Espace : droites, plans et vecteurs

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1 ÉOMÉTRI space : droites, plans et vecteurs onnaissances nécessaires à ce chapitre Utiliser une représentation d un objet de l espace alculer des aires et des volumes Utiliser la colinéarité de deux vecteurs Maîtriser le calcul vectoriel dans le plan avec ou sans repère Résoudre des systèmes. uto-évaluation es ressources numériques pour préparer le chapitre sur 3 ans le plan muni d un repère (O ; i, j), soit (1 ; 4), ( ; 1), ( 1 ; 0, 7) et (1 ; 1). 1), et sont-ils alignés? ) Soit la droite parallèle à () passant par et M(x ; y) un point de. Montrer qu il existe un unique réel t tel que M = t. 3) éterminer les coordonnées du point tel que = 3. 1 est un cube de côté a. 1) xprimer la distance en fonction de a. ) Préciser la nature du triangle. 3) Étudier la nature du triangle. est un cube de côté a. 1) alculer le volume de ce cube. ) alculer le volume du tétraèdre. 3) n déduire le volume du polyèdre 4 Résoudre les systèmes suivants : 3x+ y = 5 1) 4x y = 3 y = 4x 3 ) 1x+ 5y = 9 x y = 3 3) 1x+ 3y = 7 Voir solutions p

2 ctivités d approche TIVITÉ 1 Voir ou revoir dans l espace... Soit S une pyramide dont la base est un carré de centre O. Soit I et J les milieux respectifs des segments [S] et [S] et K le point du segment[s] tel que SK = 1 3 S. S 1) Reproduire et compléter la figure en perspective cavalière. ) ans chacun des cas suivants, que peut-on dire des positions relatives des droites citées? a) (O) et() b) (IJ) et () c) (OK) et (S) d) (OK) et (S) 3) ans chacun des cas suivants, que peut-on dire des positions relatives des plans cités? a) (OK) et (S) b)(oij) et(s) c) (IJK) et() 4) ans chacun des cas suivants, que peut-on dire des positions relatives de la droite et du plan cités? a) (SK) et(o) b)(ij) et () c) (O) et() 5) Résumer les positions relatives possibles dans un tableau pour chacun des cas suivants : a) Pour deux droites de l espace. b) Pour deux plans de l espace. c) Pour un plan et une droite de l espace. TIVITÉ Vecteurs de l espace On étend à l espace la notion de vecteur étudiée dans le plan. Un vecteur non nul est donc défini par sa direction, son sens et sa norme et les propriétés des vecteurs du plan sont aussi étendues aux vecteurs de l espace (relation de hasles, colinéarité, propriétés algébriques). On considère la figure ci-contre où est un cube et O est le centre du carré. 1) iter trois vecteurs égaux. ) xprimer le vecteur O en fonction de et. 3) Reproduire la figure et placer le point M défini par iter un plan contenant le point M. 4) Placer le point N défini par N = iter un plan contenant le point N. 5) onjecturer une caractérisation vectorielle de l appartenance d un point à un plan défini par trois points non alignés. M = O 70 hapitre. space : droites, plans et vecteurs

3 ctivités d approche TIVITÉ 3 éfinir une droite ou un plan par un système d équations Partie : roite de l espace ans un repère (O ; i, j, k ) de l espace, on considère une droite de vecteur directeur 3 u 4 et passant par le point ( 6 ; 1 ; 5). Soit M(x ; y ; z) un point de l espace. 1) a) Écrire une relation vectorielle traduisant l appartenance du point M à la droite. b) Écrire un système que doivent vérifier les coordonnées (x ; y ; z) du point M pour que M appartienne à la droite. α ) Reprendre la première question avec de vecteur directeur u β où α, β et γ sont des γ réels non tous nuls et passant par le point (x ; y ; z ). Partie : Plan de l espace 3 ans un repère(o ; i, j, k) de l espace, on considère un plan P dirigé par les vecteurs u 4 7 et v 3 et passant par le point ( 6 ; 1 ; 5). 8 Soit M(x ; y ; z) un point de l espace. 1) a) Écrire une relation vectorielle traduisant l appartenance du point M au plan P. b) Écrire un système que doivent vérifier les coordonnées (x ; y ; z) du point M pour que M appartienne au plan P. α α ) Reprendre la première question avec P dirigé par u β et u β deux vecteurs non γ γ nuls et non colinéaires et passant par le point (x ; y ; z ). hapitre. space : droites, plans et vecteurs 71

4 ours - Méthodes 1. Positions relatives de droites et plans RPPL : 1) Un plan est défini par : trois points non alignés ou deux droites sécantes ou deux droites strictement parallèles. ) Si un plan P contient deux points distincts et de l espace, alors il contient la droite(). On note() P. d 1 d 3) Tous les résultats de géométrie plane (théorèmes de Thalès, de Pythagore...) s appliquent dans chaque plan de l espace. ans la suite du paragraphe, est un cube. d d PROPRIÉTÉS : Positions relatives de deux droites eux droites de l espace sont soit coplanaires (c est-à-dire qu il existe un plan les contenant toutes les deux), soit non coplanaires (c est-à-dire qu il n existe aucun plan les contenant toutes les deux). Si elles sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes, soit parallèles (strictement parallèles ou confondues). roites coplanaires (dans un même plan) roites non coplanaires roites sécantes roites strictement parallèles roites confondues I () et () sont sécantes en I centre de () et (I) sont confondues () et () sont strictement parallèles () et () sont non coplanaires PROPRIÉTÉS : Positions relatives de deux plans eux plans de l espace sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles. Plans sécants Plans parallèles Les plans () et () sont sécants selon la droite () Les plans () et () sont strictement parallèles Les plans () et () sont confondus 7 hapitre. space : droites, plans et vecteurs

5 ours - Méthodes PROPRIÉTÉS : Positions relatives d une droite et d un plan Une droite et un plan de l espace sont soit sécants, soit parallèles. roite et plan sécants roite et plan parallèles I La droite () est sécante en au plan () La droite () est strictement parallèle au plan () () est contenue dans le plan (). Parallélisme dans l espace PROPRIÉTÉ Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux. PROPRIÉTÉ Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. xemple d est parallèle à d 1 et d 1 est contenue dans le plan donc d est parallèle à. d d 1 PROPRIÉTÉ Si un plan contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes d un plan alors les plans et sont parallèles. xemple d 1 et d sont deux droites du plan ; d 1 et d sont sécantes et respectivement parallèles à deux droites du plan donc les plans et sont parallèles. d d 1 d d 1 hapitre. space : droites, plans et vecteurs 73

6 ours - Méthodes PROPRIÉTÉ Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles entre elles. xemple Les plans et sont parallèles et et sont sécants avec = d, donc et sont sécants et = d où d est une droite parallèle à d. PROPRIÉTÉ : Théorème du toit Soit et deux plans distincts, sécants selon une droite. Si une droite d de est strictement parallèle à une droite d de alors la droite intersection de et est parallèle à d et à d. d d PRUV Par hypothèse, = et d//d. Les droites d et d sont parallèles donc elles sont coplanaires. onc, il existe un plan Q qui contient à la fois d et d. Mais alors d et sont contenues dans et d et sont contenues dans. onc : Q = d et Q = d. Montrons que d//. Supposons que d et ne soient pas parallèles. onc elles sont sécantes en un point. d et. d et d = Q donc Q. et = donc. où Q = d. Par conséquent, d et d et par conséquent, d et d sont sécantes en. e qui est absurde, contraire à notre hypothèse. Les droites d et sont donc parallèles. e plus, comme d et d sont parallèles, on en déduit que les droites d et sont aussi parallèles. onclusion : L intersection de et est une droite parallèle à la fois à d et à d. RMRQU : Une autre démonstration de ce théorème est proposée dans l exercice hapitre. space : droites, plans et vecteurs

7 ours - Méthodes MÉTO 1 onstruire la section d un solide par un plan x. 3 p. 85 Il s agit de construire l intersection de ce plan avec chacune des faces du solide. xercice d application On considère le cube ci-contre. On note M le milieu du segment [] et N celui de[]. Tracer la section de ce cube par le plan (MN). orrection L intersection du plan (MN) avec la face est le segment [M]. Il est visible, on le trace donc en trait plein., N et sont alignés, donc l intersection du plan (MN) avec la face est le segment[]. Il est visible, on le trace donc en trait plein. Les faces et étant parallèles, l intersection du plan (MN) avec la face est le segment passant par M et parallèle à (N). Il n est pas visible, on le trace donc en pointillés. Notons P le point d intersection de (MN) et(). L intersection du plan (MN) avec la face est le segment [P]. Il est visible, on le trace donc en trait plein. La section du cube par le plan (MN) est le polygone MP colorié en rouge. omme(mp)//(), il s agit d un trapèze. M + M + P N + N + 3. Orthogonalité dans l espace ÉINITION : Orthogonalité de deux droites eux droites sont orthogonales si leurs parallèles passant par un même point sont perpendiculaires dans le plan qu elles définissent. RMRQU : eux droites perpendiculaires sont orthogonales mais la réciproque est fausse. xemple ans le cube ci-contre, ()//() et () () donc () et () sont orthogonales. On note () (). hapitre. space : droites, plans et vecteurs 75

8 ours - Méthodes ÉINITION : Orthogonalité d une droite et d un plan Une droite est orthogonale à un plan lorsqu elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. TÉORÈM Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d un plan alors elle est orthogonale à ce plan. MÉTO émontrer l orthogonalité de deux droites x. 34 p. 86 xercice d application ans le cube représenté dans l exemple précédent, démontrer que() (). orrection La droite () est perpendiculaire à () et à () qui sont deux droites sécantes du plan () donc () est orthogonale au plan () donc à toutes les droites de ce plan. n particulier, on en déduit que() (). 4. Vecteurs de l espace On étend à l espace la définition et les propriétés des vecteurs étudiées dans le plan. PROPRIÉTÉS : Vecteurs colinéaires eux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v = k u. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l espace. PROPRIÉTÉ : aractéristique et étant deux points distincts de l espace, la droite () est l ensemble des points M de l espace tels que et M soient colinéaires. On dit que est un vecteur directeur de la droite(). ÉINITION : Vecteurs coplanaires Trois vecteurs non nuls u, v et w sont coplanaires si et seulement leurs représentants de même origine ont des extrémités, et telles que,, et appartiennent à un même plan. 76 hapitre. space : droites, plans et vecteurs

9 ours - Méthodes PROPRIÉTÉ : aractéristique, et étant trois points non alignés de l espace, le plan() est l ensemble des points M de l espace tels que : M = α + β, avec α et β deux nombres réels. On dit que et dirigent le plan (). α #» β #» M PRUV, et ne sont pas alignés. Les vecteurs et n étant pas colinéaires, ( ;, ) est donc un repère du plan (). Si M appartient à (), alors M,, et étant coplanaires, il existe α et β deux nombres réels tels que M = α + β. Réciproquement, si M est un point de l espace tel que M = α+ β, avec α et β deux nombres réels, alors il existe un point N de la droite () tel que N = α. M = α+ β NM = β. M est donc un point de la droite parallèle à () passant par N. onc, comme N (), M (). PROPRIÉTÉ #» v Soit trois vecteurs non nuls u, v et w tels que u et v ne sont pas colinéaires. #» u u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels α et β tels que w = α u+ β v. α #» u #» w β #» v PRUV Soit,, et M les points de l espace tels que w = M, u = et w =. u, v et w sont coplanaires si et seulement si,, et M sont coplanaires, c est-à-dire si et seulement si il existe deux réels α et β tels que M = α+ β w = α u+ β v. hapitre. space : droites, plans et vecteurs 77

10 ours - Méthodes MÉTO 3 émontrer que quatre points sont coplanaires x. 41 p. 87 Il s agit de démontrer que trois vecteurs sont coplanaires en écrivant l un en fonction des deux autres. xercice d application Soit un tétraèdre, I le milieu de [] ; et les points définis par = et 3 = et le point tel que soit un parallélogramme. 3 1) xprimer les vecteurs I, I et I en fonction de, et. ) n déduire qu il existe deux réels α et β tels que I = α I+β I. 3) n déduire que les points I,, et sont coplanaires. orrection I 1) I = I+ = I = I+ = +. 3 I = I+ + = = = ) Il existe deux réels α et β tels que I = α I+ β I soit 3 α α β β + + = Pour obtenir cette égalité, il suffit de prendre α et β tels que : 3 = α β et 3 α = 1 et 3 β = 1, soit, α = 3 et β = 3. où I = 3 3 I+ I 3) On en déduit que les vecteurs I, I et I sont coplanaires, donc les points I,, et sont coplanaires. 5. Repérage dans l espace TÉORÈM Si O est un point de l espace et i, j et k trois vecteurs non coplanaires, alors pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet de réels (x ; y ; z) tels que : OM = x i + y j + z k. 78 hapitre. space : droites, plans et vecteurs

11 ours - Méthodes PRUV xistence Soit le plan passant par O et dirigé par les vecteurs i et j (qui ne sont pas colinéaires car i, j et k sont non coplanaires). Soit M le point d intersection de et de la droite parallèle à(o k ) passant par M. i, j et OM sont coplanaires avec i et j non colinéaires, donc il existe deux réels x et y tels que OM = x i + y j. autre part, MM et k sont colinéaires, donc il existe un réel z tel que MM = z k. où OM = OM+ MM = x i + y j + z k Unicité Supposons qu il existe deux triplets de réels (x ; y ; z) et (x ; y ; z ) tels que OM = x i + y j + z k = x i + y j + z k. On a alors (z z) k = (x x ) i +(y y ) j. omme i, j et k ne sont pas coplanaires, il n existe pas de couple de réels(α; β) tels que k = α i + β j, on en déduit que z z = 0, et par suite, que x = x, y = y et z = z. ÉINITION (x ; y ; z) est le triplet de coordonnées du point M dans le repère(o ; i, j, k). x est l abscisse de M, y est l ordonnée de M et z est la cote de M. (x; y; z) sont aussi les coordonnées du vecteur OM dans le repère(o ; i, j, k). PROPRIÉTÉS ans un repère(o ; i, j, k) de l espace, soit (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ). lors : x x y y z z et le milieu K de[] a pour coordonnées : K ( x + x ; y + y ; z + z ). Si de plus (O ; i, j, k) est orthonormé, = (x x ) +(y y ) +(z z ). PROPRIÉTÉS x x ans un repère(o ; i, j, k) de l espace, soit u y, v y deux vecteurs et k un nombre réel. z z lors : x+x kx u+ v y+y et k u ky. z+z kz Si de plus (O ; i, j, k) est orthonormé, u = x + y + z. hapitre. space : droites, plans et vecteurs 79

12 ours - Méthodes MÉTO 4 La coplanarité de points en utilisant leurs coordonnées x. 45 p. 87 Il s agit de démontrer que trois vecteurs sont coplanaires en écrivant l un des vecteurs en fonction des deux autres. xercice d application ans un repère (O ; i, j, k) de l espace, émontrer que les points (1 ; ; 0), ( 1 ; 1 ; 1), (1 ; 4 ; 1) et (3 ; 1 ; 3) sont coplanaires. orrection 1 ; 0 et et ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. = α α = 1 = α+ β 3 = α+β. β = 3 = α+ β Le système ayant un unique couple solution, les vecteurs, et sont coplanaires, donc les points,, et sont coplanaires. 6. Représentation paramétrique de droites et de plans PROPRIÉTÉ ans un repère(o ; i, j, k) de l espace, on considère la droite passant par (x ; y ; z ) et α de vecteur directeur u β. γ M(x; y; z) si et seulement si il existe un réel t tel que : x = x + tα y = y + tβ z = z + tγ PRUV M(x; y; z) si et seulement si M et u sont colinéaires, c est-à-dire qu il existe un réel t tel que M = t u. ela se traduit en terme de coordonnées par : x x = tα x = x + tα y y = tβ y = y + tβ z z = tγ z = z + tγ 80 hapitre. space : droites, plans et vecteurs

13 ours - Méthodes ÉINITION On dit que le système d équations : x = x + tα y = y + tβ où t R est une représentation paramétrique de la droite passant par z = z + tγ α (x ; y ; z ) et de vecteur directeur u β. γ RMRQU : Un exemple de cette définition est proposé dans l exercice 50. PROPRIÉTÉ ans un repère(o ; i, j, k) de l espace, le plan P passant par (x ; y ; z ) et de vecteurs α α directeurs u β et v β. γ γ M(x ; y ; z) P si et seulement si il existe deux réels t et t tels que : x = x + tα+t α y = y + tβ+t β z = z + tγ+t γ PRUV M(x ; y ; z) P si et seulement si M, u et v sont coplanaires, c est-à-dire qu il existe deux réels t et t tels que M = t u + t v. ela se traduit en terme de coordonnées par : x x = tα+t α x = x + tα+t α y y = tβ+t β y = y + tβ+t β. z z = tγ+t γ z = z + tγ+t γ ÉINITION On dit que le système d équations : x = x + tα+t α y = y + tβ+t β où t R et t R est une représentation paramétrique du plan P z = z + tγ+t γ α α passant par (x ; y ; z ) et de vecteurs directeurs u β et v β. γ γ RMRQU : Un exemple de cette définition est proposé dans l exercice 55. RMRQU : Il existe une infinité de représentations paramétriques, que ce soit pour une droite ou pour un plan. hapitre. space : droites, plans et vecteurs 81

14 ours - Méthodes MÉTO 5 Étudier des positions relatives x. 58 p. 88 xercice d application Étudier les positions relatives des droites d et d puis du plan et de la droite d. On donnera leur intersection éventuelle. Le plan a pour représentation paramétrique : x = 1 t+3t y = +t t avec t R et t R z = 3 t Les droites d et d ont pour représentation paramétrique : x = +4t d : y = 5 t avec t R et z = 1+t x = 4 t d : y = +t avec t R z = 1+3t orrection ttention : la même lettre t désigne deux paramètres différents. Il faut donc changer de lettre dans les résolutions de système pour les différencier. 3 est dirigé par les vecteurs u 1 et v d et d ont pour vecteur directeur respectif w et w 1. 3 On remarque que w = u donc d est parallèle à. Le point (; 5; 1) appartient à d. S il appartient à alors d, sinon d est strictement parallèle à. = 1 t+3t t+3t = 1 t = 5 3 Or, 5 = + t t t t = 7 t = 5 1 = 3 t t = t = Le système n ayant pas de solution, donc d est strictement parallèle à. éterminons maintenant d : M d il existe trois réels t, t et k tels que : x = 1 t+3t 4 k = 1 t+3t k+t 3t = 3 y = +t t + k = +t t k t+t = 0 z = 3 t 1+3k = 3 t 3k+t = x = 4 k x = 4 k x = 4 k y = +k y = + k y = +k z = 1+3k z = 1+3k z = 1+ 3k n finissant la résolution du système, on obtient t = 14 5 ; t = 5 1 et k = = 0,, ce qui 0 5 nous donne x = 4, ; y =, et z = 0, 4. insi, et d sont sécantes au point K(4, ;, ; 0, 4) 8 hapitre. space : droites, plans et vecteurs