Leçon N 1 : Taux d évolution et indices

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1 Leçon N : Taux d évolution et indices En premier un peu de calcul : Si nous cherchons t [0 ;+ [ tel que x 2 = 0,25, nous trouvons une solution unique x = 0, 25 = 0,5. Nous allons utiliser cette année une autre notation pour, nous écrirons x = ( 0,25) 2 = 0,5. Cette notation s explique aisément : soit a 0, nous avons 2 ( a ) = a et bien ( a ) = a 2 = a = a. De même la racine cubique 3 a, a 0, se notera 3 a. Définition On appelle taux d évolution moyen T M de n évolutions successives, le nombre réel T M tel que n évolutions à ce taux T M donnera le même résultat que l évolution globale constatée. Sur une grandeur y et n évolutions cela donne (y 0 0) : T M T M T M T M y 0 y y 2 etc y n y n Taux d évolution T y = y 0 ( + T M ) ; y 2 = y ( + T M ) = y 0 ( + T M )( + T M ) = y 0 ( + T M ) 2 ; etc.. y n = y 0 ( + T M ) n t T M est un pourcentage (T M = M = t M %). ( + T M ) est un coefficient multiplicateur. 00 Pour calculer T M, nous allons utiliser un exposant fractionnaire en effet, T M vérifie l équation : y 0 ( + T M ) n = y 0 ( + T) donc ( + T M ) n = + T et donc + T M = ( + T) n On dit aussi que le coefficient multiplicateur + T M est la moyenne géométrique de tous les coefficients multiplicateurs successifs + T ; + T 2 ; etc ; + T n. Un exemple s impose : Soit un prix P 0, nous constatons sur 3 ans, une baisse de 0% puis une hausse de 20% et enfin une baisse de 0%. Déterminer le taux moyen d évolution. Nous avons en suivant les variations successives : P = P 0 ( 0,) = 0,9 P 0 ; P 2 = P ( + 0,2) =,2P =,2(0,9)P 0 =,08P 0 (remarque une augmentation de 8%) puis enfin P 3 = P 2 ( 0,) = 0,9P 2 = 0,9(,08)P 0 = 0,972P 0. Sur les trois années, nous constatons une baisse : 0,972 = 0,028, donc une baisse de 2,8% au total. T = 0,028. Nous aurons + T M = ( 0,028) 3 + T M = ( 0,972) 3 + T M 0,9905 donc : T M 0, Soit en terme clair, une baisse moyenne d environ 0,95%.

2 Les indices Définition L indice de la grandeur par rapport à R (la quantité de référence est I = 00. R Nous pouvons apprendre à utiliser les indices et à les comprendre dans un tableau : uantités R 2 Valeurs 8 9,5 7,22 Indices 00?? Comment calculer les indices? Il faut en premier lieu repérer la quantité de référence, il s agit de la quantité qui reçoit l indice 00. Puis, on applique la formule donnée : 9,5 7,22 I = 00 = 8,75 et I2 = 00 = 90, uantités R 2 Valeurs 8 9,5 7,22 Indices 00 8,75 90,25 Nous pouvons calculer les taux d évolution : V 9,5 8 T = F VI R = = = 0,875 soit +8,75% mais on peut aussi faire : VI R 8 I T = 00 = 0,875 soit 8,75%. 00 Attention au taux d évolution entre et 2 : T = 2 7,22 9,5 = = 0,24 soit 24%. 9,5 90,25 8,75 Ici aussi, nous pouvons faire : T = = 0,24 soit 24%. 8,75 Deux remarques importantes : Entre R et 2, le taux d»évolution est de : T 2 = 2 R I 00 ou 2 = 0, 0975 = 9,75%. R 00 Et nous ne pouvons pas additionner T et T : 8,75 + ( 24%) = 5,25% 9,75%. On ne peut additionner deux pourcentages de quantités différentes. (T est calculé par rapport à R et T est calculé par rapport à ) Au point de vue du langage, entre I et I 2, nous disons il y a une perte de 20,5 de points d indice, cela ne veut pas dire 20,5% car en fait, le calcul montre une baisse de 24%. (Pour entraînement, calculer le taux moyen d évolution sur les deux évolutions ci-dessus) (Réponse : + T M = ( 0,0975) 2 ceci donnera T M = 0,05 = 5%) (Vérification : 8( 0,05) = 7,6 et 7,6( 0,05) = 7,22) I Enfin le lien entre le taux d évolution et l indice : T = ou I = 00( + T). 00

3 TERMINALE STG FICHE TAUX D EVOLUTION - INDICES Exercice Compléter le tableau suivant : Taux d évolution Evolution entre y de y à y 2 et y 2 Coefficient multiplicateur de y à y 2 5% baisse 0,04% 40% 20% Calculer le taux moyen d évolution si on considère maintenant que les 4 évolutions ci-dessus sont des évolutions successives d une même quantité. uel est le taux global d évolution réciproque? Exercice 2 CM ) Si le taux d évolution entre et est une diminution de 60% alors l indice de par rapport à : a) 60 b) 40 c) 60 2) Si l indice de par rapport à est de 70 alors le taux d évolution est : a) 30% b) 70% c) 30% 3) Si = 2 alors l indice de 2 par rapport à est : a) 0 b) 00 c) 4) Si l indice de y 2 par rapport à y est de 50 alors le taux d évolution est de : a) 50% b),5% c) 50% Exercice 3 (Extrait de BAC) La Chine, les USA et la France sont parmi les principales destinations de vacances dans le Monde. Le graphique ci-dessous montre l évolution de nombre de touristes étrangers en millions venus dans ces trois pays entre 998 et Nombre de touristes 80 75,2 76, ,5 FRANCE ,9 48,5 46,4 4,9 USA 40 36,8 25, 27 3,2 33,2 CHINE (Années)

4 ) On estime qu en 2002, la Chine, les USA et la France avaient respectivement 300, 270 et 60 millions d habitants. Pour 2002 et pour la France, le rapport du nombre de touristes 76,7 étrangers au nombre d habitants est,28. Calculer une valeur approchée de chacun 60 des rapports pour les USA et pour la Chine. Ces trois rapports sont ils rangés dans le même ordre que le nombre des touristes? 2) Le nombre de touristes étrangers arrivant en Chine n a cessé d augmenter entre 998 et Cette croissance est-elle linéaire? Chaque année combien est-il arrivé en moyenne de touristes supplémentaires entre 998 et 2002? 3) Pour les USA, on constate une forte baisse durant la période Montrer que le taux d évolution moyen annuel durant cette période de deux ans est 9,3%. Sachant que la baisse de 2000 à 200 a été d environ 0,6%, calculer le nombre de touristes étrangers venus aux USA en 200. Calculer le taux d évolution du nombre de touristes étrangers arrivés aux USA entre 999 et Calculer le nombre de touristes qui auraient dû arriver aux USA en 2002 si le taux précédemment calculé s était maintenu durant les deux périodes et ?

5 Correction Exercice Taux d évolution Evolution entre y de y à y 2 et y 2 Coefficient multiplicateur de y à y 2 5% Baisse 0,05 = 0,95 0,04% Hausse + 0,0004 =, % Baisse 0,4 = 0,6 20% Hausse +,2 = 2,2 Les coefficients multiplicateurs sont de la forme + T ou T selon qu il y a augmentation 40 ou diminution (T exprimé en décimal, exemple 40% = = 0,4) 00 Pour le dernier exemple, nous voyons que la quantité à plus que doublée en effet, 00% d augmentation correspond à une quantité qui double ( = ( + ) = 2) et pour +20%, la quantité est multiplié par 2,2. Exemple : Soit une marchandise qui coûte 20, plusieurs années après, elle vaut =,2 soit 20% d augmentation ; 44 = 20( +,2) = 20(2,2). 20 Formules importantes : t Formule pour les augmentations = ( + T) (Si on a + t%, T = ) 00 t Formule pour les diminutions = ( T) (avec de même, si on t%, T = ) 00 Le taux d évolution global est pour une quantité x : x( 0,05)( + 0,0004)( 0,4)( +,2) = x(0,95)(,0004)(0,6)(2,2) =, soit T = + 0, (soit 25,4506%) T M doit vérifier l équation : + T M = ( + 0,254506) 4 + T M,0583 donc T M 0,0583 soit + 5,83%. Pour calculer le taux d évolution réciproque, nous devons considérer que nous sommes passés d une quantité x à une quantité,254506x donc à l inverse le taux sera : V 0, T = F VI x,254506x x(,254506) = = = 0,2029 VI,254506x,254506x, Soit environ une baisse globale d environ 20,3%. Exercice 2 ) Nous avons = ( 0,6) = 0,4 donc ' ' = 0, 4. I = 00 = 0,4 00 = 40. ou directement T = 00( + T) = 00( 0,6) = 40. Réponse b) exacte. I 70 2) T = = = 0,7 = 0,3 soit une baisse de 30% Réponse a) exacte.

6 3) Si = 2, alors I 2/ = 2 00 = 00 car Réponse b) exacte. 2 =. y 4) I y2/y = 50 or I y2/y = 2 y 00= 50 donc 2 =,5 y2 =,5 y = ( + 0,5)y. y y Ce qui veut dire que y a subit une augmentation de 50%. Réponse c) exacte. Exercice 3 76,7 ) Pour la France, le rapport du nombre de touristes au nombre d habitants est :, , 8 Pour la Chine, le rapport du nombre de touristes au nombre d habitants est : 0, , 9 Pour les USA, le rapport du nombre de touristes au nombre d habitants est : 0, Pour le nombre de touristes nous avons 36,8 ; 4,9 et 76,7 et pour les rapports, 0,02 ; 0,6 et,28 ; les rapports sont classés dans le même ordre mais cela aurait pu être autrement car dans ces rapports, la quantité de référence, le nombre d habitants du pays est variable! 2) Etude pour la Chine, calculons l augmentation du nombre de touristes d année en année : De 998 à 999, nous avons 27 25, = +,9. De 999 à 2000, nous avons 3,2 27 = + 4,2. Dés maintenant, nous pouvons dire que la croissance n a pas été linéaire en effet, dans une croissance linéaire (Voir les suites, u n+ = u n + r, r reste constant) Cela continue les années suivantes car : De 2000 à 200, nous avons 33,2 3,2 = +2. De 200 à 2002, nous avons 36,8 33,2 = +3,6. Nous pouvons donner ces résultats en pourcentage, c est-à-dire en taux d évolution : 27 25, De 998 à 999, T = 0,076 soit environ +7,6%. 25, 3,2 27 De 999 à 2000, T 2 = 0,56 soit environ +5,6% ,2 3,2 De 2000 à 200, T 3 = 0,064 soit environ +6,4%. 3,2 36,8 33,2 De 200 à 2002, T 4 = 0,08 soit environ +0,8%. 33,2 Nous pouvons calculer le taux moyen T m entre 999 et 2002 : 36,8 25, Le taux global est : 0,466 soit 46,6%. 25, Nous aurons + T M ( + 0,466) 4 soit T M,00 ; T M 0,00 soit +0%. 3) Etude pour les USA : Calculons le taux d évolution moyen pour les années 2000 à 2002 : Le taux d évolution entre 2000 et 2002 est :

7 4,9 50,9 T = 0,77 (Baisse de 7,7%) 50,9 Le taux moyen sur ces deux années est : + T M = ( + T) 2 ou plus simplement écrit : + T M = + T donc T M = 0,77 0,093 donc 9,3% environ. La baisse de 2000 à 200 a été d environ 0,6% donc le nombre de touristes venus aux USA en 200 a été de : 50,9 ( 0,06) = 50,9 (0,894) = 45,50. Le nombre de touristes a donc baissé à 45,50 millions. Entre 999 et 2000, le taux d évolution a été de : 50,9 48,5 = 0,049 soit une hausse de 4,9%. 48,5 Si ce taux s était maintenu, en 2002, nous aurions dû avoir : 50,9( + 0,049)( + 0,049) = 50,9(,049) 2 = 56,0 millions de touristes. pour 200 puis 2002