Exercices sur le raisonnement par récurrence

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1 TS Exercices sr le raisoemet par récrrece Das tos les exercices, o veillera à respecter scrplesemet le protocole des récrreces 6 O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : O rappelle ci-dessos les étapes à respecter O recopiera ce qi sit (e rie écrire sr cette eille) Débt : Por, o déiit la phrase Iitialisatio : Vériios qe P P : Cosidéros etier atrel tel qe la phrase Démotros q alors la phrase P est vraie c est-à-dire Coclsio : O a démotré qe P soit vraie c est-à-dire P est vraie et qe si P est vraie por etier atrel vraie Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase, alors P est vraie por tot etier atrel P est O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : O cosidère la site déiie sr par so premier terme por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : et la relatio de récrrece Le bt des exercices 7 à 9 est de démotrer des ormles sommatoires par récrrece 7 Por tot etier atrel p, o pose p p Por tot etier atrel, o pose S p p p p O observera qe l o a : S p p p p Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a p c est-à-dire qe S S S p 8 Por tot etier atrel, o pose S p p Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a S p 9 Por tot etier atrel, o pose S p Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a S p O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : 5 O cosidère la site déiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a :

2 O cosidère l éocé sivat : Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, est divisible par La démostratio est doée das l ecadré ci-dessos Por, o déiit la phrase P() : «est divisible par» Iitialisatio : Vériios qe P() doc est divisible par O e dédit qe P() Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie P Démotros q alors la phrase Pisqe P() est vraie, il existe etier atrel q tel qe q O a alors q q Or O remplace par q est etier atrel doc o e dédit qe phrase P O e dédit qe la phrase P() est vraie por tot etier atrel Commetaire : est divisible par et, par site, qe la O pet être pe srpris par cette récrrece car la propriété à démotrer est pas ormlée sos la orme d e égalité o d e iégalité mais sos la orme d e phrase e raçais Adapter la démostratio précédete por démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, est divisible par 9 Atre méthode : q O tilise la ormle sommatoire q q por q et * qi doe l idetité algébriqe : q q q q q E appliqat cette idetité por q =, retrover le résltat précédet O cosidère e octio déiie sr l itervalle I = [ ; 5] dot le tablea de variatio est doé cidessos x 5 Variatio de O cosidère la site déiie sr par so premier terme ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a 5 ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a À aire après avoir étdié la octio expoetielle O cosidère la octio sr déiie par x e x O sait qe est idéiimet dérivable sr et la relatio de récrrece Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x x e O cosidère e phrase P() portat sr etier atrel telle qe, si P() est vraie por etier atrel, alors la phrase P( + ) l est égalemet O sppose q il existe etier atrel tel qe la phrase P( ) soit vraie Qelles coclsios pet-o dédire avec certitde? () P( ) () P() est vraie por tot etier atrel () P( ) est asse () P() est vraie por tot etier atrel (5) P() est vraie por tot etier atrel Qe pet-o peser d raisoemet sivat? Por etier atrel tel qe, o déiit la phrase P() : «poits qelcoqes d pla sot tojors aligés» Vériios qe la phrase P() Dex poits d pla sot tojors aligés doc la phrase P() Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie Démotros q alors la phrase P Soit A, A, A,, A poits d pla D après la phrase P(), les premiers poits A, A, A,, A sot aligés sr e droite et de même les poits A, A,, A sot aligés sr e droite Les droites et sot coodes car elles ot les poits A, A,, A e comm Les + poits A, A, A,, A sot doc aligés sr

3 Par coséqet, la phrase P O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel 5 O cosidère la octio sr * déiie par x O sait qe est idéiimet dérivable sr * x Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x! x p!! 6 Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : p p p Factorielle d etier atrel Déiitio : Dex complémets tiles : O déiit la actorielle d etier atrel de la maière sivate : Par covetio :! et!! (o lit «actorielle de») 7 O cosidère la site déiie sr par la valer de so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : Exemple : 5! 5 Atre écritre :! Il s agit d cas particlier d tilisatio d symbole por désiger prodit Calclatrice : O pet obteir la actorielle d etier sr calclatrice Sr calclatrice TI, math sélectioer PRB pis Il est à oter qe la calclatrice e sait pals calcler à partir de 7! (dépassemet de capacités) Propriété immédiate :!! Cette ormle permettrait de déiir la actorielle d etier à l aide d e site Dérivées sccessives d e octio Déiitio : La dérivée première d e octio est otée La dérivée secode d e octio est otée La dérivée troisième d e octio est otée ' '' C est la dérivée de ' C est la dérivée de ''

4 Propriété : De maière géérale, Covetio : ' Corrigé Das la partie dédctive, o procède à «élargissemet» de l ecadremet O pet tojors élargir ecadremet mais o e pet pas le rétrécir O a le droit d élargir ecadremet d sel côté comme c est le cas ici Das l hérédité, o tilise la relatio de récrrece qi déiit la site Soltio détaillée : Démotros par récrrece qe por tot etier atrel, o a : /!\ O évite d tiliser des qatiicaters das la récrrece Variate : Démotros par récrrece qe por tot, o a : Por, o déiit la phrase P : Iitialisatio : Vériios qe P par hypothèse (déiitio de la site) doc D où P Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase O a : Doc 6 P est vraie c est-à-dire Doc 6 car la octio racie carrée est strictemet croissate sr l itervalle [ ; +[ Par site, P Doc Coclsio : O a démotré qe P est vraie et qe si P est vraie por etier atrel, alors P est vraie por tot etier atrel Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P

5 Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire Démotros par récrrece qe por tot etier atrel, o a : Por, o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P() par hypothèse (déiitio de la site) doc D où P() Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( +) est vraie c est-à-dire O a : Doc car la octio racie carrée est strictemet croissate sr l itervalle [ ; +[ Par site, Doc P( + ) Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel O a : car la octio «carré» est strictemet croissate sr l itervalle [ ; +[ Doc Par site, Doc P( + ) Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Por aller pls loi : représetatio graphiqe des premiers termes de la site O a tracé la corbe C d éqatio y x et la droite d éqatio y x O appliqe la méthode traditioelle (o a choisi e valer qelcoqe de sr l axe des abscisses j C O i Démotros par récrrece qe por tot etier atrel, o a : Por, o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P() par hypothèse de déiitio de la site doc D où P() Démotros par récrrece qe por tot etier atrel, o a» Por, o déiit la phrase P() : «Iitialisatio : Vériios qe P par hypothèse doc

6 D où P Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : doc Or par hypothèse de récrrece, D où Par site, Doc P( + ) Doc Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Remarqe de méthode : Das la partie hérédité, o pet assi procéder par «ajots sccessis» (o «par habillages sccessis») 5 Démotros par récrrece qe por tot etier atrel, o a Por o déiit la phrase P() : «Iitialisatio : Vériios qe P par hypothèse doc D où P» Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire (por écrire cela, o pet, si o vet poser ' ) O a : Or par hypothèse de récrrece, D où Par site, Doc P( + ) Coclsio : doc O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel 6 Por o déiit la phrase P() : Iitialisatio : Vériios qe P par hypothèse doc D où P Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire O a : Or par hypothèse de récrrece, Doc P Coclsio : doc O a démotré qe P est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + )

7 Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Bila des exercices et 5 Das ces dex exercices, os veos de voir qe le raisoemet par récrrece est moye pissat por démotrer e expressio de terme géérale de site i arithmétiqe, i géométriqe Les exercices 7, 8, 9 ot por bt de démotrer des ormles sommatoires par récrrece L itérêt de la démostratio par récrrece est de retrover des ormles sommatoires déjà coes mais assi d e décovrir d atres Cepedat, appliqer la ormle sommatoire sas passer par la récrrece pet-être pls rapide Utilisatio d logiciel de calcl ormel por simpliier des sommes 7 O pet retrover le résltat directemet e tilisat la ormle doat la somme des termes coséctis d e site géométriqe Das cet exercice, o doit calcler S cotrairemet ax exercices précédets O retrove le même gere de démarche das les exercices sivats Soltio détaillée : Démotros par récrrece qe por tot etier atrel o a Por, o déiit la phrase P() : «Iitialisatio : Vériios qe S D où P S» doc o pet écrire S P S Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire soit S S p p O a : S p p p p S S Por démotrer par récrrece les sommes des exercices 7 et 8, o ait comme si o e coaissait pas les ormles (à ac momet o tilise les ormles coes) O tilise jste P (et le symbole, mais ça c est ormal) Das les exercices 7 et 8, il s agit de démotrer par récrrece des ormles de sommes dot o doe e expressio simpliiée Il est bie évidet q il est beacop pls rapide de démotrer ces ormles grâce ax ormles d cors (ormles sommatoires de sommes de termes coséctis d e site arithmétiqe o d e site géométriqe) Néamois, ces dex exercices ot d atre bt qe de motrer commet o procède por des récrreces sr des sommes Das l exercice 9 os voyos tot l itérêt d raisoemet par récrrece pisqe la site est i arithmétiqe i géométriqe Doc la récrrece costite moye extrêmemet pissat de démotrer certaies ormles sommatoires Das les exercices 7 et 8, il s agit de qelqe chose q o coaît (de simple) Ça e sera pas tojors assi simple, et là, o porra tiliser (employer) raisoemet par récrrece Or par hypothèse de récrrece a rag, S Doc S Par coséqet, soit S S Doc P( + ) Coclsio : O a démotré qe O pet doc écrire avec l hypothèse de récrrece : S P est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Evidemmet, o e réservera le raisoemet par récrrece q à des sommes de termes coséctis de sites qi e sot i arithmétiqe, i géométriqes

8 8 Formle sommatoire doat la somme de tos les etiers de à O pet retrover le résltat directemet e tilisat la ormle doat la somme des termes d e site arithmétiqe Por l hérédité, il y a dex méthodes : o pet partir de S S Cette relatio tradit tot simplemet qe la somme de tos les etiers de à + est égale à la somme de tos les etiers de à pls + o pet assi commecer par S et ajoter + ax dex membres NB : Cotrairemet à l exercice précédet, o a pas déii de site Soltio détaillée : Démotros par récrrece qe por tot etier atrel o a S Por, o déiit la phrase Iitialisatio : Vériios qe S doc D où P P P : «o pet écrire S S» Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire S Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire S O a : S S (E eet, la somme des etiers de à + est égale à (la somme des etiers de à ) + ( + ) ; o a pas déii de site cotrairemet à l exercice précédet) S S Exemple : S S99 99 S S99 O pet doc écrire : S (o met a même déomiater) (o actorise) Doc P( + ) Coclsio : O a démotré qe P est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Commetaire : O a établi par récrrece la ormle sommatoire sivate doat la somme des cbes des etiers de à : Cette ormle sommatoire povait être établie sas tiliser de récrrece e recoaissat la somme des termes coséctis d e site arithmétiqe U logiciel de calcl ormel permet de retrover cette ormle O pet oter q il existe égalemet e «preve sas paroles» de cette ormle avec des boles

9 Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire S Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire S S S O a : E eet, la somme des cbes des etiers de à est égale à : (la somme des cbes des etiers de à ) + ( + ) 9 Formle sommatoire doat la somme des cbes des etiers de à p S p p Das la partie «hérédité», o assiste a «miracle de la récrrece» p Remarqe : Il est coseillé d appredre par cœr le résltat : p O pet observer qe Soltio détaillée : p p p p p p Démotros par récrrece qe por tot etier atrel o a S Por, o déiit la phrase Iitialisatio : Vériios qe P S doc o pet écrire D où P P : «S S» p O pet doc écrire : S Doc P( + ) Coclsio : Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel Commetaire : O a établi par récrrece la ormle sommatoire sivate doat la somme des cbes des etiers de à : O observe qe por la somme des cbes o obtiet e expressio de degré e (la somme des cbes des etiers de à doe résltat de degré ) : si o développe l expressio d secod membre, o obtiet terme exposat qi sera le terme de pls hat degré Das l exercice précédet, o a établi la ormle sommatoire sivate :

10 E comparat les dex ormles sommatoire sivates, p p et p p p, o costate qe l o pet mettre e relatio la somme des etiers de à et la somme des cbes des etiers de à de la maière sivate : p p p p p p p c est-à-dire qe la somme des cbes des etiers atrels de à est égale a carré de la somme des etiers de à Ce résltat est pas «logiqe» (a ses où il e povait pas être dédit directemet) La dédctio est aite à partir des ormles sommatoires qi ot été établies Remarqes : La remarqe sr le degré de l expressio obtee est gééralisable : La somme des etiers atrels de à doe e expressio de degré La somme des carrés des etiers atrels de à doe e expressio de degré La somme des cbes des etiers atrels de à doe e expressio de degré La somme des pissaces des etiers atrels de à doe e expressio de degré 5 etc Il y a pas de ormle sommatoire doat la somme des carrés, des cbes des termes coséctis d e site qelcoqe Les ormles trovées sot propres ax sommes des premiers etiers et des cbes des premiers etiers atrels Das les exercices 7, 8, 9, o e pose pas orcémet S Les exercices pevet être rédigés de la maière sivate : p 7 Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a p p 8 Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a p p 9 Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel o a p p p p Démostratio de divisibilité par récrrece Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, est divisible par 9 Por, o déiit la phrase P : «est divisible par 9»» O pet assi écrire la phrase P sos la orme : «9 Iitialisatio : Vériios qe P 9 doc est divisible par 9 O e dédit qe P Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire est divisible par 9 Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire est divisible par 9 Pisqe P() est vraie, il existe etier atrel q tel qe 9q O a alors q 9 q Or q est etier atrel doc o e dédit qe est divisible par 9 et, par site, qe la phrase P( + ) Coclsio : O e dédit qe la phrase P() est vraie por tot etier atrel Il at être capable de reaire le raisoemet sas idicatio Remarqe de Lois Mérad (TS) le ldi : Je la retrascris telle q il me l a écrite malgré qelqes petites maladresses d expressio U ombre écrit sos la orme où est ombre positi o l est e pissace de, à laqelle lorsqe l o sostrait, soit, alors os obteos ombre exclsivemet composé de 9 ; or chire divise so chire o ombre composé ois de so propre chire Exercice persoel : Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, est divisible par 7 Cette propriété est gééralisable O pet démotrer qe si a est etier atrel spérier o égal à, alors por tot etier atrel, a est divisible par a Atre méthode : q * O part de la ormle sommatoire q q por q et q

11 O obtiet l égalité : q q q q E mltipliat les dex membres par *, o obtiet l égalité : q q q q E remplaçat q par das l égalité précédete (c est-à-dire e aisat q = ), o obtiet : soit 9 Or est etier atrel Doc o e dédit qe est divisible par 9 Or d après le tablea de variatio, est croissate (et même strictemet croissate) sr l itervalle I (qi est déii par I = [ ; 5]), doc 5 soit Par coséqet, 5 Coclsio : O e dédit qe la phrase P() est vraie por tot etier atrel O pet doc dire qe la site ( ) est borée etre et 5 * O pet préseter la démarche avec e lèche : ) Utiliser q q q q q q q q d après le tablea de variatios ( ) ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a Por, o déiit la phrase P' : Iitialisatio : Vériios qe P' d après la déiitio de la site Soltio détaillée : x 5 Variatio de O a doc O e dédit qe P' Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P ' () soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P ' ( + ) est vraie c est-à-dire ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a 5 Por, o déiit la phrase P : «5» Iitialisatio : Vériios qe P d après la déiitio de la site O a doc 5 O e dédit qe P Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire 5 Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire 5 Pisqe P est vraie, o a : 5 Pisqe P ' () est vraie, o a : Or est croissate sr l itervalle [ ; 5] et d après la qestio ) les ombres et appartieet à l itervalle [ ; 5] doc soit Doc la phrase P ' Coclsio : La phrase P' est vraie por tot etier atrel O pet doc dire qe la site est croissate à partir de l idice Commetaires : Ce type de raisoemet sera employé assez réqemmet das des cas où la octio sera déiie de maière explicite Das la qestio ), o a établi qe la site est borée par et 5 Das la qestio ), o a établi qe la site est croissate à partir de l idice

12 Utiliser Soltio détaillée : ' Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x x e Por, o déiit la phrase Iitialisatio : Vériios qe P e x x P P : «x x x ; or e e doc O e dédit qe x x e» x e x Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie P Démotros q alors la phrase Pisqe P() est vraie, x x e x E dérivat, o obtiet l égalité ' x e D où x e x et doc P( + ) Coclsio : O e dédit qe la phrase P() est vraie por tot etier atrel O pet airmer avec certitde qe les propositios () et () sot vraies Por la propositio (), il s agit d théorème de récrrece E revache, o e pet rie dire por les propositios (), () et (5) E particlier, por la propositio (5) : «phrase P est vraie por tot etier atrel» car o e sait pas si la P est vraie : o e coaît pas la valer de vérité de P doc o e pet rie dire Cet exercice repose sr e imprécisio de l éocé : Les poits pevet être disticts o coods Rappel : des poits coods sot «orcémet» aligés Das la partie hérédité, dire qe «et sot coodes car elles ot les poits A, A,, A e comm» est ax E eet, les poits A, A,, A pevet tos être coods aqel cas o e pet absolmet pas e dédire qe les droites et sot coodes Les poits A et A sot aligés aisi qe les poits A et A Cela e vet pas dire qe les poits A, A et A sot aligés A 5 Même astce de départ q à l exercice Soltio détaillée : Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio x! x Por, o déiit la phrase P() : «Iitialisatio : Vériios qe P() x x ; or! x x x O e dédit qe P() x doc x x A!»! x A Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire x x! x! x

13 Pisqe P() est vraie, O pet assi écrire x E dérivat, o obtiet l égalité! x x ai de aciliter la dérivatio! x ' x! x 6 5 x x x D où l idée de la ormle x! x O otera qe! est e costate mltiplicative qi e déped pas de x Il reste doc «itact» lors de la dérivatio p O otera égalemet qe l o a tilisé la ormle de dérivatio sivate : ' p p x x O pet assi écrire : x! x p!! 6 Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : p p p!!» Por, o déiit la phrase P() : «p p p p D où x! et doc P( + ) x Coclsio : La phrase P() est vraie por tot etier atrel c est-à-dire qe por tot etier atrel, la octio dérivée -ième de a por expressio Applicatio (sr exemple) : O appliqe la ormle por calcler 7 x Remarqe : 7 7! x x 7 x x! Il est possible de retrover la ormle géérale doée das l éocé et qe os avos démotrée par récrrece e eectat le calcl «à la mai» des premières dérivées de x p p Remarqe : il vadrait miex écrire p p! Cela permet de redre la somme pls lisible Iitialisatio : Vériios qe P() p O a : p p!!= p Or! p Doc o pet écrire p p!! D où P() p avec des parethèses ator de p p! Aisi : ' x x '' x x x 6 x x x p!! Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire p p Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire p p p p!!! p p O a : p p p p p p p!!

14 p p p!!! (o tilise l hypothèse de récrrece) p!!!!! (o actorise par ( + )! les dex premiers termes de la somme) Doc P( + ) Coclsio : Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P() est vraie por tot etier atrel c est-à-dire qe por p tot etier atrel, o a : p p!! p O a démotré e ormle sommatoire = = = = Or par hypothèse de récrrece, > doc > et de maière évidete > 7 Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : > Por o déiit la phrase P : Iitialisatio : Vériios qe P() = par hypothèse de déiitio de la site doc > D où P() Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P() soit vraie c est-à-dire > Démotros q alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire > O a : Méthode : Por comparer et, o va tiliser la méthode par diérece c est-à-dire qe l o va démotrer qe E eet, il y a pas de règle cocerat le qotiet por les iégalités Il y a ici pas d atre méthode O e dédit qe (d après la règle des siges : le qotiet de dex ombres strictemet positis est strictemet positis) Par coséqet, et par site P( + ) Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P() est vraie por etier atrel, alors P( + ) Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase P est vraie por tot etier atrel Atre méthode por la partie hérédité : 6 = 6 = Or par hypothèse de récrrece, doc Par site, D où 6

15 6 Doc Doc P( + ) Remarqe : soit 5 6 Le calcl des premiers termes doe :, 7 Atre méthode : assez eicace O étdie la octio : x x x O démotre qe est strictemet croissate sr l itervalle [ ; + [ Doc si x, alors x Atre aço : Doc D où Remarqe : Por tot etier, doc, Doc o pet écrire : Doc ( ) existe Raisoemet ax : O miore le mérater et le déomiater : et Doc e divisat membre à membre les dex iégalités o obtiet : Critiqe de ce raisoemet : o a pas le droite de diviser membre à membre des iégalités de même ses Si a > b et c > d, o e pet écrire a b c d Commetaires L iitialisatio de certaies récrreces écessite calcl ; d atres, o Das les exercices,,, l iitialisatio e écessite pas de calcl Das les exercices et 5, l iitialisatio écessite calcl Das la partie sr l hérédité, «O travaille avec +» À l itérier de la récrrece por les sommes, o tilise les techiqes algébriqes selles : techiqe de actorisatios, développemets, mises a même déomiater Démostratio d e iégalité Démostratio d e égalité Démostratio d e ormle sommatoire Démostratio de divisibilité Je précoise de lire : Classiicatio des exercices - la iche sr les iégalités (propriétés sr l ordre) ; - le cors sr la logiqe (otammet sr l implicatio P Q)