Fonctions d une variable réelle

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1 Fonctions d une variable réelle BTS Table des matières Fonctions usuelles. Fonctions en escalier Fonctions affines Fonction logarithme Fonction eponentielle Fonctions puissance Limites 5. Interprétation graphique Limites des fonctions usuelles Opérations sur les ites Limite d une somme Limite d un produit Limite d un quotient Compositions Calcul de ites dans les cas de formes indéterminées Croissance comparée de l eponentielle, du logarithme et des fonctions puissance... 0 Dérivation 0. Nombre dérivé en un point Fonction dérivée Opérations Dérivées successives Équation de la tangente Étude des variations d une fonction 4. Lien entre dérivation et sens de variation d une fonction Etremum d une fonction Résolution de l équation f() = λ Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - /5

2 Fonctions usuelles. Fonctions en escalier Définition Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles. Eercice La fonction définie sur [ 8 ;+ [ par f() = fonction en escalier. 6 si 8 < 6 si 0 si 0 < < 4 si 4 est une Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur IR par f() = a+b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d équation y = a+b, où : Le réel a est le coefficient directeur de cette droite. Le réel b est l ordonnée à l origine. Une fonction affine est dérivable sur IR de dérivée f () = a. D où les tableau de variation suivants : a > 0 b + a signe de f () + variations + de f signe de f 0 + a < 0 b + a signe de f () variations + de f signe de f 0 + Eercice Le graphique ci-contre représente les droites d équation : d : y = + d : y = d : y = d 4 : = d 5 : y = 4. Fonction logarithme d 4 d 0 d d d 5 Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - /5

3 Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est l unique primitive de la fonction définie sur ] 0 ; + [ qui s annule en. Conséquences directes : ln() = 0, la fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; + [ et pour tout > 0, ln () =. Propriété Soit a et b deu réels strictement positifs et n est un entier naturel, alors : ( a ln(ab) = ln(a)+ln(b). ln = ln(a) ln(b). ( ) b) ln = ln(a) ln(a n ) = nln(a) ln( a) = a ln(a). Eercice ( ) Transformations ( ) d epressions numériques et algébriques : 9 6 ln = ln = ln(6) ln(9) = ln( 4 ) ln( ) = 4ln() ln() ln( 96) = ln(96) = ln(5 ) = [5ln()+ln()]. ln(+)+ln(+) = ln[(+)(+)] = ln( +7+) pour ] [ ; +. Propriété 0 +ln = ln = +. Conséquence graphique : La droite = 0 est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln. D où le tableau de variations et la courbe : 0 + f () + + f signe y = ln() e Fonction eponentielle Définition La fonction eponentielle est la fonction définie sur IR par ep() = e, e étant l unique nombre réel positif dont le logarithme vaut. Remarque : Les fonctions eponentielle et logarithme sont réciproques l une de l autre : Pour tous réels et y > 0, y = e ln(y) = et ln(e ) = et e lny = y Graphiquement, les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice (y = ) dans un repère othonormal. Conséquences directes : ep() = e > 0 et ep() = e = e,78. Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - /5

4 Propriété Soient a et b deu réels et n est un entier relatif, alors : e a e b = e a+b ea e = b ea b e = a e a (e a ) n = e an. Eercice 4 Transformations d epressions numériques et algébriques : e e e 4 (e ) = e ++6 = e 7. e + e + = e (+)+(+) = e +4. (e ) = e. Propriété e = 0. e = +. Conséquence graphique : La droite d équation y = 0 est donc une asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction ep. Propriété La fonction eponentielle est dérivable sur IR de dérivée (e ) = e. D où le tableau de variations et la courbe : 0 + f () + + f 0 signe + y = ep().5 Fonctions puissance Définition Soit α un nombre réel, la fonction puissance (d eposant) α, notée f α est la fonction qui, à tout nombre IR + associe f α () = α = e αln Eercice 5 Dans le cas où α =, on a f () = = e ln =. Propriété Pour tout α, la fonction f α est dérivable sur IR + de dérivée f α () = αα. Sens de variation : Dans le cas où α = 0, la fonction f 0 () = 0 = est constante sur IR +. Dans le cas où α 0, f α () = αα est du signe de α sur IR +. D où les tableau de variation suivants : α < signe de f α() variations + de f α 0 signe de f α + Allure des courbes représentatives des fonctions puissance : α > signe de f α() + variations + de f α 0 signe de f α + Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 4/5

5 4 y = 0.5 y = y = 4 y = y = y = Limites. Interprétation graphique Limite en un point : f() = Il n y a pas d asymptote. Limite en : f() = + La courbe admet une asymptote verticale d équation = f() = La courbe admet une asymptote verticale d équation = f() = La courbe admet une asymptote horizontale d équation y = f() = + Il n y a pas d asymptote. 5 6 f() = Il n y a pas d asymptote. Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 5/5

6 Définition Soit f une fonction et d la droite d équation y = a+b tel que : [ ] f() (a+b) = 0 ± on dit alors que la droite d est une asymptote oblique à la courbe représentative C f en ±. Eercice 6 Soit f la fonction définie sur IR par f() = + +. On a f() ( ) + = [ ( )] ( ) et donc f() + = = 0. Ainsi la courbe admet une asymptote oblique d équation y = +.. Limites des fonctions usuelles Voici un tableau qui résume les différentes ites des fonctions de référence (la notation signifie qu il faut appliquer la règle des signes ). f() n, n IN = n n, n IN α, α > 0 α, α > 0 ln ep cos sin 0 indéfini indéfini indéfini 0 + aucune aucune 0 indéfini indéfini indéfini aucune aucune. Opérations sur les ites Dans tout ce qui suit, la notation FI désigne une Forme Indéterminée, c est à dire qu on ne sait pas déterminer directement, sans autre calcul, par une règle élémentaire. Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 6/5

7 .. Limite d une somme f l l + g l ± + + (f +g) l+l ± + FI Eercice 7 Calcul de sommes de ites : 0 e = 0 = 0 = 0 = + 0 (e + ) =. ln = + = + = = = + = ( ) + = + (ln+ ) = +. (+ ) =. ( + ) est une forme indéterminée du type... Limite d un produit f l l 0 ± 0 g l ± ± ± (f g) l l FI Eercice 8 Calcul de produit de ites : 0 (e +) = 4 0 (e ) = ( ) = = + ( ) = = ( +) = + = 0 0 [(e +) (e )] =. 0 + [ ( ) ] = [( ) ] = +. [ ( +) ] est une forme indéterminée du type 0... Limite d un quotient f l l l ± ± 0 ( g ) l 0 ± 0 l ± 0 f l 0 FI FI g l Eercice 9 Calcul de quotients de ites : Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 7/5

8 0 (e +) = 4 0 e ) = ( ) 0 = = + = 0 + = = ln ( ) = + ( ) = = 0 = 0 = Compositions ( ) e + = e 5. e ( ) = 0. ( ) =. ( ) ln = +. ( ) est une forme indéterminée. 0 + ( ) est une forme indéterminée. Propriété Soient deu fonctions : f définie de I dans J et g de J dans IR. a Si f() = b g() = c alors (g f)() = g[f()] = c. a a b Eercice 0 Calcul de composition de ites : (+) = X ex = 0 e+ = 0. (+) = + lnx = + (+4) = 4 0 X = X =. ln(+) = +..4 Calcul de ites dans les cas de formes indéterminées Dans ce cas, toutes les situations sont a priori possibles : eistence d une ite finie, nulle ou non; eistence d une ite infinie; absence de ite. Les quatre cas d indétermination des ites sont : f() g() Limite indéterminée type d indétermination + f()+g() 0 ± f() g() f() 0 ± ± g() f() g() Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 8/5 0

9 Eercice Indétermination du type, par eemple : ( ) = + En effet, = + donc ( ) estuneformeindéterminée dutype. Le terme prépondérant est que l on met donc en facteur : f() = = ( = + ( ) = d où f() = +. Remarques : De manière générale, le comportement d une fonction polynomiale en ± est dicté par le comportement de son terme de plus haut degré en ±. De manière tout aussi générale, pour lever l indétermination dans une somme ou soustraction de termes, on factorise par le terme prépondérant (le terme de plus haut degré dans une epression polynômiale...) Eercice Indétermination du type : ( ++) = + ( ) ++ est une forme indéterminée du type ( ) = +. Pour 0, on factorise par( la puissance de maimale et on simplifie : + + ) f() = ++ ( + ( ) + = ( ) = ) = = f() = Remarque : De manière générale, le comportement d une fraction rationnelle en ± est dictée par le comportement du quotient des deu termes de plus haut degré. Eercice Indétermination du type 0 : = 0 [ ] ( +) = + ( +) est uneformeindéterminée dutype 0. On développe : f() = ( +) = +. = + = d où f() = Eercice 4 Indétermination du type 0 : ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 est une forme indéterminée du type 0 0. On factorise : f() = = ( )(+) = +. ( ) = 0 donc : f() = 0. Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 9/5 ).

10 .5 Croissance comparée de l eponentielle, du logarithme et des fonctions puissance Propriété Pour tout nombre réel α > 0 : En particulier, pour α =, ln ln = 0 et, α = 0, et e α = +, e = +. L idée à retenir : En +, on a l ordre de prépondérance : ln < α < e Corollaire Pour tout α > 0, 0 α ln = 0 et α e = 0. En particulier, pour α =, 0 ln = 0 et e = 0. Dérivation Dans cette partie, f est une fonction numérique définie sur un intervalle I, C sa courbe représentative dans un repère. a et sont deu réels distincts de I. Nombre dérivé en un point On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approimation de la fonction f au voisinage d un point d une courbe. Eercice 5 Pour h voisin de 0, on a : (+h) = +h+h donc, quand h tend vers 0 : (+h) +h. (+h) = +h+h +h donc, quand h tend vers 0 : (+h) +h. +h = h+ h +h donc, quand h tend vers 0 : +h h. Définition Soit f une fonction définie en a et au voisinage de a, on dit que f est dérivable en a s il eiste un réel A est une fonction ǫ tels que, au voisinage de h = 0, on a : f(a+h) = f(a)+ah+hε(h), avec h 0 ǫ(h) = 0. A est appelé nombre dérivé de f en a, et est noté f (a). Eercice 6 On considère la fonction définie sur IR par f() =. f(a+h) = (a+h) = a +ah+h = f(a)+ (a)h + h h = f(a)+ Ah + hε(h) Donc, f est dérivable en a de nombre dérivé A = a : f (a) = a. Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 0/5

11 Définition Le tau de variation de la fonction f entre a et est le quotient : f() f(a). a Avec = a+h a = h, ce quotient s écrit aussi : f(a+h) f(a). h f est dérivable en a et on note cette dérivée f (a) si la ite suivante eiste : f f(a+h) f(a) (a) =. h 0 h Eercice 7 Soit f définie sur IR par f() =. le tau de variation de f entre a et a+h est : f(a+h) f(a) = (a+h) a = a +ah+h a h h h donc, f (a) = (a+h) = a. h 0 En particulier, f () = 6, f (0) = 0... = ah+h h = a+h. Interprétation graphique : Lorsque h se rapproche de 0, le point M se rapproche du point A. Ainsi, la droite (AM) se rapproche de la tangente T au point A f (a) correspond au coefficient directeur de la tangente T au point d abscisse a. f(a+h) f(a) A T M a a+h. Fonction dérivée Définition Soit f une fonction dérivable en tout point d un intervalle I, alors la fonction qui à associe f () est appelé fonction dérivée de f sur I. On obtient le tableau de dérivation suivant : Fonction f Fonction f Ensemble de définition de f k 0 IR a+b a IR IR IR + α α α IR si α IN ou IR si α Z ou IR + ln() IR + e e IR sin() cos() IR cos() sin() IR si α IR Eercice 8 Calculer la dérivée des fonctions suivantes : f() = f() = f() = f() = 4 Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - /5

12 . Opérations u et v sont deu fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I. Opération Fonction Dérivée Addition u+v u +v Multiplication par un nombre k u avec k IR k u Multiplication u v u v +u v Puissance u n n u u n u u v u v Division v v Inverse v v v Fonction composée f g f g g eponentielle e u u e u logarithme ln(u) sinus sin(u) u cos(u) cosinus cos(u) u sin(u) u u Eercice 9 Calcul de dérivées : f() = ++ : On utilise la formule (u+v) = u +v avec u() = et v() = +. On obtient f () = +. f() = ( +4) : on utilise la formule (ku) = ku avec k = et u() = +4. On obtient f () = 6. f() = ( + )(5 ) : On utilise la formule (uv) = u v + uv avec u() = + et v() = 5. On obtient f () = 0+. f() = ( 7) : on utilise la formule (u ) = uu avec u() = 7. on obtient f () = 4( 7). f() = ( u ) + : On utilise la formule u v uv = avec u() = et v() = +. v v on obtient f () = ( +) f() = + on obtient f () = : On utilise la formule ( +). ( ) = v avec v() = +. v v f() = e + : On utilise la formule (e u ) = u e u avec u() = +. on obtient f () = e +. f() = ln( +5) : On utilise la formule (lnu) = u u on obtient f () = +5. avec u() = +5. f() = cos(+) : On utilise la formule cos (u) = u sin(u) avec u() = +. on obtient f () = sin(+). Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - /5

13 .4 Dérivées successives Définition Soit f une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les dérivées successives de f notées : f, f, f, f (4),..., f (n). Eercice 0 Soit f la fonction définie sur IR par f() = ++, alors f () =... f () =... f () =... f (4) =... f (5) =... f (07) =... En physique et en mécanique, on utilise la notation différentielle : df d = f et d f d = f Eercice Dans un circuit R, L, C en série, on a : i = dq dt. e = L di dt. donc : e = L d q dt. R L C Si par eemple, q = 5cos(t), alors i = 5sin(t) et e = 5Lcos(t)..5 Équation de la tangente Propriété Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et dérivable en a I. La tangente T a en a à la courbe C f a pour équation : T a : y = f (a)( a)+f(a). Eercice Soit f() = +. Les équations des tangentes T 0 en 0 et T en sont : f () = f (0) = 0 donc T 0 : y = 0 ( 0)+f(0) =. f ( ) = donc T : y = (+)+f( ) = +. 4 Étude des variations d une fonction 4. Lien entre dérivation et sens de variation d une fonction Le nombre dérivé f () de la fonction en est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d abscisse. Ainsi, si ce coefficient directeur f () est positif, la tangente est une droite croissante, donc la courbe et la fonction aussi, au voisinage de. Si f () est négatif, la fonction est donc décroissante au voisinage de. Plus précisément : Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - /5

14 Propriété On suppose que f est dérivable sur I. f est croissante sur I f () 0 pour tout I. f est décroissante sur I f () 0 pour tout I. f est constante sur I f () = 0 pour tout I. Il est donc possible de déterminer les variations d une fonction à partir du signe de sa dérivée. Eercice Étude d une fonction polynôme : f() =. Pour tout réel on a f () = 6 6 = 6( ). On détermine le signe du trinôme du nd degré en cherchant ses racines et on trouve et. On connaît alors le signe de la dérivée et on en déduit immédiatement les variations de la fonction f : + signe de f () variations de f ր ց ր f est croissante sur ] ; ] et sur [ ;+ [ et décroissante sur [ ; ]. Eercice 4 Etude d une fonction logarithme : g() = + ln. g est définie et dérivable sur IR + avec, pour tout réel > 0, g () = 4 = 4 (+)( ). = Le trinôme du second degré du numérateur 4 admet racines et signe de g () variations de g ց ր Eercice 5 Etude d une fonction eponentielle : h() = (+) e. h est définie et dérivable sur IR. Pour tout réel on a h () = e +(+) ( e ) = ( ) e = ( ) e. + + e + + signe de h () + 0 e variations de h ր ց 0 Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 4/5

15 4. Etremum d une fonction Propriété f est une fonction dérivable sur l intervalle I. Si f admet un etremum (minimum ou maimum) en a distinct des etrémités de I, alors f (a) = 0. Remarque :Attention, la réciproque n est pas vraie : le fait que f (a) = 0 n implique pas forcément qu il eiste un etremum en a. y = Eercice 6 La fonction f() = est définie et dérivable sur IR. f () = donc, f (0) = 0 mais f n admet ni minimum, ni maimum en 0. Remarque : La tangente à la courbe en un point a où f (a) = 0 est parallèle à l ae des abscisses. 4. Résolution de l équation f() = λ Propriété Si f est une fonction continue, dérivable et strictement croissante [resp. décroissante] sur un intervalle [a;b] alors, pour tout λ [f(a);f(b)] [resp. [f(b);f(a)]], l équation f() = λ admet une solution unique sur l intervalle [a;b]. f(b) λ f(a) A B a b Eercice 7 Soit f() = ++ = 0. On cherche à résoudre l équation f() = 0 à 0 près. f est définie et dérivable sur IR, avec pour tout réel, f () = +. f est strictement positive sur IR, on en déduit que f est strictement croissante sur IR. on calcule f( ) = et f(0) =. D après le théorème, 0 [f( );f(0)] = [ ;], l équation f() = 0 admet donc une solution unique dans l intervalle [ ; ]. A la calculatrice, on trouve f( 0,7) = 0,04 < 0 et f( 0,6) = 0,84 > 0. La racine vaut donc 0,7 à 0 près. Y. Morel - ymaths.free.fr/bts/ Fonctions d une variable réelle - BTS - 5/5