CHAPITRE 8. L équation de Laplace sur un rectangle.

Transcription

1 CHAPITRE 8 L équation de Laplace sur un rectangle. Jusqu à maintenant, nous avons considéré une EDP hyperbolique l équation d onde au chapitre 6, une EDP parabolique l équation de la chaleur au chapitre 7. ous allons maintenant considérer une EDP elliptique. Ainsi nous aurons étudié un exemple pour chacun des types d EDP linéaires ayant deux variables indépendantes. Le problème considéré est le suivant. ous voulons déterminer les fonctions ux, y avec x et y tel que l EDP l équation de Laplace ou aussi l équation du potentiel et les conditions à la frontière u x + u y = ux, = f 1 x, ux, = f x, u, y = g 1 y, et u, y = g y pour x, y soient satisfaites. La fonction u = ux, y est définie sur le rectangle constitué des points x, y R tels que x et y Ce problème est différent des précédents. Les deux variables appartiennent à des intervalles bornés, alors que la variable t n est pas bornée pour les équations d onde et de la chaleur. Il n y a pas de conditions initiales. Aussi les conditions à la frontière ne sont pas homogènes. Cette dernière différence présente une difficulté qu il nous faudra contourner. Il est possible de donner un sens physique à une solution ux, y du problème précédent. ous pouvons considérer ux, y comme la température à l équilibre i.e. lorsque t pour le problème de la chaleur pour lequel les conditions à la frontière sont u t = u c x + u y où u = ux, y, t ux,, t = f 1 x, ux,, t = f x, u, y, t = g 1 y, u, y, t = g y pour x, y et t. Il y a aussi des conditions initiales t =, mais nous ne les préciserons pas. À l équilibre u t = et nous obtenons l équation de Laplace avec les conditions à la frontière précédentes. Le problème de départ de résoudre avec u x + u y = u x + u y = ux, = f 1 x u, y = g 1 y et ux, = f x pour x [, ], et u, y = g y pour y [, ] peut être décomposé en quatre problèmes ayant chacun une seule condition non-homogène plutôt que quatre. 75

2 Problème [1]: u 1 x, = f 1 x u 1, y = u 1 x + u 1 y = avec et u 1 x, = pour x [, ], et u 1, y = pour y [, ]. Problème []: u x, = u, y = u x + u y = avec et u x, = f x pour x [, ], et u, y = pour y [, ]. Problème [3]: Problème [4]: u 3 x, = u 3, y = g 1 y u 3 x + u 3 y = avec et u 3 x, = pour x [, ], et u 3, y = pour y [, ]. u 4 x + u 4 y = avec u 4 x, = u 4, y = et u 4 x, = pour x [, ], et u 4, y = g y pour y [, ]. Si u i est une solution du problème [i] pour i = 1,, 3, 4, alors il est facile de montrer que u = u 1 + u + u 3 + u 4 est une solution du problème de départ. ous pouvons ainsi chercher à résoudre les problèmes [1] à [4]. ous allons maintenant illustrer la méthode de séparation de variables pour résoudre le problème [1]. Le même type d analyse peut être fait pour les trois autres problèmes. ous laisserons au lecteur le soin de faire ces calculs. Si nous utilisons la méthode de séparation de variables pour déterminer la solution u 1 x, y du problème [1], alors la première étape est de considérer le problème intermédiaire: { u 1 x + u 1 y = avec u 1x, =, u 1, y =, u 1, y = pour x [, ] et y [, ]. ous avons laissé tomber la condition non-homogène u 1 x, = f 1 x pour l instant. Il nous faut donc déterminer des solutions non triviales u 1 x, y de ce problème qui sont de la forme u 1 x, y = XxY y. En substituant cette solution dans l EDP et en séparant les variables, nous obtenons X Y + XY = X X = Y Y où X est la dérivée seconde de X par rapport à x et Y est la dérivée seconde de Y par rapport à y. Dans la dernière équation, le terme de gauche est une fonction de x seulement, alors que le terme de droite est une fonction de y seulement. Conséquemment ces deux expressions doivent être constantes et nous pouvons écrire X X = Y Y = λ. ous avons ainsi le système de deux équations différentielles ordinaires: X λx = et Y + λy =. 76

3 Si nous considérons maintenant les conditions à la frontière du problème et parce que nous cherchons à déterminer des solutions non triviales, i.e. que les fonctions X et Y ne sont pas toujours nulles, alors nous obtenons u 1 x, = XxY =, x [, ] Y = ; u 1, y = XY y =, y [, ] X = ; u 1, y = XY y =, y [, ] X =. En résumé, il nous faut étudier le problème suivant: X λx = avec X =, X = et Y + λy = avec Y =. La première équation X λx = avec X = et X = est déjà apparue pour les équations d onde et de la chaleur. Si λ, nous obtenons que X et nous pouvons exclure ces valeurs pour λ parce que nous voulons des solutions non triviales. Si λ = ν <, alors la solution générale de X λx = est Xx = A cosνx + B sinνx. Comme X = A = et X = A cosν + B sinν =,il faut alors que B sinν =. Comme nous cherchons à déterminer des solutions non triviales et que A =, nous pouvons supposer que B. De ceci, nous pouvons en déduire que sinν = ν = nπ, λ n = nπ et X n x = B n sin nπx où n Z, n. Comme sin x = sinx et que λ n = λ n, nous pouvons nous restreindre au cas où n, n dans ce qui précède. Pour chaque entier n 1, nous avons une solution X n = B n sinnπx/ de l équation X λx = avec X =, X = pour la valeur λ = λ n = nπ/. Si nous considérons maintenant la seconde équation Y + λy = avec Y = dans le cas où λ = λ n = nπ/ où n, n 1, alors la solution générale est de la forme ais nous avons aussi Y n = C exp Y n y = C exp En substituant ceci dans la solution Y n, nous obtenons + D exp nπy. nπ + D exp nπ = D = C exp nπ Y n y = C exp C exp exp nπy [ ] nπ nπy nπy = C exp exp exp nπ nπy = C exp sinh Rappelons que la fonction sinhθ désigne le sinus hyperbolique, i.e. nπ. sinhθ = eθ e θ pour tout θ R. De ce qui précède, nous avons que nπx nπy a n sin sinh 77

4 est une solution du problème. oter que nous avons remplacé B n C exp nπ par a n. En utilisant le principe de superposition, nous obtenons que nπx nπy u 1 x, y = a n sin sinh est aussi une solution du problème. Si nous revenons au problème [1], alors en est une solution si et seulement si c est-à-dire que u 1 x, = nπx nπy u 1 x, y = a n sin sinh nπx a n sin sinh nπ = f 1 x x [, ]; nπx a n sin sinh nπ est la série de Fourier impaire de f 1 x et conséquemment que nπx a n = f 1 x sin sinh nπ/ dx pour tout n, n 1. ous avons ainsi obtenu une solution formelle du problème [1]. En procédant de façon similaire, nous obtenons des solutions formelles aux problèmes [], [3] et [4]. Ces solutions sont u x, y = b n sin nπx sinh nπx avec b n = f x sin sinhnπ/ dx pour le problème [], nπx u 3 x, y = c n sin sinh avec c n = g 1 y sin sinh nπ/ dy pour le problème [3] et u 4 x, y = d n sin sinh nπx avec d n = g y sin sinhnπ/ dy pour le problème [4]. Ainsi la solution formelle du problème de départ avec u x + u y = 78

5 ux, = f 1 x u, y = g 1 y et ux, = f x pour x [, ]; et u, y = g y pour y [, ] est ux, y = nπx [ sin a n sinh + sin [ c n sinh nπy nπx + b n sinh + d n sinh ] nπx ] avec a n, b n, c n et d n comme précédemment. Théorème 1 Si les fonctions f 1 x et f x sont continues et lisses par morceaux sur l intervalle [, ], les fonctions g 1 y et g y sont continues et lisses par morceaux sur l intervalle [, ], f 1 = f = f 1 = f =, g 1 = g = g 1 = g =, alors la solution formelle ci-dessus est une vraie solution du problème de départ avec u x + u y = ux, = f 1 x u, y = g 1 y et ux, = f x pour x [, ], et u, y = g y pour y [, ]. ous ne démontrerons pas ce théorème. ous allons seulement déterminer la solution ux, y pour le problème suivant. u x + u y = où u = ux, y, x π et y π avec ux, = x π x u, y = y π y et ux, π = pour x [, π], et uπ, y = pour y [, π]. Dans ce cas, il est facile d évaluer en intégrant par parties les coefficients a n, b n, c n et d n. ous obtenons que a n = c n = n+1 πn 3 sinh nπ et b n = d n = si n 1. Donc la solution du problème est ux, y = n+1 [ ] sinnx sinhny π + sinny sinhnx π. πn 3 sinh nπ ous avons tracé le graphe de ux, y pour x [, π] et y [, π] à la figure 1 79

6 .5 u 1 1 y x Figure [1] * * * Exercice 8.1 Déterminer la solution formelle de l équation de Laplace u x + u = où u = ux, y, x, y y lorsque les conditions initiales pour x et y sont a ux, =, ux, =, u, y =, u, y = fy; y y b ux, = gx, u x c ux, =, u x x, =, u, y = u, y, x y x, =, u, y =, u, y = hy. x u, y = u, y; y 8