40 % des boîtes sont vertes dont 20 % du type T1 ; 30 % des boîtes sont bleues dont 20 % de type T2 ;

Transcription

1 ÉPREUVE N 6 (Nouvll Calédoni 005) ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ET TRAITEMENT DE DONNÉES (Duré : Hurs Cofficint : ) L'utilisation d'un calculatric t du formulair st autorisé Rappl : au cours d l'épruv, la calculatric st autorisé pour réalisr ds opérations d calculs ou bin élaborr un programmation, à partir ds donnés fournis par l sujt Tout autr usag st intrdit Ercic n 1 (6 points) Dans tout l rcic, ls résultats ds probabilités sront donnés sous form décimal Un ntrpris fabriqu n séri ds lots d boîts Il y a du typs d boîts T1 t T, chaqu boît pouvant êtr livré n trois coloris distincts : vrt, blu ou bin roug On considèr un lot d boîts dans lqul : 40 % ds boîts sont vrts dont 0 % du typ T1 ; 0 % ds boîts sont blus dont 0 % d typ T ; touts ls boîts rougs sont du typ T 1) Rcopir t complétr l tablau Typ T1 Typ T Total Vrts Blus Rougs Total ) Un boît st choisi au hasard dans un lot a) Détrminr la probabilité d chacun ds événmnts suivants : A : "La boît st d typ T1" ; B : "La boît st d typ T1 t ll st blu" ; C : "La boît st d typ T ou ll st vrt" ; D : "La boît n st pas roug" b) Détrminr la probabilité qu la boît soit blu sachant qu ll st d typ T1 1

2 Ercic n (5 points) Soit f la fonction défini sur I = [ - ; + [ par r r rpèr ( O ; i, j ) f ( ) = + t (C f) la courb rprésntativ d f dans un 1) a) En rmarquant qu f ( ) = +, calculr la limit d f n + On rappll qu lim = 0 + b) En déduir l istnc d un asymptot (à précisr) à (C f ) ) a) Calculr f ' ( ) b) Montrr qu f ' ( ) st du sign d ( ) sur I c) En déduir l sign d f ' ( ) t drssr l tablau d variations d f sur I On précisra ls valurs acts d f ( - ) t f ( - 1 ) Ercic n (9 points) Parti A : étud graphiqu Soit g la fonction défini sur [ - ; ] par g ( ) = sin - 1 La courb (C g) donné n ann st la rprésntation graphiqu, dans un rpèr orthonormal, d g sur [ - ; ] Par lctur graphiqu répondr au qustions suivants n pliquant la démarch adopté 1) Résoudr sur [ - ; ] l équation g ( ) = 0 ) Résoudr sur [ - ; ] l équation g ' ( ) = 0 ) Résoudr sur [ - ; ] l inéquation g ( ) < 0 Parti B : étud théoriqu 1) Rtrouvr par l calcul ls solutions d l équation g ( ) = 0 sur [ - ; ] ) a) Calculr g ' ( )

3 b) Détrminr un équation d la tangnt (T) à (C g) au point d absciss ) a) Détrminr un primitiv d la fonction g sur [ - ; ] b) Calculr, n unités d air, la valur act d l air du domain plan limité par la courb (C g ), l a ds abscisss t ls droits d équations = 6 t =

4 ANNEXE Courb (Cg) co 4

5 Ercic 1 : CORRIGE Qustion1 : Typ T1 Typ T Total Vrts Blus Rougs Total Qustion : nombr d résultats favorabls à A Il y a équiprobabilité donc p ( A) = soit nombr total d résultats D mêm, p ( B) =, p ( C) = t p( D) = Soit sous form décimal : p(a)=0, ; p(b)=0,4 ; p(c)=0,76 t p(d)=0,70 40 p A (" blu") = soit 0, p ( A) = 1000 Ercic : Qustion1 : f ( ) = + lim = 0 lim = t lim f ( ) = 0 donc + Ainsi la droit d équation : y=0 st asymptot à C f Qustion : f = + 1 ( + ) ( ) d où : f ( ) = ( 1) ( ) soit f ( ) = Ls ponntills t étant toujours positivs, f () a l mêm sign qu f '( ) f () 0 0 Ercic : Parti A : 5

6 Ls solutions d l équation : g( ) = 0 sont ls abscisss ds points d intrsction d Cg avc l a ds abscisss 5 Il s agit ds nombrs : t 6 6 Ls solutions d l équation : g ( ) = 0 null Il s agit ds nombrs : t ( ) < sont ls abscisss ds points d Cg qui présntnt un tangnt d pnt Ls solutions d l inéquation : g 0 sont ls abscisss ds points d Cg situés au dssous d l a ds 5 abscisss Il s agit ds nombrs d l nsmbl : ;, 6 6 Parti B : Qustion1 : L équation : g( ) = 0 équivaut à sin( ) = 1 Notons M l point du crcl trigonométriqu associé au nombr Dans c cas, l ordonné d M doit êtr égal à 0,5 t M st nécssairmnt n B ou n C Or ls sls nombrs 5 compris ntr - t associés à cs du points sont t 6 6 C B Qustion : g '( ) = cos( ) L équation réduit d ( T) st d la form : y = a + b a désign la pnt d (T) Ell vaut g = cos = 1 g ( ) = sin( ) 1 donc g = sin 1 = 1 Ainsi l point d coordonnés ; 1 s trouv sur (T) Donc ss coordonnés vérifint l équation réduit D où : 1 = 1 + b Par suit, 1 = b Et l équation rchrché st : y = + 1 Qustion : 6

7 g ( ) = sin( ) 1 donc G( ) = cos( ) Cg st au dssus d l a ds abscisss lorsqu st compris ntr t 6 Donc l air rchrché vaut G G ua, soit 6 ua 7