Transformée de Laplace

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1 Transformée de Laplace Ecole d'electricité, de Production et des Méthodes Industrielles 3, Boulevard de l'hautil CERGY-PONTOISE CEDEX Tél. : Fax : contact@epmi.fr Dr. K. LABADI Cours d Automatique 2008/2009 (ère année Ingénieur)

2 Plan Transformée de Laplace Propriétés de Transformée de Laplace Transformée inverse Application aux équations différentielles 2

3 Introduction L étude des systèmes continus nécessitent des opérations pouvant être complexes dans le domaine temporel : Résolution des équations différentielles Dérivation Intégration Produit de convolution; En lieu de travailler dans le domaine temporel, on va travailler dans un autre domaine où ces opérations deviennent plus simples. Transformée de Laplace 3

4 Transformée de Laplace Il s agit d un outil mathématique utilisé en automatique continue pour : La résolution des équations différentielles Le calcul de la fonction de transfert d un système L analyse de la réponse d un système L analyse des performances d un système 4

5 Idée f(t) Transformée de Laplace F(p) F(p)= f(t) e 0 -pt d(t) F(p) est appelée transformée de Laplace de f(t) Notations: f(t) TL F(p) F(p) = TL{ f(t) } 5

6 Transformée de Laplace Définition Soit f une fonction continue et supposée nulle pour t < 0 On appelle Transformée de Laplace de f, la fonction F(p) définie par: F(p)= f(t) e 0 -pt d(t) où p est une variable complexe 6

7 Exemple TL d un échelon unitaire : f(t) = u(t), t 0 f(t) t TL{ f(t) } = 0 -pt e dt = -pt e - p 0 = p TL{ u(t) } = p 7

8 Exemple 2 TL de la fonction : f(t) = e at,t 0 f(t) { -at TL e } { -at} TL e = p + a 0 ( -at ) -pt e = e dt t -(a+p)t - e = = p + a p + a 0 8

9 Table des TL Pour éviter de faire des calculs d intégrales, nous disposons d une table contenant les transformées de Laplace des fonctions usuelles. Nous utilisons un ensemble de propriétés permettant le calcul des TL des fonctions plus complexes (qui n apparaissent pas dans la table) 9

10 Propriétés fondamentales 0

11 Propriétés Addition TL[f(t) + g(t)] = F(p) + G(p) Exemple: Déterminer la TL de: f(t) = cos t u(t) Table des TL { } p TL cost = p 2 + TL{ u(t) } = p { } 2 p TL f(t) = - p p +

12 Propriétés Linéarité TL[ a f(t) + b g(t)] = a F(p) + b G(p) Exemple: Déterminer la TL de: f(t) = 2sin t 3cos t Table des TL { } TL cos t = p 2 + { } p TL sin t = p 2 + TL{ f(t) } = 2 3p p 2 + p 2 + 2

13 Propriétés Dérivation df(t) TL[ ] dt = p F(p) - f ( 0) Exemple: Déterminer la TL de f(t) = (sin t) d(sin t) TL{ } dt = p TL{sin t} = p p 2 + «Dériver c est multiplier par p» Cette propriété, qui fait la richesse de la TL sera largement utilisée dans les équations différentielles 3

14 Propriétés Formule générale de la Dérivation n n n n n i= 0 df (t) ( n i) i TL[ ] = p F(p) - p f 0 dt Autrement : ( ) df (t) n n- n-2 0 n TL[ ] = p F (p) - (p f(0) ) - (p f (0)) ( p f (0)) n dt 2 df (t) 2 TL[ ] = p F( p) - pf(0) - f( 0) 2 dt 4

15 Propriétés Intégration t TL[f(t)dt] = 0 F(p) p Exemple: déterminer la TL de TL{ ( ) sin t dt} = TL{sin t} f() t = (sin t) dt = p(p + ) p 2 Formule générale TL... f(t)dt = F(p) t 0 n p 5

16 Théorème du retard () Retard temporel TL[f ( t - τ )] -τp ( ) = e F p Exemple: déterminer la TL de f(t) = u(t - 3) TL{u(t)}= p TL{u(t - 3)} = -3p e p 6

17 Théorème du retard (2) Retard fréquentiel at ( ) TL[e f t ] = F(p - a) Exemple: déterminer la TL de f(t) = e 2 t (cos t) p TL{cos t}= p 2 + 2t p-2 = (p 2-2) + TL{e cos t} 7

18 Théorèmes Théorème de la valeur initiale ( ) [ ] lim [f t ] = lim p F(p) + t 0 p Théorème de la valeur finale Convolution ( ) [ ] lim [f t ] = lim p F(p) t + p 0 TL[f f ] = F (p) F (p) 2 2 8

19 Transformée Inverse 9

20 Transformée inverse L inverse de la Transformée de Laplace consiste à déterminer la fonction originale f(t) à partir de sa transformée de Laplace F(p). - f(t) = TL { F(p) } Exemples : - F( p) = f(t) = TL = u(t) p p p 2 p 2 2t F( p) = f ( t) TL e cost 2 = 2 = ( p 2) + ( p 2) + 20

21 Transformée inverse Méthode : En principe, la transformée inverse de Laplace est obtenue en solutionnant cette intégrale: Méthode 2: - { ( )} f(t) = TL F p = F(p) e p t dp 2πj Méthode des résidus C Méthode 3: Décomposition en éléments simples et utilisation de la table 2

22 Méthode des résidus Calcul des pôles de F(p): les valeurs qui annulent le dénominateur de F(p). C est-à-dire: F(p) = N(p)/D(p) on cherche D(p) = 0 Calcul des résidus 2 3 soit «a» un pôle de F(p) Si a est un pôle simple: Si a est un pôle d ordre n: Calcul de f(t): r=lim p - a a p a pt ( ) F(p)e ( n ) n d r=lim a p - a F(p)e p a n! dp Pour chaque pôle a de F(p), calculer le résidu r a f(t) = résidus { n pt ( ) } 22

23 Méthode des résidus Exemple: Déterminer f(t) correspondant à: Déterminer les pôles de F(p): 2 D(p) = 0 p (p + ) = 0 p + 2 F(p)= p(p + ) Pôle simple : p = 0 Pôle double : p = - 2 Calcul des résidus: Pôle simple : p = 0 p+2 r=lim 0 p-0 e p 0 2 p(p+) ( ) pt = 2 Pôle double : p = - 2 d 2 p+2 pt r -= lim ( p+) e p 2 = 2 ( 2 )! dp p(p+) ( 2 te ) t La fonction f(t): f(t) = r + r = 2 + (-2 -t) e t 23

24 Décomposition en éléments simples Le principe de cette méthode consiste à écrire la fonction F(p) sous forme d éléments simples pouvant être identifiés dans la table donnant les transformées de Laplace des fonctions usuelles Exemple: Déterminer f(t) correspondant à : 2 F(p) = (p + )(p +2) F(p)= p + 3p F(p) = + p + p + 2 Table des TL - t - 2 t f(t) = e - e 24

25 Application aux équations différentielles Dr. K. LABADI Cours d Automatique 2008/2009 (ère année Ingénieur) 25

26 Intérêt de la TL La Transformée de Laplace permet de transformer un problème différentiel en un problème algébrique. Équations différentielles Transformation de Laplace Inverse de la Transformation de Laplace Équations algébriques La recherche de la solution de l équation différentielle se limite alors, à partir du polynôme, à la recherche dans une table de la forme type de la solution. 26

27 Équations différentielles La résolution d équations différentielles en utilisant transformée de Laplace consiste en la réalisation des étapes suivante:. Transformer l équation différentielle en équation algébrique par l application de la transformée de Laplace. 2. Résoudre l équation pour la variable dépendante dans le domaine de Laplace 3. Réaliser la transformée inverse Rappelons la propriété de dérivation: n n n n i= 0 df (t) ( n i) i TL[ ] = p F(p) - p f 0 dt ( ) 27

28 Équations différentielles Exemple: Soit à résoudre l équation différentielle suivante: 2 dy (t) TL + 9y(t) = TL 2 dt 2 py(p) + 9y(p) = p {} 2 dy (t) 2 + 9y(t) = dt CI: y (0) = y(0) = 0 ( 2 ) p + 9 y(p) = p y(p) = p p y(t) = TL { Y(p) } ( 2 ) 28

29 Équations différentielles Résolution d équations différentielles (c.i nulles) Soit: n Son équation auxiliaire: n dy () t dy () t dy() t a0 + a a n- + an y() t = f () t n n dt dt dt n n- 0 n- n avec c.i nulles. a p Y(p) + a p Y(p)+...+a py(p)+a Y(p) = F(p) ( n n- ) 0 n- n a p + a p a p + a Y(p) = F(p) La solution est : ϕ (p) Y(p) = F(p) n F(p) Y(p) = et y(t) = TL ϕ (p) n - { Y(p) } 29

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