1 1/ x 1 1 f '( x) 2 2

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1 Fonctions Logarithms Ercics corrigés Vrai-Fau Fsic, rcic Soit f la fonction défini par f( ), D son nsmbl d définition t C sa courb ln( ) rprésntativ a On a D = ], +[ b La courb C admt un droit asymptot n + c Pour tout D, on a : f( ) d Pour tout D, on a : f '( ) (ln ) Corrction a Fau : On doit avoir t > donc D= ],[ ], [ b Vrai : lim f( ) t lim f( ) donc y st asymptot d C c Fau : f( ) si, soit ln( ) donc quand ln( ) u' d Vrai : Rapplons qu t rmarquons qu u u ' f( ) ; nous avons donc ln / f '( ) (ln ) (ln ) Fonction ln, EPF 6 On considèr la fonction f : Montrr qu f st défini t dérivabl sur t détrminr la fonction dérivé f d f On considèr la fonction g: ln ln ln t on désign par sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormal d unités graphiqus cm a Eprimr g n fonction d f t précisr l nsmbl d définition d g b Détrminr la fonction dérivé g d g (on pourra utilisr la qustion ) c Etudir l sign d g d Détrminr ls limits d g n t Drssr l tablau ds variations d g f Construir la courb n précisant la tangnt au poiint d absciss Corrction f st un quotint d fonctions dérivabls t l dénominatur n s annul pas, ll st donc continu t dérivabl sur f ' a g f ln ln ln ln b f g ' g' f ' g g' f ' ln donc, comm f st défini sur, g st défini sur ; ln ln ln c L sign d g dépnd d clui d ln ln ln / ln + + ln + + g () + g() Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

2 ln d En g s comport comm ls trms d plus haut dgré n ln, soit ln ln ; n c st paril car ln tnd vrs, donc ncor comm limit f Tangnt au point d absciss : y Equation, Franc 4 6 points L rcic comport un ann à rndr avc la copi L but d c problèm st d étudir, pour t y élémnts distincts d l intrvall ] ; [, ls coupls y solutions d l équation y (E) t, n particulir, ls coupls constitués d ntirs ln ln y Montrr qu l équation (E) st équivalnt à y ln Soit h la fonction défini sur l intrvall ] ; [ par h ( ) La courb (C) rprésntativ d la fonction h st donné n ann ; st l absciss du maimum d la fonction h sur l intrvall ] ; [ a Rapplr la limit d la fonction h n t détrminr la limit d la fonction h n b Calculr h'( ), où h désign la fonction dérivé d h ; rtrouvr ls variations d h Détrminr ls valurs acts d t h ( ) c Détrminr l intrsction d la courb (C) avc l a ds abscisss Soit un élémnt d l intrvall ; Prouvr l istnc d un uniqu nombr rél a d l intrvall ] ; [ t d un uniqu nombr rél b d l intrvall ] ; [ tl qu h( a) h( b) Ainsi l coupl ( ab, ) st solution d (E) 4 On considèr la fonction s qui, à tout nombr rél a d l intrvall ] ; [, associ l uniqu nombr rél b d l intrvall ] ; [ tl qu h( a) h( b) (on n chrchra pas à primr sa ( ) n fonction d a) Par lctur graphiqu uniqumnt t sans justification, répondr au qustions suivants : a Qull st la limit d s quand a tnd vrs par valurs supériurs? b Qull st la limit d s quand a tnd vrs par valurs infériurs? c Détrminr ls variations d la fonction s Drssr l tablau d variations d s 5 Détrminr ls coupls d ntirs distincts solutions d (E) A rndr avc la copi Corrction Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

3 y y ln ln y (E) : y ln( ) ln( y ) yln ln y y : pour la prmièr égalité, ln st bijctiv, t y sont strictmnt positifs ; la duièm st un propriété d ln, l rst st du calcul ln ln a lim ; lim lim ln ln ln b '( ) ln h ; ln ln ; h () c h( ) ln h st continu, monoton strictmnt croissant d ] ; [ vrs h) ; il ist donc un uniqu rél a tl qu ha ( ) strictmnt décroissant d ] ; [ vrs rél b tl qu hb () ; (voir ls variations d ; d mêm h st continu, monoton ; (voir ls variations d h) ; il ist donc un uniqu (sur chacun ds intrvalls considérés h st bijctiv, mêm si ll n l st pas globalmnt) 4 s(a) = b a Quand a tnd vrs, tnd vrs, donc b tnd vrs b Quand a tnd vrs infériurmnt, tnd vrs /, donc b tnd vrs supériurmnt c Lorsqu a vari d à, b vari d à, donc s st décroissant 5 Entr t il n y a qu du ntirs : t ; pour a =, b = pour a =, b smbl valoir 4 4 Vérifions n rmplaçant dans (E) : 6, 4 6 ok!,5 y,45,4,5,,5,,5,,5 a 4 6 b 8 4 Dérivés t ln Calculr la dérivé ds fonctions suivants : f( ) ln 6 ln 5 f( ) ln ln f( ) ² Corrction ln 6 f '( ) ln 6 Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

4 f( ) ln ln( ) ln ( ) ² f '( ) ( ) ln ln f( ), ² ² ² ln ln ln ln '( ) f 4 4 ² ² ² 5 Primitivs t ln Calculr la dérivé d la fonction f défini par f( ) ln sur ] ; [ 4 a Détrminr touts ls primitivs d la fonction h défini par : h ( ) ( ² ) b Détrminr la primitiv d h qui s annul n 4 Détrminr un primitiv F d chacun ds fonctions suivants qui répond à la condition posé :,5 a f( ) t F() = cos b f( ) sin cos t F() = 4 Calculr la dérivé d la fonction défini par f( ) ln 5 Trouvr un primitiv d la fonction défini par : f( ) ² 6 a Montrr qu'un primitiv d ln st f b Détrminr la primitiv d f qui s'annul pour = Corrction u'( ) f( ) ln( u( )) f '( ) u'( )ln'( u( )) u ( ) (ln ) ( ) ( ) ( ) 6 avc u ( ) u'( ) ( )² ( )² ( )² 6 u'( ) ( )² 6 6 d où f '( ) u( ) ( )² ( )( ) u'( ) a h( ) u'( ) u( ) ( ² ) 6 ( ² ) u( ) u ( ) H( ) K K K (K rél) u( ) ( ² ) b H() K K d où ( ² ) ² 76 En déduir l'nsmbl ds primitivs F d avc u( ) t n n H ( ) ( ² ) 76 4 f( ) ln : ( ) ( ) f( ) ln u( ) avc u ( ) t u'( ) ; ( )² ( )² ( )² u'( ) ( )² f '( ) u( ) ( )² ( )( ) ( )( ) ² 5 f( ) Soit u() = ² +, on a : u'() = + = ( + ) t ² Fonction logarithm rcics corrigés 4 A TOUATI touatiamin@yahoofr

5 ( ) u'( ) f( ) u'( ) u ( ) ² ( ² ) u ( ) '( ) n u u ( ) qui st d la form avc n =, ou n = Ls primitivs d tlls fonctions sont d la form : n u ( ) ( ² ) F ( ) n 4 ( ² ) (+ constant ) (ln ) ln 6 a Dérivons u ( ), u'( ) ln donc u st bin un primitiv d ln Touts ls primitivs sont alors d la form u()+k (ln ) b u() K K u() 6 Calcul d limits cos( ² ) Soit f( ) ; calculr lim f( ) f( ) ln ; calculr lim f( ) 5 ² f( ) ln ; calculr lim f( ) ln 4 lim 5 lim ln Corrction cos( ² ) f( ) cos( ² ) ( ) () lim f f lim f '() avc f() cos( ) cos( ) On calcul donc f '( ) sin( ² ) d'où f '() sin( ) sin lim lim ln ln 5 5 ² lim ln lim ln( ² ) ln lim ln( ² ) lim ln ² ln ² ², ln ln or lim ln ln t lim (ln ² ) lim (ln ) lim car lim ² ln ln ln 4 lim lim lim car lim t lim ln ln( X) 5 lim ln lim lim d après l cours X X 7 Résolution (in)équations Résoudr l équation : ln( ) ln( 6) ln Résoudr l inéquation : ln ln y Résoudr dans l systèm : y 4 Résoudr l inéquation : ln( ) ln( ) ln ln( ) 5 Résoudr : + ln( + ) = ln(² + ) 6 Résoudr : ln(² 4²) < + ln() Corrction Fonction logarithm rcics corrigés 5 A TOUATI touatiamin@yahoofr

6 7 7 Domain d définition : D ; ;, par aillurs 6 > si t sulmnt 7 si > On a donc Df D ] ; [ ; car 7,56 Pour la résolution : ln a = ln b équivaut à a = b donc, l équation dvint : 5 4 d où ls solutions t 4 ; mais sul 4 st valabl Domain d définition : il faut qu >, soit D f = ] ; [ Fonction logarithm rcics corrigés 6 A TOUATI touatiamin@yahoofr 6 ou ncor ln ln ln ln ln ln( ) ln ln ln ln On t finalmnt S ; ln ln ln ln y y y y Ls du solutions sont positivs donc c st y yy ² y bon,,,, ; ln ln put simplifir un pu : 4 Attntion à l nsmbl d définition : On a alors ln ln ( )( ) ( )( ) L numératur t l dénominatur sont positifs sur ] ; [, la solution st donc l intrvall ] ; [ 5 + ln( + ) = ln(² + ) : il faut qu > t qu ² + = ( )( + ) > (à l tériur ds racins) donc D = ] ; [ + ln( + ) = ln(² + ) ln + ln( + ) = ln(² + ) ln ( + ) = ln(² + ) ( + ) = ² + ln st un bijction : ² + ( ) ( + ) =, = ( )² + ( + ) = ² + + = ² = ( + 4)² ( ) ( 4), = D ou = + D S = { + } 6 ln(² 4²) < + ln() Il faut qu ² 4² > t qu > i > t ² > 4² c'st-à-dir ( > ) t ( > ou < ) D = ] ; [ ln(² 4²) < + ln() ln(² 4²) < ln + ln() ln(² 4²) < ln() ² 4² < (E) ² 4² < 5 = 9² + 6² = 5² = (5)², ; (E) < < 4 S = ] ; 4[ 8 Avc ROC La fonction g st défini sur ] ; [ par g( ) ln 6 En utilisant ls variations d g, détrminr son sign suivant ls valurs d La fonction numériqu f st défini sur ],+[ par ln f( ) a Démonstration d cours : au choi ln - démontrr qu lim t n déduir qu lim ou bin ln - démontrr qu lim t n déduir qu lim b Détrminr ls limits d f n t + (n +, on pourra posr X ) c Utilisr la prmièr parti pour détrminr l sns d variation d f Soit la droit d'équation y = t C la rprésntation graphiqu d f dans un rpèr orthonormé du plan Montrr qu st asymptot d C t étudir lurs positions rlativs construir C t Corrction 4 g'( ) On a alors 4 ( ) car st positif

7 Conclusion g st décroissant avant, croissant après ; on a un minimum n qui vaut g()=++6=8 t st positif Finalmnt g() st toujours positiv ln f( ) a No commnt ln ln ln X ln X b Comm lim, si on pos X, cla nous donn lim lim lim X X X X En, ln tnd vrs t tnd vrs donc ln tnd vrs ainsi qu f ( ln ) ln ln 6 ln ( ) c '( ) g f Donc f st du sign d g t donc toujours positiv, f st donc croissant ln On a f( ) ( ) qui tnd vrs à l infini t qui st positif (C au-dssus d ) lorsqu >, négatif lorsqu < (C n dssous d ) 5 y Dérivation t ncadrmnt L plan P st muni d un rpèr orthonormé ( O ; i, j ) (unité graphiqu cm) -5 On considèr la fonction défini sur [, [ par : Montrr qu f st continu n ln( ) f( ) si f() a Etudir l sns d variation d la fonction g défini sur [, [ par Calculr g() t n déduir qu sur + : ln( ) b Par un étud analogu, montrr qu si, alors ln( ) ln( ) c Établir qu pour tout strictmnt positif on a En déduir qu f st dérivabl n zéro t qu f '() a Soit h la fonction défini sur [, [ par h( ) ln( ) g( ) ln( ) Fonction logarithm rcics corrigés 7 A TOUATI touatiamin@yahoofr

8 Étudir son sns d variation t n déduir l sign d h sur [, [ h ( ) b Montrr qu sur [, [, f '( ) c Drssr l tablau d variation d f n précisant la limit d f n + d On désign par C la rprésntation graphiqu d f Construir la tangnt T à C au point d'absciss Montrr qu C admt un asymptot Tracr la courb C Corrction ln( ) f( ) si ; f st continu n ssi lim f( ) f(), or l cours donn justmnt la limit f() ln( ) lim a g'( ) Donc g st décroissant t comm g()=, on a égalmnt g ( ), soit b On prnd k ( ), soit ln( ) k( ) ln( ) k'( ) ln( ) t k() donc c ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) f( ) f() ln( ) f dérivabl n zéro : on calcul lim lim lim ; or l résultat précédnt montr qu ctt limit st précisémnt qui st donc f () a h( ) ln( ), h'( ) ; on a h() t h décroissant ( ) ( ) ( ) donc h ( ) ln( ) ( ) b '( ) h f ln( ) ln c lim f( ) lim lim, y,8,6,4, Fonction+équation, Am Nord 6/8, 6 pts Fonction logarithm rcics corrigés 8 A TOUATI touatiamin@yahoofr

9 Soit f la fonction défini sur l intrvall ; par f ln ln On nomm (C) la courb rprésntativ d f t ( ) la courb d équation orthogonal ( O ; i, j ) Étudir ls variations d la fonction f t précisr ls limits n t n a Détrminr lim f ln Intrprétr graphiqumnt ctt limit y ln dans un rpèr b Précisr ls positions rlativs d (C ) t d ( ) On s propos d chrchr ls tangnts à la courb (C ) passant par l point O ; Démontrr qu la tangnt T a à (C) au point a Soit a un rél appartnant à l intrvall d absciss a pass par l origin du rpèr si t sulmnt si f a af a Soit g la fonction défini sur l intrvall ; par g f f ' ' b Montrr qu sur ;, ls équations g t solutions c Après avoir étudié ls variations d la fonction u défini sur par fonction u s annul un fois t un sul sur ln ln ln ont ls mêms u t t t t, montrr qu la d En déduir l istnc d un tangnt uniqu à la courb (C) passant par l point O La courb (C) t la courb ( ) sont donnés ci-dssus Tracr ctt tangnt l plus précisémnt possibl sur ctt figur f m d inconnu 4 On considèr un rél m t l équation Par lctur graphiqu t sans justification, donnr, suivant ls valurs du rél m, l nombr d solutions d ctt équation appartnant à l intrvall ] ; ] Corrction On a f u, avc u ln, dérivabl t qui n s annul pas sur ; Donc f st dérivabl sur u ; n tant qu différnc d du fonctions dérivabls sur u u f u u u u u u Comm, lim ln d où lim avc u Donc f ; ln ln t, c st-à-dir f f st strictmnt croissant sur ln, donc lim f ln (par somm ds limits) ; Fonction logarithm rcics corrigés 9 A TOUATI touatiamin@yahoofr

10 lim ln d où a lim ln, donc lim f (par somm ds limits) lim f ln lim ln Ls courbs C t sont asymptots n f ln ; or, pour, ln ; donc f ln, C st n dssous d ln y f a a f a f a f a af a ; T a pass par l origin du b a T a a pour équation rpèr si f ' a f a af a f a af a b g équivaut à f f ; or f ln f ln, soit : ln t ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Par conséqunt ls équations g t ln ln ln ont ls mêms solutions c u t t t t t u t pour t appartnant à ; ; t u t pour t appartnant à t ; u + + u 7 Avant l maimum d u st négatif ; après, u pass d à, on n déduit qu la fonction u s annul un sul fois sur d T a pass par l origin du rpèr si ln ln ln, c st-à-dir si qustion c prouv qu ctt équation n admt qu un solution, qu l on notra a, sur u ln Or la À l aid d la calculatric, on trouv a 6,9 : il n ist qu un sul tangnt à (C) passant par l origin du rpèr f m rvint à chrchr l intrsction ntr (C) t ls droits 4 Par lctur graphiqu : résoudr passant par l origin t d pnt m ; on a donc pour t - si m m l équation f m - si m,87 m f a, l équation - si l équation f m m f a admt un sul solution ; f m : f m admt du solutions ; n admt aucun solution Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

11 Ln t p+intégral Polynési 9/8 6 pts On considèr la fonction f défini sur par ln f La courb (C) rprésntativ d la fonction f dans un rpèr orthogonal st donné ci-dssous Parti A - Étud d la fonction f Montrr qu, pour tout rél, f ln Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

12 On admt qu, pour tout rél, f ln Calculr lim f t montrr qu la droit (d) d'équation y = st asymptot à (C) Étudir la position rlativ d (C) t d (d) lim f t montrr qu la droit (d ) d'équation y ln st asymptot à (C) Calculr 4 Étudir ls variations d la fonction f Montrr qu l minimum d la fonction f st égal à ln 5 Tracr ls droits (d) t (d ) sur la figur Parti B - Encadrmnt d'un intégral On pos I f d Donnr un intrprétation géométriqu d I ; ln X X Montrr qu, pour tout X, En déduir qu I d t donnr un ncadrmnt d I d'amplitud, Corrction Parti A f ln ln ln ln ln Rmarqu : si on mt n factur à la plac d, on a f ln lim f lim ln ln ; lim f lim ln ln : la droit (d) d'équation y = st asymptot à (C) lim f lim ln ln ; lim f lim ln ln lim f ln : la droit (d ) y ln st asymptot à (C) 4 f ' ; f ' ln ln ln ln ln / / ln f ln ln ln ln Parti B - Encadrmnt d'un intégral I rprésnt l air compris ntr (C), la droit (y=), ls droits = t = ln X X ln car ln ln / / / / Par aillurs on a f I 6 4 ln,5 ;, st un I f d d d stimation d I d'amplitud, Somms partills séri harmoniqu, N Calédoni 7 7 points kn Soit (u n) la suit défini sur * par un k n n n PARTIE A Montrr qu pour tout n d *, u n kn u n n n n n En déduir l sns d variation d la suit (u n) Établir alors qu (u n) st un suit convrgnt L objctif d la parti B st d détrminr la valur d la limit d la suit (u n) PARTIE B Soit f la fonction défini sur l intrvall ] ; [ par : f ln a Justifir pour tout ntir naturl n non nul l ncadrmnt : n d n n n Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

13 n n n b Vérifir qu d f n c En déduir qu pour tout ntir naturl n non nul, f n On considèr la suit (S n) défini sur * par S n kn n n k k n n n n n n kn a Montrr qu pour tout ntir naturl n non nul, f n f n f n Sn b Détrminr ls réls a t b tls qu pour tout rél distinct d t d, on ait a b n c En déduir l égalité Sn n n d En utilisant ls qustions précédnts, détrminr alors la limit quand n tnd vrs d kn f k f n f n f n kn Vérifir qu pour tout ntir n >, f n f n f n u n ln n f Détrminr la limit d la suit (u n) Corrction kn un k n n n kn PARTIE A un un d où n n n n n n n n n n n un un n n n La suit (u n) st décroissant puisqu n La suit st positiv puisqu somm d trms positifs ; ll st décroissant t minoré, ll convrg bin PARTIE B n a n n d n n n n n n n d ln ln n ln n ln n ; n n b n n ln ln a b car ln ln n n n n n b a n c Comm d, on a : n n n par aillurs f n f n f n f n n n n n n n n n n a Comm f n, n n n f n,, n n f n, n n on somm touts cs inégalités t on obtint : f n f n f n S n n n n n n n Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

14 b On a déjà l résultat au c : c On rmplac donc dans n n n n S n kn car k k n n n n n n n n kn tous ls trms intrmédiairs s éliminnt ; S d n u n n n n n n n n n n S tnd vrs n ; grâc au «gndarms» f n f n f n n kn ; k n n n kn tnd égalmnt vrs n n n f n f n f n ln ln ln n n n n n n n n n ln n n n n n n n n un ln un ln un ln n n n Ls logarithms s simplifint car tous ls trms du produit à l intériur du crocht s éliminnt f On sait déjà qu f n f n f n tnd vrs ; l logarithm tnd vrs ln donc u n tnd vrs ln Fonction+air+suit, Liban 6 7 points Parti A : étud d un fonction Soit f la fonction défini sur l intrvall ; par f() = ln( +) Sa courb rprésntativ (C) dans un rpèr orthogonal ( O ; u, v ) st donné ci-dssous a Montrr qu la fonction f st strictmnt croissant sur l intrvall ; b L a ds abscisss st-il tangnt à la courb (C) au point O? On pos I d c a Détrminr trois réls a, b t c tls qu, pour tout, a b b Calculr I À l aid d un intégration par partis t du résultat obtnu à la qustion, calculr, n unités d airs, l air A d la parti du plan limité par la courb (C) t ls droits d équations =, = t y = 4 Montrr qu l équation f() =,5 admt un sul solution sur l intrvall [ ; ] On not ctt solution Donnr un ncadrmnt d d amplitud Parti B : étud d un suit Fonction logarithm rcics corrigés 4 A TOUATI touatiamin@yahoofr

15 n La suit (u n) st défini sur par ln u d n Détrminr l sns d variation d la suit (u n) La suit (u n) convrg-t-ll? ln Démontrr qu pour tout ntir naturl n non nul, u n En déduir la limit d la suit (u n) n Corrction Parti A : étud d un fonction Soit f la fonction défini sur l intrvall ; par f() = ln( +) a f ' ln ; sur ; ls du trms ln t sont positifs donc f st croissant sur ct intrvall y ln donc l a ds abscisss st tangnt à (C) b La tangnt n O a pour équation au point O a b ln ln I d d ln d ln d ln I 4 4 La fonction f st continu, monoton strictmnt croissant t donc bijctiv d f vrs f ln,69 ; comm,5 ; ln,,5 a un uniqu antécédnt dans [ ; ] On obtint d où, 56 Parti B : étud d un suit f(),5694,4999,565445,54558 n n ; comm n n n ln ln ln u u d d d Fonction logarithm rcics corrigés 5 A TOUATI touatiamin@yahoofr st négatif t qu ls autrs trms sont posititfs sur [ ; ], l intégral st négativ t (u n) st décroissant Par aillurs il st évidnt qu (u n) st positiv donc (u n) décroissant, minoré par convrg On a ln ln sur [ ; ] donc n n ln ln n ln ln n n n u d d ln On a donc bin u n Comm ln tnd vrs à l infini, la suit convrg vrs n n 4 Logarithm+ po+ acc finis Parti A L but d ctt parti st d'étudir la fonction f défini sur ] ; [ par ln f( ) (C) st la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal (O ; i, j ) (unité graphiqu : cm) Étud d la fonction auiliair g défini sur ] ; [ par g( ) ln a Étudir l sns d variation d g t calculr g() b En déduir l sign d g() pour tout d ] ; [ a Calculr ls limits d f n t n b Étudir ls variations d f t drssr son tablau d variations c Montrr qu la droit d'équation y = st asymptot à (C) t étudir la position d (C) par rapport à d Détrminr ls coordonnés du point A d (C) sachant qu (C) admt n A un tangnt T parallèl à Tracr (C), t T dans l rpèr (O ; i, j ) Calculr, n cm, l'air du domain plan limité par, la courb (C) t ls droits d'équations = t = 4 Montrr qu l'équation f() = admt un solution uniqu Prouvr qu Parti B L but d ctt parti st d détrminr un valur approché d

16 On désign par h la fonction défini sur ] ; [ par h( ) Montrr qu st l'uniqu solution d l'équation h() = On not I l'intrvall ; Montrr qu, pour tout appartnant à I, h() appartint aussi à I a Calculr la dérivé h d h t la dérivé scond h'' d h b Étudir ls variations d h sur I c En déduir qu, pour tout d I, on a h'( ) 4 On considèr la suit défini par u = t u n + = h(u n) pour tout ntir naturl n d a Montrr par récurrnc qu, pour tout n d : u n b En utilisant l'inégalité ds accroissmnts finis, montrr qu, pour tout n d : / n n u u c En déduir qu, pour tout n d : u n 5 a Détrminr l plus ptit ntir naturl n tl qu, pour tout ntir n n, on ait : b Montrr qu : u n Qu rprésnt n u n rlativmnt à? Calculr défaut Corrction Parti A ( ² ) a g'( ) ( )( ) + g () + + g() n u n à près par g() = ² + = b st un minimum d la fonction g sur ] ; [ donc la fonction g st positiv qul qu soit ln ln ln a lim f( ) lim ( ) lim lim car ln lim lim X lim ( Xln X) X X X ln ln ln lim f( ) lim ( ) lim lim car lim ln ² ln g ( ) b f '( ) du sign d g(), c st à dir positif! ² ² ² f st donc strictmnt croissant sur ] ; [ + f () + + f () ln c lim ( f( ) ) lim, donc la droit d équation y = st asymptot à la courb Lorsqu < la courb st n dssous d, lorsqu >, la courb st au-dssus d (C) admt n A un tangnt d cofficint dirctur ssi f '( A) : g ( A) f '( A) A ² ln A A ² ln A ln A ln A A ; ² A ln f( A) f( ),45 Fonction logarithm rcics corrigés 6 A TOUATI touatiamin@yahoofr

17 y y Il faut calculr form ln ( f( ) ) d d ; or u' u dont un primitiv st Fonction logarithm rcics corrigés 7 A TOUATI touatiamin@yahoofr st la dérivé d ln, donc on a qulqu chos d la u : f d d ln ( ( ) ) (ln ) 4 La fonction f st continu, strictmnt croissant, sur ] ; [, c st donc un bijction d ] ; [ sur Il ist bin un valur appartnant à ] ; [ tll qu f( ) = ln f ln 4ln t f() donc 5 Logarithm+primitiv L'objt d c problèm st d'étudir un fonction à l'aid d'un fonction auiliair t d n détrminr un primitiv Parti A Soit f la fonction défini sur l'intrvall ] ; [ par : f( ) ln( ) Calculr f (), étudir son sign t n déduir l tablau d variation d la fonction f Calculr f() Montrr qu l'équation f() = admt actmnt du solutions dont l'un, qu l'on désign par, appartint à [,7 ;,7] Donnr l sign d f(), pour appartnant à ] ; [ Parti B ln( ) Soit g la fonction défini sur l'nsmbl D = ] ; [ ] ; [ par : g ( ) ² Étud d g au borns d son nsmbl d définition a Calculr ls limits d g() quand tnd vrs par valurs infériurs t quand tnd vrs par valurs supériurs

18 b Calculr lim g ( ) t lim g ( ) Sns d variation d g a Calculr g () t déduir, à l'aid d la parti A, son sign b Montrr qu g( ) En déduir un valur approché d g( ) n prnant,75 ( ) Tablau t rprésntation graphiqu d g a Drssr l tablau d variation d la fonction g b Rprésntr graphiqumnt la fonction g dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal (unité graphiqu cm) 4 Calcul d un primitiv d g : ln( ) Soit h la fonction défini sur D par : h ( ) ² ( ) a Détrminr ds fonctions u t v tlls qu l on puiss écrir h( ) u'( ) v( ) u( ) v'( ) t n déduir un primitiv d h b Après avoir vérifié qu ( ), détrminr un primitiv d ( ) c Déduir ds qustions précédnts, un primitiv d g Corrction Parti A f( ) ln( ), D f = ] ; [ f st dérivabl comm somm d fonctions dérivabls : n fft, u: st dérivabl sur Df t v: y ln y st dérivabl sur D f ( ) f '( ) ( )² ( )² ( )² f '( ) f () + f(-/) f() ( )ln( ) lim f( ) lim car lim Xln X X lim ln( ) car lim t lim ln( ) / f( / ) ln ln, 9, f() = / f st continu t strictmnt croissant sur l intrvall ] ; /[ t f() chang d sign sur ct intrvall ; il ist donc un nombr d ] ; /[ tl qu f( ) f(,7),7 t f(,7),5 donc,7,7 Sign d f() : f() + Parti B ln( ) g ( ), D = ] ; [ ] ; [ ² ln( ) ln( ) a lim g ( ) lim car lim t lim D mêm b ln( ) lim g ( ) lim lim g ( ) t ln( ) lim g ( ) lim car ( ) ² ln X lim t X X lim ² Fonction logarithm rcics corrigés 8 A TOUATI touatiamin@yahoofr

19 ² ln( ) ln( ) ( ) a '( ) f g 4 f() + + g () + ln( ) b g( ) ; or on sait qu f( ) donc ln( ) ln( ) ² ( ) On déduit qu ln( ) g( ),455 ² ( ) ² ( ) g () + g() y 4 a ln( ) h ( ) ² ( ) u ln( ), u', v', v h uv' u' v ² ln( ) La fonction uv st un primitiv d h b ( ) donc la fonction ln( ) ln( ) st un primitiv d ( ) ( ) ln( ) c Un primitiv d la fonction g( ) h( ) st ² ( ) 6 Logarithm On considèr la fonction f défini sur l'intrvall [ ; [ par : Fonction logarithm rcics corrigés 9 A TOUATI touatiamin@yahoofr ( ) ln( ) ln ln( ) f( ) ln ² si t f () On not (C ) la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal O ;, i j (unité graphiqu : 5 cm) L but du problèm st d'étudir crtains propriétés d la fonction f Parti A : Etud d'un fonction auiliair On considèr la fonction g défini sur l'intrvall ] ; [ par : g ( ) ln ² ²

20 ( ² ) Calculr la dérivé g ' d g Montrr qu pour tout d ] ; [, g'( ) ( ² )² Etudir l sign d g'() slon ls valurs d Détrminr la limit d g n Détrminr la limit d g n Drssr l tablau ds variations d g 4 En déduir qu'il ist un uniqu nombr rél tl qu g( ) Vérifir qu,5,6 Déduir ds qustions précédnts l sign d g() sur l'intrvall ] ; [ On n dmand pas d construir la courb rprésntativ d la fonction g Parti B : Etud d la fonction f a Calculr la limit quand tnd vrs d f( ) (on pourra posr X ² ) b En déduir qu f() tnd vrs quand tnd vrs + Montrr qu pour tout d ] ; + [, on a f ( ) g( ) Drssr l tablau d variations d f sur ] ; [ Etud d f n a Montrr qu ln tnd vrs quand tnd vrs par valurs supriurs Qu put-on n ² conclur? b Etudir la dérivabilité d f n c Précisr la tangnt à la courb d f au point O Donnr l équation d la tangnt au point d absciss 4 Donnr l allur d (C) Corrction a g st dérivabl comm somm d fonctions dérivabls En fft, ln st dérivabl comm ² composé d fonctions dérivabls, d mêm qu ² ² 4 ² ( ² ) '( ) g ² ² ² ² ² ² ² ² ² * b L sign d g'() st clui d ( )( ) Comm g' st défini sur, on a : si < <, g'() st négatif ; si >, g'() st positif lim g ( ) lim ln lim ; lim donc lim ln ln t lim ² ² ² ² ² donc lim g ( ) lim g ( ) lim ln lim ; ² ² lim donc lim ln lim ln X ² ² X X ² t lim donc lim g ( ) ² 4 a g'() + g(), g() ln( ) ln, ² ² 4 b La fonction st continu t dérivabl sur ] ; ], d plus ll st strictmnt décroissant sur ct intrvall n changant d sign, donc il ist un valur tll qu g( ) On a g(, 5),948 t g(,6),445 donc g(,5) g( ) g(,6) t comm g st décroissant,,5 < <,6 5 Pour < <, alors g() st positif ; pour > alors g() st négatif Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr avc

21 ln ln( ) a lim ( ) lim ² ln lim X f lim (cours) X X ² b lim f( ) lim f( ) lim 4 f( ) ln( ), f '( ) ln( ) ln( ) ln( ) g( ) ² ² ² ² ² ² ² ² f '() + f() f( ) ² ² ² a lim ln lim ln lim ln( ² ) ln ² lim ln( ² ) car lim ln( ² ) ln ln ln ln ln lim ln ² lim lim lim X lim avc X X Conclusion : lim ln ² b f dérivabl n si t sulmnt si la limit d son tau d'accroissmnt st fini f( ) f() f( ) lim lim lim ln ² La fonction n'st donc pas dérivabl n, X c La tangnt n O à f st vrtical Son équation st = 4 La tangnt au point d'absciss a pour équation y f '()( ) f() : f '() g() ln d où y (ln )( ) ln y (ln ) 5 f() ln( ) ln, ² Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

22 Rmarqu : On a vu dans la parti A qu g'() =, or g'() = f "(), c'st-à-dir la dérivé scond d f n : la courb admt un point d'inflion pour = 7 Logarithm+ asymptot+primitivs Soit la fonction défini sur l'intrvall I = ]4 ; [ par : f( ) 5 ln t (C) sa courb 4 rprésntativ dans l rpèr orthonormal (O ; i, j ), unité graphiqu : cm Étud d f a Étudir ls limits d la fonction f au borns d I b Montrr qu sur I, f () st strictmnt négatif t drssr l tablau d variation d f c Montrr qu la droit (D) d'équation y = + 5 st un asymptot à (C) Précisr la position d (C) par rapport à (D) Tracr la courb (C) t la droit (D) dans l rpèr (O ; i, j ) 9 Détrminr ls coordonnés du point d (C) où la tangnt a un cofficint dirctur égal à Donnr un équation d t la tracr dans l rpèr (O ; i, j ) 4 Calcul d'air a Détrminr, à l'aid d'un intégration par partis, ls primitivs sur ] ; [ d la fonction ln b Montrr qu la fonction G : ( + ) ln ( + ) st un primitiv d la fonction g : ln ( + ) sur I c Montrr qu la fonction H : ( 4) ln ( 4) st un primitiv d la fonction h : ln ( 4) sur I d Déduir ds qustions précédnts l calcul d l'air A du domain plan délimité par la courb (C), la droit (D) t ls droits d'équations rspctivs = 5 t = 6 On donnra la valur act d A puis un valur approché à près 5 Intrsction d (C) t d l'a ds abscisss a Montrr qu l'équation f() = admt dans I un uniqu solution, noté b Détrminr graphiqumnt un ncadrmnt d d'amplitud,5 c À l'aid d la calculatric, détrminr un ncadrmnt d d'amplitud On plicitra la méthod mployé Corrction a Lorsqu tnd vrs 4, tnd vrs ainsi qu ln donc f tnd vrs 4 4 Lorsqu tnd vrs, tnd vrs, ln tnd vrs, +5 tnd vrs donc f tnd vrs 4 4 ( )( 4) 5 b f '( ) ln ln( ) ln( 4) 4 4 ( )( 4) Lorsqu > 4, + st positif, 4 st positif donc l numératur st négatif t l dénominatur st positif Moralité, f st négativ c f( ) ( 5) ln ; nous avons dit qu c trm tnd vrs lorsqu tnd vrs donc la 4 droit (D) st un asymptot à (C) Lorsqu > 4, donc (C) st au-dssus d (D) 4 Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

23 a On pos u ln, v' u', v d où un primitiv d ln st b On dériv G : G'( ) ln( ) ( ) ln( ) c Eactmnt paril c On chrch ln d ln 6 6 f d d G G H H ; 5 5 A ( ) ( 5) ln( ) ln(4 ) [ (6) (5)] [ (6) (5)] G(6) G(5) 7 ln ln ln 7 6 ln 6, H(6) H(5) ln 6 ln 5 ln, t l résultat A 7 ln 7 6 ln 6 ln,48 U 8 Fonction inconnu Parti A Soit la fonction f défini sur ; par : f( ) a ( b c)ln avc a, b t c ds réls La courb (C) d f st donné ci-dssous En utilisant c graphiqu t n sachant qu f() ln, justifir qu l on a ac t b Parti B On considèr alors la fonction g défini sur ; par : g( ) ( )ln a Détrminr la limit d g n b Détrminr la limit d g n a Détrminr la fonction dérivé d g b Etudir, pour dans ;, l sign d ln t clui d variations d g Drssr l tablau complt ds variations d g 4 Soit la droit d équation y Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr En déduir l sign d g'( ) t ls a Résoudr dans l équation ( )ln t donnr un intrprétation graphiqu ds solutions b Etudir la position d la courb rprésntativ d g par rapport à Corrction Parti A f() ln a( b c)ln ln ; par aillurs la dérivé s annul n t f() = : b c bc f '( ) a bln a a b c ; f() a a

24 On a donc ( b c)ln ln b c ; avc b c on tir c t b Parti B a En, ln tnd vrs, donc g tnd vrs b Mttons n factur : g( ) ( )ln ( ) ln ln a g'( ) ln b ln chang d sign n, d mêm qu puisqu st positif La dérivé st constitué d du morcau qui changnt d sign au mêm ndroit : avant ll st positiv, après ll st négativ g '() + g() 4 a ( )ln ou : la courb coup la droit n cs du points ln b g( ) ( )ln st positif sur ; : C au-dssus d ; sinon C st n dssous d 9 Un fonction assz simpl On considèr la fonction f défini sur * + par : ln f( ) ² On not (C) la courb rprésntativ d f dans un rpèr ( O ; u, v ), unité graphiqu cm Parti A : Etud d un fonction auiliair On considèr la fonction g défini sur * + par : g() = ln + Détrminr ls limits d g n t n Etudir l sns d variation d g Montrr qu dans [,5 ; ] l équation g() = admt un solution uniqu dont on détrminra un valur approché à près 4 En déduir l sign d g() suivant ls valurs d Parti B : Etud d la fonction f Détrminr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition Etudir l sns d variation d f Montrr qu f( ) t n donnr un valur approché à près ² 4 Donnr l tablau d variation d f 5 Tracr (C) Corrction lim g( ) lim ln lim ln lim, A lim g( ) lim ln lim ln lim g'( ) du sign d ; > < / c qui st impossibl puisqu st positif La fonction g st donc négativ qul qu soit positif Donc la fonction g st strictmnt décroissant sur * + g(,5),7 t g(),78 (à la calculatric) La fonction g st continu, strictmnt décroissant, t chang d sign sur l intrvall [,5 ; ] donc il ist un valur uniqu d ct intrvall tll qu g( ) = A la calculatric :,67 4 On n déduit qu, qul qu soit < on a g() positif, t >, g() négatif ln ln ln ln B lim f( ) lim lim lim car lim lim lim t lim ² ² ² ln ln ln lim f( ) lim lim lim ² ² Fonction logarithm rcics corrigés 4 A TOUATI touatiamin@yahoofr

25 f st dérivabl sur son domain d définition ln ln ² ln ln ² ln ( ) f( ), '( ) g f 4 4 ² ² f st donc du sign d g car st strictmnt positif sur * + Par conséqunt, f st positiv qul qu soit infériur à t négativ aillurs t donc f croissant sur ] ; [ t décroissant sur ] ; [ On sait qu g( ) = c'st-à-dir qu ln = ou ncor ln, soit ln f( ),65, ² ² ² f () + f () f( ) Courb d g Logarithms 7 points Parti A Courb d f g ln On considèr la fonction g défini sur ] ; [ par Calculr g' pour tout d ] ; [ Étudir son sign sur ] ; [ Fonction logarithm rcics corrigés 5 A TOUATI touatiamin@yahoofr

26 Drssr l tablau d variations d g sur ] ; [ (On n dmand pas ls limits d g au borns d son nsmbl d définition) En déduir qu pour tout d ] ; [, g() < Parti B ln Soit f la fonction défini sur ] ; [ par f On désign par C sa courb rprésntativ dans l plan muni d un rpèr orthogonal ( O ; i, j ) d unités graphiqus cm sur l a ds abscisss t cm sur l a ds ordonnés a Calculr la limit d f n Intrprétr graphiqumnt c résultat b Calculr la limit d f n c Démontrr qu la droit d équation y = + st asymptot à la courb C d Étudir la position rlativ d C t sur ] ; [ f ' pour tout > a Calculr g b Vérifir qu pour tout d ] ; [, f ' c Déduir d la parti A l tablau d variations d f sur ] ; [ d Calculr f() En déduir l sign d f sur ] ; [ Dans l plan muni du rpèr ( O ; i, j ), tracr la droit t la courb C Parti C (vrsion ) Vérifir qu la fonction F défini sur ] ; [ par Calculr l intégral I f d (on donnra la valur act) F ln st un primitiv d f 4 a Hachurr sur l graphiqu la parti E du plan limité par la courb C, l a ds abscisss t ls droits d équations = t = b Déduir d la qustion d la parti C la valur act d l air S d E n cm, puis n donnr la valur arrondi n cm, au mm près Parti C (vrsion ) Démontrr qu il ist un uniqu tangnt à C parallèl à, précisr ls coordonnés du point d contact J t l équation d ctt tangnt T Tracr T dans l rpèr précédnt Soit un rél supériur ou égal à M t N sont ls points d absciss situés rspctivmnt sur C t sur a Précisr, n fonction d, la valur d la distanc MN ln b Etudir sur [ ; [ ls variations d la fonction h défini sur [ ; [ par h c Déduir ds qustions précédnts qu la distanc MN st maimal lorsqu M st n J t précisr la valur d ctt distanc maimal Corrction Parti A 4 g ln ' 4 g Sur ] ; [ sul l trm, chang d sign : positif avant /, négatif après / / g () + g() ln L maimum d g st ln donc g g ln Parti B ln a f : ln ln ; or n ln tnd vrs t tnd vrs Conclusion, f tnd vrs quand tnd vrs ; la droit = st asymptot d C b On sait qu ln tnd vrs quand tnd vrs donc f tnd vrs car tnd vrs Fonction logarithm rcics corrigés 6 A TOUATI touatiamin@yahoofr

27 ln ln c f donc la droit y = + st asymptot à la courb C ln d Lorsqu, car ln Donc sur ; C st au-dssus d ; sur ; C st n dssous d ln ln a b c ' g f Donc f st négativ t f décroissant f () f() d f() = : lorsqu st infériur à, f f f f y car f st décroissant Lorsqu st supériur à, Parti C (vrsion ) ln F' ln f : F st un primitiv d f 4 I f d F F ln ln, b L unité d air st l unité d air, c qui nous fait Parti C (vrsion ) cm cm cm ; on prnd la valur absolu d l intégral multiplié par, soit nviron,45 cm au mm près Pour avoir un tangnt parallèl à, il faut trouvr tl qu -6 f ', soit ln ln L ordonné st alors f ; l équation d T st y ln a Comm C st n dssous d, on a MN f h Fonction logarithm rcics corrigés 7 A TOUATI touatiamin@yahoofr

28 ln b h' qui chang d sign n ; la distanc MN st maimal lorsqu M st n J t ln ctt distanc vaut h Ln+scond dgré+intégral, Antills L plan st rapporté à un rpèr orthonormal ( O ; i, j ) On considèr la fonction f, défini sur l intrvall ] ; [ par : On not (C ) sa courb rprésntativ ln ln f Parti A - Étud d la fonction f t tracé d la courb (C) a Résoudr dans ] ; [ l équation f (On pourra posr ln = X) b Résoudr dans ] ; [ l inéquation f a Détrminr ls limits d f n t n f ' b Calculr c Étudir l sns d variation d f t drssr son tablau d variations 5 Détrminr un équation d la tangnt (T) à la courb (C) au point d absciss 4 4 Tracr la courb (C) t la droit (T) (Unité graphiqu : cm sur chaqu a) Parti B - Calcul d un air Rstitution organisé ds connaissancs : Démontrr qu la fonction h, défini par h: ln st un primitiv d la fonction logarithm népérin sur ] ; [ (attntion on n dmand pas simplmnt d l vérifir ) On pos ln I a Calculr I b Montrr qu d t I ln d I c Calculr tls qu Corrction I f d En déduir l air, n unités d air, d l nsmbl ds points M( ; y) du plan f y t Parti A f ln ln a f ln ln : on pos X ln d où ou X X X ln ; ; ; ; b a Toujours avc X ln, lorsqu tnd vrs, X tnd vrs donc Fonction logarithm rcics corrigés 8 A TOUATI touatiamin@yahoofr X X X, X d où X X s comport comm X qui tnd vrs ; lorsqu tnd vrs, X tnd vrs donc X X s comport comm X qui tnd vrs 4ln b f ' ln c f st croissant lorsqu 4ln ln 4 / 4 5 f Sign d f'() + Variation d f 5 8

29 f ; f ' / / 4 ; y 4 5/ 4 5/ Parti B Rstitution organisé ds connaissancs : on fait un intégration par partis n posant u' t v ln d où on tir ln d ln d ln d ln On pos ln I d t I ln d / a ln ln I d / ln b I d : intégration par partis n posant ' / Fonction logarithm rcics corrigés 9 A TOUATI touatiamin@yahoofr u t v ln, soit u, v' ln, soit I d d I ln ln ln / I ln ln d I I 4 c Comm on a pu l rmarqur ls borns corrspondnt précisémnt au valurs d pour lsqulls f s annul La valur d I st négativ car f st négativ sur ct intrvall ; on a donc l air, n 9 unités d air, égal à I 7,8 Ln t calculatric, N Caldoni 5 6 points L plan st rapporté à un rpèr orthonormal ( O ; i, j ) Soit f la fonction défini sur ] ; [ par : f( ),,ln( )

30 Fair apparaîtr sur l écran d la calculatric graphiqu la courb rprésntativ d ctt fonction dans la fnêtr 4, 5 y 5 Rproduir sur la copi l allur d la courb obtnu grâc à la calculatric D après ctt rprésntation graphiqu, qu pourrait-on conjcturr : a Sur ls variations d la fonction f? b Sur l nombr d solutions d l équation f () =? On s propos maintnant d étudir la fonction f a Étudir l sns d variation d la fonction f b Étudir ls limits d la fonction f n t n, puis drssr l tablau d variations d f c Déduir d ctt étud, n précisant l raisonnmnt, l nombr d solutions d l équation f () = d Ls résultats au qustions a t c confirmnt-ils ls conjcturs émiss à la qustion? 4 On vut rprésntr, sur l écran d un calculatric, la courb rprésntativ d la fonction f sur l intrvall [, ;,], d façon à visualisr ls résultats d la qustion a Qulls valurs trêms d l ordonné y proposz-vous pourmttr n évidnc ls résultats d la qustion c dans la fnêtr d votr calculatric? b À l aid d la calculatric dtrminr un valur approché par défaut à près d la plus grand solution d l équation f () = 5 Soit F la fonction défini sur ] ; [ par F( ),,, ( ) ln( ) a Démontrr qu F st un primitiv d f sur ] ; + [ b Intrprétr graphiqumnt l intégral f( ) d c Calculr f ( ) d t primr l résultat sous la form b c (b t c réls) Corrction f sur ] ; [ par : f( ),,ln( ) 5 y a f smbl croissant b Il smbl n y avoir qu un solution à l équation f () =, mais c st doutu,,,,, (, ) a f '( ), ; on a du racins, t, ; l sign du trinôm donn f croissant avant, décroissant ntr t, puis d nouvau croissant b En, ln( ) tnd vrs d mêm qu f ; n ls croissancs comparés donnnt l trm gagnant t f tnd vrs c f s annul donc du fois : n évidmmnt puis un duièm fois après, puisqu f st croissant ntr, t t pass d un nombr négatif à ds valurs positivs Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr

31 , f + f, d Evidmmnt non 4 a L minimum st au nvirons d,, t on put prndr f(,), n positif b On a,57, soit,5 à près 5 F( ),,, ( ) ln( ) a On dériv F : F'( ),,, ln( ) ( ),,, ln( ), f( ) b f ( ) d rprésnt l air algébriqu (ici négativ) compris ntr la courb d f, ls droits = t c f( ) d F( ) F(),,,( )ln( ) ; comm f( ) soit,,ln( ),ln( ),, f( ) d,, ( ),,, on a Fonction logarithm rcics corrigés A TOUATI touatiamin@yahoofr