est un système beaucoup plus rigide et lourd. Elle ne se laissera pas manœuvrer comme une lame d air par l onde stationnaire. En fait, tout dépend du rapport de force entre les deux partenaires en présence : la vibration propre de l anche, qu on met facilement en évidence en la pinçant et la vibration propre du tuyau, dont on peut apprécier la fréquence en soufflant sur le bord du tuyau. Les deux notes obtenues sont généralement de hauteur et d intensité différentes. Qui va l emporter er imposersaloiàl autre?c esttoutleproblèmedestuyauxàanches. Deux cas extrêmes sont à envisager, entre lesquels se placent les réalisations pratiques des facteurs d instruments: l anche très forte et l anche très faible. L anche très forte dominera de loin l onde stationnaire du tuyau et imposera sa fréquence propreautuyauquis accommoderaaumieuxsurelle. Letuyaunejoueplusguèrequ unrôle derésonateurenamplifianttel outelgrouped harmoniquesdusonde l anche,ilne faitdonc que modifier le timbre de l instrument. Les anches lippales appartiennent à ce type d anches fortes(autres exemples: voix, anches d'orgue, anches de jouets) Pour les anches très faibles, l onde stationnaire du tuyau impose sa fréquence propre à l anche et la hauteur du son est celle de l onde stationnaire (exemples : clarinette, hautbois, basson, saxophone).

131 p bouche est imposée à l'entrée du résonateur Un créneau de pression se propage dans le sens positif du résonateur L'onde se réfléchit avec inversion de signe à l'extrémité ouverte. Un créneau négatif s additionne à celui crée auparavant Le nouveau créneau se propage dans le sens négatif

132 Le créneau négatif est réfléchi sans inversion de signe. La différence de pression provoque la fermeture de l'anche Le créneau négatif se propage vers l'extrémité ouverte Nouvelle réflexion avec changement de signe Nouvelle réflexion du créneau positif et ouverture de l'anche

133 Avec le schéma précédent, on peut retrouver facilement la périodicité du système. Vu que la perturbation de pression revient inversée à l'anche, il lui faut un deuxième aller-retour pour revenir à son état initial. Un aller ou un retour se font à la vitesse du son c, donc chacun des deux se fait dans un intervalle de temps c/l. Vu qu'il fautquatre de ces parcours, on a une répétition aubout de la période 4c/L.

134 10.4 La colonne d air est un oscillateur forcé : impédance acoustique des instruments à vent L impédance acoustique est le rapport entre la pression acoustique et le débit d air. Elle s exprimedoncgénéralementenpa.s.m -3 aussiappeléohmacoustique Ω. Pour un instrument à vent, l impédance acoustique est une caractéristique intrinsèque de l instrument, qui peut être mesurée (ou calculée) sans même l instrumentiste. Elle se présente sous la forme d un spectre, puisqu elle fonction de la fréquence; en fait, l impédance constitue la réponse acoustique d un instrument vis-à-vis de toutes les fréquences d excitation possibles. L impédance acoustique des instruments de musique varie énormément avec la fréquence, car ces instruments sont construits pour produire seulement quelques fréquences pour chaque configuration (doigté) : elle se présente donc comme une courbe en dents de scie. Les pics et les creux de la courbe d impédance apparaissent aux fréquences pour lesquelles l instrument peut développer et entretenir une onde stationnaire.

135 Par exemple, nous verrons qu une flûte peut être considérée comme un tuyau ouvert à ses deux extrémités. Donc, à l embouchure, la pression acoustique est quasi nulle et on a un maximum (ventre) de vibration pour l air à l embouchure. La flûte émet donc des sons caractérisés par les minima de l impédance acoustique. La facilité d émettre un son et sa stabilité est déterminée par la profondeur et l étroitesse du minimum. Au contraire, nous verrons que tous les instruments à anche (comme la clarinette) peuvent être considérés des tuyaux ouvert à une extrémité (le pavillon) mais fermés du côté de l embouchure. Donc, à l embouchure, la pression acoustique est grande et on a un minimum de vibration (nœud). Les instruments à anche produisent donc des sons lorsque l impédance acoustique est minimale. La facilité d émettre un son et sa stabilité sont déterminées par la hauteur et l étroitesse du maximum.

136 Impédances comparées d une flûte et d une clarinette pour la note fondamentale Une clarinette est fermée à l embouchure et fonctionne aux maxima de l impédance Z. Lorsque tous les trous sont bouchés, ces maxima apparaissent pour 130 Hz, 390 Hz, 650 Hz, etc. qui correspondent aux notes do3, sol4 et mi5, c est-à-dire une série harmonique comportant seulement des harmoniques impaires 1f, 3f, 5f etc. où la fréquence fondamentale est 130 Hz. Une flûte est ouverte à l embouchure et fonctionne aux minima de l impédance Z. Lorsque tous les trous sont bouchés, ces minima apparaissent pour 260 Hz, 520 Hz, 780 Hz, 1040 Hz, 1300 Hz etc qui correspondent aux notes do4, do5, sol5, do6, mi6, c est-à-dire une séquence harmonique 1f, 2f, 3f, 4f, etc. où la fréquence fondamentale est 260 Hz.

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138 11 La famille des bois 11.1 Généralités Présentation Famille d'instruments de musique à vent, les bois se caractérisent par leur système d'émission du son constitué soit par un biseau comme les flûtes, soit par la vibration d'une anche simple comme la clarinette ou double comme le hautbois. Si certains sont en métal comme les saxophones, en cristal comme quelques flûtes traversières, en ivoire comme des hautbois baroques, en céramique voir l'ocarina ou en plastique comme beaucoup de flûtes à bec, la grande majorité, encore de nos jours, est fabriquée avec toutes sortes d'essences de bois,d'oùlenomdelafamille. Par contre, les instruments en bois où les lèvres créent la vibration, sont classés dans la famille des cuivres, voir le cornet à bouquin ou le surprenant didjeridoo australien.

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140 Trous sur les instruments de la famille des bois et fréquence de coupure Quel est l effet obtenu en ouvrant un trou? La longueur acoustique effective de l instrument change. Dans le cas où l on ouvre un simple trou, la longueur effective est d autant plus raccourciequeletrououvertestlarge.siletrououvertaundiamètreégalàlaperce,onpeut considérer que la colonne d air se termine effectivement au trou ouvert. Effet de raccourcissement de la longueur acoustique effective en fonction du diamètre du trou ouvert. Quand plusieurs trous régulièrement espacés sont ouverts en même temps, le réseau des trous agit comme un filtre qui transmet les ondes de haute fréquence mais réfléchit les ondes de basses fréquences ; les trous permettent donc aux ondes de basses fréquence de résonner, tandis que les ondes de haute fréquence s échappent du tube. La fréquence critique au-delà de laquelle les ondes ne peuvent se propager à travers le réseau de trous est appelée fréquence de coupure du réseau. C est un facteur important qui détermine le timbre des instrumentsàventdelafamilledesbois.

141 On montre que la fréquence de coupure d un réseau de trous dépend de leur taille, de leurforme,etdeleurespacement.onpeutlacalculerparlaformule(benade,1976): b c ν c = 0,11 a s( t + 1,5 b) où c est la vitesse du son, et a,b, s, t sont les paramètres géométriques (exprimés en mètres) décrivant le réseau (a est le rayon de la perce, b le rayon des trous, 2s l espacement entre deux trous consécutifs et t la hauteur du trou. Les résonances d un tuyau avec des trous ouverts varient selon la fréquence de la même manière qu un tube terminé par un pavillon : les résonances de plus haute fréquence sont atténuées par la présence du réseau de trous et disparaissent au-delà de la fréquence de coupure. Notons que les trous fermés ont aussi un effet acoustique : l augmentation du volume d air dans la colonne (grâce aux petits cylindres découpés dans le bois) réduit la vitesse moyenne du son dans le tube ; il s ensuit, pour une longueur d onde donnée pour la résonance, une diminution de la fréquence de résonance associée (en d autres mots, un tuyau avec un réseau de trous régulièrement espacés apparaît comme acoustiquement plus long qu un tuyau sans trou de la même longueur).

142 Les figures ci-dessous montrent l atténuation des résonances au voisinage de la fréquence de coupure pour un instrument percé de trous et leur quasi extinction au-delà de cette fréquence, ainsi que le léger décalage des pics de résonance vers les basses fréquences.

143 11.2 La flûte traversière présentation et spectre do4 On voit clairement sur le diagramme de Fourier que toutes les harmoniques, paires et impaires, sont présentes.

144 Description de la flûte traversière Elle est en 3 parties: -La tête qui comporte l embouche par laquelle on souffle pour obtenir un son. -Le corps avec les clés sur lesquelles on appuie pour jouer. -La patte d ut. Elle mesure environ 66 cm de longueur et 1,9 cm de diamètre.

145 Flûte traversière, production du son Un flûtiste souffle un jet d air rapide au-dessus du trou d embouchure (la vitesse est d environ 20 à 60 m/s, selon la pression dans la bouche du flûtiste). Dans la bouche du flûtiste, la pression est supérieure d environ 1 kpa à la pression atmosphérique. Le flûtiste souffle de manière continue. Le jet d air produit frappe le bord le plus éloigné du trou de l embouchure. Si le jet d air est perturbé périodiquement, son trajet varie et il peut alternativement entrer dans l embouchure ou rebondir vers le haut et s échapper : l origine de cette perturbation périodique est la vibration de l air dans le tube de la flûte, qui provoque au niveau du trou une alternance périodique de dépressions et de compressions. Selon la fréquence de la note jouée, en adaptant la pression buccale (et donc la vitesse de sortie du jet d air), on peut faire en sorte que le jet entre et sorte de l embouchure exactement en phase avec le son produit, et la flûte produit alors un son soutenu. Pour jouer un son plus aigu, il faut réduire le temps du trajet des ondes dans le jet d air, pour se mettre en phase avec la fréquence plus élevée du son à produire ; ceci peut se faire en augmentant la pression du souffle (et donc la vitesse du jet) et en avançant les lèvres pour réduire la distance que doit parcourir le jet pour frapper le bord du trou d embouchure.

146 La flûte est un tuyau sonore ouvert Laflûtepeutêtreconsidéréecommeuntubesonoreouvertauxdeuxbouts;eneffet,lasortie du tube est clairement ouverte, mais même du côté de l embouchure, bien que les lèvres de l instrumentiste couvrent une partie du trou d embouchure, une grande partie de celui-ci reste ouvert à l atmosphère. Le modèle mathématique rendant compte du spectre sonore émis par la flûte est celui d un tuyau cylindrique ouvert, avec une commande en pression(cf. annexe A4.1)

147 Lefaitque laflûteestuntubeouvertauxdeuxextrémitésimpliquequelapressiontotaleaux extrémités de l instrument doit être la pression atmosphérique, c est-à-dire que la pression acoustique doit s annuler aux extrémités de l instrument, qui sont donc des nœuds de pression (et donc des ventres de vibration). En fait, ils se trouvent non pas aux extrémités de l instrument, mais à une petite distance de celles-ci (environ 0,6 fois le rayon du tube), en raison de corrections dues au fait que le tube est quand même fermé physiquement. Dans le tube, on a donc comme monde fondamental une onde stationnaire du type suivant (où les lignes solides représentent la variation de pression et les lignes représentent le déplacement des molécules d air): La fréquence de ce mode, pour une longueur de 66 cm et une vitesse du son de 350 m/s (pourlacéléritédusondansunairchaudethumide)vaut: c 350 f1 = = = 265 Hz 2l 1,32 assez proche en effet de la fréquence du do4, le son le plus grave que peut émettre l instrument(264 Hz)

148 On peut jouer la note do4 sur une flûte avec ce doigté tous les trous bouchés), mais on peut aussi obtenir d autres notes avec le même doigté en rétrécissant l ouverture des lèvres, et donc en produisant un jet d air plus rapide : ce sont les notes correspondant aux harmoniques suivantes:

149 Autres notes sur une flûte traversière Si on débouche les trous, en commençant par le plus éloigné de l embouchure, on rapproche le dernier nœud de pression de l embouchure (un peu comme si on écourtait le tuyau de la flûte). Sur la flûte de Boehm, chaque trou ouvert abaisse la fréquence d un demi ton. Si on débouche 4 trous sur une flûte, on obtient donc le doigté du mi4, comme indiqué sur les figures(attention, ne pas confondre le doigté et les trous ouverts):

150 Certains trous peuvent servir de clés de registre sur une flûte. Par exemple, si on joue un do4 et qu on soulève le pouce de la clé de pouce, on ouvre à moitié un trou en bas de l instrument. Cela rend la fréquence fondamentale et toutes ses harmoniques impaires impossibles, sans gêner les harmoniques paires qui ont un nœud de vibration à hauteur de ce trou. La flûte saute alors à l octave supérieure (jusqu au do5) ; ceci correspondrait aux ouvertures suivantes: Mais le do5 n est pas joué selon ce doigté ; voici par contre un exemple analogue, ou le fait de lever le petit doigt de la main droite d une clé ouvre un trou de registre situé à la moitie delacolonned airpourpasserd unré4àunré5:

151 Pourobtenirdes notes plus aiguës,on peut ouvrirune clé de registre à une fraction différente delalongueurd onde;parexemple,pourobtenirleré6,onpartdudoigtédusol4etonouvre une clé de registre située à peu près au tiers de la longueur de la colonne correspondant au sol4 ; de la même manière, en ouvrant une clé de registre située à peu près au quart de la colonnecorrespondantàcesol4,onobtientunsol6:

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153 11.3 La clarinette présentation et spectre Ré entendu =mi Un exemple d instrument de la famille des bois à perce cylindrique, la clarinette On voit clairement sur le diagramme de Fourier que seules les harmoniques impaires sont présentes.

154 Description de la clarinette La clarinette en Si (mais aussi celles en La, en Ut, en Ré et Mi ) se présente sous la forme d'un long tuyau droit. La clarinette est généralement réalisée en bois noble tel que l'ébène ou le palissandre(au moins pour le corps). Les clés sont en maillechort (alliage à base de nickel) nickelé, parfois argenté, ou plus rarement doré. Pour une clarinette en Si le tableau ci-contre donne les dimensions et autres données physiques liées à l'instrument

155 Pour des raisons pratiques de fabrication et de transport, la clarinette se compose de 6 éléments principaux(de haut en bas): 1. le bec et sa ligature, 2. l'anche fixée sur la partie inférieure du bec, 3. le barillet, 4. le corps du haut (pour la main gauche), 5. le corps du bas (pour la main droite) 6. le pavillon.

156 La clarinette, production du son Le clarinettiste produit un flux d air dont la pression est environ supérieure de 3 kpa à la pression atmosphérique. Ce souffle est produit en continu. C est l anche qui produit les oscillations dans le flux de l air, en agissant comme une valve oscillante. Plus précisément, voici comment se comporte une anche simple, en fonction de la pression exercéeparleslèvres: Pour une pression faible, l anche se contente de résister (l anche se comporte comme un circuit résistant), le flux d air est proportionnel à la pression exercée et l instrument ne produitpasdeson,onn entendqu unbruitdecourantd air.lerégimedejeudel instrument correspond à la partie décroissante de la courbe : il faut donc exercer une pression minimale sur l anche pour produire un son. Mais il existe aussi une pression maximale au-delà de laquelleiln yaplusdeson,carl ancheestalorsfermée..

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158 Les diagrammes suivants expliquent pourquoi le timbre d une clarinette change selon qu on joue très doucement (piano), un peu plus fort (mezzo forte) ou carrément très fort (fortissimo). Pour un jeu piano, la relation entre la variation de pression et le flux d air est quasi linéaire, ce qui se traduit par une vibration temporelle quasi sinusoïdale et donc des harmoniques élevées assez faibles: le son est moelleux. Si l instrumentiste joue plus fort (mezzo forte), il augmente la pression moyenne mais aussi l intervalle de variation de la pression; sur cet intervalle, la relation entre la pression exercée et le flux d air produit n est plus linéaire. Ceci produit une oscillation temporelle de flux qui n est plus symétrique, et dont le spectre contient plus d harmoniques aigues. S il souffle très fort, l anche se ferme parfois au long du cycle et le flux d air passe alors par zéro. L onde résultante passe par zéro, et son spectre contient encore plus d harmoniques aigues. Le timbre devient donc plus brillant, moins moelleux.

159 piano Mezzo forte fortissimo Plus d harmoniques aigues apparaissent, le timbre est plus brillant, moins moelleux.

160 Vibration d un instrument muni d une anche simple Une zone de compression produite au niveau de l anche se propagedansletube(aetb),seréfléchitens inversantenune zone de basse pression sur l extrémité ouverte du tube, se propage en sens inverse dans le tube (c et d), aide à la fermeture de l anche ; entre e et h, le processus se répète, mais avec une zone de dépression, qui se transforme par réflexion en une zone de surpression, etc. La colonne d air d un instrument à anche simple (comme la clarinette ou le saxophone) peut donc être considérée comme un tube ouvert à une extrémité (le pavillon) et fermé à l autre extrémité (l anche), ce qui explique l absence des harmoniques impaires dans le spectre(tube fermé). Une analyse plus rigoureuse de la production du son par la clarinette est menée dans l annexe A4.3. En fait, le tuyau d une clarinette est bien ouvert, mais la présence de l anche est responsable d une commande en vitesse de la colonne d air, et les résonances d une colonne d air ouverte, commandée en vitesse sont les mêmes que celles d une colonne d air fermée, commandée en pression. Nous assimilerons par la suite la clarinette a un tuyau fermé.

161 La clarinette est analogue à un tuyau fermé La clarinette est ouverte du côté du pavillon, mais on peut considérer qu elle est fermée de l autre côté. En effet, lorsqu un son est produit, la petite ouverture entre l anche et le bec (beaucoup plus petite que la section de la perce de l instrument) est suffisante pour causer une réflexion du son vers la colonne presque comme le ferait une extrémité bouchée. Pour le reste, on peut considérer l instrument comme cylindrique. L écart le plus important est bien sûr la présence du pavillon, dont nous discuterons après.

162 Puisque la clarinette est ouverte à l air vers le pavillon, la pression totale à cet endroit doit être la pression atmosphérique, et la pression acoustique doit donc y être nulle. Par contre, du côté du bec, on aura un maximum de pression acoustique. L onde stationnaire fondamentalequipeutdoncs établirdanscetubeestdelaforme: où la ligne la plus épaisse représente la variation de la pression acoustique, et la ligne plus fine le déplacement des molécules d air. La fréquence de ce mode, pour une longueur de 66 cm et une vitesse du son de 350 m/s (pourlacéléritédusondansunairchaudethumide)vaut: c 350 f1 = = = 133Hz 4l 2,64 Du même ordre en effet que la fréquence du ré3 (noté mi3, puisque l instrument transpose), le son le plus grave que peut émettre l instrument (147 Hz), mais avec quand même une grande différence, qui va s expliquer par les effets de bord(le tube a une longueur acoustique effective plus courte que la longueur mesurée).

163 On peut jouer la note mi3 avec ce doigté, mais on peut aussi jouer d autres notes en soufflant plus fort. Ces notes correspondent à des ondes stationnaires de plus courtes longueur d onde qui peuvent s établir dans la même colonne d air, et ont donc un nœud de pression du côté du pavillon et un ventre de pression du côté du bec. Les premières sont décritesparlafigure: Ces notes sont approximativement les premières harmoniques impaires de la fréquence fondamentale.

164 Effets du pavillon et du bec sur l impédance L impédance acoustique est simplement le rapport mesuré en un point entre la pression et le flux d air. Si l impédance est haute, la variation de pression est grande et peut contrôler l anche. Pour la clarinette, les résonances de l instrument correspondent aux fréquences pour lesquelles l impédance acoustique est grande. Sur la figure ci-contre, la courbe noire correspond à l impédance d un tube cylindrique seul, et la courbe rouge correspond à l impédance d un tube muni d un pavillon. On voit que le pavillon, en allongeant le tube acoustique, décale toutes les résonances vers les plus basses fréquences. Mais on note aussi que les pics sont moins élevés. Ceci s explique par le fait que le pavillon permet aux ondes de rayonner à l extérieur de la colonne ; les ondes sont donc moins réfléchies, et les ondes stationnaires résultantes sont plus faibles. Cet effet se marque surtout pour les hautes fréquences.

165 Voyons à présent l effet du rétrécissement de la colonne lié à la présence du bec. Cette fois, les courbes d impédance avec (en noir) ou sans (en rouge) rétrécissement ne présentent pas de modification de la position des pics. Toutefois, il y a plusieurs différences entre les courbes, dues à ce rétrécissement: globalement, l impédance augmente. C est normal puisque la pression augmente dans la partie conique, qui relie une partie de petite aire àunepartiedegrandeaire. ensuite, l augmentation de l impédance n est pas qualitativement la même entres les hautes et les basses fréquences : à basse fréquences, l augmentation relative des maxima et des minima est la même tandis qu à haute fréquence, les minima augmentent beaucoup plus que les maxima. En fait, ceci n est pas très important, puisque la clarinette fonctionne au voisinage des maxima (mais cet effet serait important pour une flûte, présentant un rétrécissement). enfin, les pics deviennent asymétriques à haute fréquence : les minima se déplacent un peu vers les plus basses fréquences et les maxima se déplacent vers les plus hautes fréquences.

166 Registres et clés de registres de la clarinette Dans le premier registre de l instrument, la note entendue correspond à la première résonance. Pour une clarinette, on voit sur les courbes précédentes que le pic correspondant à cette première résonance est le plus haut (ce n est pas le cas pour les instruments à perce conique). Pour changer de registre, il faut donc atténuer la force de cette première résonance, ou décaler sa fréquence. La manière la plus simple de diminuer la force d une résonance est de produire une fuite d air à unpointdegrandepressionpourcemode. C est pourquoi, pour passer à un registre supérieur sur une clarinette, on ouvre un petit trou (par l action de la clé de registre) situé au tiersdelalongueurtotaledelacolonned air.pour obtenir le registre suraigu, on ouvre un autre trou, situé tout au-dessus de l instrument (au cinquième de sa longueur totale) ordinairement toujours occupé par le premier doigt.

167 La clarinette ayant une perce cylindrique et étant un tube sonore fermé, son deuxième registre (ou medium) commence à un intervalle d une douzième (c est-à-dire une octave et unequintejuste,d oùunrapportdefréquencede2 3/2=3)du premiersonfondamental.le premier registre (registre sourd) se nomme le chalumeau, le deuxième (registre chantant) le clairon ; le troisième registre, ou (sur)aigu, est situé une sixte au-dessus du deuxième(c est-àdireàunefréquenceégaleà(5/3) 3=5delafréquencefondamentale). Étendues des registres (en ut) entendus pour une clarinette en si Registres de la clarinettes joués pour une clarinette en si La note la plus grave du registre de chalumeau s obtient avec tous les trous bouchés. Le premier registre est parcouru en débouchant progressivement les trous. Le début du registre suivant a de nouveaux tous les trous bouchés, mais il s obtient au départ du premier registre en ouvrant un trou supplémentaire (clé d octave ou clé de quintoiement), on parcourt de nouveau ce registre en débouchant progressivement les trous.

168 Courbes d impédance pour différentes notes d une clarinette ; E 3 et B 4 ont le même doigté, mais sont dans des registres différents (action de la clé de registre). Il s agit ici de notes jouées (les notes entendues sont un ton en dessous de la note jouée).

169 11.4 les instruments à anche double (hautbois, cor anglais, basson, contrebasson) Le hautbois est de perce conique ; le tronc de cône mesure à peu près 60cm. Comme les résonances d un tube de perce conique sont séparés par une octave (rapport de fréquences de 2), les registres du hautbois sont séparés par une octave : de D4 à C5 et de D5 à C6. Des clés additionnelles permettent d étendre la tessiture de l instrument de B3 à G6. Un hautbois comporte trois corps (corps du haut, corps du milieu et pavillon), et les trois corps comportent des trous(ou des plateaux). Les hautbois de qualité ont des fréquences de coupure constantes sur tout le registre, et comprises entre 1100 et 1500 Hz pour différents instruments. Plus la fréquence de coupure est haute, plus le son de l instrument est clair. Un basson a aussi une perce conique sur une longueur totale de près de 254cm. Le tube se replie plusieurs fois sur lui-même. La tessiture du basson s étend de B1 à plus ou moins C5 (58 à 523 Hz) ; le contrebasson joue encore une octave en dessous. Les fréquencesdecoupurepourlesbassonsdequalitésesituententre350et500hz.

170 Courbes d impédance pour deux différents hautbois (courbes a-b et c-d) La courbe b montre un effetde fréquence de coupure vers 1200 Hz ; la courbe parcontre cnemontrepasdefréquencedecoupure.encomparantcetd,onvoitquel ouverturede la clé de registre affaiblit la première résonance.

171 Un exemple d instrument de la famille des bois à perce conique : le hautbois Pour le hautbois, instrument à perce conique, toutes les harmoniques(paires et impaires) sont présentes dans le spectre de Fourier.

172 Un instrument de perce conique à anche simple : le saxophone Comme le saxophone a une perce conique, son spectre présente des résonances pour des harmoniques paires et impaires. Mais comme sa conicité est beaucoup plus grande que celle du hautbois ou du basson, son timbre présente peu d harmoniques élevées. Ces registres sont séparés par une octave.

173 12 Instruments à vent de la famille des cuivres 12.1 Présentation Contrairement à ce que leur nom laisse penser, ce n'est pas la matière qui est déterminante dans cette classification (puisque le saxophone, instrument métallique, est dans la catégorie des bois), mais la similarité de technique utilisée par le sonneur pour produire le son. L instrumentiste met la colonne d air en vibration en faisant vibrer rapidement ses lèvres contre l embouchure de l instrument. Celle-ci a du côté des lèvres une forme de coupe et s effile de l autre côté. L embouchure est fixée sur un premier tuyau, dont la perce est très finement ajustée, et qui se raccorde au tube principal de l instrument. Le tube, à perce cylindrique ou conique est muni de pistons et peut donc être de longueur variable. Le pavillon constitue la sortie de l instrument, par où va rayonner l essentiel de l énergie acoustique.

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175 Quelques cuivres en chiffres

176 12.2 Production du son par les lèvres L instrumentiste insuffle de l air dans l instrument avec une surpression comprise entre quelques kpa et quelques dizaines de kpa. Les lèvres agissent alors comme une valve oscillante, et forment un oscillateur contrôlé par les résonances de l instrument pour produire une oscillation de pression et de flux. Les joueurs de cuivre peuvent produire des sons seulement avec leurs lèvres ; en fait, les lèvres possèdent une masse et une certaine élasticité et se comportent donc comme un oscillateur. La pression de l air dans la bouche (1) forcent les lèvres à s ouvrir (2) et l air s échappe de la bouche. Comme la pression dans la bouche baisse, les lèvres se referment (3) alors en raison de leur élasticité et de l effet Bernoulli (effet d aspiration produit par le mouvement de l air). Le cycle peut alors se répéter. Son produit par les lèvres seules, étirées en une sorte de sourire, en modifiant la tension des lèvres.

177 Le timbre émis par l instrument dépend de la force du son produit. L image ci-dessous montre qu en jouant doucement (surtout une note aigue), les lèvres de l instrumentiste ne bougent pas assez vite et n ont pas assez de temps pour se fermer complètement. Dans ce cas, la vibration produite est presque sinusoïdale, le fondamental est fort et les harmoniques plus élevées sont faibles. Le timbre est moelleux. Au contraire, si l instrumentiste joue plus fort, les lèvres se ferment subitement, produisant ce que les physiciens appellent un «clipping»;ce phénomèneproduitbeaucoupd harmoniquesélevés,cequirendlesonplus brillant. Le renforcement du son est aussi accentué par le fait que nos oreilles sont plus sensibles à ces hautes fréquences. Un crescendo au trombone.

178 12.3 Les cuivres sont des tuyaux fermés Instruments sans pavillon Les instruments de la famille des cuivres peuvent être considérés comme des tuyaux fermés. En effet, vers le pavillon, l extrémité est ouverte, mais du côté de l embouchure, l ouverture des lèvres a une section beaucoup plus petite que celle de la perce de l instrument, et l embouchure provoque une réflexion des ondes analogue à celle d une extrémité fermée.

179 Par exemple, si l on s intéresse au tube principal de la trompette (sans embouchure et sans pavillon), long d environ 140 cm, on observe que les résonances se produisent bien pour des fréquences correspondant à celles du tuyau cylindrique fermé, c est-à-dire aux harmoniques impaires de la fondamentale : ( ) 2n 1 c c 350 f2n 1 = n 1 f1 = = = 62,5Hz 4l 4l 5,6 Impédance d entrée d un tube de 140 cm, sans pavillon.

180 Effet du pavillon Un instrument de cuivre basé sur une seule section cylindrique ne serait guère intéressant ; en effet, les notes qu il produit seraient trop éloignées les unes des autres, etilneseraitpasassezpuissant.lefaitd ajouterunesectionévaséeetunpavillonrésout ces deux problèmes. En effet, on montre qu une section de perce conique produit un son dont la fréquence de fondamental est plus élevée et dont les harmoniques sont plus proches les unes des autres (on a à la fois les paires et les impaires) qu une section de perce cylindrique. Donc, le fait d introduire une section de tube évasée va augmenter la fréquence fondamentale de l instrument et multiplier les harmoniques. Lepavilloncontribueaussiàceteffet:commeils évaserapidement,lesondesdegrande longueur d onde(c est-à-dire les basses fréquences) ne peuvent pas suivre la courbure du pavillon et sont donc plus facilement réfléchies que les ondes plus courtes (les hautes fréquences); ceci se marque surtout pour des longueurs d onde plus grande que le rayon de courbure du pavillon. Donc, les hautes fréquences s échappent plus facilement du pavillon, comme si l instrument était plus court pour les hautes fréquences que pour les basses ; elles sont rayonnées efficacement vers l extérieur, et leur puissance ne décroît pas comme c est le cas pour les instruments de la famille des bois. Ceci contribue à la clarté du timbre des instruments de la famille des cuivres mais aussi au fait que les cuivres sont des instruments puissants, puisque nos oreilles sont plus sensibles aux hautes fréquences. Notons que si les hautes fréquences sont moins réfléchies, l onde stationnaire qui s établit dans l instrument est moins forte, ce que l on observe sur les courbes d impédance suivantes.

181 Impédance d entrée d un tube de 140 cm de long sans pavillon Impédance d entrée d un tube de 140 cm de long avec pavillon On observe l augmentation des harmoniques, mais aussi le fait que les hautes fréquences rayonnent hors du tube plus rapidement.

182 On peut entendre l effet du pavillon évasé dans les exemples sonores suivants. On entend très bien l augmentation des fréquences des trois premières résonances de l instrument et leur rapprochement. Tuyau de 110 cm, sans pavillon, sans embouchure (et donc ouvert!) : les notes entendues ont un profil d harmoniques complets et pour fréquences fondamentales si - à 234 Hz, sol à 385Hz, do # à 541 Hz. Tuyau de 110 cm, avec pavillon, sans embouchure : les notes entendues ont un profil d harmoniques complet et pour fréquences fondamentales do # à 280Hz,sol#à415Hz,réà571Hz.

183 Effet de l embouchure L embouchure a plusieurs fonctions. Tout d abord, elle permet de connecter les lèvres confortablement à un tuyau étroit. Sur le plan acoustique, l embouchure permet d abaisser la fréquence des très hautes résonances, et a donc en ce sens un effet opposé à celui du pavillon évasé. L embouchure renforce aussi certaines résonances.

184 Harmoniques émis par les cuivres Bilan : spectre des harmoniques d une trompette (les notes écritessontenut). Dans ce diagramme, à gauche, les fréquences de résonance d un tube cylindrique de 130 cm de long : la note fondamentale est un do2 (note lue, la note entendue est un si ), et les autres résonances se produisent pour les harmoniques impaires. À droite, on a ajouté une embouchure et un pavillon évasé. Les résonances montent toutes en fréquence, même si les résonances supérieures montent proportionnellement moins (effet de l embouchure). La forme de la trompette est choisie pour que la seconde et la troisième résonances aient leurs fréquences dans un rapport 2:3:4:5 etc. Elles forment donc une série harmonique complète, mais sans fondamental. La résonance la plus basse de la trompette ne fait pas partie de la suite harmonique ; de plus, elle est faible et quasi impossible à jouer. Par contre, certains instrumentistes peuvent jouer la pédale, dont la fréquence fondamentale ne correspond pas à une résonance de l instrument, et dont le spectre est formé de toutes les fréquences multiples de la fréquence fondamentale.

185 Suite des harmoniques d une trompette en ut et d un cor (sans la fondamentale) Notes entendues : Do (261 Hz), mi (334 Hz), sol (401 Hz), si -(466 Hz), do (536 Hz), ré (603 Hz), mi (665 Hz), fa # (730 Hz), sol (800 Hz), la (864 Hz), si (918 Hz), si (983 Hz), do (1044 Hz), ré (1211 Hz), ré # (1238 Hz), mi (1298 Hz), fa (1394 Hz) Suites des harmoniques sur une guitare (avec la fondamentale).

186 Impédances d entrée d une trompette moderne en si- et indications des pics de résonance pourlaproductiondesnotesnotéesdo4etsol4(entenduessi- 3 à233hzetfa)

187 Gamme chromatique La trompette, instrument de la famille des cuivres à perce cylindrique présente à la fois des harmoniques paires et impaires dans son spectre de Fourier.

188 Le tuba, un instrument de la famille des cuivres à perce conique présente toutes les harmoniques (paires et impaires) dans son spectre de Fourier.

189 13 Les instruments à percussion 13.1 Les systèmes excitateurs Une plaque frappée peut vibrer de quatre façon selon le point d'excitation: vibrations transversales(dans le sens de la largeur) vibrations perpendiculaires( dans le sens de l'épaisseur) vibrations longitudinales(dans le sens de la longueur) vibrations de torsion. Dans la réalité, ces quatre modes coexistent toujours avec des rapports d'intensité variant selon les conditions d'excitation: lepointdefixation le point d'excitation le résonateur les baguettes.

190 La classification des instruments à percussion se fait en fonction de leur mode d'excitation (on parle aussi d'ébranlement): Pilonnage: bâtons et planches(primitif) Secouement: hochets, sistres, maracas et grelots Entrechoc: cymbales et castagnettes Grattement et frottement: racles et harmonica de verres Pincement: guimbardes Frappement: gongs, cloches, caisses, xylophone, etc. La classification des instruments à percussion se fait aussi en fonction du spectre rayonné: tiges ou règles plaques : Cymbales, cloches membranes Les résonateurs C'est une caisseou un tuyau placé sous la plaque.

191 Annexe 1 : vibration transverse de la corde vibrante A1.1 Vibration libre d une corde fixée à ses extrémités A1.1.1 établissement de l équation générale des ondes Considérons une corde de longueur L et de masse linéique µ (masse par unité de longueur) fixée à ses deux extrémités et soumise à une tension T. Si S est la section de la corde et L l allongementquirésultedelatensiondelacorde,ona: T L = S. E. L où E est le module d élasticité de Young du matériau constituant la corde (E est de l ordre de Papourl acier). Nous ignorons pour le moment l interaction avec le chevalet et le phénomène important d amortissement qui en résulte. Nous ignorons aussi les autres sources d amortissement. Trois types de vibrations sont possibles pour la corde : transversales, longitudinales et en torsion. Nous n étudions que le premier type, et supposons que la vibration a lieu dans un plan Oxy. Dans ce plan, la corde a pour extrémités les points (0,0) et (0,L), et la position de la corde à l instant t est donnée par une équation y=u(x,t). Les conditions aux limites imposent: u(0, t) = u( L, t) = 0 t

192 Pour obtenir l équation régissant le mouvement de la corde, on considère, à un instant t donné, les forces qui agissent sur un petit segment de corde situé entre les abscisses x et x+dx. On note θ(x,t) l angle que fait la corde avec l axe Ox. Au point x+dx, la composante verticale de la force due à la tension est : u F( x + dx, t) = T sin θ ( x + dx, t) T tan θ ( x + dx, t) = T x ( x+ dx, t) l approximationétantvalablesi θ(x,t)estprochede0.aupointx,ontrouvedelamêmefaçon: u F( x, t) = T x ( x, t) La relation fondamentale de la dynamique permet alors d écrire, pour l accélération verticale γ: T T = µ dxγ = µ dx x x t 2 u u u 2 ( x+ dx, t) ( x, t) ( x, t)

193 En divisant par T.dx et en faisant tendre dx vers 0, le premier membre devient une dérivée parrapportàlavariablex,etonretrouvel équationdesondes: u u T = où c = x t µ c 2 2 ( x, t) ( x, t) Une corde vibrante tendue peut donc être le siège d ondes transverses circulant à la vitesse : c = T µ

194 La partie de l'image avec l'id de relation rid6 n'a pas été trouvé dans le fichier. A1.1.2 Recherche de solutions par la méthode de Fourier Nous pouvons commencer par chercher les solutions harmoniques de cette équation : 2 fit u( x, t) = ϕ( x) e π où ϕ(x) est alors solution de l équation de Helmholtz : Les solutions de l équation de Helmholtz sont de la forme : ( ) ikx ikx ϕ x = αe + βe où α et β sont des constantes arbitraires La prise en compte des conditions aux limites u(0,t)=u(l,t)=0 valables à tout instant implique que ces constantes doivent être solutions du système linéaire homogène suivant: α + β = 0 ikl ikl α e + βe = 0 ikl ikl quinepeutavoirdesolutionnonnullequesiledéterminant D = e e = 2i sin( kl) est nul, c est-à-dire si: nπ k = kn = où n est entier et n 0 L nc n T f = fn = = 2L 2l µ

195 Si tel est le cas, on a alors α=-βet ϕ(x) est proportionnelle à sin(k n x). Nous obtenons ainsi une famille d ondes stationnaires : ( ) 2 n u ( x, t) = asin k x e π n La première fréquence f 1 est appelée fondamentale ; les autres fréquences f n sont des multiples entiers de f 1 : ce sont des harmoniques. Ces fréquences sont appelées fréquences propres de la corde, et les ondes harmoniques correspondantes les modes propres de vibration de la corde. Les trois premiers modes propres sont représentés sur la figure ci-dessous. n if t

196 Plus généralement :

197 On peut démontrer que toute solution de l équation des ondes pour la corde vibrante, fixée à ses deux extrémités, s obtient par addition des modes propres. Par conséquent, la forme laplusgénéralequidécritlapositiondelacorde estlasuivante(formuledueàbernoullien 1753): + = ( ) 2 i n u( x, t) a sin k x e π n= n Les fréquences étant toutes des multiples entiers de f 1, il s ensuit que le son produit est périodiquedepériode1/f 1. n f t

198 A1.1.3 Recherche de solutions par la méthode de d Alembert Nous savons que la solution générale pour le mouvement de la corde libre fixée à ses deux extrémitésestdelaforme: u( x, t) = f ( x ct) + g( x + ct) Laconditionauxlimitesu(0,t)=0pourtouttimpliquequelesfonctionsfetgvérifient: Par conséquent : g( y) = f ( y) u( x, t) = f ( x ct) f ( x ct) La condition aux limites u(l,t)=0 pour tout t entraîne que la fonction f est périodique de période2l;eneffet,lacondition : prise en t=l/c implique : u( L, t) = f ( L ct) f ( L ct) = 0 f (0) = f ( 2 L) Écrivons f sous la forme f(z)=p(z)+q(z) où p et q sont deux fonctions 2L-périodiques respectivement paire [p(-z)=p(z)] et impaire [q(-z)=-q(z)]. C est toujours possible, il suffit de prendre p(z)=1/2(f(z)+f(-z)) et q(z)=1/2(f(z)-f(-z)). On a alors: u( x, t) = p( x ct) p( x xt) + q( x ct) q( x ct) = p( x ct) p( x + ct) + q( x ct) + q( x + ct)

199 Les conditions initiales du mouvement de la corde sont données par : u u( x,0) = u ( x) et = v ( x) 0 0 t ( x,0) Ceci implique, pour les fonctions p et q les relations suivantes : On a donc : 2 q( x) = u0( x) et -2c dp = v0( x) dx 1 1 q( x) = u0( x) et p( x) = V0 ( x) + A 2 2c où V 0 (x) est une primitive de v 0 (x) et A est une constante. Ces égalités ont lieu pour tout x compris entre 0 et L ; si l on suppose que u 0 et V 0 sont prolongées respectivement en fonctions impaire et paire vers l intervalle [ L,0], les fonctions u 0 et V 0 sont 2L-périodiques. Par conséquent, on peut décomposer la solution de l équation de propagation en: 1 1 u( x, t) = [ u0( x + ct) + u0( x ct) ] + [ V0 ( x + ct) V0 ( x ct) ] 2 2c et cette fonction est périodique par rapport à la variable t avec une période T=2L/c

200 Annexe 2 : analyse de la vibration transverse d une corde frottée par un archet A2.1 mode d entraînement de la corde par l archet Quand on frotte l archet sur une corde de violon, la corde semble vibrer latéralement entre deux courbes enveloppes, à la manière d une corde vibrant dans son mode d oscillation transverse fondamental. Mais cette apparente simplicité est vite dissipée. Une photographie à grande vitesse de la corde frottée par l archet montre que la corde reste presque droite, mais présente un point anguleux en un point. Forme de la corde à un moment du cycle

201 Le physicien Helmholtz avait compris le phénomène il y a plus de cent ans : pendant la plus grande partie de la vibration, la corde est entraînée par l archet et l accompagne dans son mouvement. Ensuite, la corde se désolidarise de l archet (phase de relaxation) et revient rapidement en arrière, jusqu à ce qu elle se solidarise à nouveau à l archet. Le mécanisme de cette relaxation est facile à comprendre. La mèche de l archet est enduite de colophane. Ce produit a une propriété particulière, qui est à la base de son utilisation empirique. On vérifie expérimentalement que la colophane, intercalée entre deux corps mobiles, a un coefficient de frottement d autant plus élevé que la vitesse de déplacement relative entre les deux corps est plus petite. Par conséquent, à petite vitesse, elle «colle», maisàgrandevitesse,elle«glisse». Posons l archet sur la corde : la mèche accroche au mieux puisque la vitesse est nulle. Commençons à tirer l archet : la corde reste collée à un point de la mèche dont elle suit le mouvement (à vitesse lente) jusqu au moment où sa force de rappel élastique dépasse la force de frottementdelacolophane(pointm 1 ). La corde décroche alors brutalement. Sa vitesse, grande au début, diminue à mesure qu on approche du point m 2 où elle s annule finalement. La mèche accroche alors de nouveau et la ramène à la vitesse lente de déplacement de l archet au point m 1 où elle décroche de nouveau, et ainsi de suite.

202 Jusqu au point où la corde se détache de l archet (a) et à nouveau entre les points c et i, la cordesedéplaceàlavitesseconstantedel archet(lavitessesevisualisecommelapentesur ce graphique). Entre a et c, la corde effectue un rapide retour jusqu à ce qu elle soit reprise par un autre point de l archet. Remarquons que le point b (milieu de la vibration) est légèrementdéplacéparrapportàlapositiondereposdelacorde.

203 Ces oscillogrammes montrent la position et la vitesse de la corde frottée au cours du temps.

204 Ces figures montrent le déplacement et la vitesse en fonction du temps d un point situé près du chevalet (a), au centre de la corde (b) ou près du nœud de vibration(le sillet). On remarque qu au centre de la corde, la vitesse est la même (au signe près) pendant les deux phases du mouvement. Quand la direction de l archet change, les courbes a et c doivent être échangées. De la même manière, la courbure de la corde ne se déplace plus dans ce cas dans le sens trigonométrique, mais dans le sens horlogique.

205 On peut comprendre le lien entre la forme en dent de scie du mouvement de la corde et l impression visuelle d oscillation en courbe de la corde autour de sa position de repos. La figure suivante montre la corde entière à des instants successifs du cycle de vibration, correspondant aux positions a jusqu à h de la figure précédente. Au moment où la corde se détache (point a), le point anguleux a juste dépassé l archet. En b, la corde est dans la phase de retour ; le point anguleux a juste atteint le chevalet, où il se réfléchit, pour revenir dans la corde, et s y déplacer, en c, d, et e, jusqu à ce qu il atteigne le nœuddevibrationdelacordeenf,oùilestdenouveauréfléchiverslacorde. Au point c, la corde est capturée par l archet et se déplace avec lui vers l avant, à la même vitesse que l archet. Sur les diagrammes de droite, on a enlevé l archet et les vitesses de la corde en différents points sont représentées par des flèches. Il est important de remarquer que le début et la fin du mouvement de glissement correspondent à l arrivée du point anguleux de la corde au niveau de l archet (le glissement commencequandlacourburearriveàl archetenvenantdusilletetseterminequandlepoint anguleux retouche l archet, en provenant cette fois du chevalet). Comme le temps nécessaire pour effectuer un tour complet dépend essentiellement de la longueur de la corde et de la vitesse des ondes (qui dépend elle de la tension de la corde et de leur masse linéique), la fréquence de vibration de la corde est indépendante des différentes manières de tirer l archet.

206

207 A2.2 équation de la corde entraînée par un archet Si l on se place dans l approche mathématique de d Alembert, pour une corde frottée par unarchet,lesconditionsinitialessontdelaforme: u α u( x,0) = u ( x) = 0 et = v ( x) = α( L x) donc V (x)=- ( L x) t ( x,0) Comme dans l exposé général de la méthode de d Alembert, on peut étendre l intervalle de définition des fonctions aux x négatifs ; en supposant que la fonction V 0 (x) doit être paire, elles étenddoncen: α 2 L x 2 V 0(x)=- ( ) pour x [-L,L] Par conséquent, la vibration de la corde est représentée par une fonction de périodicité temporelle T=2L/c, qui sur l intervalle temporel[-t/2,t/2] vaut: 1 u( x, t) = [ V0 ( x + ct) V0 ( x ct) ] 2c α 2 2 = ( L x ct ) ( L x ct ) 4c + α = 2L x ct + 2L x + ct 4xct 4c Remarque : il s agit bien d une fonction affine par morceaux par rapport à x ou t, comme le montre la dernière écriture, ce qui montre que la perturbation qui parcourt la corde est bien formée de segments de droite. 2

208 En t=0, la corde est à sa position d équilibre u(x,0)=0. Pourtfixéentret=-T/2ett=0,ontrouveenexplicitant: α 4 ct( L x) = αt( L x) si x>-ct 4c u( x, t) = α L T ( 4 x)( L + ct) = α x + t = α x + t si x<-ct 4c c 2 La vibration de la corde est donc située dans les u négatifs pour tous les points x. La corde présente deux parties rectilignes et un point anguleux. Le point anguleux correspond au point x = - ct. On vérifie sur cette expression que la vitesse des extrémités x=0etx=lesttoujoursnulle. Delamêmemanière,entret=0ett=+T/2,ontrouveenexplicitant: u( x, t) α 4 ct( L x) = αt( L x) si x>ct 4c = α L T (4 x)( L ct) = α x t = α x t si x<ct 4c c 2 Cette fois, la vibration de la corde est toujours située dans les u positifs pour tous les points x. La corde présente toujours deux parties rectilignes, et le point anguleux correspond au point x=ct. On vérifie sur cette expression que la vitesse des extrémités x=0 et x=l est toujours nulle.

209 A2.3 harmoniques produits et spectre d une corde isolée La corde vibrante en mouvement ne présente en fait pas un fuseau unique, mais une infinité de fuseaux synchronisés sur le fondamental, dont les longueurs respectives correspondent à unesubdivisionen2,3,4,etc.partieségalesdelacorde. Chacun de ces fuseaux est responsable de l émission d une harmonique, que l on peut facilement mettre en évidence en effleurant la corde sur une des subdivisions de la corde par 2, 3, 4 etc. Le contact immobilise alors partiellement la corde. Si on touche par exemple un point T 1 situé au tiers de la longueur, la hauteur du son entendu est celle d une corde qui aurait le tiers de la longueur précédente. On peut alors vérifier en plaçant un petit «cavalier» en papier au point T 2, homologue du point effleuré, que ce cavalier reste immobile. Les violonistes utilisent cette propriété pour produire les harmoniques effleurés. En réalité, le terme est impropre pour une corde réelle. À cause de la rigidité de la corde réelle, on vérifie en divisant strictement la corde en deux partieségales,celles-cinedonnentpasunsonàl octavedelacordeentière:lesonestunpeu plusélevé(etc estd autantplusmarquéquelacordeestraide).demême,endivisantlacorde en 3, on n obtient pas une douzième, mais un son un peu plus aigu. L écart augmente avec la rigidité de la corde.

210 En toute rigueur, on obtient donc, en divisant la corde réelle en 2, 3, 4 etc. non pas une série d harmoniques, mais une suite de partiels voisins des harmoniques. Une contradiction semble alors se poser : d une part, une corde frottée par un archet produit un son strictement périodique, qui ne peut résulter que de la superposition d une série d harmoniques justes ; d autre part, la décomposition de la corde en fuseaux produit des partiels non harmoniques. La solution de cette apparente contradiction est que lorsque deux corps couplés vibrent, ils s influencent l un l autre ; en particulier, si l un d eux est beaucoup plus fort, il impose son propre mouvement à l autre (phénomène de vibration forcée). Ainsi, par exemple, le partiel 3, provenant de la vibration du tiers de la corde s accommode sur le fondamental et devient effectivement son harmonique 3, lorsque toute la corde vibre. Cette accommodation s accompagnant d une perte d énergie, il s ensuit que plus une corde est raide, plus ses partiels s écartent des harmoniques du fondamental, et plus ils perdent en amplitude, lorsqu ils s alignent sur les harmoniques du son fondamental : il en résulte que le timbreestd autantpluspauvrequelacordeestplusraide.

211 Une autre remarque est liée au découpage de la corde en parties aliquotes. Si l on pose l archet,parexempleaupointt1out2,soitautiersdelalongueurtotaledelacorde,cepoint (qui correspond à un point immobile, donc à un nœud de vitesse) devient alors un ventre de vitesse (puisque le point va être déplacé par l archet). Par conséquent, l harmonique 3 ne pourra exister dans le son global de la corde. Le point d attaque joue ainsi un rôle de filtre de réjection (on rejette l harmonique correspondant au nœud considéré). On pourrait rejeter de mêmel harmonique4entouchantlacordeau¼desalongueur,etc. En réalité, le point de contact archet-corde n est ni tout à fait un nœud, ni tout à fait un ventre, mais il régit toute une région spectrale, celle sur laquelle le violoniste joue lorsqu il s approche ou s éloigne du chevalet pour modifier le timbre. L expérience montre que le timbre devient de plus en plus éclatant quand on s approche du chevalet.

212 Il existe des limites à l entraînement de la corde par l archet. Pour chaque position de l archet, il y a une force minimum et une force maximum à exercer sur l archet pour que la corde soit entraînée. Plus l archet est placé près du chevalet, moins le violoniste a de latitude entre la force minimale et la force maximale. Frotter l archet près du chevalet (sul ponticello) donne un son fort, brillant) mais demande beaucoup de force et la main stable d un instrumentiste chevronné.tirerl archetplusloindu chevalet (surlatouche ou sultasto)produitunson plus doux, et moins brillant.

213 A2.4 Spectre de la corde isolée, frottée par un archet Tout ce qui précède montre que le «spectre» d une corde isolée est une chose bien compliquée, que l on peut résumer par le schéma suivant: La vibration transversale (a) est le phénomène le plus important (c est elle qui détermine la hauteur du son). Les autres : longitudinale (b), torsionnelle (c) et l octave (d) sont en réalité d intensité bien moindre que ne le montre la figure : elles ne sont que les «épices» du fondamental, amplifiant les harmoniques de la vibration transversale. Finalement, l archet joue son rôle de réjection (e) ; en fait,il ne s agit pas d un point, mais d une bande, couvrantici les nœudsdesharmoniques9,10 et11 du transversal,quisontainsieffacésduspectrefinalde la corde isolée. Dans ce spectre (f), certains harmoniques sont gonflés, d autres atténués ou éliminés.

214 A2.5 Répartition des efforts provenant de la tension des cordes Le chevalet (CK) est soumis aux forces T1 et T2 (tension des cordes) appliquées au sommet C du chevalet. Leur résultante (f3) appuie le chevalet sur la table avec une force d autant plus grande que l angle(t1,c,t2)estpetit. Latensionde lacordeagitaussiausilletaetau cordierd.letriangledesforcesappliquéesen A montre que la tension T3 de la corde se décompose en une force f4 qui tend à soulever le manche et une force f5 qui s applique au bout de la table, en B. La même chose se produit au pointd attacheducordier,end:latableestdoncrepousséeverslehautparflambement. De même, le bas du manche F, tire sur le fond, qui tend à remonter. L âme exerce alors une poussée vers le haut, contre la table, dont les effets s ajoutent au flambement précédent.

215 Si toutes ces forces sont judicieusement organisées, le système est en équilibre statique : la poussée du chevalet vers le bas est compensée par la poussée vers le haut résultant du flambement de la table. C estlecassilesilletaestdansleplandelatable(bd)et sionacm=mh. Quand la corde AC se met à vibrer, créant des différences périodiques de force aux points de fixation de la corde, tout le système est lancé, avec le minimum de dépense d énergie. On voit comment agissent les quatre types de vibration de la corde. La vibration transversale fait vibrer le chevalet dans le sens haut-bas ; la vibration longitudinale et la vibration d octave agissent par tractions périodiques en A et D ; la vibration de torsion fait osciller le chevalet latéralement.

216 A2.6 Création du son Les vibrations de la corde seule ne produirait qu un son très faible. Le son émis par une corde isolée fixée à ses extrémités est imperceptible car la surface d air qui entre en vibration est très faible. Une corde isolée ou attachée à un corps qui n entre pas en résonance vibre donc très longtemps. Par contre, si on associe un corps sonore (une plaque) à la corde par l intermédiaire d un chevalet, ce corps sonore va attaquer une grande surface d air et le son sera alors beaucoup plus intense mais moins long. Le rôle du corps sonore va être d amplifier et de déformer de façon compliquée le spectre de la corde isolée que nous venons d étudier. La mise en vibration de la plaque(table d harmonie) est rendue possible grâce au chevalet. Ce dernier transmet les vibrations des cordes au corps sonore qui se met à vibrer et à faire vibrer l air se trouvant dans la caisse de résonance et autour du violon par l intermédiaire des ouïes. La quantité d énergie qui passe des cordes au corps par l intermédiaire du chevalet à une fréquence donnée dépend de la capacité du corps à vibrer en résonance à cette fréquence. C est donc le corps qui détermine la quantité d énergie qu il va prélever du chevalet, qui prélève à son tour cette énergie aux cordes. Pour mettre en évidence les propriétés d un corps sonore, on peut relever sa courbe de réponse. On obtient ainsi un diagramme présentant un grand nombre de pointes de résonance, fréquences qui sonnent plus ou moins longtemps. La forme de la caisse influence grandement l aspect de la courbe. Certaines fréquences seront ainsi amplifiées et d autres pratiquement supprimées.

217 La corde frottée exerce donc une force latérale sur le chevalet, que celui-ci va transmettre à la table d harmonie supérieure de la caisse de résonance. Dans le cas idéal d une corde parfaitement flexible, vibrant entre ses deux extrémités fixes, la forceexercéeàunprofiltemporelendentsdescie (ondetriangulaire),etdoncunspectre de Fourier présentant toutes les harmoniques, avec des amplitudes variant en 1/n. En pratique, le profil de la force est modifié notamment en raison de la rigidité des cordes, des propriétés mécaniques du chevalet, etc. Le mouvement de la table supérieure du violon, à l origine de l essentiel du son du violon, résulte d une interaction complexe entre la force qui met en mouvement les cordes, et les résonances diverses de la caisse de résonance du violon.

218 A2.7 courbe de réponse du corps sonore du violon et son couplage avec les cordes Comme mentionné, la courbe de réponse du violon présente un grand nombre de pics de résonances, correspondant aux vibrations propres des différentes parties de l instrument. Par exemple, si on fait vibrer le cordier en frottant dessus avec un archet, le son produit détermine effectivement une pointe de résonance à 150 Hz. On peut procéder de même pour la touche, les éclisses, le fond, le manche, etc. Le sonagramme ci-dessus représente donc la «photographie acoustique» du violon utilisé, permettant de l identifier en comparaison avec d autres instruments du même type. Le spectre de la corde va se superposer à ce diagramme pour engendrer le son résonné par l instrument.

219 Sur l exemple ci-dessus, le spectre de la corde présente un fondamental relativement intense, un harmonique 2 prédominant, des harmoniques 3, 4 et 5 plus ou moins faibles. Or, l addition des deux diagrammes (a) et (b) montre que dans le cas choisi, le fondamental de la corde, tombant en face d une énorme pointe de résonance de la courbe de réponse, est fortement amplifié (c). Il sera même prédominant, car l harmonique 2, tombé en face d un trou de la courbe de réponse, est devenu faible. L harmonique 3, par contre, est bien placé et s amplifie plusqueles4 e et5 e harmoniques.

220 Annexe 3 : analyse de la vibration transverse d une corde pincée Selon l approche de Fourier de la solution de l équation générale des ondes, quant une corde d un instrument de musique est excitée par un archet, pincée ou frappée, la vibration résultante est une combinaison des différents modes normaux de vibration de la corde (caractérisés par les fréquences pour lesquelles des ondes stationnaires, et donc le phénomène de résonance est possible). Par exemple, pour une corde pincée au centre, la vibration résultante consiste en la vibration fondamentale à laquelle s ajoutent les harmoniques impaires.

221 Comme tous les modes normaux de vibration ont des fréquences différentes, ils se déphasent rapidement et la forme de la corde change rapidement après le pincement. On peut expliquer la forme de la corde au cours de sa vibration en considérant que deux impulsions identiques se propagent dans des directions opposées à partir du point où l on a pincé la corde (le centre donc, ici). La forme de la corde à tout instant peut être obtenue en ajoutant les modes dans les proportions montrées sur la figure cicontre.

222 Si la corde est pincée en un autre point que le milieu, le son résultant n est pas constitué desmêmesmodes.parexemple,silacordeestpincéeau cinquièmedeladistanceàpartir de son extrémité, on obtient le contenu suivant (où on remarque que l harmonique numéro 5 manque dans la décomposition spectrale). De la même manière, pincer une corde au quart de sa longueur supprimerait la quatrième harmonique, etc.

223 Si l on choisit l approche de d Alembert pour analyser la vibration,, pour une corde pincée, les conditions initiales du mouvement de la corde sont typiquement une vitesse nulle et unepositioninitialedelacordedécriteparunefonctionu 0 (x)affineparmorceaux,faisant unangleàl endroitoùlacordeestpincée: u( x,0) u ( x) u t ( x,0) = 0 = a x si x [0, x 0] x0 a al x + si x [ x0, L] L x0 L x0 = v ( x) = 0 donc V ( x) = cste 0 0 où la corde est pincée en x 0 et écartée d une distance a de sa position de repos. La solution de l équation de propagation est donc de la forme : 1 u( x, t) = u0( x + ct) + u0( x ct) 2 [ ] On voitcomme annoncé qu ils agitde la somme de deux ondes se propageantdans des directions opposées à partir du point où la corde est pincée. La vibration a une période T=2L/c c est-à-dire une fréquence ν=c/2l.

224 À x fixé (un point particulier de la corde), la fonction u(t) est donc périodique de période T=2L/c. Naturellement, on peut décomposer cette vibration en une somme de fonctions harmoniques simples par la formule de Fourier : + T 2π int/ T 1 2π int/ T n T 0 u( t) = cne avec c = u( t) e dt n= et retrouver par exemple la disparition d une harmonique particulière selon l endroit où la corde est pincée.

225 Annexe 4 : Modèle mathématique général du tube sonore cylindrique Nous étudions ici le cas d un tube cylindrique de longueur L, en nous plaçant dans l hypothèseoùilestparcouruparuneondeplane,dontladirectionestl axedutubeox.la pressionacoustiquep a dansletubenedépendalorsquedexetdet.onlanoterap(x,t).la vitesse moyenne des particules d air dans le tube est toujours notée v(x,t). Embouchure Pavillon ouvert

226 Dans le modèle simplifié que nous décrivons, l excitation acoustique produite par l embouchure est donnée, et on étudie la réaction du tube à cette excitation. On peut alors distinguer deux types d excitation, ou de «commande» du phénomène acoustique: commande en pression : dans ce cas, la source des vibrations de l air consiste en une pressionp E (t)imposéeàl entrée(iciàgauchedutube):p(0,t)=p E (t) pourtoutt. Ce modèle correspond approximativement aux flûtes et aux tuyaux à bouche de l orgue (excitateur = biseau). Nous verrons que les résonances du tube se produisent aux fréquences propres correspondant à celles d une colonne d air considérée comme ouverte des deux côtés. commande en vitesse : dans ce cas, c est la vitesse de l air v E (t) qui est imposée à l entréedutube:v(0,t)=v E (t)pourtoutt. Ce modèle correspond approximativement aux instruments à anche, comme par exemple la clarinette ou les tuyaux à anche de l orgue(excitateur = anche). Les résonances du tube se produiront alors aux fréquences propres correspondant à celles d une colonne d air considérée comme ouverte d un côté et fermée de l autre.

227 A4.1 Tube cylindrique ouvert à son extrémité avec commande en pression (flûtes et tuyaux à bouche d orgue) La source des vibrations est donc ici la pression à l entrée du tube p E (t). Par ailleurs, une approximation raisonnable est de supposer que la pression acoustique est nulle à la sortie du tube(tuyau ouvert sur l air environnant). Ce n est pas tout à fait exact, les facteurs d instruments à vent en tiennent compte en diminuant en conséquence la longueur du tuyau (d environ 0,6.r si r est le rayon du tube) par rapport à la longueur d onde donnée par le modèle simplifié. L équation de propagation et les conditions aux limites pour ce problème s écrivent: 2 2 p( x, t) 2 p( x, t) c = t x p(0, t) = p ( t) p( L, t) = 0 E La source ou excitation p E (t) est supposée être périodique, de fondamental f. Elle peut doncêtredécomposéeensériedefourier: p ( t) c e π E + = n= n 2 inf t L équation de propagation et les conditions aux limites formant un système linéaire, la réponse du tube sera la somme des réponses à chacune des excitations harmoniques.

228 A4.1.1 Réponse à une excitation harmonique Considérons donc le cas d une excitation harmonique du tube, c est-à-dire: Lapressionestalorsaussiharmonique,doncdelaforme: 2i ft p( x, t) = ϕ( x) e π En reportant cette expression dans le système linéaire précédent, on trouve que ϕ(x) est solution de l équation de Helmholtz (où k=2πf/c) avec des conditions aux limites non 2 homogènes: d ϕ 2 + k ϕ( x) = 0 2 dx ϕ(0) = 1 ϕ( L) = 0 ikx La solution générale de l équation de Helmholtz est : ϕ( x) = αe + βe Les conditions aux limites imposent: 2 ift pe ( t) = e π α + β = 1 ikl ikl αe + βe = 0 Ce système linéaire d inconnues α et β a une solution unique si et seulement si le déterminant du système est non nul, c est-à-dire si: sin( kl) 0 ikx Dans ce cas, on trouve directement les solutions : ikl e α = i 2sin kl ikl e β = i 2sin kl

229 La solution de l équation de Helmholtz satisfaisant aux conditions aux limites s écrit donc: ϕ( x) ik ( L x) ik ( L x) ie ie k L x = = 2sin kl sin ( ) sin kl La pression dans le tube soumis à une excitation harmonique est donc : p( x, t) = sin k( L x) e sin kl 2iπ ft On remarque que l on obtient une onde stationnaire, comme pour les cordes vibrantes. A4.1.2 Phénomène de résonance Maintenant,quesepasse-t-ilpourlesvaleurs«interdites»oùsin(kL)=0? Pour répondre à cette question, examinons en particulier ce qui se passe à la sortie du tube en x = L, où est produit le son qui va rayonner dans l'air libre. La pression acoustique y est constamment nulle, c'est donc plutôt la vitesse que nous allons considérer. D'après les équations fondamentales, nous savons que: ρ1( x, t) v1 ( x, t) + ρ0 = 0 (équation de continuité) t x p (x,t)=c ρ ( x, t) (équation d'état) En les combinant, on peut relier directement vitesse particulaire et pression acoustique: c v ( x, t) p ( x, t) ρ = x t

230 On obtient ici, en omettant comme d habitude les indices 1 pour la perturbation : v( x, t) p( x, t) sin k( L x) c ρ = = 2iπν e x t sin kl 2 2iπ ft 0 En intégrant cette équation par rapport à x, on obtient : cos k( L x) 2iπ ft v( x, t) = e + g( t) icρ0 sin kl Pour déterminer la valeur de la constante (par rapport à x) d'intégration g(t), on utilise l'équation d'euler: v1 ( x, t) p1 ( x, t) ρ 0 = t x On en déduitque g'(t)=0,etsil'on suppose que la vitesse estdemoyenne nulle, on a g=0. Ainsi, en passant dans le domaine physique (i.e., en prenant les parties réelles), à une pression d'entrée harmonique de fréquence f: p ( ) cos 2 E t = π ft correspondra une vitesse de l air en sortie du tube: 1 v( L, t) = sin 2π ft cρ sin kl 0 qui sera d'autant plus grande que sin(kl) est proche de 0, et théoriquement infinie si sin(kl) =0,c'est-à-diresik=nπ/L.C estlephénomènederésonance. Une analyse tout à fait similaire peut d ailleurs être faite pour les autres instruments à son entretenu, comme par exemple la corde frottée par un archet.

231 En réalité, il y a un léger amortissement dû à une dissipation de l'énergie sous forme de chaleur, et cette vitesse en sortie ne sera pas infinie, mais seulement très grande. Les fréquences propres (ou fréquences de résonance) de la colonne d air associées à ces valeursdeksontdoncdonnéespar: f n nc = n 1 2L Ces fréquences produiront donc un son puissant et seront favorisées au détriment des autres (cf. figure): ce sont celles-ci qui se produiront lorsque le musicien soufflera dans l'instrument. Leur progression étant proportionnelle à la suite des entiers 1,2,3,...,n,... nous sommes en présence d un son harmonique. Vitesse en sortie d un tube de longueur 77cm en fonction de la fréquence, en prenant en compte l amortissement. Le tube entre en résonance aux fréquences où apparaissent les pics. On remarque que c'est la même formule que celle qui nous a donné les fréquences de résonance de la corde fixée aux deux extrémités(mais pas le même c, évidemment). On voit par exemple que pour qu'un tuyau d'orgue donne comme fondamental le Do grave à 32.7Hz,ilfautuntuyaudelongueurL=340/(2x32.7)=5.2m!

232 A4.1.3 Modes propres Si l'on se place dans le cas limite où sin(kl) = 0, c'est-à-dire kl = nπ, en multipliant par sin(kl) les équations donnant les expressions de la pression et de la vitesse, on obtient les fonctions: 2iπ ft p( x, t) = ± sin( n x / L) e cos( nπ x / L) v( x, t) =m e icρ qui sont encore solution de l'équation des ondes, mais plus des conditions aux limites précédentes. En particulier, la pression est nulle à l'entrée du tube alors que la vitesse y atteint son amplitude maximale. Cela fait dire à certains auteurs qu'il s'agit là d'une commande en vitesse et non en pression. Toutefois, la pression étant nulle aux deux extrémités, ce sont les modes propres d un tube ouvert aux deux extrémités. Ces modes correspondent aux fréquences pour lesquelles le problème de la commande en pression s'est trouvé être singulier. π 0 2iπ ft

233 A4.1.4 Son résultant Quel sera le son résultant pour une excitation périodique quelconque de fondamental f? p ( t) c e π E Un son puissant ne pourra se développer que si f (ou un multiple entier de f) coïncide avec l une des fréquences propres du tube. Par exemple, si f= f 1, le son résultant s(t) sera de la forme: n 1 ( nf t ) s( t) = α sin 2π + θ n + = n= 2 inf t c est-à-dire un son périodique dont la hauteur correspond à la fréquence fondamentale: c f1 = 2L où les amplitudes α n des harmoniques serontproportionnelles à la fois aux coefficients c n etàlahauteurdespicsderésonancedutube.c estleregistregravedel instrument. Si f=f 2 =2 f 1, le son verra tous ses harmoniques multipliés par deux et l instrument sonnera à l octave au-dessus. C est ce qui se passe en particulier quand on souffle plus fort dans une flûte. n 1 n

234 A4.2 Tube cylindrique fermé a son extrémité avec commande en pression (bourdons d orgue) La condition initiale est différente, c est la vitesse acoustique qui doit s annuler au bout du tube: 2 2 p( x, t) 2 p( x, t) c = t x p(0, t) = p ( t) v( L, t) = 0 Considérons donc le cas d une excitation harmonique du tube, c est-à-dire: Lapressionestalorsaussiharmonique,doncdelaforme: 2i ft E 2 ift pe ( t) = e π p( x, t) = ϕ( x) e π En reportant cette expression dans le système linéaire précédent, on trouve que ϕ(x) est solution de l équation de Helmholtz (où k=2πf/c) avec des conditions aux limites non homogènes: 2 d ϕ 2 + k ϕ( x) = 0 2 dx ϕ(0) = 1 ikx La solution générale de l équation de Helmholtz est : ϕ( x) = αe + βe ikx

235 Les conditions aux limites imposent: + = 1 α β Le lien entre vitesse particulaire et pression acoustique permet d écrire : Et par intégration : v( x, t) p( x, t) ρ x t 2 π (, ) 2 c 0 = = i fp x t 2iπ f v( x, t) = p( x, t) dx + g( t) c ρ 2 0 iπ f 2i ft ( ikx ikx ) 2 e π e e α β dx g t ρ0 2 = + + c 2iπ f ( = α β ) + 2 c ρ ik 0 2iπ ft ikx ikx e e e g t Pour déterminer la valeur de la constante (par rapport à x) d'intégration g(t), on utilise l'équation d'euler: v( x, t) p( x, t) ρ 0 = t x Onendéduitqueg'(t)=0,etsil'onsupposequelavitesseestdemoyennenulle,onag=0. ( ) ( )

236 Comme v(l,t)=0, on déduit : αe ikl β ikl e = 0 α α e Le système à résoudre est donc cette fois : + = 1 ikl β ikl βe = 0 Ce système linéaire d inconnues α et β a une solution unique si et seulement si le déterminant du système est non nul, c est-à-dire si: cos( kl) 0

237 Les valeurs de fréquences qui annulent le déterminant correspondent aux modes propres du tuyau,pourlequelilpourrarésonner;cesfréquencessonttellesque: c est-à-dire, puisque k=2π/λ=2πf/c : kl π = nπ 2 c c π c f =. k = nπ = 2n 1 2π 2π L 2 4L f n (2n 1) c = n 1 4L ( ) On remarque que la fréquence fondamentale est la moitié de celle qui caractérise les tuyaux ouverts, et que seuls les harmoniques impairs apparaissent. Dans les orgues, de tels tuyaux s'appellent des bourdons.

238 A4.3 Tube cylindrique ouvert avec commande en vitesse (clarinette) Dans les instruments à anche, comme la clarinette, c'est plutôt la vitesse de l'air à l'entrée du tube qui commande la résonance du tube. L'anche agit comme une soupape, alternativement ouverte ou partiellement fermée au passage de l'air, selon qu'elle est plus ou moins décollée du bec. A noter qu'un haut débit fourni par l'instrumentiste aura tendance à fermer l'admission d'air, au contraire de ce qui se passe au niveau des lèvres du trompettiste. Lesystèmeestdécritparleséquations: 2 2 v( x, t) 2 v( x, t) c = t x v(0, t) = v ( t) p( L, t) = 0 Pour une excitation harmonique de la vitesse d entrée: E 2i ft ve ( t) = e π lasolutionestdelaforme: où ϕ(x)obéitausystème: v( x, t) = ϕ( ) d ϕ dx ϕ(0) = 1 2i ft x e π k ϕ( x) = 0 2 dϕ dx x= L = 0

239 La condition en sortie de tube : dϕ dx x= L = 0 appelée condition de Neumann, provient de l'équation d'état (et de la condition p(l,t) = 0, quidonnenteneffet: 2 v p c ρ0 = = 0 (comme p(l,t)=0 t) x t ( L, t) ( L, t) dϕ dϕ donc c ρ e = 0 et = 0 2 2iπν t 0 dx x= L dx x= L La solution générale de l équation d Helmholtz est : ikx ϕ( x) = αe + βe et les conditions aux limites imposent maintenant : α + β = 1 ikl ikl αike βike = 0 Ce système linéaire a une solution unique si et seulement si : cos kl 0 Si tel est le cas, le calcul donne : α = β = ikl e 2cos kl ikl e 2cos kl ikx

240 Et l on obtient : cos k( L x) ϕ( x) = cos kl La vitesse dans le tube est donc : cos k( L x) v( x, t) = e cos kl 2iπν ft et à une vitesse d entrée v(0,t)=cos2πft correspond une vitesse en sortie : 1 v( L, t) = cos 2π ft cos kl Les valeurs critiques ont changé! Ce ne sont plus les fréquences telles que sin(kl) = 0 qui vont être amplifiées, mais celles pour lesquelles cos(2πfl/c) = cos(kl) = 0, autrement dit les fréquences propres: ( 2n 1) c fn = n 1 4L Nous pouvons faire alors deux observations intéressantes. La première fréquence propre est ici donnée par : f 1 = c 4L C est-à-dire la moitié de celle que nous avions observée pour la commande en pression. Sous ce régime de fonctionnement, l'instrument joue une octave en-dessous! C est le même phénomène qui se produit dans le cas d'un tube commandé en pression, fermé à l'autre extrémité(bourdons).

241 La suite des fréquences propres est donnée par f n = (2n 1)ν 1 : leur progression est maintenant proportionnelle aux entiers impairs 1,3, 5,...,2n-l,..., les harmoniques pairs ont disparu! Cette absence est justement l'un des éléments qui permettent à l'auditeur de reconnaître des instruments à anche comme la clarinette, et leur donne cette sonorité que certains qualifient de «nasillarde». Elle explique également le fait que la clarinette «quintoye» : lorsque l'on souffle plus fort, on passe directement du registre fondamental (registre de chalumeau) au registre situé une octave plus une quinte audessus (registre de clairon, dont les fréquences sont situées au triple de celles du premier registre), alors que sur une flûte, on passe seulement à l'octave supérieure (fréquence double de la fondamentale). Pour une excitation périodique complexe, on obtient en superposant les différents modes harmoniquesunsonrésultantdelaforme: n 1 (( ) 1 n ) s( t) = α cos 2n 1 π f t + θ n son périodique de hauteur f 1. Rappelons qu'une telle somme peut s'écrire indifféremment avec des sinus ou des cosinus dès lors que l'on fait apparaître les phases θ n. Les phases peuvent d'ailleurs avoir une incidence notoire sur l'allure du son. La figure suivante reproduit respectivement les deux sons: 10 1 s1 ( t) = sin 2n 1 t 2n 1 n= 1 n= 1 (( ) π ) 10 1 s2( t) = cos 2n 1 t 2n 1 (( ) π )

242 Graphiquement, la différence semble importante, et pourtant, ce sont exactement les mêmes fréquences qui sont présentes. Cependant, l'audition de ces deux signaux ne révèle que peu de différences : l'oreille semble assez peu sensible à la phase. Dans le cas de la clarinette, on peut observer l'une ou l'autre de ces deux formes (parmi d'autres intermédiaires), selon la hauteur et l'intensité de la note jouée.

243

244 A4.4 Résonance d un tube conique Une différence majeure entre la clarinette d'une part, le saxophone, le hautbois et le basson d'autre part, est que dans le premier cas la perce est cylindrique, alors que dans le second elle est conique. Là réside en grande partie la différence de timbre entre ces instruments, qui sont par ailleurs tous les trois à anche (simple ou double), et donc fonctionnant en première approximation sous un régime de commande en vitesse. Alors que les harmoniques pairs sont quasiment absents d'un son de clarinette, nous allons voirquecen'estplusdutoutlecasduhautboisetdusaxophone. On considère un tube conique tronqué (dont le prolongement aurait son sommet à l'origine),délimitéparlesextrémitésr=aetr=b,avec0<a<b,lalongueurdutubeétant L=b-a. On utilise les coordonnées sphériques avec: r = x + y + z En régime harmonique, la commande en vitesse à l entrée s écrit: r r r r 2iπ ft v( r, t) = v( r = a, t) n = e n où n r est le vecteur unitaire normal à la surface délimitant l entrée du tube (située en r=a). La pression acoustique à l'intérieur du tube est de la forme : p( r, t) ikr e e = α + β r r ikr e 2iπ ft

245 En utilisant l équation de conservation de la quantité de mouvement pour une onde acoustique: v( r, t) ρ r r 0 t ur r = p( r, t) on peut transformer la commande en vitesse imposée à l entrée et obtenir la forme : p r ( a, t) = 2iπρ ν e D autre part, la pression est toujours supposée nulle à la sortie du tube. Dans ces conditions, les conditions aux limites pour la pression donnent respectivement en r=a et enr=blesrelations: p ika ika 2 2iπ ft = 2iπρ α + β = 2 π ρ 0ν e 0 r ( a, t ) ikb ikb αe + βe = 0 p( b, t) = 0 0 2iπ ft qe qe i a f où l on a introduit la notation qpour le nombre complexe : q = ika + 1 Ce système admet une solution unique tant que son déterminant est non nul : α = qe β = αe 2iπ a 2 ilk ρ fe 0 qe ikb ikl 2iπ a ρ fe 2 2ikb = 0 ilk qe qe ikb ikl

246 La condition de déterminant non nul s écrit: c est-à-dire: qe qe ik ( a b) ik ( b a) 0 qe ikl qe ikl ( ) 0 ikl (1 ika) e (1 + ika) e ika e + e e e ikl ikl ikl ikl 2ika cos kl 2i sin kl ka cos kl sin kl ka + tan kl 0 Les fréquences de résonance du tube conique correspondent aux valeurs pour lesquelles lesnombres αet βnesontpasdéfinis,etsontdoncsolutiondel équationtranscendante: ikl 2π fl 2π fa tan + = 0 c c

247 Une résolution graphique de cette équation transcendante a pour solution (pour a<<l et n pas trop grand) donne pour le tube conique commandé en vitesse les fréquences: nc fn pour n 1 2L Cette fois, contrairement au cas cylindrique, lors d une excitation quelconque, toutes les harmoniques peuvent donc être amplifiées par le phénomène de résonance. Remarque :dans le cas d un tube conique soumis à une commande en pression, c est-àdire un tube conique pour lequel on impose les conditions de bord : p( a, t) = p( b, t) = 0 2iπ ft les fréquences de résonance sont exactement les nombres : f n e nc = pour n 1 2L

248 Annexe 5 : classification des instruments de musique

249

250 Pour une classification des instruments encore plus détaillée, consulter: Classification Hornbostel et Sachs

251 Annexe 6 : rappels d acoustique musicale Les intervalles musicaux exprimés comme des rapports de fréquences

252 Fréquences de la gamme tempérée

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