Chapitre I : LES NOMBRES ENTIERS
|
|
- Antonin Marchand
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre I : LES NOMBRES ENTIERS I DIVISIBILITÉ Dans ce paragraphe, tous les nombres seront des entiers naturels (0,, 2, 3, 4,...). Définitions : ) On dit que m est un multiple de b quant il existe c tel que m = bc. 2) On dit que d divise a quand il existe c tel que a = dc. On dit alors que d est un diviseur de a, ou encore que a est divisible par d. Remarques : ) Dire que b divise a revient à dire que a est un multiple de b. 2) 24 = 8 3 donc on peut en déduire que 3 et que 8 sont des diviseurs de 24 et que 24 est un multiple de 3 et de 8. 3) Tout nombre divise 0. En effet, pour tout nombre n, n 0 = 0 donc 0 est multiple de n, ou encore n divise 0. 4) En revanche, 0 ne divise aucun nombre non nul (il ne divise que 0). En effet, un multiple de 0 est toujours égal à 0 (n 0 = 0), donc ne peut être égal à un autre nombre.. 5) divise tous les nombres. 6) Tous les multiples de 5 sont de la forme 0, 5, 0,..., 5n... avec n entier. Plus généralement, chaque entier non nul a une infinité de multiples. 7) Tous les entiers, sauf 0, n ont qu un nombre fini de diviseurs (par exemple, les diviseurs de 240 ne peuvent être qu inférieur à ) On peut étendre cette définition aux entiers relatifs (,... 2,, 0,, 2, 3...) et, par exemple, comme 24 = ( 3) ( 8) dire que 8 est un diviseur de 24 et comme 2 = 2 ( 6) on peut dire que 2 est un multiple de 2 et de 6. Critères de divisibilité : par 2 : le nombre est pair (le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 ). par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3. par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4. par 5 : le dernier chiffre est un zéro ou un cinq. par 6 : le nombre est à la fois divisible par 2 et par 3. par 8 : le nombre formé par les trois derniers chiffres est un multiple de 8. par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9. par 0 : le nombre se termine par zéro. par : la différence entre la somme des chiffres situés à un rang impair (unités, centaines...) et celle des chiffres situés à un rang pair (dizaines, milliers...) est un multiple de. Division euclidienne : = Effectuer la division euclidienne de a par b (avec b non nul), c est trouver les deux entiers naturels q et r, avec 0 r < b tels que a = b q + r. Vocabulaire est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. La condition imposée au reste 0 r < b fait qu il n y a qu une seule division euclidienne pour a et b donnés (admis). 50 = cette égalité représente la division euclidienne de 50 par 20 (car 0 0 < 20) mais pas celle de 50 par 7 (car 0 7 ).
2 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM II NOMBRES PREMIERS Définition : un entier naturel est dit premier s il admet exactement deux diviseurs : et lui-même. Remarques : 0 n est pas premier (tous les entiers non nuls divisent 0 ). n est pas considéré comme premier : il n a qu un diviseur (lequel?). 6 = 2 3 n est pas premier (4 diviseurs : ; 2 ; 3 et 6 ). Nombres premiers inférieurs à 00 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; 3 ; 7 ; 9 ; 23 ; 29 ; 3 ; 37 ; 4 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 6 ; 67 ; 7 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97. Le mathématicien grec Euclide a démontré, au iii e siècle avant J.-C., qu il existe une infinité de nombres premiers. Interprétation : Le nombre p (p 2) d élèves d une classe est premier quand les seules manières de partager cette classe en groupes de même effectif sont : { ou bien en un groupe de p élèves (classe entière), ou bien en p groupes de élève (cours particuliers). > 30 n est pas premier car groupe de 30 ; 2 groupes de 5 ; 3 groupes de 0 ; 5 groupes de 6 ; 6 groupes de 5 ; 0 groupes de 3 ; 5 groupes de 2 ou 30 «groupes» de. Théorème : (admis) de décomposition d un entier en facteurs premiers. Tout entier naturel n 2 peut s écrire comme produit de nombres premiers. Exemples : 42 = ; 9 = 9 (on considère que c est un produit avec un seul facteur) ; 40 = = (certains facteurs de la décomposition peuvent être égaux). Méthodes de décomposition : exemple, on veut décomposer 420 en facteurs premiers. méthode : on écrit 420 = 42 0 = = méthode 2 : soit 420 = en regroupant les termes, tous les facteurs sont bien premiers. > revoir les tables de multiplications! On effectue les divisions, si besoins répetées, par les nombres premiers 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; on s arrête lorsque le quotient obtenu est. Le produit de tous les diviseurs est alors la décomposition en facteurs premiers : ici 420 = > Le théorème indique qu à partir des nombres premiers, en les multipliant, on peut avoir tous les entiers (sauf 0 et ) : ce sont des nombres premiers dans le sens de «primitifs», «de bases». moralement : les nombres premiers sont les briques qui permettent de construire les entiers (le ciment étant la multiplication). En fait, il y a unicité en ce sens que 420 ne peut pas être construit avec d autres briques.
3 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM III III. APPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION Simplification et multiplication de fractions Exemples : , on a et donc 56 = = puis = = = = = 2 (refaire les décompositions.) = = = 3 44 Rappel : La fraction 3 ne peut plus se simplifier. On dit qu elle est irréductible. 2 III.2 Savoir si un nombre est diviseur d un autre Exemple : 420 = (cf. II), de cette décomposition on peut remarquer que : 5 est un diviseur de 420 car 5 = 3 5 qui est dans sa décomposition et 420 = = 5 28 ; de même 420 est un multiple de 2 = 3 4 ; de 05 = ;... mais 3 n est pas un diviseur de 420 (3 est premier et ne figure pas dans la décomposition) ; 6 ne divise pas 420 car 6 = 2 4 est trop grand : ce n est que 2 2 qui intervient dans la décomposition de 420 ; de même 45 = n est pas un diviseur de 420. III.3 Rechercher des diviseurs communs { on décompose les deux nombres en produit de facteurs premiers ; méthode : on recherche les nombres commun aux deux décompositions exemple pour 540 et 375 : 25 5 et 540 = 54 0 = { 540 = donc les diviseurs communs sont :, 3, 5 et 3 5 = = Remarques : Si les nombres son simples, on peut faire la liste des diviseurs et comparer. 8 = 8 Exemple : 8 et 27 8 = 2 9 les diviseurs de 8 sont :, 2, 3, 6, 9 et 8. 8 = 3 6 } 27 = 27 les diviseurs de 27 sont :, 3, 9 et = 3 9 Donc les diviseurs communs à 8 et 27 sont, 3, 9. Deux nombres entiers ont toujours au moins un diviseur commun, le nombre. S ils n on pas d autres diviseurs communs, on dit qu ils sont premiers entre eux. Une fraction est irréductible dès que le numérateur et le dénominateurs sont premiers entre eux.
4 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM IV IV. RAPPELS SUR LES PUISSANCES Puissance de dix 0 0 = 0 ; 0 = 0 ; 0 5 = zéros ; 0 6 = 0 = 0,00 00 ; = 0 7 ; 0 3 = 0, zéros Préfixe : mille : 0 3 (kilo), un million : 0 6 (méga), un milliard : 0 9 (giga), mille milliard : 0 2 (tera), million de milliard : 0 5 (péta) un millième : 0 3 (milli), un millionième : 0 6 (micro), un milliardième : 0 9 (nano), millième de milliardième : 0 2 (pico), millionième de milliardième : 0 5 (femto) IV.2 Écriture scientifique = 2, (on déplace la virgule de 3 «crans» vers la gauche). 0, = 3,6 0 4 (on déplace la virgule de 4 «crans» vers la droite). 0,25 = 2,5 0 (si le nombre est plus petit que la puissance est négative). L écriture scientifique est de la forme a 0 p avec a < 0 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et p entier relatif. IV.3 Puissance entière d un nombre (n entier positif) 5 4 = = 625 a n = a a a a 4 fois n facteurs ( 8) 3 = ( 8) ( 8) ( 8) = 52 a = a 3 fois et a 0 = (par convention). 2 3 = 2 3 = = 8 IV.4 Règles de calculs sur les puissances on multiplie les puissances d un même nombre = = 3 6+( 2) = 3 4 on additionne les exposants 6 et 2 a n = a n = ( a) n ( a 0 ). règle p a q = a p+q. a 4 a 3 a 2 a = a a 0 = a = a a 2 = a 2 a 3 = a 3. on divise les puissances d un même nombre = 32 ( 4) = = = 52 7 = 5 5 on soustrait les exposants 2 et 7 règle : a p a q = ap q on prend la puissance d une puissance on prend le produit d une même puissance ( 0 2 ) 3 = = 0 6 on multiplie les exposants = (3 2) 4 = 6 4 on fait la puissance du produit règle : (a p ) q = a p q règle p b p = (ab) p on élève un quotient à une même puissance ( ) 3 2 = ( 3) = 9 4 règle : ( ) a p = ap b b p on élève le numérateur et le dénominateur à cette même puissance
5 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM ( ) n Remarque n = car a n = a a n = a a = a a = a ( ) n a = a Justifications : (Cas où p et q sont positifs. Je ne les demanderai pas, c est trop difficile!) a p a q = a a a a a a a a q facteurs = a a a a = a p+q p + q facteurs (a p ) q = a p a p a p a }{{ p } q puissances = a a a a a a a a a a a a q fois = a a a = a p q p q facteurs (ab) p = (a b) p = (a b) (a b) (a b) (a b) = a a a a ( ) a p = a b b a b a b a = }{{ b} b b b b {}}{ a a a a b b b b = a p b p = ap b p Règles de priorités : Attention : ( 5) 2 = ( 5) ( 5) = 25 et 5 2 = (5 5) = 25. Les puissances sont prioritaires, sauf s il y a des parenthèses. IV.5 Exemples, applications Règle : Dans une suite de calculs, on doit effectuer dans l ordre : les calculs à l intérieur des parenthèses ; les puissances ; les multiplications et divisions ; les additions et soustractions. Exemples : = = = (5 + 3) 2 = = 4 64 = 60, (pour il faut comprendre 2 (5 3).) À savoir : La liste des carrés jusqu à 20 et 30 2, = 2 ; 2 2 = 44 ; 3 2 = 69 ; 4 2 = 96 ; 5 2 = 225 ; 6 2 = 256 ; 7 2 = 289 ; 8 2 = 324 ; 9 2 = 36 ; 20 2 = 400 ; 30 2 = 900 ; 40 2 = La liste des cubes jusqu à 5 : 2 3 = 8 ; 3 3 = 27 ; 4 3 = 64 ; 5 3 = 25. Savoir retrouver très rapidement les puissances de 2 jusqu à = 4 ; 2 3 = 8 ; 2 4 = 6 ; 2 5 = 32 ; 2 6 = 64 ; 2 7 = 28 ; 2 8 = 256 ; 2 9 = 52 ; 2 0 = 024 (Remarquer que 000 = 0 3 est une bonne approximation de 2 0.)
6 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM Remarques : 3 2 = est un nombre positif ; 9 ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = +6 est aussi positif. Question : La puissance d un nombre peut-elle être un nombre négatif? Si oui, à quelle(s) condition(s)? Réponse : Pour a 0, a = a = a ; a est donc l inverse de a. 3 4 = = 8 et 4 3 = = 64. Il ne faut donc pas confondre les nombres 3 4 et 4 3. Question : Peut on trouver des entiers n et m tels que n m = m n? Réponse :,2 3 est bien défini et,2 3 =,2,2,2 =,728 En revanche, 3,2 n a aucun sens (n a pas été défini), l exposant doit être entier. Exemples : = = 5 5 ; = = 7 5+ = = 36 2 = 3 4 ; 2 8 = 23 8 = 2 5 ; 2 8 = 23 ( 8) = = 2. ( 5 2 ) 4 = = 5 8 ( ; 2 3 ) 4 = 2 ( 3) 4 = 2 2 ( ; 6 3 ) 3 = 6 3 ( 3) = 6 9 ; ( 3 2 ) 3 = 3 ( 2) ( 3) = 3 +6 = 3 6 (revoir la règle des signes!) ; 4 5 = ( 2 2) 5 = = 2 0 ; 27 3 = ( 3 3) 3 = = = (2 5) 5 = 0 5 ; 6 8 = (2 3) 8 = ( 5 2 = 6) = 25 ( ) ; = = 8 27 ; 6 4 ( ) = = 3 4 = ( ) 5 ( 6 3 = (2 3) 3 = ) = = = ; 8 5 (6 3)5 ou : = = = = = = Remarques : On a = 32 6 = 3 4 mais on peut aussi écrire = = De même, 8 5 = = 8 5 = 8 4 ; = 2 9 ( 3) = = Plus généralement pour a 0, on pourra utiliser la règle ap a q = a q p Il n y a pas de règle pour simplifier a priori des expressions comme ou 56 ; en effet, dans aucun des cas les exposants ou les nombres sous les 34 exposants sont les mêmes. Il faut bien faire attention de n appliquer qu une règle à la fois : = = 3 8 ou = ( 3 2) 4 = = 3 8 mais n est surtout pas égal à (3 3) 4+4 = ( 3 2) 8 = 3 6.
7 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM Exercice : Le nombre s obtient en multipliant uniquement des 2 et des 5. Combien en faut-il de chaque? Réponse : = = = 2 3 (2 5) 4 Donc = (règle (ab) p = a p b p ) = (règle a p a q = a p+q ) = On doit donc multiplier sept 2 et quatre 5 pour obtenir Exercice : Combien de chiffres a le nombre ? Réponse : On va transformer l écriture à l aide des règles sur les puissances = ( 2 2) car 4 = 2 2 = (règle (a p ) q = a p q ) = car 2 = 20 + et a p+q = a p a q = (2 5) 20 5 (règle a p b p = (ab) p ) = Ce nombre n est autre qu un cinq suivi de 20 zéros (0 20 est un suivi de 20 zéros). Il a donc en tout 2 chiffres (ne pas oublier le 5!). Dans la vie de tous les jours, 5 20 = = , c est donc le nombre cinq cent milliards de milliards. Table des matières I DIVISIBILITÉ II NOMBRES PREMIERS 2 III APPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION 3 III. Simplification et multiplication de fractions III.2 Savoir si un nombre est diviseur d un autre III.3 Rechercher des diviseurs communs IV RAPPELS SUR LES PUISSANCES 4 IV. Puissance de dix IV.2 Écriture scientifique IV.3 Puissance entière d un nombre IV.4 Règles de calculs sur les puissances IV.5 Exemples, applications
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailLe chiffre est le signe, le nombre est la valeur.
Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.
Plus en détailDéfinition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.
Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailGlossaire des nombres
Glossaire des nombres Numérisation et sens du nombre (4-6) Imprimeur de la Reine pour l'ontario, 008 Nombre : Objet mathématique qui représente une valeur numérique. Le chiffre est le symbole utilisé pour
Plus en détaila)390 + 520 + 150 b)702 + 159 +100
Ex 1 : Calcule un ordre de grandeur du résultat et indique s il sera supérieur à 1 000 L addition est une opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres. On peut changer l ordre de ses
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailLa question est : dans 450 combien de fois 23. L opération est donc la division. Le diviseur. Le quotient
par un nombre entier I La division euclidienne : le quotient est entier Faire l activité division. Exemple Sur une étagère de 4mm de large, combien peut on ranger de livres de mm d épaisseur? La question
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailVous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels.
Cette partie est consacrée aux nombres. Vous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels. L aperçu historique vous permettra
Plus en détailTHEME : CLES DE CONTROLE. Division euclidienne
THEME : CLES DE CONTROLE Division euclidienne Soit à diviser 12 par 3. Nous pouvons écrire : 12 12 : 3 = 4 ou 12 3 = 4 ou = 4 3 Si par contre, il est demandé de calculer le quotient de 12 par 7, la division
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailFactorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailConversion d un entier. Méthode par soustraction
Conversion entre bases Pour passer d un nombre en base b à un nombre en base 10, on utilise l écriture polynomiale décrite précédemment. Pour passer d un nombre en base 10 à un nombre en base b, on peut
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailTechnique opératoire de la division (1)
Unité 17 Technique opératoire de la division (1) Effectuer un calcul posé : division euclidienne de deux entiers. 1 Trois camarades jouent aux cartes. Manu fait la distribution en donnant à chaque joueur
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCodage d information. Codage d information : -Définition-
Introduction Plan Systèmes de numération et Représentation des nombres Systèmes de numération Système de numération décimale Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailPuissances d un nombre relatif
Puissances d un nombre relatif Activités 1. Puissances d un entier relatif 1. Diffusion d information (Activité avec un tableur) Stéphane vient d apprendre à 10h, la sortie d une nouvelle console de jeu.
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailSOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... LES MESURES
SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... LES MESURES MES 1 Les mesures de longueurs MES 2 Lecture de l heure MES 3 Les mesures de masse MES 4 Comparer des longueurs, périmètres.
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailV- Manipulations de nombres en binaire
1 V- Manipulations de nombres en binaire L ordinateur est constitué de milliards de transistors qui travaillent comme des interrupteurs électriques, soit ouverts soit fermés. Soit la ligne est activée,
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détailLicence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailNombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN
Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Table des matières. Introduction....3 Mesures et incertitudes en sciences physiques
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailSTAGE IREM 0- Premiers pas en Python
Université de Bordeaux 16-18 Février 2014/2015 STAGE IREM 0- Premiers pas en Python IREM de Bordeaux Affectation et expressions Le langage python permet tout d abord de faire des calculs. On peut évaluer
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailInitiation à la programmation en Python
I-Conventions Initiation à la programmation en Python Nom : Prénom : Une commande Python sera écrite en caractère gras. Exemples : print 'Bonjour' max=input("nombre maximum autorisé :") Le résultat de
Plus en détailPar combien de zéros se termine N!?
La recherche à l'école page 79 Par combien de zéros se termine N!? par d es co llèg es An dré Do ucet de Nanterre et Victor Hugo de Noisy le Grand en seignants : Danielle Buteau, Martine Brunstein, Marie-Christine
Plus en détailDiviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000
Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailFONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
Plus en détailTaux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Plus en détailChapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailLes nombres entiers. Durée suggérée: 3 semaines
Les nombres entiers Durée suggérée: 3 semaines Aperçu du module Orientation et contexte Pourquoi est-ce important? Dans le présent module, les élèves multiplieront et diviseront des nombres entiers concrètement,
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailAtelier «son» Séance 2
R IO 2 0 0 9-2 0 1 0 Animateur : Guy PANNETIER Atelier «son» Séance 2 A) 1. Rappels Mathématiques En physique, les hommes ont été confrontés à des nombres très grands ou très petits difficiles à décrire
Plus en détailEVALUATION Nombres CM1
IEN HAUTE VALLEE DE L OISE EVALUATION Nombres CM1 PRESENTATION CONSIGNES DE PASSATION CONSIGNES DE CODAGE Livret du maître Nombres évaluation CM1 2011/2012 Page 1 CM1 MATHÉMATIQUES Champs Compétences Composantes
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailArchitecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits
Architecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits 1 Rappel : un peu de logique Exercice 1.1 Remplir la table de vérité suivante : a b a + b ab a + b ab a b 0 0 0 1 1 0 1 1 Exercice
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailOPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS
OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS Sommaire 1. Composantes d'une fraction... 1. Fractions équivalentes... 1. Simplification d'une fraction... 4. Règle d'addition et soustraction de fractions... 5. Règle de multiplication
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailEté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
Plus en détailInitiation à la Programmation en Logique avec SISCtus Prolog
Initiation à la Programmation en Logique avec SISCtus Prolog Identificateurs Ils sont représentés par une suite de caractères alphanumériques commençant par une lettre minuscule (les lettres accentuées
Plus en détailPour monter un escalier, on peut, à chaque pas, choisir de monter une marche ou de monter deux marches. Combien y a-t-il de façons de monter un
Pour monter un escalier, on peut, à chaque pas, choisir de monter une marche ou de monter deux marches. Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 1 marche? De 2 marches? De 3 marches? De 4 marches?
Plus en détailQuelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple
Quelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple Michel Habib habib@liafa.jussieu.fr http://www.liafa.jussieu.fr/~habib Algorithmique Avancée M1 Bioinformatique, Octobre 2008 Plan Histoire
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailOLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES. 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF
OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF Durée : 4 heures Les quatre exercices sont indépendants Les calculatrices sont autorisées L énoncé comporte trois pages Exercice
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailPROBABILITÉS CONDITIONNELLES
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailLES REGLEMENTS AVEC SOCIEL.NET DERNIERE MISE A JOUR : le 14 juin 2010
LES REGLEMENTS AVEC SOCIEL.NET DERNIERE MISE A JOUR : le 14 juin 2010 Guillaume Informatique 10 rue Jean-Pierre Blachier 42150 La Ricamarie Tél. : 04 77 36 20 60 - Fax : 04 77 36 20 69 - Email : info@guillaume-informatique.com
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailAlgorithmique et programmation : les bases (VBA) Corrigé
PAD INPT ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION 1 Cours VBA, Semaine 1 mai juin 2006 Corrigé Résumé Ce document décrit l écriture dans le langage VBA des éléments vus en algorithmique. Table des matières 1 Pourquoi
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détail