Les primitives. 3 ) Théorème de Darboux (mathématicien du XIX e siècle) Ce théorème est admis sans démonstration.

Transcription

1 TS Les primitives ) Théorème de Drbo (mthémticie d XIX e siècle) Ce théorème est dmis ss démostrtio. I. Notio de primitive ) Défiitio Tote foctio défiie et cotie sr itervlle dmet des primitives sr cet itervlle. Totes les foctios dmettet ps e géérl de primitives. Certies foctios e sot ps dérivbles ; certies foctios dmettet ps de primitive mis lorsqe tot se psse bie : f est e foctio défiie sr itervlle I. O dit q e foctio défiie sr I est e primitive de f sr I lorsqe : ➀ est dérivble sr I ; ➁ I ' f. ) Eemples ➀ f : Dériver ' f Chercher e primitive «Primitiver» II. Esemble des primitives d e foctio sr itervlle ) Remrqe prélimiire 5 f dmet por primitive sr l foctio défiie sr pr k 5 k. Si est e primitive d e foctio f sr itervlle I, lors l foctio G : k k est ssi e primitive de f. ➁ f : O e sit ps doer e primitive de f sr (foctio Arctgete). ➂ f : * : ➃ f : * * est e primitive de f sr. l t gt : est e primitive de f sr. t gt ) Réciproqemet Spposos qe f dmette de primitives et G sr itervlle I. Ds ce cs, I ' G ' f. Doc I G ' ' soit I G '. Or I est itervlle. Ue foctio dot l dérivée est lle sr itervlle est costte sr cet itervlle. O e dédit qe l foctio G est costte sr l itervlle I. Doc il eiste réel k tel qe I G k soit I ) Théorème G k. Si est e primitive d e foctio f sr itervlle I, lors les primitives de f sr I sot les foctios G : I k. k

2 III. Liérité ) Propriété f et g sot de foctios défiies sr même itervlle I dmettt des primitives sr I. Si est e primitive f sr I et G est e primitive g, lors por tos réels et l foctio G est e primitive de f g sr I. ) Démostrtio (ROC) L foctio + G est dérivble sr I (règle sr les opértios lgébriqes sr les dérivées) et G' ' G ' f g. ) Attetio prodit G est ps e primitive de f g sr I. IV. Primitive pret e vler doée ) Théorème f est e foctio défiie sr même itervlle I dmettt des primitives sr cet itervlle. est réel fié ds I. y est réel fié. Il eiste e iqe primitive de f sr I telle qe y. C y G k y k y G f dmet doc e iqe primitive sr I telle qe est défiie pr y G. ) Eercice f : Détermier l primitive de f sr telle qe O : 5. Détermier l primitive de f qi pred l vler 5 e. y. Il coviet d epliqer l epressio «pred l vler 5 e». Cette epressio sigifie qe 5. Le mot «vler» se réfère à l vler de l imge de pr (vler de l foctio e ). f est cotie sr doc f dmet des primitives sr. Les primitives de f sr sot les foctios défiies sr pr k 5 k 5 k 5 k. y L primitive de f sr telle qe 5 est défiie pr 5. j O i V. Primitives selles ) Primitives des foctios de référece ) Démostrtio (ROC) Pr hypothèse, f dmet des primitives sr I. O ote G e primitive de f sr I. Les primitives de f sr I sot les foctios : I k. G k

3 octio Primitive Itervlle(s) de vlidité ( ) k k ( ) (, ) k k k k k k k k k ; et ; cos si k k si cos k k cos b ( si b ( t ) k k ; et ; ; et ; l k k ; si b k cos b k ) k cos t + k b ( ) b k k l k e e k k e ( ) l e ( \ b ) ( ) e k k \ k, k b D f \ k ; k k l b k t l cos k k ; k b b ; ; k \ k, k Qelqes commetires : Qelle est l différece etre les liges et 7 : O l impressio qe ce sot les mêmes formles. L formle est effectivemet l même. ( ) et Ds l formle de l lige, l epost est etier trel. Ds l formle de l lige 7, l epost est réel différet de. l e ( \ )? Cette formle est itéresste lorsqe l o des eposts o etiers trels (e prticlier, frctioires). O porrit rjoter l lige sivte. Jstifictio de de liges : ' ' ' ' k p [ ormle p ' ] p k ; 5

4 ) Primitives dédites des règles de dérivtio et v sot de foctios défiies et dérivbles sr itervlle I. octio Primitive ' v' v k ' k k k VI. Eemples de clcls de primitives ) Eemple f : Détermier les primitives de f sr. ' ' v v' v k (k ) ' ' ' ( sr I) ( sr I ; ) ' k k k k k k k k ( sr I) k k ' si cos k k ' cos si k k f est cotie sr doc elle dmet des primitives sr. O pese à l forme O pose '.. ' O effecte e réécritre de f. ' f Doc les primitives de f sr sot les foctios défiies pr k k. k k ' ( sr I) l k (k ) ' ( \ ' e e k k, sr I) k (k ) k k Commetires : O dit «les» primitives à cse d k. O voit qe chercher e primitive c est becop pls compliqé qe chercher e dérivée. O fit e de temps. ) Eemple N.B. : (l ottio est torisée!) f : Détermier les primitives de f sr. f est cotie sr doc elle dmet des primitives sr. 7 8

5 ' O pese à l forme. O pose '. O effecte e réécritre de f costte d'jstemet f. O vet fire «ster» le por retrover le (c est lgge imgé mis qi le mérite de prler). ' f (O tilise le tble : ' Doc les primitives de f sr sot les foctios défiies pr k k k 5 5 ) Eemple f : 5 5 si cos k (k k Détermier les primitives de f sr. f est cotie sr doc elle dmet des primitives sr..) O effecte e réécritre de 5 si cos f f 5 ' (O tilise le tble : ' f..) Doc les primitives de f sr sot les foctios défiies pr 5 k k. 5 k k 5 cos k k 5 cos k. O pet ssi écrire : ) Eemple f : 5 cos Détermier les primitives de f sr. f est cotie sr doc elle dmet des primitives sr. O fit l primitive terme à terme. Les primitives de f sr sot les foctios défiies pr k 5 si k 5 k si k 5 si cos f. O pese à l forme O pose cos '. '. si 9

6 5 ) Eemple 5 f : Détermier les primitives de f sr. O pese à l forme '. O pose. ' O effecte e réécritre de f. ' f (O tilise le tble : ' l ) Doc les primitives de f sr sot les foctios défiies pr l l k k. Vlers bsoles de sécrité (q o pet elever près voir costté qe l epressio est strictemet positive). l k k. VII. Primitives et clcltrices Il y ps d pplictio d type Symbolic por détermier des primitives sr l clcltrice. O pet cepedt dériver le résltt obte pr primitivtio. O pet retrer les formles de primitives ds les clcltrices.