Une relation R sur E est transitive si x, y, z E, (xry et yrz) xrz. Question 1.1 Est-ce-qu une relation alternée est toujours antisymétrique?

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1 Domaine Sciences et Technologies Licence d informatique Automates et circuits 2ième Devoir Surveillé Durée : 2 heures Année Aucun document autorisé Calculatrice interdite Nous vous recommandons de bien lire intégralement le sujet avant de commencer Les exercices sont indépendants et le barème indicatif les réponses devront être justifiées mais concises Exercice 1 Relations (6 points) Soit R une relation sur un ensemble. On dit que la relation R est alternée si pour tout couple (x, y) de E E, on n a jamais en même temps xry et yrx (on peut avoir x Ry et y Rx, ou bien x Ry et yrx, ou bien xry et y Rx). Nous rappelons que : Une relation R sur E est symétrique si x, y E, xry yrx. Une relation R sur E est antisymétrique si x, y E, (xry et x y) y Rx. Une relation R sur E est réflexive si x E, xrx. Une relation R sur E est irréflexive si x E, x Rx. Une relation R sur E est transitive si x, y, z E, (xry et yrz) xrz. Question 1.1 Est-ce-qu une relation alternée est toujours antisymétrique? D après la définition d une relation alternée on a, pour tout couple (x, y) E E, x Ry et y Rx, ou bien x Ry et yrx, ou bien xry et y Rx. Si on suppose xry, cela signifie qu on a forcément y Rx. On a prouvé l implication x, y E, (xry et x y) y Rx. Une relation alternée est donc toujours antisymétrique. Question 1.2 Dessiner un diagramme sagittale (dessin avec flèches) d une relation à la fois irréflexive et alternée avec E = {1, 2, 3} La relation représentée par le diagramme sagittale ci-dessus est irréflexive car aucun élément est en relation avec lui-même. De plus, pour tout couple (x, y), on n a jamais en même temps xry et yrx. La relation est donc alternée. Question 1.3 Dessiner un diagramme cartésien (matrice booléenne) d une relation à la fois transitive et alternée avec E = {1, 2, 3} La relation représentée par le diagramme ci-dessus est la relation d infériorité stricte notée <. Cette relation est transitive car x, y, z E, (x < y et y < z) x < z. Elle est alternée car pour tout couple (x, y) de E E, on n a jamais en même temps x < y et y < x. Question 1.4 Existe-t-il une relation définie sur un ensemble non-vide qui est à la fois réflexive et alternée? Une relation alternée est telle que pour tout couple (x, y) de E E, on n a jamais en même temps xry et yrx. Cela signifie que pour tout couple (x, x), on n a jamais en même temps xrx et xrx. On en déduit donc que pour tout x, x Rx. Une relation alternée n est donc jamais réflexive. Il n existe donc pas de relation à la fois réflexive et alternée. 1/5

2 Question 1.5 Est-ce-qu une relation antisymétrique est toujours alternée? Il existe des relations antisymétriques et réflexives (par exemple les relations d ordres). De telles relations ne sont pas alternées d après la réponse à la question précédente. Une relation antisymétrique n est donc pas toujours alternée. Question 1.6 Existe-t-il une relation à la fois symétrique et alternée? Considérons la relation R dont aucun élément est en relation x, y E, x Ry. Pour tout couple (x, y) E E, on a x Ry et y Rx. La relation R est donc alternée. De plus on a x, y E, xry yrx. La relation est par conséquent aussi symétrique. Il existe donc une relation à la fois symétrique et alternée. Exercice 2 Relation d ordre (6 points) On considère la relation d ordre sur O = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L} décrit par le diagramme de Hasse ci-dessous. A B C D E F G H I J K Question 2.1 Quels sont les élément maximaux de O ordonné par? Nous rappelons que les éléments maximaux d un ensemble ordonné sont les éléments qui sont majorés par un seul élément de l ensemble (eux-mêmes). Les éléments maximaux de O sont A et D. Question 2.2 Est-ce que l ensemble O ordonné par a un plus petit élément? Si oui lequel? Nous rappelons qu un élément est un plus petit élément s il minore tous les éléments de l ensemble. le plus petit élément de O est L. Question 2.3 Déterminer si les éléments suivants existent, et si oui, quel sont-ils? Nous rappelons que max() (respectivement min()) désigne l élément maximum (respectivement le minimum) parmi ses paramètres, et et désignent respectivement la borne supérieure (plus petit majorant commun) et la borne inférieure (plus grand minorant commun). max(a, B) max(f, L) max(a, D) L 2/5

3 min(a, H) min(i, G) min(c, J) A H A D B C A E B D D H max(a, B) = A max(f, L) = F max(a, D) n existe pas car A et D sont incomparables. min(a, H) = H min(i, G) n existe pas car A et D sont incomparables. min(c, J) = J A H = H car H A A D = I car l ensemble des minorants communs à A et D est {I, K, L} et que I est le plus grand élément de cet ensemble. B C = H car l ensemble des minorants communs à B et C est {H, J, K, L} et que H est le plus grand élément de cet ensemble. A E = A car E A B D n existe pas car l ensemble des majorants communs à B et D est qui n a pas de plus petit élément. D H n existe pas car l ensemble des majorants communs à B et D est qui n a pas de plus petit élément. Question 2.4 Est-ce que l ensemble O ordonné par est un treillis? Nous rappelons qu un treillis est un ensemble ordonné dont toutes les paires d éléments ont une borne supérieure et une borne inférieure. La borne supérieure de D et H n existe pas d après la question précédente. L ensemble O n est donc pas un treillis. Exercice 3 Relations d équivalence (3 points) Les deux questions sont indépendantes. On rappelle qu une relation d équivalence est une relation transitive, symétrique et réflexive. Question 3.1 On considère la relation d équivalence S sur N 4 = {1, 2, 3, 4} définie par le diagramme cartésien suivant : S Donner la partitition de N 4 en classe d équivalences de S. Les éléments 1 et 2 sont dans la même classe d équivalence car 1S2. Puisque 1 S3 et 1 S4, les éléments 3 et 4 ne sont pas dans la même classe d équivalence que l élément 1. Les éléments 3 et 4 sont dans la même classe d équivalence car 3S4. La partition de N 4 en classe d équivalences de S est donc {{1, 2}, {3, 4}}. Question 3.2 Nous rappelons que Z représente l ensemble des entiers relatifs et Q représente l ensemble des nombre rationnels. On définit la relation T sur Q de la façon suivante : pour tout x, y Q, on a xt y si et seulement si (x y) Z. Montrer que T est une relation d équivalence. 3/5

4 Pour montrer que T est une relation d équivalence, il nous faut montrer que T est réflexive, symétrique et transitive. x Q, x x = 0 Z et donc xt x. La relation T est donc réflexive. x, y Q, x y = (y x) et donc x y est un entier relatif si et seulement si y x est un entier relatif. On a donc x, y Q, xt y yt x et la relation T est donc symétrique. Pour tous x, y, z Z, xt y et yt z impliquent que (x y) et (y z) sont des entiers relatifs. On a (x y)+(y z) = x z qui est la somme de deux entiers relatifs et qui est donc lui aussi un entier relatif. On a donc xt z car (x z) Z. On a prouvé x, y, z Q, xt y et yt z xt yet la relation T est donc transitive. Exercice 4 Fonctions booléennes (5 points) On considère la fonction booléenne f : B 4 B à quatre variables définie par la formule suivante : f(a, b, c, d) = ab c d abc d ābc d ab cd abcd ābcd Question 4.1 Est-ce que la formule ci-dessus est sous forme canonique disjonctive? Oui c est une forme canonique disjonctive car c est une somme logique de mintermes (produits logiques contenant pour chaque variable a, b, c et d la fonction correspondant à la variable ou bien son complémentaire). Question 4.2 Donner la table de vérité de la fonction f. a b c d f Question 4.3 Utiliser la méthode des consensus pour trouver l ensemble des impliquants premiers de la fonction f. 4/5

5 On commence par faire le consensus sur a. Monômes avec a : ab c d, abc d, ab cd, abcd Monômes avec ā : ābc d, ābcd Monômes sans a ni ā : Les seuls consensus non-nuls sont entre abcd et ābcd, et entre abc d et ābc d. On obtient bcd et bc d par ces deux consensus. Après simplification (on enlève les monômes multiples d un autre) on obtient la liste suivante d impliquants : ab c d, bc d, ab cd, bcd. On continue en faisant le consensus sur b. Monômes avec b : ab c d, bc d, ab cd, bcd Monômes avec b : Monômes sans b ni b : Il n y a pas de consensus possibles sur b. On continue en faisant le consensus sur c. Monômes avec c : bc d, bcd Monômes avec c : ab c d, ab cd Monômes sans c ni c : Les seuls consensus non-nuls sont entre bc d et ab c d, et entre bcd et ab cd. On obtient abd et ab d par ces deux consensus. Après simplification on obtient la liste suivante d impliquants : ab d, bc d, abd, bcd. On continue en faisant le consensus sur d. Monômes avec d : abd, bcd Monômes avec d : ab d, bc d Monômes sans d ni d : On fait les consensus entre abd et ab d et entre bcd et bc d. On obtient ab et bc par ces deux consensus. Après simplification on obtient la liste suivante d impliquants : ab, bc. Plus aucun consensus n est possible sur d. L ensemble des impliquants premiers de f est {ab, bc}. 5/5