Kooli Mohamed Hechmi

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1 Matrices et systèmes 4 ème Economie Gestion Exercice 1 Soient les matrices = ; =2 et = ) Calculer + + ; ++ et ++ 2) a) Calculer 2 ; 3 et 4 b) Calculer ) a) Calculer. ;. que peut-on remarquer? b) Calculer ; et c) Calculer 2 +3 Exercice Soient les matrices =0 1 1 et = ) Calculer + et + 2) a) Calculer 2 et 4 b) Calculer 2+4 3) a) Calculer. ;. que peut-on remarquer? b) Calculer et c) Calculer 3 2 Exercice Soient les matrices = ; = et = ) Calculer.,. et. 2) Calculer le déterminant de chacune des matrices et. Exercice 4 1) L ordre de la matrice est : a) 2 3 b) 3 2 c) ) Soient les matrices = et = 0 alors = a) b) ) Le déterminant de la matrice = est : a) 3 b) 1 c) 3 c) 4 1 4

2 ) L inverse de la matrice = est : a) = Exercice b) = On donne les matrices = et = ) Calculer. et. 2) Calculer =+ puis déduire et Exercice Soit la matrice = ) Calculer ) Montrer que est inversible. 3) Déterminer alors la matrice inverse de. Exercice Soit la matrice = ) Calculer et en déduire que =2 avec est la matrice unité d ordre c) = ) Sans calculer le déterminant de la matrice, prouver que est inversible. 3) Déterminer La matrice inverse de, qu on notera,. Exercice Soit la matrice = ) Montrer que la matrice est inversible. 2) Calculer la matrice = puis calculer et. 3) En déduire pour! entier naturel tel que! 3. Exercice On donne les matrices = et = ) Vérifier que =+4 2) Calculer det et en déduire que est inversible. 3) a) Calculer. b) Vérifier que +5= 4 c) En déduire que. + = 4 et déterminer la matrice inverse de.

3 Exercice 10 1) Résoudre dans R les systèmes suivants ' 2( 3)=12 (+2)= 1 ; ' (+2)=7 4( )= 8 et ' 2( 3)=12 4(+6)= 24 3(+5)+6-=0 (+2) 3-=17 2) Résoudre dans R les systèmes suivants, (+2)+2-=1, 2(+3)+4-= 5 ( ) - = 1 (+)+- =0 Exercice ( 2 1) Soit la matrice )/= 1 alors le système 0 associé à est : (+4) 3-= 2 ( 2)+3-= 2 (+2)+3-= 2 a) 1 )+-=1 b) 1 )+-=1 c) 1 )+-=1 2(+2) 2-=3 2(+2) 2-=3 2(+2)+2-=3 Exercice 12 Soit la matrice = ) Montrer que est inversible et donner sa matrice inverse 2) Résoudre dans R à l aide d un calcul matriciel le système suivant : ' 2( )=1 (+)=2 Exercice Soit la matrice = ) Calculer et en déduire que =2 ( est la matrice identité). 2) Sans calculer le déterminant de la matrice, prouver que est inversible. 3) Déterminer la matrice inverse de, qu on notera. 4) a) Calculer le déterminant de. )+-= 1 b) En utilisant la méthode de Cramer, résoudre le système suivant,(+-= 2 (+)= 3 Exercice On donne la matrice 3=3 1 3 et 4= ) Déterminer le déterminant de la matrice 3 et en déduire que 3 est inversible. 2) Calculer 3.4 puis en déduire 3 2(+2)+-=2 2) Résoudre dans R le système 0:, 3(+)+3-= 1 5(+4)+3-=0 Exercice Soit les matrices = et =

4 1) a) Montrer que la matrice est inversible. b) Calculer. et en déduire la matrice inverse de. 2( 6)= 10 2) Résoudre dans R le système 0:, (+3)+2-= 3 (+5) 4-=15 Exercice 16 2(+4) -=12 On considère le système 0:1( 2)+3-=5 (+)+ -=0 1) a) Donner la matrice associée à ce système que l on notera. b) Calculer le déterminant de. La matrice est-elle inversible? Justifier votre réponse ) Soit la matrice = a) Calculer. et en déduire que = b) Résoudre alors dans R le système 0 Exercice 17 )+-=5 On considère le système 0:, (+-=4 (+)=3 1) Donner la matrice associée à ce système que l on notera. b) Calculer le déterminant de. La matrice est-elle inversible? Justifier votre réponse. 2) a) Montrer que : 2 =0 b) En déduire que la matrice est inversible et calculer c) Résoudre alors dans R le système 0 Exercice 18 Une usine fabrique 3 sortes d articles 7 8 ; 7 9 et 7 : à partir de 3 modules ; 8 ; ; 9 et ; :. On donne : Articles : Modules ; 8 ; 9 ; : Modules Poids unitaires (en Kg) ; 8 : < = coûts unitaires (en DT) ; 9 >? < ; : A On lit par exemple: Pour fabriquer un article 7 9 il faut < modules ; 8 modules ; : Un module ; 8 pèse = BC et coûte 8@? dinars On donne =4 0 9 et D= ) a) Calculer la matrice = D.

5 b) Interpréter les lignes de cette matrice. 2) Une semaine donnée, l usine doit fournir 8 articles 7 8, 12 articles 7 9 et 13 articles 7 :. Elle dispose en début de semaine d un stock de 200 modules de chaque sorte. 8 On note E la matrice : E=12 13 a) Calculer le produit matriciel.e. En déduire le poids total et le coût total des articles de cette demande. b) Calculer le produit matriciel.e. Que représente-t-il? c) La demande ( 8 articles 7 8, 12 articles 7 9 et 13 articles 7 : ) peut-elle être satisfaite? Exercice 19 Un parfumeur utilise des essences de rose et de lavande pour fabriquer trois parfums différents Soit la matrice = Chaque ligne de la matrice indique pour un parfum la composition selon les essences(en ml). Ainsi le premier parfum comporte 15 ml d essence de rose et 25 ml d essence de lavande. 1) Donner la composition des deuxième et troisième parfums. 2) On sait que 1 ml d essence de rose coûte 2 dinars et 1 ml d essence de lavande coûte 1,2 dinars. Le parfumeur code cela à l aide de la matrice G= 2 1,2. a) Calculer la matrice =.G b) Que représente? 3) Le parfumeur décide de réaliser un gain égal à 25% du coût de chaque parfum. Soit I la matrice des prix de ventes des parfums. a) Montrer que I=1,25 b) Déterminer alors la matrice I. 4) Le parfumeur dispose de 310 ml d essence de rose et 280 ml d essence de lavande pour fabriquer 15 parfums. On se propose de déterminer le nombre de parfums fabriqués de chaque type. 15(+30)+20-=310 a) Justifier que le problème revient à résoudre le système suivants : 0:, 25(+20)+10-=280 (+)+-= b) On pose D= et J= Calculer D J, En déduire que la matrice inverse de D est D = K J c) Résoudre alors le système (S). En déduire le nombre de parfums fabriqués de chaque type.