Suites arithmétiques et géométriques

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1 ites arithméties et géométries A) ites arithméties Défiitio et formles Défiitio : forme récrsive Ue site est arithmétie lorse, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e ajotat tojors le même ombre a, appelé raiso N : a avec réel doé Théorème : forme explicite La formle explicite d terme gééral e foctio de est : N : a et k N et N : ( k a k ) Démostratio : A l aide d schéma ci-dessos o pet établir la formle explicite d terme gééral e foctio de : N : a et k N et N : ( k a Recoaissace de la atre k ) Propriété : algébrie Ue site est arithmétie de raiso a si et selemet si N : a Propriété : graphie i e site est arithmétie de raiso a alors N : a f ( ) La site est liée à la foctio affie f ( x) ax b avec b doc sa représetatio graphie est e série de poits sités sr la droite d éatio : y ax b Exemples : Por motrer e site est arithmétie, o motre e la différece est costate por tot etier atrel Aisi la site défiie sr N par est arithmétie de raiso car : N : ( ) ( ) Por motrer e site est pas arithmétie cotre exemple sffit Aisi la site défiie sr N par est pas arithmétie car : et Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

2 es de variatio Propriété : est e site arithmétie de raiso a i i i a, a, a, est strictemet croissate est strictemet décroissate est costate Démostratio : oit e site est arithmétie de raiso a O a alors : N : a Doc N : a D où la variatio de la site déped iemet d sige de la raiso a 4 omme des termes d e site arithmétie Propriété : oit e site arithmétie, o a alors : N : Démostratio : ROC (Restittio orgaisée de coaissaces)! Partie A : oit la somme des premiers etiers atrels o ls : Ecrivos cette somme esite das l'ordre décroissat : E sommat ces dex égalités, o obtiet : Et doc : Partie B : Les premiers termes d e site arithmétie de raiso sot : ; ; ; ; et Doc : Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

3 B) ites géométries Défiitio et formles Défiitio : forme récrsive Ue site est géométrie lorse, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e mltipliat tojors par le même ombre, appelé raiso : N : : avec doé Théorème : forme explicite La formle explicite d terme gééral e foctio de est : N : et k N et N : k k Démostratio : A l aide d schéma ci-dessos o pet établir la formle explicite d terme gééral e foctio de : N : et k N et N : k k Recoaissace de la atre Propriété : Ue site est géométrie de raiso si et selemet si N : Exemples : Por motrer e site est arithmétie, o motre e la otiet por tot etier atrel Aisi la site défiie sr N par est géométrie de raiso car : 9 N : 9 Por motrer e site est pas géométrie cotre exemple sffit Aisi la site défiie sr N par est pas géométrie car : et 4 est costate Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

4 Lycée Fraçais de DOHA ère Aée 6 7 M Evao es de variatio Propriétés :, est e site géométrie de raiso et de terme iitial positif i, est strictemet croissate i, est strictemet décroissate i o si, est costate Démostratio : oit e site est géométrie de raiso Alors por tot etier : Or et D où la variatio de la site déped d sige de O e dédit les coclsios de la propriété précédete 4 omme des termes d e site géométrie Propriété : oit e site géométrie de raiso, o a alors : N : Démostratio : ROC (Restittio orgaisée de coaissaces)! Partie A : Posos : O a alors : Partie B : Les premiers termes d e site géométrie de raiso sot : ; ; ; ; et Doc : Or o sait e : D où

5 Exercice : Les sites sivates, doées par le terme iitial et e formle de récrrece, sot-elles arithméties? géométries? i tel est le cas, exprimer le terme gééral e foctio de et doer les variatios de ) et ) v v 4 et v w ) w et w 4) et, 9 5) et 5 6),5 Exercice : Détermier parmi les sites sivates, doées par le terme gééral, les sites géométries et arithméties i tel est le cas, préciser la raiso, les variatios et la forme récrsive ) 4 5) 4 ) ) 4), 5 6 6) 7), 8) Exercice : La site est arithmétie de raiso a Exprimer le terme gééral e foctio de et doer les variatios de ) et a 4 ) 5 et 45 ) 4) et 7 Exercice 4 : La site est géométrie de raiso Exprimer le terme gééral e foctio de et doer les variatios de ) et 4 ), et 4, 8 ) 5 et 45 Exercice 5 : sommes U tilisat des sites arithméties et géométries dot o précisera la raiso et le premier terme, calcler les sommes sivates : a) b) c) 5 5 d) Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

6 Exercice 6 : Bac E Podichéry Le er javier, cliet a placé à itérêts composés a tax ael de,5% O ote C le capital d cliet a er javier de l aée, où est etier atrel ) Calcler C et C Arrodir les résltats a cetime d ero ) Exprimer C e foctio de C ) E dédire e, por tot ombre etier atrel, o a : C, 5 4) O doe l algorithme sivat : a) Por la valer saisie, recopier et compléter atat e écessaire le tablea sivat Les résltats serot arrodis à l ité b) E dédire l affichage obte ad la valer de saisie est c) Das le cotexte de cet exercice, explier commet iterpréter le ombre obte e sortie de cet algorithme ad o saisit ombre spérier à 5) A er javier, le cliet avait besoi d e somme de 5 Motrer e le capital de so placemet est pas sffisat à cette date Exercice 7 : La légede d je d échecs Ue légede dit e por le remercier des plaisirs e li procraiet le je d échecs, l emperer hiram promit à so iveter issa le cadea sivat : «r la première case d je, je déposerai grai de riz, pis le doble sr la dexième case et aisi de site e doblat chae fois le ombre de grais js'à la derière case» oit la site i, por tot, associe a terme le ombre de grais de riz déposés sr la ième case ) Détermier le premier terme ) Exprimer e foctio de ) E dédire la atre de la site et détermier sa mootoie 4) Exprimer e foctio de 5) achat ' je d échec comporte 64 cases, détermier le ombre de grais de riz e l'emperer s'egage à doer à issa 6) Das kilogramme de riz, il y a eviro grais de riz La prodctio modiale aelle ajord'hi est de 68 toes de riz Commeter le résltat précédet Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

7 Exercice 8 : Bac E Polyésie La prodctio des perles de cltre de Tahiti est e activité écoomie importate por la Polyésie Fraçaise Ue étde a démotré e depis la prodctio baisse de 8% par a O admet e cette baisse de 8% se porsit les aées sivates ) O cosidère l algorithme sivat : i o saisit P 5 e etrée, obtiet-o e sortie par cet algorithme? Iterpréter ce résltat das le cotexte de la prodctio de perles ) Por prévoir les motats réalisés à l exportatio des perles de Tahiti, o modélise la sitatio par e site O ote : le motat e, e milliers d eros ; le motat e O a doc 68 a) Motrer e, e milliers d eros et o sppose e la valer baisse tos les as de 8% est e site géométrie dot o précisera la raiso b) Exprimer, por tot etier atrel, e foctio de c) Avec ce modèle, el motat pet-o prévoir por l exportatio des prodits perliers de Polyésie Fraçaise e 6? O arrodira le résltat a millier d eros ) Calcler le motat cmlé des prodits perliers exportés e l o pet prévoir avec ce modèle à partir de (comprise) js à (comprise) O doera e valer approchée a millier d eros Exercice 9 : O étdie l'évoltio de dex formilières A et B Chae mois % de formis de la poplatio A passet e B et % des formis de la poplatio B passet e A O otera et v le ombre total de milliers de formis le mois respectivemet das les formilières A et B Le ombre iitial de formis est milliers et v 8 milliers,8,v ) Jstifier e, por tot etier atrel, o a : v,,7v ) O pose por tot etier : s v et t v a) Exprimer s e foctio de s E dédire s est costate et doer cette costate b) Iterpréter ce résltats das le cotexte de l exercice t est e site géométrie et doer ses élémets caractéristies c) Motrer e d) E dédire e expressio de pis de v e foctio de e) Calcler et v v et e dédire la mootoie des sites et v Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

8 Exercice : ite arithmético-géométrie O cosidère la site défiie sr N par : et N ) Calcler les termes et ) La site est-elle arithmétie? géométrie? ) O a tracé das le repère ci-dessos la droite : y x et la corbe représetative de la foctio f : x x 4) Placer,, et sr l axe des abscisses 5) Qelle cojectre pet-o émettre sr les variatios de la site? 6) Motrer e N 4 7) O défiit la site v sr IN par : v a) Calcler v b) Exprimer, por tot etier, v foctio de v et e dédire e v est géométrie c) E dédire v pis e foctio de Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

9 Exercice : O cosidère la site défiie par : 4 et N 6 ) O représete ci-dessos : x 6 la corbe représetative de la foctio f défiie par f x ; x la représetatio de la droite y x Représeter sr l axe des abscisses les atre premiers termes de la site v la site défiie par : N v a) Détermier les trois premiers termes de cette site b) Motrer e N : v v 4 v ) oit c) E dédire la atre et la forme explicite de la site ) Détermier l expressio de e foctio d terme v 4) E dédire la forme explicite de la site Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

10 Exercice : BAC Asie Avat le débt des travax de costrctio d e atorote, e éipe d archéologie prévetive procède à des sodages sccessifs e des poits réglièremet espacés sr le terrai Lorse le ième sodage doe lie à la décoverte de vestiges, il est dit positif O tilisera les otatios sivates : V l évèemet : «le ième sodage est positif» p la probabilité de l évèemet T P V p O a doc : PV p, P V p et O sppose e le premier sodage est positif et doc e V p P L expériece acise a cors de ce type d ivestigatio permet de prévoir e : i sodage est positif, le sivat a e probabilité de l être assi égale à,6 i sodage est égatif, le sivat a e probabilité de l être assi égale à,9 ) Le er sodage état positif car P V p, o modélise la sitatio à l aide de l arbre ci-dessos por etier atrel spérier o égale à : Motrer e : p,5 p, ) O défiit la site a) Motrer e par : N p, est géométrie de raiso,5 et doer so premier terme b) Détermier la variatios de pis celles de p c) E dédire l expressio de pis de p e foctio de Exercice : est la site défiie par : ; et,5, 5 ) Démotrer e la site v défiie par : v est e site géométrie ) Exprimer v e foctio de ) Exprimer v v v v e foctio de 4) Jstifier e et e dédire e,5 Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

11 Exercice 4 : O cosidère la site défiie par : 4 et N 8 ) O représete ci-dessos : x la corbe représetative de la foctio f défiie par f x ; x 8 la représetatio de la droite y x Représeter sr l axe des abscisses les atre premiers termes de la site v a) Motrer e N, o a : v v 9 v ) O cosidère la site v défiie par N: Exercice 5 : b) Doer la formle explicite défiissat chae terme de la site c) Détermier l expressio de e foctio d terme v d) E dédire la formle explicite défiissat chae terme de la site ) oit la site défiie par : N est arithmétie et préciser le premier terme et la raiso N v Motrer e v est géométrie et préciser le premier terme v et la raiso N * et a) Motrer e la site v défiie par N * v est e site géométrie b) Exprimer v e foctio de a) Motrer e b) oit la site v défiie par : ) O cosidère la site défiie par : c) E dédire l expressio de e foctio de Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao

12 Exercice 6 : Partie A O cosidère l algorithme sivat dot les variables sot le réel U et les etiers k et N : Qel est l affichage e sortie lorse N (o détaillera les calcls)? Partie B oit la site défiie, por tot etier atrel, par : ) Motrer et O admet e 9 et 4 84 ) Das ces estios, tote trace de recherche, même icomplète, o d iitiative, même o frctese, sera prise e compte das l évalatio O sppose e, por tot etier atrel, o a : a) Dédire de cette iégalité e la site est croissate b) Dédire de cette même iégalité e la site ) oit la site est divergete v défiie, por tot etier atrel, par : v a) Démotrer e la site v est géométrie et préciser sa raiso et so terme iitial b) E dédire l'expressio de v pis de e foctio Lycée Fraçais de DOHA Aée 6 7 ère M Evao