INTÉGRALES. I Définition. Définition. Remarques. Exemple. Exercice 01 (voir réponses et correction)

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1 INTÉGRALES I Définition Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; ]. Soit (C) s coure représenttive dns un repère orthogonl (O; i, j). On ppelle intégrle de à de l fonction f, et on note l'ire, en unités d'ire, de l prtie du pln limitée pr l coure (C), l'xe Ox et les droites d'équtions x = et x =, c'est-à-dire l'ensemle des points M(x ; y) tels que x y f(x). Remrques On dit que et sont les ornes de l'intégrle. se lit : "intégrle de à de ". L vrile t est ppelée vrile "muette", cr elle n'intervient ps dns le résultt finl. On peut remplcer t pr n'importe quelle utre vrile : = f(u) du = f(x). L'unité d'ire est l'ire du rectngle défini pr les vecteurs i et j. Si le repère pour unités grphiques cm sur l'xe Ox et 3 cm sur l'xe Oy, lors l'unité d'ire est 6 cm. j i unité d'ire (C) Exemple Si f est une fonction constnte positive k, lors correspond à l'ire d'un rectngle. On k dt = k( - ). k j i k dt Exercice (voir réponses et correction) On considère l'rc de l prole (P) d'éqution y = x représenté ci-contre, dns un repère orthonormé, sur l'intervlle [; ]. L'unité étnt divisée en, un petit crreu de l grdution cicontre mesure un centième d'unité d'ire. Compter le nomre n de petits crreux se trouvnt entièrement u-dessous de l coure. Compter le nomre n de petits crreux qui sont trversés pr l coure. On estime que l'ire sous l coure peut être évluée pr le nomre n + n x, Donner lors une évlution de x. Déterminer une primitive F de l fonction f définie pr f(x) = x. Clculer F() - F() et en donner une vleur pprochée à -3 près. O TS Intégrles pge / 6

2 Exercice (voir réponses et correction) On considère l fonction ffine f définie sur IR pr f(x) = x +. ) Représenter grphiquement f. Déterminer. - ) Déterminer une primitive F de f sur IR. Justifier que = F() - F(-) - Exercice 3 (voir réponses et correction) Soit f une fonction ffine définie sur IR pr : f(x) = αx + β. ) Déterminer une primitive F de f sur IR. ) Soient et deux réels tels que, f() ³ et f() ³. Justifier que = F() - F(). II Intégrle et primitives Théorème (voir démonstrtion ) Si f est une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ], l fonction F définie sur [; ] pr : F(x) = x est une primitive de f sur [; ]. F insi définie est l'unique primitive de f s'nnulnt en. Théorème (voir démonstrtion ) Toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives sur cet intervlle. Remrque Une fonction peut voir une primitive, sns qu'il soit possile d'en donner une expression à prtir des fonctions "usuelles". C'étit le cs pour x vnt que l'on ne définisse l fonction logrithme népérien. x C'est ussi le cs, pr exemple, pour l fonction x e -x et pour ien d'utres. Propriété (voir démonstrtion 3) Si f est une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; ] et si F est une primitive de f sur [ ; ], lors = F() - F() Remrque On note ussi F() - F() = F(t) qui se lit : "F(t) pris entre et ". Définition Soit f une fonction continue sur un intervlle I et soient I et I. On ppelle intégrle de à de l fonction f, le nomre réel = F() - F() où F est une primitive de f sur I. Remrques L définition ne dépend ps de l primitive choisie. Cette définition prolonge, à une fonction de signe quelconque, l notion d'intégrle donnée pour une fonction positive. Elle permet ussi de définir une intégrle dont les ornes ne sont ps dns l'ordre croissnt. TS Intégrles pge / 6

3 Exercice (voir réponses et correction) Clculer chcune des intégrles suivntes : 3 π (t + ) dt 3dt sin x t Dns chcun des cs fire pprître sur un dessin l'ire représentée pr l'intégrle. x x + Exercice 5 (voir réponses et correction) Clculer chcune des intégrles suivntes : (x - x ) - 3x 3 (x + 3)(x + 3x - 5) t 6dt Remrques Si f est une fonction continue et négtive sur [ ; ], correspond à l'opposé de l'ire, en unités d'ire, de l prtie du pln limitée pr l coure (C), l'xe Ox et les droites d'équtions x = et x =. - (C) Si f est une fonction continue qui chnge de signe sur [ ; ], correspond à l différence entre l'ire otenue lorsque f est positive et l'ire otenue lorsque f est négtive. + - (C) + Exercice 6 (voir réponses et correction) Clculer chcune des intégrles suivntes : (t 3 - ) dt - ( - x) 3 t - + t dt Fire pprître sur un dessin les ires représentées pr chcune des intégrles. Exercice 7 (voir réponses et correction) Clculer chcune des intégrles suivntes : - x + (x + x + ) α x + x + x π sin x Exercice 8 (voir réponses et correction) Clculer chcune des intégrles suivntes : x x t t + dt 3 - x x - 6x + Exercice 9 (voir réponses et correction) Clculer chcune des intégrles suivntes : - e x x e x - e x + e -x e x - e x + Exercice (voir réponses et correction) Le pln est rpporté à un repère orthonormé d'unité cm. Représenter grphiquement f définie sur IR pr f(x) = - x - x + 3. Clculer l'ire de l portion fermée du pln située entre l coure et l'xe Ox. TS Intégrles pge 3 / 6

4 III Propriétés - Vleur moyenne d'une fonction Remrque Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; c] et soit [ ; c]. Pr ddition des ires on peut remrquer que : + c = c (reltion de Chsles) c Propriétés (voir démonstrtion ) f et g étnt deux fonctions continues sur un intervlle I ;, et c étnt trois éléments de I et λ un réel, on : = ; = - + c = c (f + g)(t) dt = + g(t) dt ( λf )(t) dt = λ (Reltion de Chsles) Exercice (voir réponses et correction) ) Justifier que pour tout réel x : ) Clculer e x et 3 ) En déduire l vleur de e x + e x= e x - e x + e x e x + e x e x + e x Propriétés (voir démonstrtion 5) Soient f et g des fonctions continues sur [ ; ]. ( ) Si pour tout x de [ ; ] on f(x) ³, lors f(x) ³ Si pour tout x de [ ; ] on f(x) g(x), lors f(x) g(x) Remrques Les propriétés ci-dessus ne sont vlles que lorsque. Si f et g sont deux fonctions continues et positives telles que f(x) g(x) pour tout x [; ]. L'inéglité f(x) g(x) s'interprète de fçon immédite en termes d'ires. Dns ce cs l'ire comprise entre les deux coures est : g(x) - f(x) c'est-à-dire [g(x) - f(x)] (C f ) (C g ) Plus générlement si f et g sont deux fonctions continues telles que f(x) g(x) pour tout x [ ; ]. ( ) L'ire comprise entre les deux coures sur l'intervlle [ ; ] est : [g(x) - f(x)] (C f ) (C g ) TS Intégrles pge / 6

5 Exercice (voir réponses et correction) Déterminer, en unités d'ire, l'ire de l prtie du pln limitée pr l coure (C) représentnt l fonction f définie pr f(x) = x - x - 3, l droite D d'éqution y = x - 3 et les droites verticles d'équtions x = et x =. Fire un dessin. Exercice 3 (voir réponses et correction) On considère l fonction f définie sur IR pr f(x) = e x. On ne demnde ps de clculer les intégrles. ) Montrer que f(x) ³ - ) Montrer que f(x) e - Exercice (voir réponses et correction) On considère l fonction f définie sur ] ; + [ pr f(x) = x. Clculer A = e f(x). Interpréter grphiquement cette intégrle. Déterminer l huteur h du rectngle limité pr les droites d'équtions x = et x = e et l'xe Ox et ynt pour ire A. On dit que h est l vleur moyenne de l fonction définie pr f(x) = sur l'intervlle [ ; e]. x Définition Soit f une fonction continue sur un intervlle [ ; ] ( ) On ppelle vleur moyenne de f sur [ ; ] le nomre réel : m = - Remrque Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; ] ( ) Soit (C) s coure représenttive dns un repère orthogonl (O; i, j). L vleur moyenne de f sur [; ] est le nomre réel m tel que : = m ( - ) m est donc le nomre réel pour lequel l'ire du rectngle est égle à l'ire sous l coure de f. m (C) Exercice 5 (voir réponses et correction) Déterminer l vleur moyenne de chcune des fonctions sur l'intervlle considéré. f(x) = x sur [; ] g(x) = e x sur [- ; ] h(x) = cos x sur ; π Dns chcun des cs fire pprître cette vleur moyenne sur un grphique. Exercice 6 (voir réponses et correction) Déterminer l vleur moyenne de l fonction sinus sur une période (c'est-à-dire sur un intervlle de l forme [ ; + π]). Exercice 7 (voir réponses et correction) Soit n un entier nturel non nul. On pose u n = exp - x ) Démontrer que pour tout x [; ] on : exp - n exp - x n ) En déduire un encdrement de u n. 3 ) Démontrer que l suite (u n ) une limite que l'on déterminer. n. (exp désigne l fonction exponentielle) TS Intégrles pge 5 / 6

6 Exercice 8 (voir réponses et correction) On considère les fonctions : f définie sur ] ; + [ pr f(x) = x et g définie sur IR pr g(x) = -x + x +. Représenter grphiquement f et g dns le pln rpporté à un repère orthonormé et étudier les positions reltives des coures. Clculer, en unités d'ire, l'ire de l prtie fermée du pln limitée pr ces deux coures. Exercice 9 (voir réponses et correction) Soient f et g les fonctions définies sur IR pr : f(x) = (x + ) cos x et g(x) = (x + ) sin x On pose I = π f(x) et J = π g(x) ) Clculer I + J. ) Justifier que I - J = π (x + ) cos x 3 ) On considère l fonction h définie pr h(x) = (x + ) sin x. Clculer h'(x) et en déduire une primitive de l fonction x (x + ) cos x. ) Clculer I - J et en déduire les vleurs de I et de J. 5 ) Clculer les vleurs moyennes de f et de g sur l'intervlle ; π. Exercice (voir réponses et correction) Une société d'chts en ligne veut nlyser le déroulement d'une vente promotionnelle «flsh» qu'elle orgnisée sur Internet. Cette vente, d'une durée nnoncée de trois minutes, provoqué sur son site un flux finncier que l'on peut supposer continu et dont l vitesse instntnée été vrile en fonction du temps. On pu modéliser cette vitesse pendnt les trois minutes de l'ouverture du site pr l fonction f définie pr f(t) = t exp - t où t est le temps, exprimé en minutes ( t [ ; 3] ) et f(t) l vitesse instntnée de ce flux, exprimée en milliers d'euros pr minute. L représenttion grphique de f est donnée ci-contre. ) Déterminer une primitive F de l fonction f. ) En déduire l'ire du domine pln limité pr l'xe des scisses, l coure C f et les droites d'équtions t = et t = 3, exprimée en unités d'ire. 3 ) Quelle est l vleur moyenne de f sur [ ; 3]? ) Quelle été l somme totle trnsférée à l fin des trois minutes (à un euro près)? Exercice (voir réponses et correction) ) Soit f l fonction définie sur IR pr f(x) = e x sin x. Démontrer que f est croissnte et positive sur ; 3π. )Soit J = f(x). Interpréter J en termes d'ire. Justifier que f() J f(). 3 ) On coupe l'intervlle [ ; ] en deux intervlles de même mplitude : [ ;,5] et [,5 ; ]. Justifier que x [f() + f(,5)] J x [f(,5) + f()]. Interpréter grphiquement. ) On coupe l'intervlle [; ] en dix intervlles de même mplitude. Justifier que x [f() + f(,) + + f(,9)] J x [f(,) + f(,) + + f()]. 5 ) On générlise le procédé ci-dessus en coupnt l'intervlle [; ] en n intervlles de même mplitude. Écrire un lgorithme permettnt d'otenir un encdrement de J en fonction de l vleur de n. Quel encdrement de J otient-on pour n =? pour n =? Modifier l'lgorithme pour voir un encdrement de J d'mplitude,. Quelle est lors l vleur de n? TS Intégrles pge 6 / 6