Compression d images. Frédéric Dufaux. 26 janvier Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech. Compression. F.

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1 d images Frédéric Dufaux Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 26 janvier / 91

2 Plan 1 sur la compression d images 2 Quantification 3 4 Codage par Transformée 5 2 / 91

3 Plan 1 sur la compression d images 2 Quantification 3 4 Codage par Transformée 5 3 / 91

4 Représentation des images numériques Grille discrete, image N M pixels A chaque pixel (m,n), on associe un ordre de traitement k Généralement, balayage ligne par ligne unilatéral : k = (n 1)M + m On notera indifféremment f n,m ou f k m M n f n,m = f k N 4 / 91

5 Représentation des images numériques Images couleurs : Format RVB Images en couleurs : trois composantes, chacune représentée comme une image en niveaux de gris. 5 / 91

6 Représentation des images numériques Espaces de couleurs Espace RGB Espace HSV 6 / 91

7 Représentation des images numériques Images couleurs : Format YUV Images en couleurs : une composante de luminance et deux de chrominance (sous-échantillonnées). 7 / 91

8 Pourquoi comprimer? Exemple 1 : Libraire de photos numériques Images à 10 Megapixel Trois composantes couleur Un octet par composant Occupation mémoire : 30 Mo par photo Publication sur le Web? 8 / 91

9 Pourquoi comprimer? Exemple 2 : Télévision système analogique bande de fréquence : 6 MHz système numérique 1 composante de luminance composantes de chrominance quantification sur 8 bits 25 images par seconde R 125 Mbps bande de fréquence? 2 heures de film > 100 Go 9 / 91

10 Fondements de la compression POURQUOI EST-IL POSSIBLE DE COMPRIMER? Redondance statistique des données homogénéité des images similitude entre images successives Redondance psychovisuelle sensibilité aux baisses fréquences effets de masquage autres limites du système visuel humain Un algorithme de compression (ou codage) doit exploiter au maximum la redondance des données 10 / 91

11 Algorithmes de compression Types d algorithme Algorithmes sans perte (lossless) Reconstruction parfaite Basés sur la redondance statistique Faible rapport de compression Algorithmes avec perte (lossy) Image reconstruite image originale Basés sur la quantification Redondance psychovisuelle : visually lossless Rapport de compression élevé 11 / 91

12 Critères de performance Débit Rapport (taux) de compression T = B in B out = R in R out Débit de codage Image : R = Bout NM [bpp] Video, son : R = Bout T [bps] Codage d image sans perte : T 3 Codage d image avec perte : T 5? Codage vidéo avec perte : T 20? 12 / 91

13 Critères de performance Qualité et distorsion Le seul débit n est pas suffisant pour évaluer un algorithme avec pertes Il faut déterminer la qualité ou la distorsion de l image reconstruite Les Critères objectifs sont fonctions mathématiques de f n,m : image d origine ; et fn,m : image reconstruite après compression Critères objectifs non perceptuels Erreur quadratique moyenne (MSE) : D = 1 N M N M n=1 m=1 (f n,m f n,m ) 2 ( Rapport signal sur bruit crête : PSNR = 10 log 10 Critères objectifs perceptuels ) D On utilise des modèles du SVH pour prendre en compte la sensibilité aux fréquences, les masquages, / 91

14 Évaluation de la qualité Aspects psychovisuels Exemple Image Originale, 24 bpp 14 / 91

15 Évaluation de la qualité Aspects psychovisuels Bruit blanc σ = 4 Image Originale, 24 bpp Erreur dispersée, MSE = / 91

16 Évaluation de la qualité Aspects psychovisuels Bruit concentré sur pixels Image Originale, 24 bpp Erreur concentrée, MSE = / 91

17 Évaluation de la qualité Aspects psychovisuels Bruit concentré sur les contours (estimation par filtre de Sobel) Contours de l image Erreur concentrée sur les contours, MSE = / 91

18 Évaluation de la qualité Aspects psychovisuels Bruit sur les hautes fréquences spatiales Image Originale, 24 bpp Erreur en frequence, MSE = / 91

19 Évaluation de la qualité Aspects psychovisuels Sous-échantillonnement dans l espace des couleurs Image Originale, 24 bpp Sous echantillonement en couleur, MSE = / 91

20 Critères de performance Qualité et distorsion Les Critères subjectifs sont basés sur l évaluation de la qualité des image faite par des humaines Difficulté de créer un bon modèle du SVH Analyse statistique des résultats Évaluations longues, difficiles et coûteuses En conclusion, souvent on se limite à utiliser les critères objectifs non perceptuels : Simplicité Interprétation géométrique (norme euclidienne) Optimisation analytique Relation avec la qualité perçue? 20 / 91

21 Critères de performance Complexité, retard et robustesse La complexité d un algorithme de codage peut être limitée par : contraintes liées à l application (temps réel) limités du matériel (hardware) coût économique Le retard est normalement mesuré au codeur Lié à la complexité Influencé par l ordre de codage Robustesse: sensibilité de l algorithme de compression/reconstruction à des petites altérations du code comprimé (erreurs de transmission) 21 / 91

22 Critères de performance Bilan Besoins contradictoire : Qualité Robustesse Débit Complexité Retard 22 / 91

23 Outils fondamentaux pour la compression Codage entropique Quantification Transformée Prédiction 23 / 91

24 Plan 1 sur la compression d images 2 Quantification 3 4 Codage par Transformée 5 24 / 91

25 Quantification Definition Q : x R y C = {ˆx 1,ˆx 2,...ˆx L } ˆx 7 ˆx 6 ˆx 5 d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 ˆx 4 ˆx 3 ˆx 2 ˆx 1 25 / 91

26 Quantification Definition Q : x R y C = {ˆx 1,ˆx 2,...ˆx L } C : Dictionnaire R = log 2 L : Débit E = X Q(X) : Bruit de quantification D = E [ (X Q(X)) 2] = E [ E 2] : Distortion Θ i = {x : Q(x) = ˆx i } : Régions. Evaluation d un quantificateur : courbe D(R) 26 / 91

27 Quantification Typiquement, 1) Θ i = (d i 1,d i ) 2) ˆx i Θ i d 0 d i 1 d i d L ˆx i Θ i 27 / 91

28 Quantification uniforme d i = d i 1 + ˆx i = d i+d i 1 2 Simple Minimize l erreur maximale Optimale pour v.a. uniforme Courbe D(R) pour une v.a. uniforme : D = σ 2 X 2 2R Courbe D(R) pour une v.a. non uniforme en haute résolution : D = K X σ 2 X 2 2R 28 / 91

29 Quantification optimale Pour une densité de probabilité f X (x) donnée, determiner le quantificateur qui minimize la distorsion pour un débit donné. Problème equivalent à determiner les seuils d i et les niveaux ˆx i. Solutions : Solution analytique en haute résolution: D = h X σ 2 x 2 2R Si l hypothese de haute résolution est fausse, on peut atteindre un minimum local de la distorsion avec l algorithme de Max-Lloyd 29 / 91

30 Quantification optimale Algorithme de Max-Lloyd Algorithme de Max-Lloyd 1 initialiser les régions (p.e. uniforme) 2 trouver les meilleures régions pour le dictionnaire donné d i = ˆx i +ˆx i+1, i {1,...,L 1} 2 3 trouver le meilleur dictionnaire pour les régions données Θ ˆx i = E[X X Θ i ] = i xf X (x)dx Θ i f X (x)dx 4 boucler en 2 jusqu à la convergence 30 / 91

31 Débit de codage 2 possibilités pour coder les niveaux de quantification codes de longueur fixe b bits par niveau avec log 2 (L) b < log 2 (L)+1 codes de longueur variable b i bits pour coder ˆx i entropie : H(x) = L i=1 p i log 2 (p i ) avec p i = P(x = ˆx i ) longueur moyenne : b = L i=1 b i p i H(x) code d Huffman : b < H(x)+1 plus performant 31 / 91

32 Quantification uniforme Exemple de quantification Image Originale, 24 bpp 32 / 91

33 Quantification uniforme Exemple de codage Débit 21 bpp PSNR db TC / 91

34 Quantification uniforme Exemple de codage Débit 18 bpp PSNR db TC / 91

35 Quantification uniforme Exemple de codage Débit 15 bpp PSNR db TC / 91

36 Quantification uniforme Exemple de codage Débit 12 bpp PSNR db TC / 91

37 Quantification uniforme Exemple de codage Débit 9 bpp PSNR db TC / 91

38 Quantification uniforme Exemple de codage Débit 6 bpp PSNR db TC / 91

39 Quantification uniforme Exemple de codage Débit 3 bpp PSNR db TC / 91

40 Conclusion Quantification : au centre de la compression avec perte Operation non reversible Centrale dans le compromis débit-distorsion Approximations à haute résolution: D 2 2R D σ 2 La seule quantification est insuffisante à assurer des bonnes performances de compression 40 / 91

41 Plan 1 sur la compression d images 2 Quantification 3 4 Codage par Transformée 5 41 / 91

42 Codage prédictive Principes La seule quantification est peu efficace pour la compression Modèle soujacent trop simple : pixels indépendants et d égales importances Idée : exploiter la correlation entre pixel par une prédiction Réduction de la variance 42 / 91

43 Schéma de codage Schéma simplifié Le pixel f k depend de ses voisins Si on connaît les voisins de f k, on les utilise pour le prédire Si on fait un bonne prédiction, f k f k f k e k ẽ k fk Q fk fk Comment on fait la prédiction? Qu est-ce qu on gagne? 43 / 91

44 Schéma de codage Schéma MICD (DPCM) complet Encodeur : f k fk e k P Q fk ẽ k ẽ k fk Décodeur : ẽ k fk fk P fk 44 / 91

45 Gain de prédiction Erreur sur la prédiction = erreur sur le signal : Gain de codage : ɛ k = ẽ k e k = ẽ k + f k (e k + f k ) = f k f k σf 2 SNR p = 10log 10 ɛ 2 = 10log σf 2 10 σe log 10 σ 2 e ɛ 2 = G P + G Q La prédiction doit produire un signal d erreur dont la variance est inférieure à la variance du signal d origine 45 / 91

46 Prédicteurs fk est obtenu à partir des pixels précédents" et doit pouvoir être synthétisé au décodeur f k = P({ f l } l k 1 ) On s intéressera aux prédicteurs linéaires : simples et optimaux dans le cas Gaussien Souvent P({ f l } l k 1 ) = f k 1 46 / 91

47 Schéma de codage Choix du prédicteur Généralement, P : filtre RIF 2D fn,m = (i,j) S h i,j fn i,m j S : support causal demi-plan asymétrique typiquement, S = {(0,1),(1,0),(1,1)} Représentation équivalente : fk = h T f (k) f (k) = { f n i,m j : (i,j) S} h 2 h 3 h 1 f k 47 / 91

48 Schéma de codage Choix du prédicteur Problème : Trouver le vecteur (filtre linéaire) h qui minimize : σe 2 = E [(f k h T f (k) ) 2] en faisant l hypothèse que f n,m f n,m 48 / 91

49 Conclusions Méthode simple de mise en œuvre mais performances limitées en codage d images introduit une causalité non naturelle en 2D code les pixels séparemment Très efficace pour exploiter la redondance spatiale de la vidéo 49 / 91

50 Plan 1 sur la compression d images 2 Quantification 3 4 Codage par Transformée 5 50 / 91

51 Principes Transformation linéaire : changement de base Représentation alternative de l image Mise en évidence des caractéristiques Séparation des données entre importants et pas importants Déterminer les informations importantes pour le SVH Réduire la corrélation Allocation des ressources 51 / 91

52 Transformée 1d Paradigme du codage par transformée g 1 Q 1 g 1 f T g g 2 Q 2 g 2 g T 1 f g N Q N g N On passe du vecteur f à g = Tf : on veut un vecteur plus facile à quantifier : peu de coefficients importants, beaucoup de coefficients insignifiants 52 / 91

53 Transformations unitaires T unitaire T 1 = T H avantages : 1 inversion immédiate 2 conservation de la norme : g = f Distorsion sur g = distorsion sur f : E [ g g 2] [ ] [ ] = E (g g) H (g g) = E (f f) H T H T(f f) = E [ f f 2] Propriété fondamentale pour décider l allocation des ressource dans le domaine transformée 53 / 91

54 Transformations linéaires en 2D Forme vectorielle Forme vectorielle vecteurs lignes : f n = [f n,1,...,f n,m ] T R M vecteur image : f = [f T 1,...,fT N ]T R N M g = Tf T C(N M,N M) : matrice de transformation 54 / 91

55 Transformations linéaires en 2D Définition Forme scalaire Forme scalaire (f n,m ) 1 n N,1 m M : image d origine (g k,l ) 1 k N,1 l M : image transformée g = Tf g k,l = N n=1m=1 M t(k,l,n,m)f n,m t(k, l, n, m) : tenseur de transformation 55 / 91

56 Transformations linéaires en 2D Forme scalaire de la transformée inverse Dans l hypothese de transformée unitaire, N M f = T H g f n,m = t (k,l,n,m)g k,l n=1m=1 t (k,l,n,m) : tenseur de transformation inverse 56 / 91

57 Transformations linéaires en 2D Forme matricielle Forme matricielle (si T inversible) f 1,1... f 1,M [f] =.. f N,1... f N,M [t ] k,l = t (1,1,k,l)... t (1,M,k,l).. t (N,1,k,l)... t (N,M,k,l) N M [f] = g k,l [t ] k,l k=1l=1 (g k,l ) 1 k N,1 l M : coefficients de la décomposition de [f] sur la base {[t ] k,l,1 k N,1 l M} 57 / 91

58 Transformations linéaires en 2D Forme matricielle Transformée de Hadamard / 91

59 Transformations linéaires en 2D Forme matricielle Transformée DCT / 91

60 Transformations linéaires en 2D Transformation de Karhunen-Loève (TKL) Définition : transformation permettant de décorréler les données R g = E{gg H } : matrice diagonale On utilise la diagonalisation de la matrice de correlation R f : si les composantes de f sont linéairement indépendantes, R f est définie positive et admet la représentation : R f = UΛU T où : U = [ u 1 u 2... u N ] matrice des vecteurs propres orthonormaux et Λ = Diag(λ 1,...,λ N ) est la matrice diagonale des valeurs propres. La TKL est définie par : T = U T 60 / 91

61 Transformations linéaires en 2D Propriété de la TKL Transformation unitaire T H T = I Transformation décorrélante E[g i g j ] = λ i δ ij Meilleure concentration des énergies : T transformée unitaire, si g = U T f et h = Tf alors N N gi 2 h i 2 i=1 i=1 Transformée optimale pour variables Gaussiennes 61 / 91

62 Transformations linéaires en 2D Bilan de la TKL Avantages Décorrélation Concentration des énergies Optimale dans le cas gaussien Inconvénients Dépendante des données Complexité élevée Difficulté de l estimation Images naturelles : non stationnaires La TKL est rarement utilisée dans la compression d image, excepté des cas particuliers 62 / 91

63 Transformations linéaires en 2D Transformées basées sur la décomposition fréquentielle Transformations plus simples Asymptotiquement équivalentes (N, M ) TFD t(k,l,n,m) = 1 [ ( (n 1)(k 1) exp ı2π + (m 1)(l 1) )] N M N M TCD t(k,l,n,m) = c k c l N M cos c k = ( π { 1 si k = 1 2 sinon ) ( (2n 1)(k 1) cos π 2N ) (2m 1)(l 1) 2M 63 / 91

64 Transformations linéaires en 2D Transformées basées sur la décomposition fréquentielle TCD et TFD caractéristiques communes séparables : t(k,l, n, m) = t 1 (k, n)t 2 (l, m) algorithmes de calcul rapides interprétations fréquentielles k : indice de fréquence verticale l : indice de fréquence horizontale spécificités de la TCD réelle meilleure concentration de l information que la TFD existence d autres transformations plus simples mais moins efficaces 64 / 91

65 DFT vs DCT DCT Coeff % Energy DFT Coeff % Energy Original and reconstructed signal with the best 3 coeffs Reconstructed by DCT, 99.89% of energy Original signal Reconstructed by DFT, 90.33% of energy / 91

66 Exemples de TCD Fréquences spatiales / 91

67 TCD par blocs image non stationnaire et de taille élevée découpage en I J blocs rectangulaires (B i,j ) 0 i<i,0 j<j, de taille K L (K = L = 8) N = I K M = J L 67 / 91

68 Allocation des ressource pour les coefficients TCD On applique à chaque élément (k,l) du bloc B i,j un quantificateur Q k,l de Lloyd-Max ayant b k,l bits ((k,l) = (1,1) loi uniforme, (k,l) (1,1) loi de Laplace) problème : trouver b = (b k,l ) 1 k K,1 l L minimisant D(b) = 1 K L E{(g i,j (k,l) g i,j (k,l)) 2 } K L k=1l=1 1 K L sous les contraintes b k,l = K L b et b k,l N k=1l=1 en supposant que E{(g i,j (k,l) g i,j (k,l)) 2 } Var{g i,j (k,l)}/2 2b k,l 68 / 91

69 Algorithme d allocation de bits Donnez les ressources à ceux qui en ont besoin! 1 b k,l = 0, (k,l) {0,...,K 1} {0,...,L 1} 2 calculer (k 0,l 0 ) minimisant D((b k,l +δ k k0,l l 0 ) 0 k<k,0 l<l ) 3 b k0,l 0 = b k0,l K 1 L 1 4 si b k,l < K L b k=0l=0 alors retour 2 Formule analytique en hypothèse de haute résolution 69 / 91

70 Plan 1 sur la compression d images 2 Quantification 3 4 Codage par Transformée 5 70 / 91

71 Standard de codage Norme de compression d images basée sur la TCD Spécifiée en 1991, adoptée en 1992 Normalise l algorithme et le format de decodage On va parler d un codeur à niveaux de gris, produisant un train binaire conforme 71 / 91

72 Standard Schéma replacements TCD Codage sans perte L image est préalablement découpée en blocs 8 8 On soustrait 128 aux valeurs de luminance Les blocs sont codés indépendamment 72 / 91

73 Découpage par blocs Exemple de bloc 8x / 91

74 TCD 2d La taille de la TCD est 8 8 Petits blocs signal stationnaire Grands blocs exploit de la corrélation Taille choisie après des experiences Coefficients TCD : impact SVH 74 / 91

75 TCD Coefficients TCD du bloc considerée / 91

76 TCD Ecart-type des coefficients TCD d une image naturelle / 91

77 Quantification et allocation de débit Quantification uniforme à zone morte c i,j = ci,j q i,j Le compromis débit distorsion est complètement géré par le tableau de quantification q Le standard ne spécifie pas q, qui doit être transmis Facteur de qualité Q 77 / 91

78 Quantification et allocation de débit Exemple de table de quantification q = / 91

79 Facteur de qualité Outil non normatif Facteur de qualité Q variable entre 1 et 100 Definit un facteur d echelle S F pour la matrice de quantification 5000 Q 1 Q 50 S F = 200 2Q 50 < Q 99 1 Q = 100 S F Q q S Fq / 91

80 Quantification et allocation de débit Coefficients quantifiés avec la table précédente / 91

81 Quantification Original TCD Q Q 1 TCD 1 81 / 91

82 Codage sans perte Zig-zag scan : concentre les coefficients nuls à la fin du balayage 82 / 91

83 Codage sans perte Coefficent DC : codage predictif + Huffman Coefficients AC : codage run-lenght + Huffman coeff 0 n. de 0 coeff 0 n. de 0... EOB / 91

84 Codage de un bloc Coefficients quantifiés et codés dc k 1 0,16 0,3 1,3 0,3 7,-1 EOB 84 / 91

85 Exemple de codage Image Originale, 24 bpp 85 / 91

86 Exemple de codage Débit bpp PSNR db TC / 91

87 Exemple de codage Débit bpp PSNR db TC / 91

88 Exemple de codage Débit bpp PSNR db TC / 91

89 Exemple de codage Débit bpp PSNR db TC / 91

90 Exemple de codage Débit bpp PSNR db TC / 91

91 Conclusion Méthode assez efficace et bien maîtrisée () MAIS effets de bloc 91 / 91

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