T. D. n o 15 Calcul différentiel. Intégrales multiples.

Transcription

1 T. D. n o 5 Calcul différentiel. Intégrales multiples. Exercice : D après le concours d inspecteur analyste, 008. Déterminer et représenter graphiquement les ensembles de définition des fonctions des variables x et y suivantes :. a. f(x, y) = 5 4 x y b. g(x, y) = x + y 3x + 4y c. h(x, y) = cos ( x + y ) Indication : l équation cartésienne d un cercle de centre Ω(a, b) et de rayon r est (x a) + (y b) = r.. a. t(x, y) = x + 4 y b. u(x, y) = ln ( x y ) Exercice : D après Banque Commune d Épreuves, option économique, première épreuve, 008. On admet l encadrement suivant :, 7 < e <, 8. Partie I : Étude d une fonction On considère l application f : [0; + [ R définie, pour tout t [0; + [, par : { t ln t t si t 0 f(t) = 0 si t = 0.. Montrer que f est continue sur [0; + ].. Justifier que f est de classe C sur ]0; + [ et calculer f (t) pour tout t ]0; + [. 3. Déterminer la limite de f en Dresser le tableau des variations de f. 5. Montrer que f est convexe sur ]0; + [. 6. On note Γ la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j). a. Montrer que Γ admet une demi-tangente en O.

2 b. Déterminer les points d intersection de Γ avec l axe des abscisses. c. Préciser la nature de la branche infinie de Γ. d. Tracer Γ. Partie II : Étude d une fonction définie par une intégrale On considère l application G : ]; + [ R définie, pour tout x ]; + [, par : G(x) = x+ x f(t)dt.. Montrer que G est de classe C sur ]; + [ et que, pour tout x ]; + [ : G (x) = (f(x + ) f(x )) et G (x) = (ln(x + ) ln(x )). À cet effet, on pourra faire intervenir une primitive F de f sans chercher à calculer F.. a. Montrer que G est strictement croissante sur ]; + [. b. Vérifier : G () > 0. c. Établir que l équation G (x) = 0, d inconnue x ]; + [, admet une solution et une seule, notée α, et que α <. Partie III : Étude d une fonction de deux variables réelles On considère l application Φ : ]; + [ R définie, pour tout (x, y) ]; + [, par : Φ(x, y) = (y f(x + )) + (y f(x )), où l application f est définie dans la partie I.. Justifier que Φ est de classe C sur ]; + [ et calculer les dérivées partielles premières de Φ en tout (x, y) de ]; + [.. Vérifier que (α, f(α + )) est un point critique de Φ, où α est défini en II.c. 3. Est-ce que Φ admet un extrémum local en (α, f(α + ))? Exercice 3 : Notons f l application de R dans R définie par : (x, y) R \ {0}, f(x, y) = (x y ) ln (x + y ) et f(0, 0) = 0.. Étudier la continuité de f sur R.

3 . Sans les calculer, montrer que pour tout (x, y) R, f y 3. Calculer f x 4. f est-elle de classe C sur R? (x, y) = f (y, x). x Exercice 4 : Soit E un espace euclidien muni d une base orthonormée e = (e,..., e p ). En quelles points de E l application : E R x x est-elle de classe C? En ces points, déterminer la différentielle et le gradient de cette application. Exercice 5 : Notons f : M n (R) R X tr(i n + t XX). Calculer les dérivées partielles de f. Montrer que f est de classe C et calculer sa différentielle. Exercice 6 : Déterminer les extrema locaux de f(x, y) = (x y) x 4 y 4. Exercice 7 : Montrer que f : M n (R) M n (R) X X est une application de classe C et calculer sa différentielle. Exercice 8 : y La forme différentielle ω = (x + y) dx + x dx est-elle exacte? (x + y) Dans ce cas, rechercher des primitives de ω. 3

4 Exercice 9 : Notons f l application de R dans R définie par f(0, 0) = 0 et, pour (x, y) (0, 0), f(x, y) = xy(x y ) x + y.. Étudier la continuité et la différentiabilité de f sur R.. Calculer f (0, 0) et f (0, 0). Que pouvons-nous en déduire? x y y x Exercice 0 : Soient n N, f de classe C de R n dans R et u un automorphisme orthogonal de R n. Nous posons f = f u. Montrer que f n f = ( f) u, où f =. x k k= Exercice : Montrer que la recherche des pavés de R 3 de volume V dont la surface est minimale se ramène à l étude des extrema de l application : f : (R +) R. Déterminer les extrema locaux de f. (l, h) lh + V l + V h.. a. Montrer que pour tout m > 0, il existe (ɛ, M) R avec 0 < ɛ < M, tel que : (l, h) (R +) \ [ɛ, M], f(l, h) > m. b. Déterminer les extrema globaux de f. Exercice : Soit k R +. Résoudre l équation aux dérivées partielles : z x k z y = 0, à l aide du changement de variables suivant : { u = x + ky v = x ky. Exercice 3 :. La forme différentielle ω = xzdx yzdy (x y )dz est-elle exacte? 4

5 . Montrer que la forme différentielle ω = xz yz dx z z dy x y dz est exacte z et déterminer une primitive de ω. 3. Rechercher les applications φ : I R 3 t (x(t), y(t), z(t)) de classe C, où I est un intervalle inclus dans R, et telles que : t I, xzx yzy (x y )z = 0. Exercice 4 :. Notons U = {(ρ, θ) ρ > 0 et θ ] π, π]} et V = R \ {(x, 0) x R }. Montrer que la fonction f : U V (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) = (x(ρ, θ), y(ρ, θ)) est un C difféomorphisme.. Notons Soit une application de classe C. Notons f : V U (x, y) g(ρ(x, y), θ(x, y)). g : V R (x, y) g(x, y) g = g f : U R (ρ, θ) g(x(ρ, θ), y(ρ, θ)). Exprimer g g g g et en fonction de et x y x y 3. Soit D un ouvert de R \ {(x, 0) x R }. Déterminer les applications g C (D, R) solutions de l équation au dérivées partielles : ( x + y + x g x + y g ) g = 0. y 4. Supposons que g C (D, R). Nous posons f = x k= k n f. Exprimer g en coordonnées polaires, c est-à-dire à l aide des dérivées partielles de g par rapport à ρ et θ. 5