Suites : récurrence, limites
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- Marie-Rose Chaput
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1 TS : Suites : récurrence, ites page 1 Suites : récurrence, ites I. Rappels sur les suites (A) Mode de génération d une suite Définition 1 Une suite numérique u ou ( ) n N est une fonction définie sur N et à valeurs dans R. Le nombre u(n) est alors noté. u : N R n u(n) On peut définir une suite ( ) par l une des façons suivantes : Définition explicite : On donne l expression de en fonction de n pour tout n. Par exemple, = 3n + 5 pour tout n N. On peut alors calculer chaque terme directement. Par exemple, u 100 = = 305. Définition par récurrence : On donne le 1 er terme et une relation de récurrence entre un terme et le suivant. Par exemple, u 0 = et pour tout n > 0,+1 = u n + 1. Le calcul des termes se fait pas à pas : u 1 = + 1 = 5 ; u = = 6... On peut aussi utiliser une calculatrice, un tableur ou un logiciel de programmation. (B) Représentations graphiques Représentons graphiquement la suite ( ) définie par = n pour tout n 0. Sur la droite numérique : On place les réels pour les premières valeurs de n. Dans le plan : On place les points de coordonnées (n; ) pour les premières valeurs de n. (C) Suites arithmétiques et géométriques Suites arithmétiques Une suite ( ) est une suite arithmétique de raison r si pour tout n de N, +1 = + r. Une suite arithmétique de raison r est croissante si r > 0, décroissante si r < 0 et constante si r = 0. Pour n et p entiers naturels, = u p + (n p)r. En particulier : = u 0 + nr. Les points de coordonnées (n; ) dans un repère du plan sont alignés sur une droite de coefficient directeur r. Suites géométriques Une suite ( ) est une suite géométrique de raison q si pour tout n de N, +1 = q. La suite (q n ) est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1. Elle n est pas monotone si q < 0. Pour n et p entiers naturels, = u p q n p. En particulier : = u 0 q n. Calculs de sommes Pour tout n de N n(n + 1), n =. Pour tout n de N et pour tout q 1, 1 + q + q + + q n = 1 qn+1 1 q. 1
2 TS : Suites : récurrence, ites page II. Raisonnement par récurrence Cette démonstration s applique lorsque l on cherche à démontrer qu une propriété P n dépendant d un entier naturel n est vraie pour tout entier naturel n à partir d un certain rang n 0. Exercices n o 1 p 30 On procède en trois étapes : Etape 1 : INITIALISATION On montre que la propriété est vraie au rang initial, c est-à-dire que P n0 est vraie. Etape : HEREDITE On suppose que la propriété P n est vraie pour un rang n n 0 quelconque fixé (hypothèse de récurrence) et on montre que, sous cette hypothèse, la propriété P n+1 est vraie. C est-à-dire P n = P n+1. Etape 3 : CONCLUSION La propriété P n étant vraie au rang initial n 0 et étant héréditaire, alors P n est vraie pour tout entier naturel n n 0. Exemples Démontrer que la suite ( ) définie par u 0 = et pour tout n de N, +1 = 3 peut s exprimer sous la forme = 3 n + 1. Démontrer que, pour tout entier n 4, on a n 4n. Exercices n o p Entraînement n o p 30 à 3 Approfondissement n o p 3 III. Sens de variation d une suite, encadrement (A) Sens de variation d une suite Définition Une suite u ou ( ) n N est croissante si pour tout n de N, +1. Une suite u ou ( ) n N est décroissante si pour tout n de N, +1. Remarque Il peut arriver que la monotonie de la suite commence à partir d un certain rang. Méthodes Suites définies par une relation explicite : = f (n) Si = f (n) où f est une fonction définie sur [0;+ [, on peut étudier le sens de variation de f. Si f est croissante sur [0;+ [, alors la suite ( ) est croissante car pour tout n 0, on a n+1 > n, donc f (n + 1) f (n), c est-à-dire +1. De même, si f est décroissante sur [0;+ [, alors la suite ( ) est décroissante. On peut étudier le signe de +1 : Si +1 0 pour tout n, c est-à-dire +1, alors la suite ( ) est décroissante. Si +1 0 pour tout n, c est-à-dire +1, alors la suite ( ) est croissante. Si > 0 pour tout n, on peut comparer +1 à 1 : Si pour tout n, +1 Si pour tout n, +1 1 avec > 0, alors +1, alors la suite ( ) est décroissante. 1 avec > 0, alors +1, alors la suite ( ) est croissante. Suites définies par une relation de récurrence : +1 = f ( ) On doit démontrer par récurrence, que pour tout n, +1 ( ou +1 ) Exercices n o p 116
3 TS : Suites : récurrence, ites page 3 (B) Suite majorée, minorée, bornée Définitions 3 Une suite ( ) est majorée par un nombre réel M, si pour tout n de N, M. M est un majorant. Une suite ( ) est minorée par un nombre réel m, si pour tout n de N, m. m est un minorant. Une suite ( ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Exemples Une suite à termes tous positifs est minorée par 0. Une suite croissante est minorée par son premier terme : u 0 u 1 u. Une suite décroissante est majorée par son premier terme : u u 1 u 0. Dans ces définitions, M et m sont des nombres réels indépendants de n. Si une suite est majorée par M, elle a une infinité de majorants, en particulier tous les nombres supérieurs à M le sont aussi. Activité n o 3 p 99 Exercices n o p Entraînement n o p IV. Limite de suites Activité n o 3 p 99 (A) Limite infinie d une suite ( ) Définition 4 Dire qu une suite ( ) a pour ite + quand n tend vers + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]A;+ [ contient tous les termes de la suite ( ) à partir d un certain rang. On note = +. On dit que la suite ( ) diverge vers +. Dire qu une suite ( ) a pour ite quand n tend vers + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ; A[ contient tous les termes de la suite ( ) à partir d un certain rang. On note =. Propriété 1 Les suites ( n), (n), (n ),..., (n p ) où p N ont pour ite +. 3
4 TS : Suites : récurrence, ites page 4 Propriété Les suites (q n ) où q > 1 ont pour ite +. Démonstration ROC Soit q > 1. On pose q = 1 + a où a > 0. Préinaires : Démontrons par récurrence que pour tout n 0, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : Pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et a = 1. La propriété est donc vérifiée pour n = 0. Hérédité : Conclusion : Supposons la propriété vraie au rang n, c est-à-dire (1 + a) n 1 + na. Comparons alors (1 + a) n+1 et 1 + (n + 1)a. On a (1 + a) n+1 = (1 + a)(1 + a) n. Comme (1 + a) n 1 + na, on obtient (1 + a) n+1 (1 + a)(1 + na). Or (1 + a)(1 + na) = 1 + a + na + na = 1 + (n + 1)a + na. Comme n 0 et a > 0, alors 1 + (n + 1)a + na 1 + (n + 1)a. Donc (1 + a) n (n + 1)a. Pour tout n 0, (1 + a) n 1 + na. Soit A un réel. Dès que n A 1 a, on aura 1 + na A et donc (1 + a)n A. La suite ((1 + a) n ), c est-à-dire la suite (q n ) a donc pour ite +. La propriété est donc vraie au rang n + 1. Elle est héréditaire. (B) Limite finie d une suite ( ) Exercices n o p 117 Définition 5 Dire qu une suite ( ) a pour ite le réel L quand n tend vers + signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes à partir d un certain rang. On dit que la suite converge vers L. Tout intervalle ouvert contenant L contient un intervalle ouvert centré en L de la forme ]L ɛ;l + ɛ[ où ɛ > 0. On peut donc se contenter de chercher si tout intervalle ouvert centré en L contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Quand n tend vers +, «tend vers L»équivaut à «L tend vers 0». Si ( ) converge vers L, les suites (+1 ), (u n ), (u n+1 )convergent aussi vers L. Une suite convergente est bornée. Propriété 3 : Unicité de la ite Si une suite ( ) a une ite finie L quand n tend vers +, cette ite est unique. On note = L. Démonstration Supposons que ( ) admet deux ites finies L et L. ]L 1; L + L [ contient tous les termes à partir d un certain rang n 0. ] L + L ;L [ + 1 contient tous les termes à partir d un certain rang n 1. Pour n plus grand que n 0 et n 1, appartiendrait à la fois à deux intervalles qui sont disjoints. C est impossible donc ( ) ne peut admettre deux ites finies distinctes. Propriété 4 1 n p = 0 avec p N Pour tout réel q tel que 1 < q < 1, qn = 0. (C) Suite sans ite Exercices n o p Entraînement n o p 117 Certaines suites n ont pas de ite comme les suites de termes généraux ( 1) n, ( 3) n, sinn, cos(3n),... On dit que ces suites divergent. 4
5 TS : Suites : récurrence, ites page 5 (D) Théorèmes d opérations Dans cette partie, L et L désignent deux nombres réels. Somme L L + + L + (resp ) + + L + L + (resp ) + FI : On ne peut pas conclure Produit L L > 0 ou + L < 0 ou 0 L + (resp ) + (resp ) + ou L L + (resp ) (resp + ) FI : On ne peut pas conclure Inverse L 0 0 avec > 0 à partir d un certain rang 0 avec < 0 à partir d un certain rang + ou L 5
6 TS : Suites : récurrence, ites page 6 Quotient Pour déterminer la ite d un quotient, on l écrit comme un produit = 1 L L ± L 0 + (resp ) L 0 ± L L 0 FI : On ne peut pas conclure L > 0 ou + L > 0 ou + L < 0 ou L < 0 ou FI : On ne peut pas conclure On retiendra donc que les formes suivantes (A NE SURTOUT PAS ECRIRE) sont indéterminées et demanderont des calculs supplémentaires pour lever l indétermination. «+» «0» «0 0» Exercices n o p Entraînement n o p
7 TS : Suites : récurrence, ites page 7 (E) Théorème de comparaison pour les ites infinies Théorème 1 Soient ( ) et ( ) deux suites. Si pour tout entier naturel n supérieur à un entier n 0 et = = + alors = = +. et = = alors = =. Démonstration ROC Comme à partir d un certain rang, il existe un entier n 0 tel que pour tout n n 0,. Soit A un réel. Comme = = +, il existe un entier n 1 tel que n n 1, > A. Pour tout n plus grand que n 0 et n 1, on a à la fois A < et, donc A < et par conséquent A <. Ce qui prouve que la suite ( ) a pour ite + quand n tends vers +. On prouve de même la deuxième partie du théorème. (F) Théorème de comparaison pour les ites finies Propriété 5 Si ( ) a pour ite finie L et si ( ) a une ite finie L et si à partir d un certain rang, alors L < L. Théorème «des gendarmes»(admis) Si les suites ( ), ( ) et (w n ) sont telles que : w n à partir d un certain rang ( ) et (w n ) ont la même ite finie L Alors la suite ( ) a pour ite L. (G) Limite des suites monotones Exercices n o p Entraînement n o p 11 Théorème 3 Si une suite ( ) est croissante et admet pour ite L alors pour tout entier naturel n, L. Si une suite ( ) est décroissante et admet pour ite L alors pour tout entier naturel n, L. Démonstration ROC Soit ( ) une suite croissante de ite L. On raisonne par l absurde en supposant qu il existe un terme u p > L. Alors comme la suite est croissante, on a pour tout n > p, u p > L. L intervalle ]L 1;u p [ contient L mais ne peut contenir des termes que pour n < p, donc il ne contiendra pas tous les termes à partir du rang p. Ceci contredit le fait que la suite ait pour ite L. Donc pour tout n, L. On montre de même la deuxième partie. Théorème 4 (admis) Toute suite croissante majorée est convergente. Toute suite décroissante minorée est convergente. Théorème 5 Une suite croissante non majorée a pour ite +. Une suite décroissante non minorée a pour ite. Démonstration Soit ( ) une suite croissante non majorée. Soit A un réel. La suite n est pas majorée par A donc il existe un entier n 0 tel que 0 > A. La suite ( ) étant croissante, pour tout n n 0, on a 0 donc > A. Tous les termes de la suite appartiennent à ]A;+ [ à partir du rang n 0 donc = +. La démonstration dans le cas où la suite est décroissante est analogue. Exercices n o p Entraînement n o p 11-1 Exercice n o 49 p 119 Entraînement n o 50 p 119 Exercice n o 114 p 18 7
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