Chapitre 2 Suites bornées, théorèmes d Ascoli et de Weierstrass

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1 Uiversité de Bourgoge Départemet de Mathématiques Licece de Mathématiques Résumé du cours Complémets d Aalyse Chapitre 2 Suites borées, théorèmes d Ascoli et de Weierstrass. Suites simplemet borées de foctios Vous coaissez le théorème de Bolzao-Weierstrass qui dit que de toute suite u ) borée de ombres réels ou de vecteurs de R d ), o peut extraire ue sous-suite u k ) covergete. Ceci est plus vrai pour ue suite de foctios f ). Pour de telles suites, il y a d ailleurs plusieurs otios de suites borées. Défiitio Suite simplemet borée de foctios) Soit f ) ue suite de foctios d u espace métrique E vers R ou R d ). O dit que la suite f ) est simplemet borée si pour tout x de E, l esemble {f x), =, 2,...} est boré das R ou R d ). Ou bie s il existe ue foctio ϕ de E vers R telle que: N, x E, f x) ϕx) ou f x) ϕx)). Ue suite simplemet borée de foctios peut e coteir aucue sous-suite covergete simplemet). Cepedat si E est fii, par exemple E = {x,..., x d }, la doée d ue foctio f de E vers R est la doée de d ombres réels, doc d u vecteur A de R d : A = a, a 2,..., a d ) = fx ), fx 2 ),..., fx d )), doc ue suite borée de foctios de E vers R est rie d autre qu ue suite de vecteurs de R d, elle cotiet ue sous-suite covergete simplemet). Cela se gééralise au cas d u esemble E déombrable. Propositio Procédé diagoal) Soit E = {x, x 2,..., x p,...} u esemble déombrable et f ) ue suite de foctios de E vers R ou R d ). O suppose que la suite f ) est simplemet borée. Alors il existe ue sous-suite f k ) extraite de f ) et simplemet covergete. O la fait das le cas de R, le cas gééral est tout à fait semblable. O regarde la suite de ombres réels f x )). Elle est borée, o peut e extraire ue sous-suite covergete. O ote les idices de cette sous-suite, 2,..., k,.... O a doc: k, k < k+) et lim f k x ) = a. O recommece cette costructio pour la suite de ombres f k x 2 )). Elle est borée, o peut e extraire ue sous-suite d idices 2, 22,..., 2k,... qui coverge. O a doc k, 2k < 2k+) et lim f 2k x ) = a, lim f 2k x 2 ) = a 2.

2 Remarquos que lorsqu o extrait ue sous-suite d idice k d ue suite d idices k, o a par costructio: k k k. E effet et si k k, alors k + ) k + k+ ). Ici ceci s écrit: k 2k k. E particulier, < 2 22 doc < 22. Supposos maiteat que l o ait poursuivi cette opératio d extractio successive de sous-suites jusqu à l ordre p, c est à dire que l o ait trouvé ue suite d idices p, p2,..., pk,... telle que: k, pk < pk+) et lim f pk x ) = a, lim f pk x 2 ) = a 2,..., lim f pk x p ) = a p. Et qu e procédat aisi, o ait < 22 <... < pp. O cosidère alors la suite de ombres f pk x p+ ) ). Elle est borée, o peut e extraire ue sous-suite d idices p+), p+)2,..., p+)k,... qui coverge. O a doc: k, p+)k < p+)k+) et lim f p+)k x ) = a,..., lim f p+)k x p+ ) = a p+. Et pour la même raiso que ci-dessus, p+)p+) > p+)p pp. Mais alors l applicatio j jj est strictemet croissate de N das N, la suite de foctios f jj ) est doc extraite de la suite f ). O peut même dire u peu plus: pour tout p, la suite f pp, f p+)p+),..., f p+k)p+k),...) est extraite de la suite f p, f p2,..., f pk,...). O a doc: lim f jj x p ) = lim f pk x p ) = a p. j Autremet dit, la suite f jj ) est simplemet covergete sur E. 2. Suites uiformémet borées de foctios Comme o a vu que ce sot les limites uiformes de foctios qui préservet les cotiuités, o examie maiteat la otio de suites uiformémet borées. Défiitio Suite uiformémet borée de foctios) O dit qu ue suite de foctios f ) d u espace métrique E das R ou R d ) est uiformémet borée s il existe u ombre M tel que: N, x E, f x) M ou f x) M). Il est équivalet de dire que la suite des ormes f est borée par M ou bie que les foctios f sot toutes das ue boule B, M) de l espace ormé BE, R d ), ) des foctios borées sur E. La situatio est cepedat pas vraimet meilleure, même si E est u espace compact et chaque foctio f cotiue. Par exemple les suites de foctios: f x) = x, ou g x) = 2 + x si x [, 2 + ] 2 + x 2 + ) 2 si x [ 2 +, 2 ] si x [ 2, ]

3 cotiues sur E = [, ] sot uiformémet borées par et pourtat elles e cotieet pas de sous-suites uiformémet covergetes. Si f k ) était ue telle sous-suite, si lim f k = f uiformémet, alors, pour tout x de [,], f k x) ted vers fx) doc fx) = si x [, [ et f) =, mais f est limite uiforme d ue suite de foctios cotiues sur [,], elle est doc cotiue sur [, ] ce qui est absurde. De même si o calcule g p g q, si p < q, o a ) g q 2 p+ =, g p 2 p+ ) = et doc g p g q =. Doc aucue suite extraite de g ) est de Cauchy, doc aucue est covergete. O peut voir ceci d u peu plus haut : das u espace ormé de dimesio fiie das R d ), les boules fermées B.R) sot compactes, das l espace ormé C[, ], R), ) des foctios cotiues sur [, ], la boule uité B.) est pas compacte il e est doc de même pour toute boule B.R)). O peut aussi regarder d u peu plus près les suites de foctios cotiues sur u compact qui coverget uiformémet: elles sot o seulemet borées mais aussi équicotiues. Défiitio Suite équicotiue de foctios) Ue suite de foctios f ) d u espace métrique E vers R ou R d ) est dite équicotiue si elle vérifie la coditio: ε >, α > tel que N, x E, y E, dx, y) < α = f x) f y) < ε ou ε >, α > tel que N, x E, y E, dx, y) < α = f x) f y) < ε). Cette défiitio veut dire que le α qui apparaît das la défiitio de la cotiuité uiforme des foctios f e déped e fait pas de. Remarquez aussi que l équicotiuité est ue propriété de la suite de foctios, pas de chaque foctio f. Si la suite f ) est équicotiue, chaque foctio f est uiformémet cotiue mais la réciproque est pas vraie, il existe des suites o équicotiues de foctios uiformémet cotiues. Par exemple la suite de foctio f x) = si x ) est équicotiue sur R utilisez les accroissemets fiis) mais la suite f x) = six) est pas équicotiue sur [, π] dessiez cette suite pour le voir). Propositio Ue suite uiformémet covergete est équicotiue) Soit f ) ue suite de foctios cotiues sur l espace métrique compact K et à valeurs das R ou R d ). O suppose que la suite f ) coverge uiformémet vers ue foctio f sur K. Alors la suite f ) est équicotiue. Comme f est la limite uiforme d ue suite de foctios cotiues, f est cotiue sur K. Comme K est compact, f est uiformémet cotiue: ε >, β > tel que x K, y K, dx, y) < β = fx) fy) < ε 3. D autre part f ted uiformémet vers f. Pour le même ε, il existe N tel que f f < ε 3 dépasse N: N, x K, N, > N = f x) fx) < ε 3. dès que 3

4 Doc pour tout x et y de K, pour tout de N, > N et dx, y) < β = f x) f y) f x) fx) + fx) fy) + fy) f y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Il reste à regarder les foctios f, f 2,..., f N pour lesquelles o a pas d estimatios. O écrit pour chacue d elles qu elle est uiformémet cotiue sur K: toujours pour le même ε, β tel que x K, y K, dx, y) < β = f x) f y) < ε, β 2 tel que x K, y K, dx, y) < β 2 = f 2 x) f 2 y) < ε,... β N tel que x K, y K, dx, y) < β N = f N x) f N y) < ε. Doc si α = Mi{β, β 2,..., β N, β}, o aura: ε >, α > tel que N, x K, y K, dx, y) < α = f x) f y) < ε, c est-à-dire : la suite f ) est équicotiue sur K. 3. Le théorème d Ascoli Ce théorème dit pratiquemet que la réciproque de la propositio précédete est vraie. Prouvos d abord: Lemme U espace métrique compact est sépaprable) Soit K u espace métrique compact. Alors il existe ue partie déombrable D das K tel que D = K o dit que K est séparable). Pour chaque etier >, o peut écrire: K = Doc o peut trouver x,..., x p das K tel que: x K B x, ) K = B x, ) B x 2, )... B x p, ). O cosidère alors tous les cetres des boules aisi costruites. Il y e a u ombre fii pour chaque =, 2,..., ils formet doc u esemble déombrable D. Maiteat si y est u élémet quelcoque de K et si ε est u ombre positif quelcoque, il existe tel que < ε, il existe u x k tel que y appartiee à B x k, ). O a doc: D est dese das K. x k D et dy, x k ) < < ε ou By, ε) D. Théorème d Ascoli Ue suite équicotiue de foctios cotiet ue sous-suite covergete) Soit K u espace métrique compact et f ) ue suite de foctios qui est à la fois équicotiue et simplemet borée. Alors:. f ) est uiformémet borée 2. f ) cotiet ue sous-suite f k ) qui coverge uiformémet. 4

5 . La suite état équicotiue, o a: ε >, α > tel que N, x K, y K, dx, y) < α = f x) f y) < ε. O recouvre K par les boules de rayo α: K = x K B x, α) Doc o peut trouver x, x 2,..., x p das K tels que: K = B x, α) B x 2, α)... B x p, α). Maiteat la suite f ) est simplemet borée, doc e chaque poit x k k =, 2,..., p): M k = sup{f x k ), =, 2,...} <. Posos M = max{m, M 2,..., M p }. Alors pour chaque x de K, il existe k tel que x appartiee à Bx k, α), doc dx, x k ) < α, doc, pour tout, f x) f x) fx) + fx k ) < ε + M k ε + M. C est à dire : f ) est uiformémet borée. 2. Soit maiteat D u esemble déombrable partout dese das K. O peut doc trouver ue sous-suite f k ) qui coverge simplemet sur D par le procédé diagoal. O repred alors la costructio de. E particulier o garde otre ε > et otre α >. Mais o e travaille qu avec des poits de D: puisque pour chaque poit y de E et pour chaque α >, il y a u poit x de D tel que dy, x) < α, o a: K = B x, α) x D Doc o peut trouver x, x 2,..., x p das D tels que: K = B x, α) B x 2, α)... B x p, α). Maiteat, pour chaque j =,..., p, la suite f k x j )) coverge, elle est doc de Cauchy: j =, 2,..., p, N j tel que { k, k > Nj k k > N j = f k x j ) f k x j ) < ε. O pred N = max{n,..., N p } et o cosidère u poit y quelcoque de K. y appartiet à ue boule Bx j, α), doc o a: { k, k > N k k > N = f k y) f k y) f k y) f k x j ) + f k x j ) f k x j ) + f k x j ) f k y) < 3ε. Doc f k ) vérifie le critère de Cauchy uiforme, elle coverge uiformémet sur K. 4.Le théorème de Stoe-Weierstrass Nous e démotreros que le théorème de Weierstrass, ous e feros qu éocer la versio de Stoe. Le théorème d Ascoli ous a idiqué quelles sot les parties de C[, ]) qui sot compactes pour la orme de la covergece uiforme. Celui de Weierstrass ous doe des parties deses formées de foctios très sympathiques: les foctios polyômes. 5

6 Dire que les foctios polyômes formet ue partie partout dese de C[, ]) reviet à dire que pour chaque foctio cotiue f, o peut trouver ue foctio polyôme P telle que f P < ε. O dit que la foctio P approche uiformémet f à mois de ε ou est ue approximatio uiforme de f à mois de ε). Théorème de Weierstrass Approximatio uiforme d ue foctio cotiue par u polyôme) Toute foctio complexe et cotiue sur [a, b] est limite uiforme sur [a, b] d ue suite P ) de foctios polyômes. Si f est réelle, o peut choisir les P à coefficiets réels. Quitte à chager de variable e posat x = a + tb a), o peut supposer que [a, b] = [.]. O peut se coteter aussi d approcher les foctios cotiues g telles que g) = g) =, puisque si o sait approcher les foctios de ce type, o pose: gx) = fx) f) x [f) f)], si g est limite uiforme de la suite de polyômes R, f sera la limite uiforme de la suite de polyômes P x) = R x) + f) + x [f) f)]. Suppososs doc que f est cotiue sur [, ] et que f) = f) =. O pose maiteat Q x) = a x 2 ), e choisissat a de telle faço que Q x) dx =. E fait, o peut estimer la croissace des a : x 2 ) dx = 2 2 x 2 ) dx 4 3 >. x 2 ) dx 2 x 2 ) dx Doc a <, pour tout et pour chaque α >, pour tout x de [α, ], Q x) < α 2 ). Prologeos f à R tout etier e posat fx) = si x appartiet pas à [, ]. f est cotiue et même uiformémet cotiue motrez-le) sur R. O pose: P x) = fx + t)q t) dt = x x fx + t)q t) dt = ft)q t x) dt. E développat le polyôme x Q t x), o voit doc que P x) est ue foctio polyôme à coefficiets réels si f est réelle). Posos maiteat M = f. Soit ε >, il existe α > tel que x y < α implique fx) fy) < ε 2. O a alors: P x) fx) = fx + t) fx)) Q t) dt 4M α 2 ) + ε 2. 2M fx + t) fx) Q t) dt α Q t) dt + ε 2 6 α α Q t) dt + 2M α Q t) dt

7 Comme α 2 ) ted vers plus vite que, o a Ou: lim α 2 ) =, N tel que > N = α 2 ) < ε 2. ε >, N tel que N, > N = f P < ε. C est ce qu il fallait démotrer. Fialemet Stoe a motré que la otio importate était celle d algèbre de foctios qui séparait les poits de l espace de départ. Soit K u espace métrique compact. O cosidère l espace C des foctios réelles resp. complexes) cotiues sur K, o muit C de la orme de la covergece uiforme. C est u espace de Baach. Soit A ue partie de C. O dit que A est ue algèbre si c est u sous espace vectoriel réel resp. complexe) et si pour tout couple f, g d élémets de A, fg appartiet aussi à A. O dit que A e s aule pas sur K s il existe ue foctio f apparteat à A qui e s aule pas sur K. par exemple c est le cas si la foctio costate appartiet à A) O dit que A sépare les poits de K si pour tout couple de poits x, x 2 de K, il existe ue foctio f de A telle que fx ) fx 2 ). Théorème de Stoe-Weierstrass Approximatio uiforme géérale) Soit K u espace métrique compact, soit C l espace de Baach des foctios réelles resp. complexes) cotiues sur K, mui de la orme. Soit A ue partie de C qui est ue algèbre, qui e s aule pas sur K, qui sépare les poits de K et, das le cas complexe, qui vérifie f appartiet à A pour toute foctio f de A. Alors A est partout dese das C, o peut approcher uiformémet toute foctio cotiue par ue foctio de A à mois de ε. Par exemple les foctios polyômes sur [a, b] ou sur tout compact K de R d formet ue algèbre e s aulat pas et qui sépare les poits doc le théorème de Stoe-Weierstrass gééralise celui de Weierstrass. De même, les polyômes trigoométriques, c est-à-dire les foctios de la forme: P e ix ) = N = N a e ix formet ue algèbre complexe uitaire, séparat les poits, stable par cojugaiso de foctios cotiues sur le cercle uité. O peut approcher uiformémet toute foctio cotiue sur ce cercle ou ce qui reviet au même toute foctio 2π-périodique) par u tel polyôme à mois de ε. 7