Fiche descriptive - Clip vidéo anglais : Observation des formes tridimensionnelles en vue de résoudre des problèmes trigonométriques

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1 Fiche descriptive - Clip vidéo anglais : Observation des formes tridimensionnelles en vue de résoudre des problèmes trigonométriques Informations générales Année de production : 2009 Pays : Langue : Age des élèves : Type d élèves : Sujet mathématique : Technologie : Royaume Uni Anglais ans Classe de haut niveau dans une école primaire pour les filles. Observation des formes tridimensionnelles en vue de résoudre des problèmes trigonométriques Logiciel 3-D (Cabri 3-D) et TBI Référence web : Type de classe : Enseignant : Classe de mathématiques Enseignante pour qui l enseignement des mathématiques et l utilisation de la technologie sont des choses nouvelles. Documents associés : Clark-Wilson et Oldknow (2008) Situation de départ Ce clip vidéo est tiré d un documentaire télévisé racontant l histoire d un projet dans lequel un groupe d enseignants ont développé et partagé leurs idées à propos de la manière dont ils pouvaient utiliser les technologies pour aider à l apprentissage de certains sujets mathématiques considérés comme «difficiles à enseigner». Dans le clip, l enseignante a sélectionné un logiciel 3-dimensionnel (Cabri 3-D) et a conçu une leçon utilisant le logiciel pour aider les élèves à interpréter des problèmes géométriques traditionnels exigeant l utilisation de leur savoir trigonométrique existant (théorème de Pythagore et sinus, cosinus et tangente). Description de la tâche La première tâche conçue par l enseignante demandait aux élèves de considérer la longueur maximum possible d un bâton pouvant tenir à l intérieur d un cube donné. Description du clip L enseignant a introduit l exercice en donnant aux groupes d élèves des cubes identiques et en leur demandant de discuter de la longueur du bâton le plus long pouvant entrer dans la boite. Après les discussions,

2 l enseignant a utilisé une représentation du cube par un logiciel de géométrie 3-dimensionnel pour inciter les élèves à vérifier leurs hypothèses, les amenant ainsi à établir la longueur de la diagonale interne comme la plus longue possible. Ensuite, les élèves ont travaillé en se servant de stylo et papier et de techniques de calculs pour justifier cette longueur, en utilisant le théorème de Pythagore. Transcription Enseignante : J ai décidé de partir et de regarder l une des choses que pensais être les plus difficiles à enseigner, à savoir la résolution de problèmes géométriques 3-D. Narrateur : Le projet d Aishling «difficile à enseigner» requiert l utilisation d un logiciel de géométrie 3-D adapté pour aider les élèves à visualiser et comprendre les propriétés des formes 3-dimensionnelles. Avant de se servir pour la première fois du matériel avec les élèves, l enseignant Oldknow a montré ce qu elle prévoyait de faire. C est un expert reconnu dans l utilisation de ce logiciel. Enseignante : L une des caractéristiques les plus importantes de Cabri est le fait que l on peut ouvrir le cube. Prof Oldknow : S agit-il de quelque chose qu ils ont vu auparavant ou bien est-ce que ce sera nouveau quand vous le ferez? Enseignante : Certains élèves l auront surement déjà vu auparavant en surfant sur internet. Prof Oldknow : Bien, ok. Enseignante : On regarde le fait que ce soit un triangle avec un angle droit... Narrateur : Qu est-ce qui est si dur pour élèves lors du travail en trois dimensions? Enseignante : La difficulté réside dans le fait que nous ne travaillons plus avec un rectangle, ni n importe quelle figure 2-D, et quand on nous présente quelque chose comme ça, il s avère difficile de visualiser de tête l objet ouvert et je pense qu en le voyant dans Cabri, ça permet de changer un peu le processus mental. Prof Oldknow : C est tellement difficile à enseigner que souvent on ne le fait pas. C est souvent découpé. Je veux dire, le travail en 3-D habituellement effectué en secondaire comparé au travail préparatoire effectué en

3 primaire est minime. Il est souvent omis car très difficile à évaluer. Cependant, on fonctionne tous dans un monde en 3-D. Enseignante : L idée principale de cette leçon est que les élèves vont se connecter, et vous pourrez vous servir de ça pour vous aider. Vous pourrez toujours, pendant ce temps, résoudre le problème par vous même avec un stylo et une calculatrice. Et je suppose que vous devrez garder ça à l esprit, c est ce pourquoi les enseignants sont souvent inquiets, je pense, parce qu ils croient que lorsque l on commence à se servir de quelque chose comme ça, on se débarrasse de toute autre méthode et toute autre utilisation, mais ce n est pas vrai, ça devrait compléter ce travail. Enseignante : Et le problème que j ai pour vous est en lien avec une boîte. Narrateur : Dans la leçon avec son groupe de 3èmes, Aishling a présenté un problème de 3-D. Enseignante : Ok, voila la boîte de Joey, et Joey fait un pari avec sa copine Jasmine. Le pari concerne la longueur maximale du bâton pouvant entrer dans cette boite. Donc, ce que je veux que vous fassiez, je vais vous faire passer quelques boîtes, et vous devrez discuter avec vos camarades et essayer d imaginer la bonne réponse avec une boîte comme celle là. Elève : Alors qu est ce que vous pensez, quelle peut être la longueur du rectangle? Elève : On pourrait mettre une ligne là, chercher la longueur de celle ci, et là on pourra savoir la longueur du bâton qui peut entrer. Elève : On peut utiliser Pythagore. Elève (à la caméra) : En le mesurant de cette façon, on va avoir un bâton plus long qu en le mesurant comme ça, donc on va le mesurer comme ça et voir ce que ça donne. Narrateur : Ensuite, ils ont regardé une version interactive de cette même boîte, sur le logiciel. Enseignante : Merci beaucoup Vivienne. Ok, alors Vivienne a ouvert la boîte pour que l on puisse voir à l intérieur. Cette ligne, qui représente un des côtés de notre cube, mesure 8.2 cm alors que la diagonale fait 9.9 cm. Bien, est ce que c est la longueur du bâton le plus long pouvant entrer dans cette boîte, 9.9 cm? Enseignante (aux élèves) : Avez-vous une autre idée pour moi? Elève : Madame, on peut mesurer de E à C. Enseignante : De E à C. Bien, alors là vous êtes en train de chercher la diagonale à partir du sommet du haut jusqu au sommet du bas du cube. Donc si on mesure la longueur de ce segment, 11.5 cm, bien joué. Je vais faire pivoter la figure pour que l on puisse l observer de différents angles. Elève : C est un triangle. Enseignante : Est-ce que quelqu un veut dire quelque chose?

4 Danai : Oui, on peut voir un triangle à l intérieur, je crois que c est à partir des points E, G et C. Enseignante : Alors vous voulez que j aille sur les points E, G et C. Ok, faisons la pivoter et observons. Alors, si on ne connait pas la longueur ici, comment peut-on la trouver? Elise? Elise : Pour trouver la longueur, on peut utiliser le théorème de Pythagore. Enseignante : Alors on sait, par exemple que ce côté fait 5.5 cm et que ce côté fait 8.2, alors on peut trouver EG. Une fois que l on connait EG, on sait déjà que de G à C il y a 6 cm, alors on peut se servir de la valeur de EG et GC pour trouver la longueur maximale de la diagonale. Donc en fait, dans ce problème on doit utiliser le théorème de Pythagore deux fois, ok? Je veux que vous essayiez de trouver avec votre camarade voisin. Narrateur : Bien que le logiciel donne toutes les mesures automatiquement, Aishling pense qu il est important pour les élèves de chercher à confirmer ce que dit le logiciel, en utilisant des méthodes écrites puisqu ils devront s en servir lors des examens. Elève : On essaye d abord de trouver le triangle rose du haut, pour trouver l hypoténuse, donc c est 5.5 et 8.2. Elève : Oui 5.5, 8.2 et l hypoténuse. Elève : égal c² au carré ça fait Enseignante : Maintenant, je voudrais que vous ouvriez un dossier appelé Géométrie 3-D sur vos pc portables... Narrateur : La tâche suivante consiste à ouvrir le logiciel 3-D pour trouver l angle entre la diagonale du cube et sa base. Enseignante : Donc vous utilisez «Ouvrir polyèdre» et maintenant vous pouvez baisser la fenêtre d internet. Alors qu allez-vous faire en premier? Elève : Trouver le segment. Enseignante : Super, alors où se trouve le segment? Elève : De A à G. Elève : On doit dessiner un triangle pour trouver l angle entre ici et là. Elève : On va mesurer l angle ici, c est ça? Oui, l angle là. Enseignante : Alors comment allez-vous vérifier que ça fait 49? Elève : En utilisant la trigonométrie. Enseignante : Trigonométrie? Alors vous pouvez utiliser l opposé et... Elève : l adjacent Enseignante : la mesure de l adjacent ici, pour trouver l angle. Narrateur : Là, les TIC invitent aux discussions mathématiques. Elève : On est supposé trouver la longueur de A, B et C qui va être un triangle qui est un triangle rectangle.

5 Enseignante : Donc à présent on a toutes nos longueurs de notre triangle, comment va-t-on trouver l angle? Elève : Je crois qu on devrait aller sur l angle un et le mesurer. Enseignante : Ok, super, vas-y. Comment sauras-tu qu il s agissait bien de l angle droit? Elève : Fais comme un rectangle. Segment Narrateur : Certains élèves vont plus loin et cherchent le stylo le plus long pouvant entrer dans une pyramide à base carrée. Elève : Et bien d abord, on doit l ouvrir. Consultant : Penses-tu qu il sera plus long que quelque chose venant du haut? Elève : Oh je vais essayer. Elève : On a pensé que le côté le plus long serait à partir de là, jusqu au milieu, et il sera de 7.6. A présent tout ce qu on doit faire c est trouver son angle, donc on va le chercher en utilisant le théorème de Pythagore et vérifier qu il est juste. Narrateur : D autres élèves ont dû étudier des affirmations vraies ou fausses. Pour cela, ils devaient construire les figures 3-D pour eux-mêmes. Enseignante : Nous essayons d envisager si ces affirmations sont toujours vraies, ou si elles le sont parfois ou bien jamais. Donc vous pouvez vous servir de n importe quel document qu on a utilisé aujourd hui ou bien vous pouvez construire une nouvelle figure, et essayer. Vous pouvez commencer d où vous souhaitez. Elève : Plus le volume du cube est grand, plus l angle entre la diagonale et la base est grand. Donc on essaye de construire le cube maintenant et de trouver l angle. Elève : Alors on fera une diagonale entre... H et B, ou E et C plutôt. Elève : Plus le volume du cube est grand, plus l angle entre la diagonale et la base est grand. Alors voila votre volume, de quoi avez-vous besoin en plus? Vous pouvez le vider. A présent vous pouvez voir à travers la figure et vous pouvez voir les diagonales clairement ici. Enseignante : Les filles qui travaillent sur les questions supplémentaires des tâches ouvertes font de bonnes analyses car elles utilisent Cabri pour vérifier en quelque sorte si leurs idées sont justes ou fausses. Quand elles grossissent ou rapetissent le cube en cliquant sur un bouton, c est quelque chose qu elles ne pourraient jamais faire avec un stylo et du papier. Elles ne voient pas que vous devez continuellement mesurer le volume, trouver l angle, le grossir, mesurer le volume, trouver le... ça prendrait trop longtemps. Donc je suppose qu elles doivent se mettre à la réalisation très rapidement. Elève : Quand on rapetisse le volume, l angle s agrandit et quand on élargit le cube, l angle commence à rapetisser, donc ça prouve que l affirmation est fausse.

6 Information supplémentaire : Les affirmations mathématiques qui constituent en partie la tâche «Toujours- Parfois-Jamais» sont disponibles au téléchargement à partir du site EdUmatics.