Rappels pour le devoir du 13 avril Seul ce document sera autorisé

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1 Université de Nouakchott (Mauritanie) 2 avril 204 Faculté des Sciences et Techniques, Déartement de Maths et Informatique (DMI) Master de Mathématiques, sécialité Algèbre, théorie des nombres et Alications Cours de Théorie Analytique des Nombres ar Michel Waldschmidt 6 6 avril 204 Raels our le devoir du 3 avril Seul ce document sera autorisé La fonction caractéristique d un sous-ensemble E de, 2,... } est la fonction arithmétique qui rend la valeur aux éléments de E et la valeur 0 ailleurs. On écrit la décomosition en facteurs remiers d un entier n sous la forme n = v(n) où le roduit est étendu à l ensemble des nombres remiers et où les v (n) sont des entiers 0. Pour chaque n 2, l ensemble v (n) 0 } est fini. Une fonction multilicative est déterminée ar ses valeurs f( a ) avec remier et a, ar la formule f(n) = f( v(n) ). Une fonction comlètement multilicative est déterminée ar ses valeurs f() avec remier, ar la formule f(n) = f() v(n). Une fonction fortement multilicative est déterminée ar ses valeurs f() avec remier, ar la formule f(n) = f(). n Une fonction arithmétique est multilicative si et seulement si sa série de Dirichlet D(f, s) = n f(n)n s s écrit sous forme de roduit eulérien D(f, s) = ( ) f( ν ) νs. ν=0

2 Exemles D(δ, s) = D(, s) = ζ(s) = n s = s n D(j k, s) = ζ(s k) =, j(n) = n fonction identité, k C s+k D(κ, s) = ζ(2s) =, κ fonction caractéristique des carrés 2s D(µ, s) = ζ(s) = ( s ), µ fonction de Möbius, µ = δ D(ϕ, s) = ζ(s ) ζ(s) = D( µ, s) = D(µ 2, s) = ζ(s) ζ(2s) = D(σ k, s) = ζ(s k)ζ(s) = D(τ, s) = ζ(s) 2 = D(2 ω, s) = ζ(s)2 ζ(2s) = D(λ, s) = ζ(2s) ζ(s) = s, ϕ indicatrice d Euler, ϕ = j µ s+ ( + s ), µ κ = ( s )( s+k ), σ k = j k, σ k (n) = d n ( s ) 2, τ =, τ(n) = d n + s s, τ = 2ω κ, 2 ω µ = δ = σ 0 (n) + s, λ µ = δ, λ = ( )Ω fonction de Liouville d k D(log, s) = ζ (s) D(Λ, s) = ζ (s) ζ(s), Λ fonction de Von Mangoldt htt:// 2

3 Université de Nouakchott (Mauritanie) 3 avril 204 Faculté des Sciences et Techniques, Déartement de Maths et Informatique (DMI) Master de Mathématiques, sécialité Algèbre, théorie des nombres et Alications Cours de Théorie Analytique des Nombres ar Michel Waldschmidt 6 6 avril 204 Devoir en tems limité: 3 avril 204 0h-2h Seul document autorisé : le rael du cours (2 avril 204) Existe-t-il une fonction multilicative f telle que f(2) = f(4) = 3? Existe-t-il une fonction comlètement multilicative f telle que f(2) = f(4) = 3? Existe-t-il une fonction fortement multilicative f telle que f(2) = f(4) = 3? Dans chacun des trois cas, si la réonse est oui, donner un exemle, si la réonse est non, dire ourquoi. 2 Montrer qu une fonction arithmétique f qui ossède deux des trois roriétés suivantes ossède aussi la troisième. (a) f est comlètement multilicative. (b) f est fortement multilicative. (c) f ne rend que les valeurs 0 ou, ce qui signifie que f est une fonction caractéristique, à savoir la fonction caractéristique de n f(n) = }. 3 Soient a et b deux entiers 2. On désigne ar d le gcd (lus grand commun diviseur) de a et b et ar m le cm (lus etit commun multile) de a et b. (a) Quel est le gcd de d et m? (b) Écrire la décomosition en facteurs remiers de d et de m. (c) Montrer que si f est une fonction multilicative, on a f(a)f(b) = f(m)f(d). 4 Soit 0 un nombre remier. On considère la fonction comlètement multilicative f 0 définie ar si 0, f 0 () = 0 si > 0.

4 Quel est l ensemble dont f 0 est la fonction caractéristique? Quel est le roduit eulérien de f 0? 5 On définit une fonction arithmétique l ar la condition µ(d) si n = d 2 l(n) = 0 si n n est as un carré Quel est l ensemble dont l 2 est la fonction caractéristique? Montrer que l est une fonction multilicative. Quelle est la fonction l µ? Quelle est la série de Dirichlet D(l, s)? Quel est son roduit eulérien? Quel est l inverse de l our la convolution dans l anneau des fonctions arithmétiques? htt:// 2

5 Université de Nouakchott (Mauritanie) 3 avril 204 Faculté des Sciences et Techniques, Déartement de Maths et Informatique (DMI) Master de Mathématiques, sécialité Algèbre, théorie des nombres et Alications Cours de Théorie Analytique des Nombres ar Michel Waldschmidt 6 6 avril 204 Corrigé du devoir en tems limité: 3 avril 204 Existe-t-il une fonction multilicative f telle que f(2) = f(4) = 3? Oui, il y en a beaucou. Un exemle est 3 Ω. Un autre est si n est imair, f (n) = 3 si n est air. Un autre est si n =, f 2 (n) = 3 si n est une uissance de 2 0 sinon, Quand on se donne, our chaque coule, a avec remier et a, un nombre b,a, ici avec la condition b 2, = b 2,2 = 3, il existe une et une seule fonction f multilicative satisfaisant f( a ) = b,a : elle est définie ar f(n) = b,a. Existe-t-il une fonction comlètement multilicative f telle que f(2) = f(4) = 3? Non, une fonction comlètement multilicative satisfait f(4) = f(2) 2. Existe-t-il une fonction fortement multilicative f telle que f(2) = f(4) = 3? Oui: ar exemle 3 Ω. Quand on se donne, our chaque nombre remier, un nombre b, ici avec la seule condition b 2 = 3, il existe une et une seule fonction f multilicative satisfaisant f() = b : elle est définie ar f(n) = n b. Pour b = 3 our tout on trouve 3 Ω. Si on rend 3 si = 2, b = 0 si est un nombre remier imair, 3

6 on trouve la fonction f 2 ci dessus. 2 La condition f() a = f() our tout a équivaut à f() égal à 0 ou. Une fonction multilicative dont les valeurs aux entiers de la forme a sont 0 ou ne rend comme valeurs que 0 et. Par conséquent: Si f est comlètement et fortement multilicative, alors f( a ) = f() a et f( a ) = f(), donc f() a = f() our tout a ; il en résulte que our tout n, f(n) vaut 0 ou, donc que f est une fonction caractéristique. Si f est comlètement multilicative et est une fonction caractéristique, alors f() vaut 0 ou, donc f() a = f() our tout a. Comme f( a ) = f() a, on en déduit f( a ) = f() our tout a, ar conséquent f est fortement multilicative. Si f est fortement multilicative et est une fonction caractéristique, alors f() vaut 0 ou, donc f() a = f() our tout a. Il résulte alors de f( a ) = f() que f( a ) = f() a our tout a, ar conséquent f est comlètement multilicative. 3 (a) Le gcd de d et m est d uisque d divise m. (b) On a d = minv(a),v(b)}, m = maxv(a),v(b)}. (c) Posons x = minv (a), v (b)} et y = maxv (a), v (b)}. On a f(d) = f( x ), f(m) = f( y ). Comme on en déduit et ar conséquent f(a)f(b) = f(d)f(m). x, y } = v (a), v (b)} f( x )f( y ) = f( v(a) )f( v(b) ) 4 C est un résultat du cours. L ensemble dont f 0 est la fonction caractéristique est l ensemble des entiers dont tous les facteurs remiers sont 0, ce que l on note P (n) 0, et D(f 0, s) = s. 0 4

7 5 Les entiers d tels que µ(d) soit non nul sont les nombres sans facteur carré, c està-dire les roduits de nombres remiers distincts r (avec r 0). Les entiers n tels que l(n) soit non nul sont les carrés des nombres sans facteurs carrés, c est-à-dire les nombres n de la forme n = 2 2 r avec,..., r remiers deux-à-deux distincts (et r 0). Ce sont aussi les n tels que v (n) vaut 0 ou 2 our tout. La fonction l 2 = l est la fonction caractéristique de cet ensemble: E = 2 2 r,..., r remiers deux-à-deux distincts et r 0}. On inclut r = 0 arce que E. Si est un nombre remier et b un entier 0, on a si b = 0, l( b ) = si b = 2, 0 sinon. Pour n = a ar r avec a i et i remiers deux-à-deux distincts, on a ( ) r si a = = a r = 2, l(n) = 0 sinon. Par conséquent l(n) = l( a ) l(ar r ), ce qui signifie que l est une fonction multilicative. La fonction l µ est la fonction multilicative définie ar les conditions, our remier et a a si a =, (l µ)( a ) = l( b )µ( b a ) = si a = 2, b=0 0 si a 3. On eut noter que l µ est la fonction caractéristique des entiers n tels que v (n) 2 our tout n (entiers sans facteurs cubiques). Pour n = r 2 r+ 2 r+s, on a (l µ)(n) = ( ) r. Le roduit eulérien de l est D(l, s) = l( a ) as = ( 2s ). a 0 Ceci montre que D(l, s)d(κ, s) =, ar conséquent l inverse de l our la convolution dans l anneau des fonctions arithmétiques est κ. On le vérifie aussi en calculant ar exemle l. Pour remier et a, on a a (l )( a ) = l( b si a =, ) = 0 si a 2, b=0 5

8 donc (l )( a ) = µ ( a ), et ar conséquent l = µ. On en déduit d une art D(l, s) = D( µ, s) D(, s) = ζ(2s) et d autre art On eut encore écrire et l κ = µ κ =, donc l κ = δ. l = µ µ l µ = µ µ µ. htt:// 6