Chapitre 11. (Étude élémentaire des) Séries numériques
|
|
- Michelle Généreux
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ECE - Aée Lycée fraçais de Viee Mathématiques - F. Gauard Chapitre. (Étude élémetaire des) Séries umériques Ce chapitre présete la otio de série umérique aisi que les premiers élémets d étude de ces objets. O y itroduit otammet quelques séries de référece et des techiques de calcul de sommes. Ces otios serot largemet complétées e secode aée mais serot tout de même écessaires dès cette aée pour itroduire la otio d espérace d ue variable aléatoire discrète. Notio de série umérique Les séries sot u type de suite que l o a déjà recotré; il s agit de suites défiies par ue somme.. Exemples et défiitios Défiitio. Soit (u ) 0 ue suite. La série de terme gééral u est la suite (S ) défiie par 0, S = u k. k= 0 Le terme S est appelé la somme partielle d idice de la série. La série est otée 0 u. Exemple. Les séries qui suivet ot ue importace particulière: () la série q, avec q R, est la série géométrique de raiso q. () la série x, avec x R, est la série expoetielle.! (3) la série α, avec α R est ue série de Riema. (4) la série est appelée série harmoique. (C est aussi ue série de Riema pour α =.) Doer l expressio géérale de la somme partielle d ue série géométrique e foctio de q (distiguer q = et q ). Remarque importate. O peut établir ue relatio simple etre la somme partielle d ue série et so terme gééral. E effet, o costate (grâce à la relatio de Chasles) que, si S représete la somme partielle de la série de terme gééral u, o a (.) S S = u k u k = u. k= 0 k= 0
2 Chapitre. Séries umériques. Séries covergetes - Séries divergetes Tout comme les suites, dot elle fot partie, o s itéresse au comportemet des séries quad l idice ted vers l ifii. Défiitio. La série 0 u est dite covergete si et seulemet si la suite (S ) 0 des sommes partielles coverge. Das ce cas, sa limite est appelée la somme de la série et o ote lim S = + k= 0 u k. divergete si et seulemet si (S ) 0 a ue limite ifiie ou pas de limite. Étudier la ature d ue série, c est détermier si elle coverge ou pas. Das le premier cas, o cherche alors à expliciter sa somme si c est possible. Exemple. Covergece des séries géométriques. Soit q R \ {}. Cosidéros la série géométrique de raiso q, c est à dire la série de terme gééral q, pour 0. O a déjà établi au Chapitre que S = q k = q+ q, ce qui permet d éocer le résultat suivat: q coverge q <. Das ce cas, la somme de la série vaut q = q. Remarque. Si la série u coverge vers ue limite l, alors cela veut dire que la suite (S ) coverge vers l mais il est alors clair que (S ) aussi (tout comme tout autre suite extraite de la suite des sommes partielles). E passat doc à la limite das la relatio (.), o voit que, écessairemet, u = S S l l = 0, +, ce qu o résume par l implicatio très importate 0 u coverge = u 0, +. Il suit otammet que si le terme gééral e ted pas vers 0, la série e peut coverger. O dit qu elle diverge grossièremet. Exercice. Quelle est la ature des séries de Riema pour α 0? La réciproque de l implicatio précédete est fausse! Il est des séries dot le terme gééral ted vers 0 mais qui diverget. L exemple le plus importat (à toujours avoir à l esprit) est celui qui suit, à savoir celui de la série harmoique. Exemple. Divergece de la série harmoique. Cosidéros la série harmoique, de terme gééral u = /. Ici, le terme gééral ted bie vers 0 et pourtat la série diverge. E effet, supposos au cotraire qu elle coverge vers ue limite l. Notat (S ) la suite de ses sommes partielles, o a doc (S ) et (S ) qui tedet toutes deux vers l. Or, o costate que 0 = l l S S = k=+ k k=+ =,
3 ce qui est absurde. Aisi, la série diverge. De plus, (S ) état clairemet croissate = + Exercice. (Covergece de la série de Riema pour α = ). O cosidère la série de Riema de terme gééral u = / dot o ote (S ) la suite des sommes partielles. () Que peut-o dire de la mootoie de (S )? () Motrer que, pour tout, o a. (3) E déduire u ecadremet de S puis la ature de la série. Remarque. (Séries de Riema). O viet de voir trois exemples de séries de Riema (avec α 0, α = et α = ) dot les atures étaiet différetes. Il existe u critère de covergece pour ces séries, qui sera officiellemet éocé das le cours de deuxième aée et qui repose sur ue comparaiso du terme gééral avec ue itégrale. Ne pouvat laisser le suspese durer plus logtemps, o l éoce quad même ici..3 Opératios sur les séries covergetes coverge α >. α Le résultat suivat traduit le fait que la ature d ue série e déped pas de ses premiers termes. Propositio. Soiet 0 et deux etiers aturels. Alors, les séries 0 u et u ot la même ature. E revache, si elles sot toutes les deux covergetes, leurs sommes respectives sot e géérales différetes. 0 u coverge u coverge. Mais, + 0 u + = u. Exercice 3. Après avoir justifié sa covergece, calculer la somme de la série Propositio. Soiet 0 u et 0 v deux séries covergetes, et λ,µ R. Alors la série λ u +µ v, de terme gééral (λu +µv ), est ecore covergete. Sa somme est égale à la combiaiso liéaire correspodate des sommes des deux séries. Exercice 4. Détermier la ature des séries de termes gééraux suivats: (i) +, (ii) 3 +, (iii) 6 l(+)..4 Covergece absolue 0 Défiitio 3. O dit qu ue série u coverge absolumet si la série u coverge. O costate que pour des séries dot tous les termes sot positifs, la covergece et la covergece absolue sot deux otios idetiques. Il e va de même pour des séries dot tous les termes sot égatifs. La covergece absolue implique toujours la covergece simple. La démostratio (admise ici, mais qui pourrait être u exercice itéressat pour u lecteur ambitieux) repose sur u découpage de la série selo le sige de ses termes. Le résultat est le suivat. Théorème. Si ue série coverge absolumet alors elle coverge simplemet. La réciproque est fausse. u coverge = u coverge. Mais, u coverge u coverge. Le cotre-exemple le plus cou est celui de la série harmoique alterée, qui suit e exercice. 3. 3
4 4 Chapitre. Séries umériques Exercice 5. (Série Harmoique alterée). O cosidère la série ( ) dot o ote (S ) la suite des sommes partielles. () Motrer que (S ) et (S + ) sot adjacetes. () E déduire la ature de la série harmoique alterée. Est-elle absolumet covergete?.5 Covergece des séries à termes positifs Si (u ) est ue suite à termes positifs, alors la suite (S ) des sommes partielles de la série de terme gééral u est clairemet croissate. Aisi, le théorème de covergece mootoe permet de justifier le résultat suivat. Théorème. Soit u ue série à terme positifs. Si la suite des sommes partielles (S ) est majorée, alors la série coverge. Sio, elle diverge vers +. Remarque 3. O a u éocé aalogue avec ue série à termes égatifs dot la suite des sommes partielles est miorée. Ue suite covergete état majorée, il découle immédiatemet le résultat suivat, extrêmemet utile pour détermier la ature des séries à termes positifs. Corollaire. (Comparaiso des séries à termes positifs). Soiet u et v deux séries à termes positifs. (i) Si v est covergete et si (à partir d u certai rag), u v la série u est égalemet covergete, et o a =0 u (ii) Si u diverge (vers + ) et si (à partir d u certai rag), u v, alors la série v diverge vers +. Exercice 6. () O cosidère la série e +e. Motrer que, k N, e k +e k e k. E déduire que la série coverge. =0 () O cosidère la série 3. Motrer que, k, de la série. Quelques séries umériques usuelles. Séries géométriques et leurs dérivées v. k k 3. E déduire la ature k O a vu précédemmet que les séries géométriques étaiet covergetes si et seulemet si leur raiso q vérifiait q <. De ce résultat, o peut déduire la covergece d autre séries. Théorème 3. Les séries q, q, et ( )q sot covergetes si et seulemet si q <. Das ce cas, q k = + q, kq k = k= + ( q), et k(k )q k = k= ( q) 3.
5 Remarque 4. () O peut remarquer qu o obtiet la somme de la série géométrique dérivée e dérivat par rapport à q la somme de la série géométrique et la somme de la série géométrique dérivée deux fois e dérivat deux fois par rapport à q la somme de la série géométrique. Cela permet de retrouver facilemet les deux derières formules coaissat la première. () O e doe des résultats que sur les deux premières dérivées car ce sot celles qu o utilise le plus fréquemmet, otammet pour les calculs d espérace et de variace e probabilité. Mais le reste foctioe de la même maière.. Série expoetielle Théorème 4. La série expoetielle x! coverge pour tout réel x. De plus, o a + 3 Techiques pour les calculs de somme 3. Décompositio k = k(k )+k Méthode. Il est souvet utile pour faire apparaître des séries usuelles d utiliser que k = k(k )+k, ou que k = (k )+. Exercice 7. Justifier la covergece et calculer les sommes suivates 5 x k k! = ex. () k 5 k () (k +) e k (3) k= k 3k + k! Remarque 5. Plus gééralemet, il est utile de décomposer k sous la forme k = a 0 +a k +a k(k )+a 3 k(k )(k )+...+a k(k ) (k +). 3. Télescopage(s) O a déjà recotré des sommes dites télescopiques das la maipulatio du symbole Σ. O peut reformuler les résultats déjà observés sous la forme de la propositio qui suit. E particulier, o pourra recourir à l étude de la série (u + u ) das le but d étudier la suite (u ). Propositio 3. Ue suite (u ) est covergete si et seulemet si la série (u + u ) est covergete. Auquel cas, o a (u k+ u k ) = lim u u 0. + Exercice 8. () Soiet (u ) défiie par so premier terme u 0 et par la relatio de récurrece u + = u +!. Motrer que (u ) coverge et préciser sa limite. () Mêmes questios avec (v ) défiie par la relatio de récurrece v + = v + e. Exercice 9. Soiet f la foctio défiie sur [0;] par f : x x x et (u ), de premier terme u 0 ]0;[, vérifiat la relatio de récurrece N, u + = f(u ) = u u. () Dresser le tableau de variatios de f. () Motrer que N, u ]0;[. (3) Étudier la mootoie puis la covergece de (u ). Détermier sa limite. (4) Motrer que la série u coverge et préciser sa somme.
6 6 Chapitre. Séries umériques 4 Autres exercices Exercice 0. Motrer que les séries suivates sot covergetes et calculer leurs sommes : ) l ( ) k+ k ) ( ) (+) l 3) 3 + 4) ( ) l(k)l(k +) (+)! 5 k k 0 5) 5, 6) 4 +5, 7) ( ), 8) ( ), ) ( ) ( ) 0) ) 4( ) + ) 3 3!! (+)! 3) 3+ 4) ( ) k 0 k 0 Exercice. () Soit x R. Motrer la covergece et calculer la somme des séries de terme gééral u et v, avec u = x ()! et v = x+ (+)!. ( O pourra cosidérer les séries u + v et u v.) () Expliciter e particulier =0 ()! Exercice. O cosidère la série () Motrer que pour tout etier ( + ) et =0 (+)!. dot o ote (T ) la suite des sommes partielles. ( ). () E déduire que, pour tout, ( + ) T. (3) La série iitiale est-elle covergete? Exercice 3. Soit (u ) N la suite défiie par u 0 R + et N, u + = u e u. () Motrer que pour tout etier, u > 0. () Étudier le ses de variatio et la covergece de la suite (u ) N. (3) Pour tout etier, o pose v = l(u ). Motrer que pour tout etier N, u k = v 0 v +. (4) E déduire la ature la série u. Exercice 4. Soit f la foctio défiie sur R par : f(x) = xl x si x 0 et f(0) = 0. () Étudier les variatios de f et costruire sa courbe représetative. () Motrer qu il existe u uique réel x > 0 tel que f(x ) =. (3) Pour quelles valeurs de x la série de terme gééral u = (f(x)) coverge-t-elle? E doer alors la somme.
7 7 Exercice 5. O veut établir la covergece et la somme de la série de terme gééral ) u = l (+ ( ) ( ). Pour tout etier, o pose S = u k. k= () Vérifier que S + = (u k +u k+ ). () E déduire ue expressio simple de S +. (3) E déduire l étude de la suite (S ). (4) Coclure sur la série de terme gééral u. Exercice 6. O cosidère la suite défiie par : u 0 ]0;[ et N, u + = u u. () Motrer que la suite (u ) est covergete et détermier sa limite. () Étudier la ature de la série u et doer sa ( somme, ) si elle existe. u+ (3) Prouver que la série de terme gééral v = l est divergete. (4) E déduire la ature de u. Exercice 7. O cosidère la foctio f défiie sur R par : f(x) = ex +e x. O défiit la suite u par : u 0 = et N, u + = u f (u ). () Étudier la foctio f et dresser so tableau de variatios. () Motrer que la suite u est strictemet positive et strictemet décroissate. (3) E déduire que u est covergete et doer sa limite. O pose pour tout etier : v = u +. u (4) Motrer que v est strictemet égatif. (5) Motrer que la suite (v ) est covergete de limite ulle. (6) Simplifier l(+v k ) et détermier la ature de la série correspodate. (7) (a) Justifier qu il existe 0 N, tel que, pour tout 0, / v < 0. (b) Motrer que, pour tout x [ /; 0], x l( + x). (c) E déduire la ature de la série v. (8) Motrer que x [0;], x (9) E déduire la ature de la série u. (0) Détermier la ature de u. u e x x +e x 4. Exercice 8. (D après Edhec 997) Soit p u etier aturel fixé. O cosidère la série u, où u = () Motrer que si p = 0 ou si p =, alors u diverge. () Das toute la suite, o suppose doc que p. O ote (S ) la suite des sommes partielles de la série. (a) Motrer que, pour tout etier, (+p+)u + = (+)u +. (b) E déduire, par récurrece sur, S = p ( (+p+)u +). ( +p ).
8 8 Chapitre. Séries umériques (c) Motrer que la suite (v ) défiie par v = (+p)u est décroissate et miorée par 0. E déduire qu elle coverge vers ue limite qu o otera l, vérifiat l 0. (d) Motrer que u coverge et exprimer sa somme e foctio de p et l. (e) O suppose que l 0. Motrer qu alors lim + l u =. E déduire qu il existe u rag N à partir duquel u l/, N. (f) Coclure, par l absurde à la valeur de la somme de u.
. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailLe marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.
II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailLes algorithmes de tri
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailDares Analyses. Plus d un tiers des CDI sont rompus avant un an
Dares Aalyses javier 2015 N 005 publicatio de la directio de l'aimatio de la recherche, des études et des statistiques Plus d u tiers des CDI sot rompus avat u a Le cotrat de travail à durée idétermiée
Plus en détailSYSTEME FERME EN REACTION CHIMIQUE
SYSTEME FERME EN REACTION CHIMIQUE I. DESCRIPTION D UN SYSTEME. Les dfférets types de système (ouvert, fermé, solé U système S est formé d u esemble de corps séparés du reste de l uvers (appelé mleu extéreur
Plus en détailRégulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique
Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailIntégrales dépendant d un paramètre
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4
Plus en détailRéseaux d ondelettes et réseaux de neurones pour la modélisation statique et dynamique de processus
Réseaux d odelettes et réseaux de euroes pour la modélisatio statique et dyamique de processus Yacie Oussar To cite this versio: Yacie Oussar. Réseaux d odelettes et réseaux de euroes pour la modélisatio
Plus en détailSTRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO
Des résultats du Programme de réductio des risques STRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO 1. Cotexte La puaise tere Lygus lieolaris (figure 1) est
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailÉchantillonnage et estimation
Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page Échatilloage et estimatio Partie C : Capacités et exercices-types. Rappelos
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détailChapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.
Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE
Plus en détail?,i- ' ^/mmmmmm. CACU ^..""'V ii\teimmies EîiiEsmmii ''?A y? K 1^ 1 - r Par le Moyede Formules Algébriques ) v-^' ET A 'AIDE DES OGARITHMES.../v:?i.'?Xi:: F, X, BURQUE, Ptr. Professeur de MatJu'matiques,
Plus en détailLa spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».
Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de
Plus en détailRÈGLES ORDINALES : UNE GÉNÉRALISATION DES RÈGLES D'ASSOCIATION
RÈGLES ORDIALES : UE GÉÉRALISATIO DES RÈGLES D'ASSOCIATIO SYLVIE GUILLAUME ALI KHECHAF 2 RÉSUMÉ: La plupart des mesures des règles cocere les variables biaires et écessite pour les autres types de variables
Plus en détailComment les Canadiens classent-ils leur système de soins de santé?
Novembre Les sois de saté au Caada, c est capital bulleti o 4 Commet les Caadies classet-ils leur système de sois de saté? Résultats du sodage iteratioal du Fods du Commowealth sur les politiques de saté
Plus en détailS euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement.
Choix d ives i s s eme e cer iude 1 Chapire 1 Choix d ivesissemes e ceriude. Défiiio L es décisios d ivesissemes fo parie des décisios sraégiques de l erepris e. Le choix ere différes projes d ivesisseme
Plus en détailMESURE DE L'INFORMATION
MESURE DE L'INFORMATION Marc URO TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION... 3 INCERTITUDE D'UN ÉVÉNEMENT (OU SELF-INFORMATION)... 7 INFORMATION MUTUELLE DE DEUX ÉVÉNEMENTS... 9 ENTROPIE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
Plus en détailSommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9
Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18
Plus en détailTempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation
Tempêtes : Etude des dépedaces etre les braches Automobile et Icedie à l aide de la théorie des copulas Topic Risk evaluatio Belguise Olivier Charles Levi ACM Guy Carpeter 34 rue du Wacke 47/53 rue Raspail
Plus en détailLe chef d entreprise développe les services funéraires de l entreprise, en
Le chef d etreprise développe les services fuéraires de l etreprise, e assurat lui-même tout ou partie des activités de vete et e ecadrat directemet le persoel techique et commercial et d exploitatio.
Plus en détailINTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï
INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi
Plus en détail