Nombres complexes. Chapitre Généralités. Sommaire Ecriture algébrique

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1 Chapitre 4 Nombres complexes Sommaire 4.1 Généralités Ecriture algébrique Conjugué Module Ecriture trigonométrique d'un complexe Argument Exponentielle complexe Construction de la forme trigonométrique Propriétés Equations dans les complexes Les racines nième Equations du second degré Dans ce chapitre, nous allons faire le point sur tout ce qu'il faut connaître sur les complexes. Nous verrons également comment utiliser ces nombres pour résoudre des exercices classiques d'ecs1 (géométrie, calcul,...). Dans la suite, nous noterons C l'ensemble des nombres complexes. 4.1 Généralités Ecriture algébrique Un nombre complexe peut s'écrire de diérentes manières. Dans ce cours, nous prendrons pour base l'écriture algébrique. Propriété 4.13 (Ecriture algébrique) Tout nombre complexe z C s'écrit de manière unique sous la forme z = a + ib où a et b sont des nombres réels et où i vérie i 2 = 1. On appelle cette écriture la forme algébrique de z. 28

2 4.1. GÉNÉRALITÉS Remarque 4.21 Puisque cette écriture est unique, on a la propriété : a + ib = c + id a = c et b = d. Dénition 4.1 (Parties réelle et imaginaire) Pour un nombre complexe z = a + ib, la nombre réel a = Re(z) est appelé partie réelle de z et le nombre réel b = Im(z) est appelé partie imaginaire de z. Lorsqu'un nombre complexe a une partie réelle nulle, on dit que c'est un imaginaire pur. Exemple 4.1. Le nombre complexe 3 5i a une partie réelle égale à 3 et une partir imaginaire égale à -5. Remarque 4.22 On rappelle que, malgré leur nom, la partie réelle et la partie imaginaire sont tous les deux des nombres réels. Exercice 4.1. Montrer, en utilisant la dénition, que : 1) (z, z ) C 2, Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ). 2) (z, z ) C 2, Re(zz ) = Re(z)Re(z ) Im(z)Im(z ). 3) Qu'en est-il des parties imaginaires? Propriété 4.14 (règles de calcul) Les règles de calcul pour les opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication, division) sont les même que pour les réels, en tenant compte du fait que i 2 = 1. Exercice 4.2. Quel est l'écriture algébrique de z = 1 z? Interprétation géométrique : le plan complexe On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, i, j). Dénition 4.2 (Axe) On appelle point d'axe z C le point M du plan ayant pour coordonnées (a, b) où a = Re(z) et b = Im(z). On note souvent M(z) pour expliciter le fait que M est le point d'axe z. 29

3 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES Ainsi, on peut identier C à R 2. Exercice 4.3. Comment interpréter géométriquement par rapport au point M(z) le point M (z ) 1) si z = z? 2) si z = λz avec λ réel Conjugué Dénition 4.3 (Conjugué d'un nombre complexe) On appelle conjugué de z = a + ib C, le nombre complexe z = a ib. Exemple 4.2. Le conjugué de 3 5i est 3 + 5i. Exercice 4.4. Que représente M (z ) pour M(z) pour z = z? Propriété 4.15 Pour tous complexes z et z, on a : z = z. z + z = z + z. zz = zz Si z 0, alors ( ) z z = z z. 1 2 (z + z) = Re(z). (z z) = Im(z). 1 2i Remarque 4.23 Les deux derniers items sont importants car ils disent en particulier, que : pour montrer qu'un complexe z est un réel, on peut montrer que z = z. pour montrer qu'un complexe z est un imaginaire pur, on peut montrer que z = z. 30 Cours ECS1

4 4.2. ECRITURE TRIGONOMÉTRIQUE D'UN COMPLEXE Exercice 4.5. Soit z C {1} tel que zz = 1. Montrer que i z+1 z 1 R Module Dénition 4.4 (Module d'un nombre complexe) On appelle module du nombre complexe z = a + ib, le nombre réel z = zz = a 2 + b 2. Exemple 4.3. Le module du complexe 3 5i est = 34. Remarque 4.24 (Valeur absolue) La notion de module prolonge la notion de valeur absolue pour les réels. il n'y a donc pas de conit de notation. Propriété 4.16 Pour tous complexes z et z, on a : z = 0 z = 0. z = z = z. zz = z. z Si z 0, alors z z = z z. Re(z) z et Im(z) z. Inégalité triangulaire : z z z + z z + z et z z z z z + z. Remarque 4.25 On a facilement la propriété Re(z) = z z R + Exercice 4.6. Etudier le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire z + z z + z. 4.2 Ecriture trigonométrique d un complexe Dans cette partie, nous allons étudier une seconde écriture pour les nombres complexes. Cette écriture repose sur la notion d'argument. 31

5 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES Argument On considère le même repère orthonormé que dans la partie précédente (O, i, j). Dénition 4.5 Un argument du nombre complexe z, noté arg(z), est une mesure de l'angle orienté ( i, OM) où M est la point d'axe z. Remarque 4.26 L'argument d'un nombre complexe est donc déni à 2kπ près, avec k Z. Interprétation graphique : Sur cet exemple, on peut dire que arg(z) = θ [2π]. On notera également que le module de z correspond, sur ce dessin à la longueur OM. Dénition 4.6 (Argument principal) L'argument principal d'un complexe est son argument qui appartient à ] π, π]. 32 Cours ECS1

6 4.2. ECRITURE TRIGONOMÉTRIQUE D'UN COMPLEXE Exponentielle complexe Dénition 4.7 (Exponentielle complexe) Pour θ un réel, on note e iθ := cos(θ) + i sin(θ). Par dénition, e iθ est donc un nombre complexe de module 1 Exemple 4.4. On connait des valeurs particulière d'exponentielles complexes. Par exemple, e i0 = 1, e iπ = 1 et e i π 2 = i. Remarque 4.27 Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-cycliques, on a k Z, e i(θ+2kπ) = e iθ. Propriété 4.17 Pour tout (θ, θ ) R, on a e iθ = e iθ θ = θ [2π] Construction de la forme trigonométrique Connaissant l'argument et le module d'un complexe, on peut construire son écriture trigonométrique. Théorème 4.10 (Vers la forme trigonométrique d'un complexe) Pour tout z C, il existe un réel θ unique à 2π près tel que : z = z exp(iθ). Propriété 4.18 Le réel θ du Théorème 1 est un argument du complexe z. 33

7 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES Remarque 4.28 La preuve de la Proposition 6. est intéressante car, pour un complexe z = a+ib d'argument principal θ, elle donne les formules de passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique. z = a 2 + b 2, cos(θ) = a a2 + b, sin(θ) = b 2 a2 + b. 2 Théorème 4.11 (Forme trigonométrique d'un complexe) Soit z un nombre complexe non nul, de module ρ et d'argument principal θ. Alors z = ρe iθ. On dit alors que z est mis sous forme trigonométrique. Inversement, si un complexe non nul z s'écrit sous la forme z = ρe iθ avec ρ R + et θ ] π, π], alors ρ est le module de z et θ son argument principal. Exercice 4.7. Donner la forme trigonométrique du complexe z = 1 + i Propriétés Voici plusieurs propriétés utiles lorsqu'on travaille avec des complexes sous forme trigonométrique. Théorème 4.12 (Formules d'euler) Pour tout θ R, on a cos(θ) = eiθ + e iθ 2 et sin(θ) = eiθ e iθ. 2i Exercice 4.8. Linéariser la fonction x sin 3 (x) cos(x) En déduire une primitive de cette fonction. Méthode 4.18 (Linéarisation avec Euler) On pensera à linéariser les fonctions avec des cos, des sin et des puissances grâce à la formule d'euler pour pouvoir calculer des intégrales. Propriété 4.19 (Manipulation exponentielle complexe) Soient θ et θ deux réels. On a e iθ = e iθ, e i(θ+θ ) = e iθ e iθ, e i(θ θ ) = eiθ e iθ. 34 Cours ECS1

8 4.2. ECRITURE TRIGONOMÉTRIQUE D'UN COMPLEXE Remarque 4.29 Les formules de trigonométrie cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b), sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a), cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b), sin(a + b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a), sont à connaître par coeur. Théorème 4.13 (formule de Moivre) Pour tout θ R et n Z, on a ( e iθ) n = e inθ, c'est à dire (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ). Exercice 4.9. En utilisant la formule de Moivre, retrouver la formule cos(2a) = cos(a) 2 sin(a) 2. Exercice Soit θ R. Exprimer sin(3θ) sous la forme sin(θ)p (cos(θ)) où P est un polynôme de degré 2 ne dépendant pas de θ. Méthode 4.19 (Identication) Comme il est plus facile de travailler avec des exponentielles que des fonctions trigonométriques, on pensera à utiliser la Remarque 1 pour identier des parties réelles et des parties imaginaires et passer d'une forme à l'autre. Corollaire 4.20 Soit (z, z ) C. On a : arg( z) = arg(z) (2π) arg(z ) = arg(z) + arg(z ) (2π) arg( z) = arg(z) + π (2π) arg(1/z) = arg(z) (2π) n Z, arg(z n ) = n arg(z) (2π) Corollaire 4.21 Soit z C, on a : z R arg(z) = 0 (π). z R + arg(z) = 0 (2π). 35

9 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES 4.3 Equations dans les complexes Nous allons voir plusieurs exemples d'équations que l'on sait résoudre dans C Les racines nième Dénition 4.8 (Racine nième) Pour n N, on appelle racine nième du complexe y, tout complexe z qui vérie z n = y. De même, on appelle racine nième de l'unité tout complexe z vériant z n = 1. Exemple 4.5. e i π 8 est une racine quatrième de i. Propriété 4.22 (Racines distinctes de l'unité) Pour n N, il y a exactement n racines nièmes de l'unité distinctes. Il s'agit des nombres complexes de la forme ω k = e 2ikπ n, ù k {0,..., n 1}. Exercice Quelles sont les racines cubiques de l'unité? Théorème 4.14 (Racines nième d'un complexe) Pour n N, le nombre ρe iθ C admet exactement n racines nièmes de l'unité distinctes. Il s'agit des nombres complexes de la forme z k = n ρe i( θ n + 2ikπ n ), où k {0,..., n 1}. Remarque 4.30 Attention à bien distinguer les racines nièmes complexes et les racines nièmes réelles. Par exemple, si x est un nombre réel non nul, alors il admet 3 racines cubiques complexes et une unique racine cubique réelle notée 3 x. Plus généralement, la notation n x n'a de sens que si x est un réel (un réel positif si n est pair) et elle désigne un nombre réel. Exercice ) Combien de racines carrée possède un nombre complexe? 2) Si z = ρe iθ quelles sont ses racines carrées? 36 Cours ECS1

10 4.3. EQUATIONS DANS LES COMPLEXES 3) Quelle sont les racines carrées de 3i? 4) Comment trouver les racines carrées d'un nombre complexe dont on n'a qu'une forme algébrique? Méthode 4.20 (Trouver une racine carrée sous forme algébrique) Soit z = a + ib un nombre complexe. On suppose b 0. On cherche un nombre complexe w = x + iy vériant w 2 = z. On sait qu'il existe deux solutions. 1) Egaler les parties réelles de w 2 et de z : 2) Egaler les modules de w 2 et z : x 2 y 2 = a 3) En déduire x 2 et y 2 au signe près. 4) Egaler les parties imaginaires de w 2 et z) : x 2 + y 2 = a 2 + b 2. 2xy = b an de déterminer si x et y ont le même signe ou non. 5) Donner les deux valeurs possibles (opposées) de w et vérier qu'il n'y a pas d'erreurs. Remarque 4.31 On n'appliquera cette méthode uniquement lorsque les racines carrées ne sont pas évidentes ou que mettre le complexe sous forme trigonométrique est dicile! Exercice Donner les racines carrées de i. Exercice Donner les racines 5ème de 3 3i Equations du second degré Dans cette partie, on va apprendre à résoudre l'équation du second degré (E) : az 2 + bz + c = 0 lorsque les coecients a, b et c sont des nombres complexes. Les solutions que nous recherchons sont donc des nombres complexes. Théorème 4.15 (Equation du second degré) Soit = b 2 4ac, que l'on appelle toujours le discriminant de l'équation (E), et soir δ un nombre complexe tel que δ 2 =. Alors, ˆ Si = 0, l'équation (E) possède une unique solution z 0 = b 2a. ˆ Si 0, l'équation (E) possède des solutions distinctes z 1 = b δ 2a et z 2 = b+δ 2a. 37

11 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES Remarque 4.32 Ce théorème "prolonge" celui que vous connaissiez dans le cas réel. Remarque 4.33 ˆ On ne notera jamais δ = lorsque n'est pas réel. ˆ Il est maladroit d'utiliser cette méthode si l'équation a des solutions évidentes. Exercice Résoudre les équations suivantes dans C : 1) z 2 + (1 + 4i)z 5 i = 0 2) z 2 2z + 1 = 0 38 Cours ECS1