Dans toute la suite, n et p désignent des entiers naturels non nuls, et U un ouvert de R n.

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1 L2 - cursus prépa Fiche de cours : Calcul différentiel (du 03//4 au 7//4) Dans toute la suite, n et p désignent des entiers naturels non nuls, et U un ouvert de R n. Définition Soit f : U R n R p. On dit que f est scalaire si f est à valeurs dans R, c est-à-dire si p =. On dit que f est à valeurs vectorielles sinon. Définition 2 Soit f : U R n R p. Pour tout x R n, on peut écrire f(x) sous la forme f(x) = (f (x),..., f p (x)) R p. Pour tout i ; p, l application f i : U R n R est appelée i-ème fonction composante (ou i-ème fonction coordonnée) de f. Définition 3 Soit f : U R n R p. Soit a = (a,..., a n ) U. Pour tout j ; n, on définit l application partielle f a,j par f a,j : U a,j R R p t f(a,..., a j, t, a j+,..., a n ) où U a,j = {t R (a,..., a j, t, a j+,..., a n ) U} (la notation est abusive dans les cas j = et j = n pour lesquels il faut remplacer les expressions ci-dessus par (t, a 2,..., a n ) et (a,..., a n, t) respectivement). Définition 4 Soit I un ouvert non vide de R, a I et f : I R R p. On dit que f est dérivable en a si le taux d acroissement (f(a + t) f(a)) t converge lorsque t 0 (avec t 0). Sa limite est alors appelée vecteur dérivé de f en a et noté f (a). Définition 5 Une fonction f : I R R p est dite dérivable si elle l est en tout point de l ouvert non vide I. On peut alors introduire l application f : I R p appelée fonction dérivée de f. t f (t) Théorème 6 Soit f : I R R p de fonctions coordonnées f,..., f p. On a équivalence entre : (i). f est dérivable, (ii). les fonctions f,..., f p sont dérivables. De plus, si tel est le cas, on a t I, f (t) = (f (t),..., f p(t)). Définition 7 Soient U R n un ouvert, a U et f : U R n R p. On dit que f admet une dérivée partielle par rapport à sa j-ième variable au point a (encore appelée j-ième dérivée partielle en a) si l application partielle f a,j est dérivable au point a j.

2 On note alors j f(a) ou f x j (a) cette dérivée, c est-à-dire j f(a) = f a,j(a j ) f(a,..., a j, a j + t, a j+,..., a n ) f(a,..., a n ) = lim. t 0 t Définition 8 Si f : U R n R p admet une dérivée partielle par rapport à sa j-ième variable en tout point a U, l application j f : U R n R p est appelée j-ième dérivée partielle de f. Proposition 9 Soit f : U R n R p et f,..., f p : U R n R ses applications coordonnées. On a équivalence entre : (i). f admet des dérivées partielles, (ii). les fonctions coordonnées de f admettent des dérivées partielles. De plus, on a alors ( i f) k = i (f k ) où l on a noté f k et ( i f) k les fonctions coordonnées de f et i f. Définition 0 Soit f : U R n R p et a U. Si f admet des dérivées partielles par rapport à toutes ses variables au point a, on définit la matrice Jacobienne de f au point a, notée J f (a), comme la matrice à p lignes et n colonnes dont les coefficients sont (J f (a)) i,j = j f i (a) = f i x j (a) i ; p, j ; n. On remarque que J f (a) M p,n (R). Définition Toujours sous réserve d existence des dérivées partielles de f, soit a U : si f est scalaire (i.e p = ), on définit le gradient de f au point a, noté gradf(a) ou f(a), par f(a) gradf(a) =. = t J f (a) n f(a) si n = p (i.e. f : U R n R n ), on définit la divergence de f au point a par divf(a) = n i f i (a) = ( J f (a)) si n = p = 3, on définit le rotationnel de f au point a par 2 f 3 (a) 3 f 2 (a) rotf(a) = 3 f (a) f 3 (a) f 2 (a) 2 f (a) i= Définition 2 Soient f : U R n R p, a U et v R n. On dit que f est dérivable selon le vecteur v en a (ou 2

3 L2 - cursus prépa Fiche de cours : Calcul différentiel (du 03//4 au 7//4) admet une dérivée directionnelle suivant v en a) si la fonction d une variable réelle ϕ : t f(a + tv) est dérivable en 0. On appelle alors dérivée selon le vecteur v de f en a la valeur de cette dérivée, notée D v f(a) = ϕ (0) = lim (f(a + tv) f(a)). t t 0 Proposition 3 Notons (e,..., e n ) la base canonique de R n. Soient f : U R n R d et a U. Soit j ; n. La fonction f admet une dérivée partielle par rapport à sa j-ième variable en a si et seulement si elle admet une dérivée directionnelle selon le vecteur e j en a. Si c est le cas, on a alors j f(a) = D ej f(a). Définition 4 Une fonction f : U R n R p est dite différentiable en a U s il existe une application linéaire u : R n R p telle que lim h 0 R n f(a + h) f(a) u(h) = 0 ( ) Proposition 5 Si f est différentiable en a, l application linéaire u est unique. On la note df(a), appelée différentielle de f en a. Par définition, df(a) appartient à L(R n, R p ). Théorème 6 Soit f : U R n R p. Si f est différentiable en a U, alors f est continue en a. Définition 7 Soit f : U R n R p. On dit que f est différentiable (sur U) si f est différentiable en tout point de U. L application est alors appelée différentielle de f. df : U L(R n, R p ) a df(a) Proposition 8 Si f : R n R p est constante, alors f est différentiable et sa différentielle est l application nulle : pour tout a R n, df(a) = 0. Proposition 9 Si f : R n R p est linéaire, alors f est différentiable et sa différentielle est constante : a R n, df(a) = f. 3

4 Proposition 20 Si ϕ : R d R m R p est une application bilinéaire, alors ϕ est différentiable, et on a (x, y) R d R m, (h, k) R d R m, dϕ(x, y)(h, k) = ϕ(x, k) + ϕ(h, y). Proposition 2 Soient I un ouvert non vide de R, a I et f : I R R p. On a équivalence entre : (i). f est différentiable en a, (ii). f est dérivable en a. Dans ce cas, on a alors h R, df(a)(h) = hf (a) et f (a) = df(a)() où l on rappelle que f (a) = lim (f(a + t) f(a)). t t 0 Théorème 22 Soient f : U R n R p et a U. Si f est différentiable en a, alors f est dérivable en a selon tout vecteur v R n et on a D v f(a) = df(a)(v). Théorème 23 Notons (e,..., e n ) la base canonique de R n. Si f : U R n R p est différentiable, alors f admet des dérivées partielles par rapport à toutes ses variables, et pour tout a U, on a i f(a) = df(a)(e i ) i ; n. De plus, pour tout h = (h,..., h n ) R n, on a df(a)(h) = n h i i f(a) = i= n i= h i f x i (a). Proposition 24 Soient f : U R n R p et a U. Si f est différentiable en a, la matrice Jacobienne de f en a est la matrice de df(a) dans les bases canoniques de R n et R p respectivement. Proposition 25 Soient f, g : U R n R p. Pour tous λ, µ R, si f et g sont différentiables, alors λf + µg l est aussi et d(λf + µg) = λ df + µ dg. 4

5 L2 - cursus prépa Fiche de cours : Calcul différentiel (du 03//4 au 7//4) Démonstration : Soit a U. Pour h R n non nul tel que a + h U, on a 0 (λf + µg)(a + h) (λf + µg)(a) (λ df(a) + µ dg(a))(h) f(a + h) f(a) df(a)(h) λ + µ 0 h 0 R n g(a + h) g(a) dg(a)(h) avec λ df(a)+µ dg(a) L(R n, R p ), ce qui démontre que λf +µg est différentiable en a et d(λf +µg)(a) = λ df(a) + µ dg(a). Proposition 26 Soit f : U R n R p de fonctions coordonnées f,..., f p. On a équivalence entre : (i). f est différentiable, (ii). les fonctions coordonnées f,..., f p de f sont différentiables. Dans ce cas, on a a U, h R n, df(a)(h) = ( df (a)(h),..., df p (a)(h)). Démonstration : Soit a U fixé. (i) (ii) : Supposons que f est différentiable en a Notons ( df(a)),..., ( df(a)) p coordonnées de df(a). Pour tout h R n tel que a + h U, on a les fonctions f(a + h) f(a) df(a)(h) = (f (a + h) f (a) ( df(a)) (h),..., f p(a + h) f p(a) ( df(a)) p(h)) Par propriétés des limites vectorielles, (f(a+h) f(a) df(a)(h)) tend vers 0 Rp si et seulement si chacune de ses composantes tend vers 0, ce qui démontre que pour tout i ; p, f i est différentiable en a (car ( df(a)) i est linéaire puisque df(a) l est), et que df i(a) = ( df(a)) i. (ii) (i) : un raisonnement analogue en sens inverse démontre que si pour tout i ; p, f i est différentiable en a, il en est de même pour f. Théorème 27 (Différentiation de fonctions composées) Soient f : U R n R p, V un ouvert de R p tel que f(u) V et g : V R p R d. Si f est différentiable en a U et g différentiable en f(a) V, la fonction composée g f : U R n R d est différentiable en a et ( ) h R n, d(g f)(a)(h) = dg(f(a)) df(a)(h). Par suite, si f et g sont différentiables, g f est aussi différentiable et a U, d(g f)(a) = dg(f(a)) df(a). Démonstration : Soit a U. On suppose que f est différentiable en a et que g est différentiable en f(a). Il existe alors une fonction ε définie au voisinage de 0 R n telle que f(a + h) = f(a) + df(a)(h) + ε(h) avec ε(h) 0 R p. h 0 R n 5

6 On peut donc écrire f(a + h) sous la forme f(a + h) = f(a) + h en posant h = df(a)(h) + ε(h). Par continuité et linéarité de df(a), on remarque que lorsque h 0 R n, h 0 R p. Comme g est différentiable en f(a), il existe une fonction η définie au voisinage de 0 R p vérifiant en particulier g(f(a) + h ) = g(f(a)) + dg(f(a))(h ) + h η(h ) avec η(h ) 0 R d. h 0 R n Par suite, on peut donc écrire (g f)(a + h) = (g f)(a) + dg(f(a))( df(a)(h)) + dg(f(a))(ε(h)) + h η(h ) = (g f)(a) + ( dg(f(a)) df(a))(h) + ϕ(h) avec ϕ(h) = dg(f(a))(ε(h)) + h η(h ). Par continuité de df(a), il existe C 0 tel que ce qui implique que df(a)(h) C d où h = df(a)(h) + ε(h) (C + ε(h) ), ϕ(h) ( dg(f(a))(ε(h)) + (C + ε(h) ) η(h ) ). On a donc au final ϕ(h) = o() lorsque h 0 R n. Puisque la fonction dg(f(a)) df(a) appartient à L(R n, R d ), ceci démontre que g f est différentiable en a et que d(g f)(a) = dg(f(a)) df(a). Corollaire 28 (Version matricielle) Soient f : U R n R p, g : V R p R d telles que f(u) V et a U. Si f est différentiable en a, g différentiable en f(a), alors on a J g f (a) = J g (f(a)) J f (a). Corollaire 29 (Formule de dérivation en chaîne) Soient f : U R n R p, g : V R p R d telles que f(u) V et a U. Si f est différentiable en a et g différentiable en f(a), alors les dérivées partielles de g f en a sont données par p i (g f)(a) = i f k (a) k g(f(a)) k= i ; n où l on a noté f,..., f p les fonctions coordonnées de f. Remarque : Si l on convient de noter x,..., x n les coordonnées d un vecteur générique x R n et y,..., y p celles d un vecteur générique y R p, la formule précédente se récrit sous la forme (g f) x i (a) = p k= f k (a) g (f(a)) x i y k i ; n. Proposition 30 Soient f : U R n R p, λ : U R n R une fonction scalaire et a U. Si f et λ sont 6

7 L2 - cursus prépa Fiche de cours : Calcul différentiel (du 03//4 au 7//4) différentiables en a, il en est de même de la fonction λf et on a h R n, d(λf)(a)(h) = λ(a) df(a)(h) + dλ(a)(h)f(a) i.e. d(λf)(a) = dλ(a)f(a) + λ(a) df(a). Définition 3 Une fonction f : U R n R p est dite de classe C ou continûment différentiable si elle est différentiable et si sa différentielle df : U L(R n, R p ) est continue. Théorème 32 Soit f : U R n R p où U est un ouvert de R p. On a équivalence entre : (i). f est de classe C, (ii). pour tout i ; n, la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable i f : U R p existe et est continue. 7