PRISME. section principale

Transcription

1 1) Défntons. PRISME Un prsme est un mleu transparent, homogène et sotrope, lmté par deux doptres plans non parallèles. base arête secton prncpale La drote d'ntersecton des deux plans (qu n'exste pas toujours matérellement) est l'arête du prsme. Tout plan perpendculare à l'arête est un plan de secton prncpale. L'angle formé par les deux plans est l'angle du prsme. La base du prsme, face opposée à l'arête, ne joue aucun rôle optque et peut ne pas être plane. suvantes: L'étude du prsme sera fate avec les hypothèses les faces du prsme sont en contact avec le même mleu extéreur d'ndce absolu n. le prsme, d'ndce absolu n 1, est plus réfrngent que le mleu extéreur: n 1 > n n1 n = > 1. n les rayons ncdents sont dans un plan de secton prncpale. la lumère est monochromatque, sauf dans la dernère parte (étude de la dsperson). ) Marche d'un rayon lumneux dans une secton prncpale. S I K r r' H I' ' D S' Le rayon ncdent SI se réfracte selon II' en se rapprochant de la normale au premer doptre (n > 1) r <. S l'angle d'ncdence sur le second doptre, r', est nféreur à l'angle de réfracton lmte λ tel que snλ = 1 n, l y a réfracton en I', le rayon I'S' émerge en s'élognant de la normale au second doptre: ' > r'. Le rayon ncdent est toujours dévé vers la base du prsme. S r' > λ, l y a réflexon totale en I'. 1

2 3) Relatons entre les angles. Les los de la réfracton en I et I' donnent: Dans le trangle II'H: Dans le trangle II'K: sn = n sn r sn ' = n sn r' = r + r' D = ( - r) + (' - r') = + ' - Ces relatons sont valables dans tous les cas (pour n > 1) en orentant les angles, comptés à partr des normales aux doptres, dans le sens trgonométrque pour et r et dans le sens nverse pour ', r' et D. 4) Constructon géométrque des rayons réfractés. S T (C ) I (C 1) H H' M N M' I' T' S' On applque deux fos la constructon d'huygens. Les deux cercles de centre, (C 1 ) et (C ), ont des rayons R 1 et R = n R 1. Le rayon T parallèle au rayon ncdent SI se réfracte sur le premer doptre selon M', donc le rayon réfracté II' est parallèle à M'. M' se réfracte sur le second doptre selon NT', donc le second rayon réfracté I'S' est parallèle à NT'. S M'H' ne coupe pas le cercle (C 1 ) le rayon réfracté NT' n'exste pas, l y a réflexon totale en I'.

3 5) Condtons d'émergence. a. Condton pour. Le rayon ntermédare II' se réfracte en I' s r ' λ - r λ ou λ + r. Or r λ donc λ. b. Condton pour. S < λ, les rayons qu peuvent émerger sont ceux pour lesquels r ' λ - r λ ou encore r - λ, d'où sn r sn ( - λ). ' mn S' mn I Or sn = n sn r sn n sn ( - λ). λ T I' λ Donc mn tel que sn mn = nsn( λ). S T' Un rayon TI arrvant sur la surface du premer doptre sous l'ncdence mn émerge en rasant la surface du second doptre. D'après la lo du retour nverse de la lumère, un rayon ncdent SI rasant la surface du premer doptre émergera sous l'angle ' mn = mn. c. Exemples des dvers cas. Pour un prsme d'ndce n =, l'angle lmte de réfracton vaut λ = 45. > λ = λ λ < < λ = λ < λ = 6) Etude théorque et expérmentale de la dévaton. L'angle de dévaton D dépend du prsme utlsé, donc de n et, et de l'angle d'ncdence. D D D D = f n, d D = d dn d + n + (, ). a. Influence de., n 3

4 (sn ' ) ' ' = cos' D (sn r' ) = n Expérence avec un prsme à eau (n = 1,33), d'angle varable, utlsé sous ncdence normale: =. On observe que la dévaton D augmente quand augmente, et n restant constants, donc >. Démonstraton: D = + ' - avec et n constants, donc r constant. (' ) ' = = 1. r' = ncos r' r' = ncos r' car cosr' D'où = n 1. Or n > 1 et r ' < ' cos r ' > cos ' et on a ben cos' >. b. Influence de n. n crossant = 1. Expérence avec un polyprsme: ensemble de pluseurs prsmes, de même angle mas d'ndces dfférents, utlsés sous la même ncdence. On observe que D augmente quand n augmente >. n ' Démonstraton: D = + ' - avec et constants. n = n (sn ' ) n Or r + r ' = Donc n r n ' = cos' n r n 1 r' = tan r = n n r' ' 1 r' sn r' ncosr' = + sn r' ncosr' n = + n cos' n r' r + et sn nsn r sn r ncos r. n = = = + n n cosr.sn r' + cosr'.sn r sn(r + r' ) = = = cosr.cos' cosr.cos' = 1 cos' sn r' + sn ; sn cosr.cos' 1 ncosr'. tan r. n. >, cosr > et cos' > n >. c. Influence de. Expérence avec un prsme tournant autour de son arête. D On observe que D est mnmale pour une valeur partculère de l'angle d'ncdence = pour =. 4

5 ' Démonstraton: D = + ' - avec n et constants 1. = + (sn ' ) ' = cos' r' = ncos r' ' cos r' r' = n cos' r r' r Or r + r ' = et sn nsn r cos ncosr. + = = = Donc (1 sn r = = sn ) 1 n 1 cos n cosr r' = ' = (1 sn cos.cos r' = cos'.cos r sn ' ) 1 n ncosr' = 1 + cos' ou ben (1 sn 1 ; 1 n sn )(1 sn 1 cos n cosr r' ) 1 ' = 1 n. = 1 sn = (1 sn cos.cosr'. cos'.cosr. ' )(1 sn Comme n 1, est soluton de sn = sn ' sot = ± '. Seule la soluton = ' convent car s = - ' alors r = - r ', ce qu est ncompatble avec r + r ' =. Donc D est mnmale quand = ' r = r' = et = tel que sn = nsn. La dévaton mnmale vaut D mn = + ' - = -. Les mesures de et D mn permettent de calculer l'ndce du prsme: S + D = mn et sn I r r llure de la courbe D = f(): = nsn r x I' avec r + Dmn sn = r n ' = =. sn Quand la dévaton est mnmale, = ' = et r = r' =. Dmn Le trangle II' est socèle et le trajet de la lumère est symétrque par rapport à la bssectrce x de S' l'angle. Le rayon II' est perpendculare à x. r). 5

6 D 9 + mn- D mn= - mn 1 9 La condton d'émergence pour ( < λ) étant satsfate, on a mn 9 et 9 ' mn. = mn ' = 9 donc D. = = = 9 + mn 9 ' mn cos.cosr' = 1. cos'.cosr Quand = mn, car cos' =. Quand = 9, On remarque qu'on obtent la même dévaton pour deux angles d'ncdence dfférents 1 et. Quand = 1, l'angle d'émergence vaut ' = et quand = alors ' = 1. 7) Cas d'un prsme d'angle fable utlsé sous fable ncdence. S et sont fables, r, r ' et ' le sont auss. = 1 car cos =. n r ' n r ' D = + ' - n (r + r ') - = (n - 1). = r + r ' Donc D est pratquement constant, sa valeur étant celle de la dévaton mnmale: D (n - 1) sn D mn = nsn r = nsn = (n 1). n. - 9 = n 9 8) Dsperson I spectre contnu vec un fasceau ncdent de lumère blanche, on observe un spectre contnu du rouge au volet, la dévaton des rayons augmentant quand la longueur d'onde dmnue. Donc <. λ λ = n dn. dλ a + b + c 4 avec n Pour les verres optques on utlse souvent la relaton de Cauchy n = où a, b, c sont λ λ tros constantes détermnées expérmentalement en mesurant n pour tros longueurs d'onde dfférentes. > d' où dn <. dλ 6

7 Varaton de D avec à n et constants. Reprenons les quatre formules du prsme et fasant la dfférentel de chacune des équatons sachant que n et sont constants (On note l'ncdent et l'émergent ') : Ce qu donne : avec sot Exercce 1 Démontrer que est postve. l faut comparer à. S la rapport est supéreur à 1 par conséquent est supéreur à. 7

8 Expresson 1 Expresson S l'on compare les expressons on a : > pusque Donc la dévaton D est une foncton crossante de, et elle a toujours leu du coté de la base du prsme. Varaton de D avec n (, consants) On procède de la même manère que dans le premers cas, sachant que on trouve : 8

9 On fat la somme des deux premères équatons : sot Ce qu donne : Il en résulte que : Cette quantté est toujours postve, pusque ' est comprs entre et et r entre et. Par conséquent la dévaton augmente quand l'ndce de réfracton augmente. Varaton de D avec (,n constants) De la même manère que les deux cas qu précèdent, on dfférente pus on cherche sachant que on trouve : 9

10 Pour avor la varaton de la dévaton en foncton de l'ncdence, on cherche les extremums de la foncton On élève au carré les deux expressons pus on remplace dem pour r, ce qu donne : par 1

11 , on a : est le mnmum de dévaton. La relaton de Descartes s'écrt alors : Etude d'un prsme de pett angle Un prsme de pett angle est placé dans l'ar. Un fasceau parallèle fat un pett angle avec la normale à la face d'entrée de ce prsme. 1) Montrer que le fasceau sortant fat avec le fasceau ncdent un angle D ndépendant de l'ncdent. ) supposons que le prsme est fat d'un verre d'ndce et a pour base un trangle équlatéral. Quel est son angle de dévaton mnmale? 3)On plonge ce prsme dans l'eau d'ndce mnmale?. Quel est la nouvelle dévaton 4) Que devent cette dévaton s on augmente n à.8 sachant que Etude d'un prsme de pett angle - Soluton 11

12 1) L'angle étant fable, l'angle d'ncdence est auss fable par conséquent on peut écrre : donc est ndépendante de l'ncdence donc ) Base trangle équlatérale par conséquent avec 3) Les équatons de Descartes devennent : donc pplcaton numérque : La dévaton augmente avec l'ndce du mleu. 4) On passe d'un mleu plus réfrngent à un mleu mos réfrngent donc on verra l'angle lmte du coté ncdent. L'angle lmte est dans cette confguraton est tel que : La condton d'émergence est que c'est à dre que dot être nféreur à 44 6' pour avor un émergent ce qu n'est pas le cas 1