Nombres entiers et nombres rationnels

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1 Nombres entiers et nombres rationnels 1. Diviseurs : a et b désignent des nombres entiers avec b. Effectuer la division euclidienne de a par b, c est trouver le quotient q et le reste r tels que : a = b q + r avec r < b Exercice : Effectuer la division euclidienne de : a. 37 par 5 réponse : 37= b. 148 par 25 réponse : 148= c par 1 réponse : 1894= Définitions : Soient a et b deux entiers naturels tels que b. Si a b q =, c'est-àdire que le reste de la division euclidienne vaut, alors on peut écrire : - best un diviseur de a. - aest un multiple de b. - aest divisible par b. Exemples : 48 = donc 12 est un diviseur de est un multiple de est divisible par 12. Exercice : Effectue les divisions euclidiennes suivantes, puis traduis-les avec 3 phrases réponses. a. 891 par 3 b. 147 par 15 correction : a. 891= est un diviseur de est un multiple de est divisible par 3. b. 147= n est pas un diviseur de n est pas un multiple de n est pas divisible par 15. Calculatrice : utilisation de la touche «diviser avec reste»

2 2. Diviseurs communs : Si deux entiers aet bsont divisibles par un même entier k, on dit que k est un diviseur commun de aet b. Exemple : 34 et 51 sont divisibles par 17, donc 17 est un diviseur commun de 34 et 51. Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres. Si k est un diviseur commun à aet b ( a b) diviseur de a + b et a b. > alors k est aussi un Exemple : 45 et 15 ont 15 pour multiple commun, donc 15 est aussi un diviseur de = 15 et de = Entiers premiers entre eux : Si deux entiers ont pour seul diviseur commun 1, on dit qu ils sont premiers entre eux. Exemples : 36 a pour diviseurs 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, a pour diviseurs 1, 5, 7. Leur seul diviseur commun est 1 donc 36 et 35 sont premiers entre eux 56 a pour diviseurs 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, a pour diviseurs 1, 3, 7, 9, 21, 63. Leurs diviseurs communs sont 1 et 7 donc 56 et 63 ne sont pas premiers entre eux. 4. Plus grand diviseur commun ou PGCD. La liste des diviseurs communs de 4est 1, 2, 4, 5, 8, 1, 2, 4. La liste des diviseurs communs de 32 est 1, 2, 4, 8, 16, 32. Les diviseurs communs de 4 et 32 sont donc 1, 2, 4, 8. Le plus grand des diviseurs communs à 4 et 32 est donc 8. 4 ; 32 = 8. On note PGCD ( ) Si a est un diviseur de b alors PGCD ( a; b) = a - 2 -

3 Exemple : PGCD ( 15;3) = 15. Exemple : PGCD ( 1 ; 17) = 1 PGCD ( ) 1 ; a = a. Exemple : PGCD ( 41 ; 41) = 41 PGCD ( a ; a) = a. 5. Méthodes pour déterminer un PGCD : Pour déterminer PGCD ( 12 ; 48 ), on risque d oublier un diviseur de l un des deux nombres, on a donc recours à 2 méthodes distinctes : 5.1 Méthode par soustraction : On soustrait le plus petit des nombres au plus grand : = 72. ; 72 ; 48. On sait que PGCD ( ) =PGCD ( ) On recommence : = 24. ; On sait que PGCD ( ) =PGCD ( ; ) A nouveau : = 24. ; On sait que PGCD ( ) =PGCD ( ; ) Le PGCD cherché est = Méthode par divisions (algorithme d Euclide) : On effectue la division euclidienne du plus grand par le plus petit : On recommence avec le diviseur et le reste : La présentation peut également être plus sobre : 12= = Comme le reste est nul, le PGCD cherché est le dernier diviseur : 24. Enfin, la calculatrice le fait pour vous. Intéressant pour vérifier bien sûr - 3 -

4 6. Fractions irréductibles : Dire qu un nombre est rationnel signifie que ce nombre peut s écrire a b avec a et b nombres entiers relatifs ( b ). Exemples : = 2 = , 46 = 11, 8 = 1 1, 7 2 = 72 6, 5 65 Remarque : Le nombre π n est pas un rationnel. Lorsque le numérateur et le dénominateur d une fraction sont premiers entre eux, on dit que cette fraction est irréductible. On ne peut donc plus la simplifier. Exemple : est une fraction irréductible car 33 et 14 sont premiers entre eux. En simplifiant une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, on obtient une fraction irréductible. Exemple : on veut simplifier On utilise l algorithme d Euclide pour obtenir PGCD ( ; ) PGCD ( 156 ; 273) = 39 Donc = = Exemple : on veut simplifier On utilise l algorithme d Euclide pour obtenir PGCD ( ; ) PGCD ( 657 ; 223) = 1, les deux nombres sont premiers entre eux et la fraction est irréductible

5 7. Résoudre un problème d optimisation Un ouvrier dispose de plaques de métal de 11 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : «Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte.» Quelle sera la longueur du côté d un carré? Combien en obtiendrez-vous? Nous cherchons à ne pas avoir de perte, il faut donc un côté de carré qui divise à la fois 11 et 88. De plus, nous cherchons à obtenir les carrés les plus grands possibles. Nous cherchons donc le PGCD( 11;88 ). Nous utilisons la méthode d Euclide. Présentation 1 : Présentation 2 : 11= = Conclusion : PGCD( 11;88) = 22 La longueur du côté d un carré est de 22cm = 5 : on en découpe 5 dans la longueur = 4 : on en découpe 4 dans la largeur. 5 4= 2 On obtient ainsi 2 carrés