Bases de données Cours 5 : Logique et bases de données RAPPEL 2 : LOGIQUE DES PREDICATS

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1 Bases de données Cours 5 : Logique et bases de données RAPPEL 2 : LOGIQUE DES PREDICATS Odile PAPINI, ESIL Université de la méditerranée Odile.Papini@esil.univ-mrs.fr

2 Plan Partie I : La logique des prédicats Introduction langage, syntaxe système formel sémantique Partie II : Raisonnement en logique des prédicats formes prénexes, formes normales, formes de Skolem interprétation de Herbrand résolution

3 Introduction : limites de la logique des prédicats Exemple de raisonnement Tout homme est mortel, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel. en logique propositionnelle p : Tout homme est mortel, q : Socrate est un homme, p q r r : donc Socrate est mortel.

4 Pour tout x, si x est un homme alors x est mortel, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel. x est un homme est représenté par H(x) x est mortel est représenté par M(x) x (H(x) M(x)) H(Socrate) M(Socrate)

5 Le langage de la logique des prédicats : L Pr Vocabulaire un ensemble infini dénombrable de symboles de prédicats ou prédicats un ensemble infini dénombrable de symboles fonctionnels un ensemble infini dénombrables de variables les connecteurs :,,,,, les quantificateurs,

6 Définitions terme x une variable, f un symbole fonctionnel est un terme si t 1,,t n sont des termes alors f(t 1,,t n ) est un terme atome si t 1,,t n sont des termes et P est un prédicat alors P(t 1,,t n ) est un atome formule un atome est une formule si A et B sont des formules alors A, A B, A B, A B, A B sont des formules si A est une formule et x une variable alors x A, x A sont des formules

7 Portée des quantificateurs atome ou formule à laquelle la quantification s applique variables liées variables sous la portée de quantificateurs si A est une formule, l ensemble Varlie(A) des variables liées de A est défini par : si A est un atome alors Varlie(A) = si A est de la forme B C alors Varlie(A) = Varlie(B) Varlie(C) si A est de la forme B alors Varlie(A) = Varlie(B) si A est de la forme x B alors Varlie(A) = Varlie(B) {x}

8 variables libres variables qui ne sont pas sous la portée de quantificateurs si A est une formule, Var(A) est l ensemble des variables dea, l ensemble Varlib(A) des variables libres de A est défini par : si A est un atome alors Varlib(A) = Var(A) si A est de la forme B C alors Varlib(A) = Varlib(B) Varlib(C) si A est de la forme B alors Varlib(A) = Varlib(B) si A est de la forme x B alors Varlib(A) = Varlib(B) - {x} une formule sans variable libre est dite close ou fermée

9 Substitutions soit A(x) une formule contenant x comme variable libre soit t un terme A(t) : obtenue en remplaçant les occurences libres de x par t dans A(x) Si x ou t apparaissent comme variables liées dans la formule A(x) alors renommer ces occurences

10 Système formel de la logique des prédicats les axiomes soit A, B, C des formules, x une variable et t un terme, D une formule n ayant pas x pour variable libre A1) (A (B A)) A2) ((A (B C)) (A B) (A C))) A3) (( A B) (B A) A4) ( x A(x) A(t)) A5) ((D B) (D x B)

11 règles de déduction modus ponens A, A B B généralisation A x A

12 Déduction Soit B une formule de L Pr et H 1,, H n des hypothèses Une déduction de B à partir des hypothèses H 1,, H n H 1,, H n B est une suite de formules F 1,, F i, F n telle que : F n = B et F i, 1 i < n est : soit une des hypothèses H 1,, H n soit un axiome soit obtenue par l application de règles de déduction à partir de formules F j, j < i

13 proposition : A L Pr (A A) proposition : A 1,,A n 1 L Pr L Pr si A 1,,A n 1 (A n B) alors A 1,, A n B proposition (théorème de déduction): Soient A 1,,A n des formules closes de L Pr si A 1,,A n B alors A 1,,A n 1 (A n B)

14 sémantique de la logique des prédicats interprétation : I = (D, I c, I v ) où D ensemble non vide, domaine d interprétation I c la fonction : D n D D m {0, 1} f I c (f) P I c (P) I v la fonction : V ar D x I v (x)

15 interprétation d une formule de la logique des prédicats A une formule de L Pr, association d une valeur de vérité I(A) à A si x est une variable libre alors I(x) = I v (x) I(f(t 1,,t n )) = (I c (f))(i(t 1 ),,I(t n )) I(P(t 1,,t m )) = (I c (P))(I(t 1 ),,I(t m )) si A et B sont des formules alors A, A B, A B, A B, A B s interprètent comme dans la logique propositionnel si A est une formule et x une variable alors I( x A) = 1 si I x/d (A) = 1 pour tout élément d D si A est une formule et x une variable alors I( x A) = 1 si I x/d (A) = 1 pour au moins un élément d D

16 quelques définitions Soient A L Pr, B L Pr et F L Pr A est une tautologie, = A, si pour toute interprétation I, I(A) = 1 B est une conséquence de A si pour toute interprétation I, I(A) = 1 alors I(B) = 1, on écrit A = B B est une conséquence de F si pour toute interprétation I, tq A F, I(A) = 1 alors I(B) = 1, on écrit F = B A est satisfaisable s il existe une interprétation I tq I(A) = 1 F est satisfaisable s il existe une interprétation I tq A F, I(A) = 1 A est insatisfaisable ou incohérente si pour toute interprétation I, I(A) = 0 F est insatisfaisable si pour toute interprétation I, A F tq I(A) = 0

17 proposition : F L Pr ensemble de formules closes, B formule close F = B ssi F { B} est insatisfaisable quelques propriétés ( x A x B) x (A B) x (A B) ( x A x B) ( x A x B) = x (A B) x (A B) = ( x A x B) x (A B) = ( x A x B) x (A B) ( x A x B) x (A B) = ( x A x B) x A x A x y A y x A x y A y x A x y A = y x A

18 quelques théorèmes théorème (d adéquation) : A L Pr si A alors = A (les formules qui sont des théorèmes sont des tautologies) théorème (de complétude) : A L Pr si = A alors A théorème (de compacité) : Soit F un ensemble de formules de L Pr. Si toute famille finie F F est satisfaisable alors F est aussi satisfaisable. théorème (de finitude) : Soit F un ensemble de formules de L Pr. Soit B L Pr si F = B alors F F fini tq F = B théorème (de complétude généralisé) : Soit F L Pr et B L Pr, F = B ssi F B proposition : Soit F L Pr et B une tautologie, F B si F n a pas de modèle.

19 quelques résultats de décidabilité et d indécidabilité La logique des prédicats est indécidable Il n existe aucun programme qui pour une formule A L Pr indique en un temps fini si A est une tautologie Toute théorie axiomatique égalitaire ayant : un nombre fini de symboles, un nombre fini de constantes un seul symbole fonctionnel unaire f un nombre fini de prédicats unaires et le prédicat binaire égalité n ayant pas d axiomes non logiques est décidable

20 formes prénexes, formes normales Q 1 x 1 Q n x n M proposition : pour toute formule A il existe une forme prénexe équivalente à A algorithme élimination des connecteurs d implication et d équivalence renommage des variables (plus de variable libre et liée en même temps) suppression des quantificateurs inutiles transfert du connecteur de négation immédiatement devant les atomes transfert des quantificateurs en tête des formules

21 extension du vocabulaire à la logique des prédicats littéral : un atome ou la négation d un atome clause : disjonction de littéraux cube : conjonction de littéraux forme conjonctive normale : forme prénexe dont la matrice M est une conjonction de clauses forme disjonctive normale : forme prénexe dont la matrice M est une disjonction de cubes

22 formes de Skolem proposition : S A forme de skolem de A, A est satisfaisable ssi S A est satisfaisable transformation de A en forme de Skolem S A transformer A en forme prénexe : Q 1 x 1 Q n x n M transformer M en forme conjonctive normale M skolémiser M : 1) associer à toute variable quantifiée existentiellement le terme constitué par un symbole fonctionnel ayant pour arguments la liste des variables quantifiées universellement qui précèdent la variable 2) remplacer chaque occurence de variable quantifiée existentiellement par le terme défini en 1) 3) supprimer les quantificateurs existentiels

23 théorème de Herbrand on associe à une formule conjonctive normale F l ensemble C des clauses correspondantes univers de Herbrand associé à un ensemble de clauses C : ensemble de tous les termes sans variable construit à partir du vocabulaire de C système de Herbrand SH C associé à C : ensemble des clauses obtenues à partir de C en remplaçant les variables par des éléments de l univers de Herbrand théorème de Herbrand : C est satisfaisable ssi SH C est satisfaisable

24 Raisonnement déductif définition (rappel) F un ensemble de formules de L Pr et I une interprétation, F est insatisfaisable ou incohérent ssi I telle que F F, I(F) = 0. proposition F L Pr, F = F ssi F { F } est insatisfaisable ou incohérent. on ramène le problème de conséquence logique à celui de la cohérence ou de la satisfaisabilité. réfutation : on cherche à montrer l incohérence

25 Résolution en calcul des prédicats résolution R et saturation S (instanciation dans l univers de Herbrand H C ) semi-commutatives : R(S(H C )) S(R(H C )) plus généralement : R n (S(H C )) S(R n (H C ))

26 l unification substitution : V ar : ensemble des variables, T : ensemble des termes σ fonction de V ar dans T, tq l ensemble {x V ar, σ(x) x} est fini instance : t un terme, l : un littéral, instance de t (resp. de l), le terme noté σ(t) (resp. le littéral σ(l)), obtenu en remplaçant toutes les occurences des variables x par σ(x). t 1 et t 2 des termes, t 2 est une instance de t 1 s il existe une substitution σ telle que t 2 = σ(t 1 ) unificateur : 2 littéraux l et l sont unifiables s il existe une substitution σ telle que σ(l) = σ(l ). La substitution est appelée l unificateur. unificateur principal: σ est plus général que σ, s il existe σ tq σ = σ σ il existe un unificateur plus général que tous les autres : unificateur principal

27 algorithme unification (t 1, t 2 : des termes) début si l un des termes (t 1 ou t 2 ) est une variable x, (l autre est t) alors si x = t alors possible vrai σ sinon si x appara^ıt dans t alors possible faux sinon possible vrai σ (σ(x) = t) finsi fin si sinon (t 1 = f(x 1,,x n ) et t 2 = g(y 1,,y m )) si f g ou n m alors possible faux sinon i 0 possible vrai σ tant que i < n et possible faire i i + 1 (possible, σ ) unification(σ(x i ), σ(y i )) si possible alors σ σ σ finsi fin tant que fin si fin si fin

28 proposition (résolution) S : un ensemble de clauses, c 1, c 2 S, l 1 apparaît dans c 1 et l 2 apparaît dans c 2 θ une substitution de renommage tq θ(c 1 ) et c 2 n ont aucune variable libre en commun soit σ p l unificateur principal de θ(c 1 ) et c 2 S = S {r} et S {r} = S avec r = σ(θ(c 1 \{l 1 }) (c 2 \{ l 2 })) appelée résolvante

29 Algorithme de résolution début tant que S faire choisir l 1, l 2, c 1, c 2 tels que l c 1 et l 2 c 2 et l 1, l 2 unifiables calculer la résolvante r à partir de l unificateur principal remplacer S par S {r} fin tant que fin