CHAPITRE 4 TORSION SIMPLE

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1 Cours de RD L1S1 CHAPTRE 4 TRSN SPLE Année universiaire Réalisé par Elaief AHER 1. Définiion: Une poure es solliciée à la orsion simple si elle es soumise à deux momens opposés porés par la ligne moyenne e qui enden à la ordre ou lorsque le orseur associé aux ors de cohésion de la parie 2 de la poure sur la parie 1, peu se réduire en barycenre de la secion droie à un momen porée par la normale à cee secion, elle que : = 2 /1 coh Remarque : A fin d avoir de la orsion pure, nous ne nous occuperons ici que des poures ayan une secion droie circulaire (pleine ou creuse). 2. Eude expérimenale des déformaions : 2.1. Essai de orsion simple: n soume une éprouvee de forme cylindrique à un momen C que l on fai varier de à C i e on mesure la déformaion angulaire α correspondane (relaive à la longueur L). S S1 i C X X i S i SET De Sousse Déparemen énie écanique 2 L

2 Cours de RD1 chapire 4 Le solide de forme cylindrique de révoluion es parfaiemen encasré à son exrémié gauche suivan la secion droie (S o ) de cenre o. n race avan l'essai une générarice 1 du cylindre. n applique à l'exrémié droie de la poure sur la secion (S 1 ) de cenre de surface 1 un sysème d'acions mécaniques de liaison modélisé en 1 par un orseur couple : 1 el que 1 1 x = C. x 1 n fai croîre 1 à parir de zéro e on mesure les déformaions de la poure n consae que le déplacemen d'une secion droie (S) es uniquemen une roaion d angle α. Cee roaion es proporionnelle à la disance x enre les deux secions (S) e (S ) : x. La courbe représenan le momen de orsion en foncion de l angle θ obenue es semblable à celle de l'essai de racion: 1 B C A Déformaion permanene Déformaion élasique A : zone linéaire : l éprouvee à une déformaion élasique. Le momen es proporionnel à l angle θ el que : k ABC: zone des grandes déformaions. L éprouvee à une déformaion plasique ou permanene Angle uniaire de orsion : Dans la zone des déformaions élasiques, on appelle angle uniaire de orsion, la déformaion angulaire relaive Ө enre deux secions disanes de l'unié de longueur: x 3. Répariion des conraines dans une secion droie : En un poin de la secion droie (S), la conraine de orsion τ s écri sous la forme : : Conraine angenielle (Pa) SET De Sousse Déparemen énie écanique 21

3 Cours de RD1 chapire 4 : module d'élasicié ransversale ou module de coulomb (Pa) : Angle uniaire (rad / mm) : Disance du poin au cenre de la secion (mm) D où la répariion des conraines dans une secion droie : Y Y X X R r R La conraine de orsion es imale si le poin es sur la surface exérieure de la poure c'es-à-dire pour R : 4. omen quadraique polaire : R Le momen quadraique polaire de la surface (S) par rappor à l axe ( ; z ) es par définiion : S ( x y ) ds ds : momen quadraique polaire (mm 4 ) : disance (mm) ds : Élémen de surface (mm 2 ) S (S) : Pour les poures de secions circulaires e annulaires : D Y x S y D X d 4 d 32 4 ( D d 32 4 ) SET De Sousse Déparemen énie écanique 22

4 Cours de RD1 chapire 4 5. Equaion de déformaion : Dans le domaine élasique, le momen de orsion es proporionnel à l angle uniaire de orsion : : momen de orsion (N.mm) : module de coulomb (Pa) : Angle uniaire de orsion (rad/mm) : omen quadraique polaire (mm 4 ) 6. Condiion de rigidié : Pour les arbres de longueur imporan (arbre de forage des puis de pérole, arbre de navires), on évie les grandes déformaions pour diminuer les vibraions. Pour cela l angle uniaire de orsion doi reser inférieur à une valeur limie lim. D'ou la condiion de rigidié ou de déformaion : lim ou lim 7. Eude des conraines : La conraine en un poin es e En cas général la conraine imale de orsion es : R : disance du poin le plus éloigné. 8. Condiion de résisance à la orsion : Pour des raisons de sécurié, la conraine de orsion doi reser inférieure à la résisance praique au glissemen). n défini la résisance praique au glissemen) R R par le rappor suivan : R eg s. R eg : résisance élasique au glissemen (Pa). s : cœfficien de sécurié. D'ou, la condiion de résisance es : R R R SET De Sousse Déparemen énie écanique 23

5 Cours de RD1 chapire 4 9. Concenraion de conraines : Tou changemen brusque de secion (rainure, gorge, épaulemen) enraîne une concenraion de conraine (la répariion des conraines n es plus linéaire). Dans ce cas la condiion de résisance devien : K R : conraine ecive (Pa) h h : Conraine héorique sans concenraion de conraine (Pa) K : coicien de concenraion de conraine relaive à la orsion. K es donné par des abaques ou des ableaux (voir annexes B). Exemple : Arbre avec rainure de clavee. Les rainures de clavees créen des concenraions des conraines rès imporanes. La conraine es imale dans l angle à fond de rainure. r h/1 h/5 h/3 h/2 K 5,4 3,4 2,7 2,1 h Aenion, dans ce cas, on ne ien pas compe pour le calcul de la conraine héorique, de la diminuion de secion due au passage de la clavee. n prendra donc : 3 D R 16 SET De Sousse Déparemen énie écanique 24

6 Cours de RD1 chapire 4 1. éhodes de calculs en orsion : l exise deux méhodes de calcul à la orsion: Le calcul de vérificaion. Le calcul de déerminaion. rganigramme du calcul de vérificaion : Faire le bilan des données : le momen de orsion ; n connaî : le maériau (donc R eg ), le cœfficien de sécurié s (donc R ) ; Les dimensions ransversales donc R. Type de calcul? Calcul de résisance : R Calcul de déformaion : Non Condiion de résisance respecée R? ui ui rgane saisfaisan Condiion de déformaion respecée lim? Non Choisir de nouvelles dimensions e/ou un nouveau maériau. Recommencer le calcul de vérificaion. rganigramme du calcul de déerminaion : Le calcul de déerminaion en orsion es principalemen revien à un calcul de diamère d arbre. SET De Sousse Déparemen énie écanique 25

7 Cours de RD1 chapire 4 Faire l invenaire des données connues : ors, géomérie, maière odéliser le solide Déerminer la naure de la solliciaion Calculer la conraine due à la orsion Type de calcul? Calculer l angle uniaire à la orsion. Calculer R R eg S Condiion de déformaion lim Solide parfai? ui Non Calculer K h Condiion de résisance R Condiion de résisance R? Calculer d 1 el que Calculer d 2 el que KT d1 3 d 2 3 R R Calculer d 2 el que 32 d 3 3 lim Choisir le diamère convenable SET De Sousse Déparemen énie écanique 26