Chapitre 4 Symétries

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1 Chapitre 4 Symétries

2 Énigme du chapitre : Construire une figure géométrique qui a deux centres de symétrie.

3 I/ Rappel symétrie axiale

4 Méthode On rappelle la méthode pour construire le symétrique d un point par rapport à une droite avec le compas. Propriété Le symétrique d une droite par rapport à un axe est une droite. La symétrie axiale conserve l alignement.

5 Méthode : Droite symétrique par rapport à un axe Pour construire le symétrique d une droite (d ) par rapport à un axe (d), on prend deux points sur (d ), on place deux points A et B distincts sur la droite (d ), on construit A (resp. B ) le symétrique du point A (resp. B) par rapport à (d ) et on trace la droite (A B ). Remarque Si les droites (d) et (d ) ne sont pas parallèles, on peut prendre K l intersection des droites (d) et (d ) et on utilise la prorpiété suivant : «le symétrique d un point de la droite (d) par rapport à l axe (d) est lui-même.» Faire les exercices n os 1 2 3

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9 II/ Introduction de la symétrie centrale

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11 Définition Deux figures F et F sont symétriques par rapport à un point O si F et F se superposent parfaitement par demi-tour autour de ce point. Exemple Les triangles ABC et A B C sont symétriques par rapport au point O car les triangles ABC et A B C se superposent parfaitement par demi-tour autour de ce point. A C B O B C A

12 Propriété Deux figures symétriques par rapport à un point ont la même forme, les mêmes dimensions et donc la même aire. Exercice Soit RECT un rectangle de longueur 6 cm et de largueur 4 cm. L aire du rectangle RECT est égale à 24 cm 2. Soit O un point et R E C T le symétrique du rectangle RECT par rapport au point O. La longueur de R E C T est de 6 cm, sa largueur 4 cm et son aire est égale à 24 cm 2 Faire les exercices n os 4 5 6

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16 III/ Construction d un symétrique 1) Symétrique d un point

17 Définition Le symétrique d un point M par rapport à un point I est le point N tel que le point I est le milieu du segment [MN]. M I N Remarque Le point I est symétrique du point I par rapport au point I.

18 Méthode On veut tracer le point A, symétrique du point A par rapport à O.

19 2) Symétrique d une droite, d un segment Propriété Une droite et sa symétrique par rapport à un point sont parallèles. Méthode - Symétrique d une droite Pour construire la symétrique d une droite d par rapport à un point I, on construit les symétriques de deux points de la droite : I B (d) A (d ) A B

20 Méthode - Symétrique d un segment Pour construire le symétrique d un segment [AB] par rapport à un point I, on construit les symétriques des extrémités A et B du segment : Propriété Un segment et son symétrique par rapport à un point ont la même longueur et sont parallèles. B A I A B

21 Faire les exercices n os 7 8 9

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24 III/ Propriétés de la symétrie centrale

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26 1) Propriétés de la symétrie centrale Propriétés La symétrie centrale conserve les distances, l alignement des points, les angles et les aires. Exemple A B C D C B A Le symétrique d un angle est un angle de même mesure.

27 2) Symétrique d une figure Définition Le symétrique d une figure par rapport à un point s obtient par un demi-tour autour de ce point. On obtient donc une figure qui lui est superposable. Méthode : Construire le symétrique d une figure On construit le symétrique de la figure ABCD par rapport au point O.

28 Faire l exercice no 10 F

29 3) Symétrique d un cercle, d une demi-droite Propriété Le symétrique d un cercle C de centre O et de rayon r par rapport à un point M est le cercle de centre O (symétrique du point par rapport à M) et de rayon r. Méthode - Symétrique d un cercle Soit (C) un cercle de centre O, tracer le cercle (C ) symétrique de (C) par rapport au point M.

30 *** Propriété Une demi-droite et sa symétrique par rapport à un point sont parallèles et de sens contraires. Méthode - Symétrique d une demi-droite Soit [AB) une demi-droite et I un point. On trace A le symétrique du point A par rapport à I et B le symétrique du point B par rapport à I. Ensuite, on trace la demi-droite [A B ) qui est le symétrique de la demi-droite [AB) par rapport à I. A B I B A

31 Faire les exercices n os

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35 V/ Centre de symétrie d une figure

36 Définition Un point est un centre de symétrie d une figure si cette figure se superpose à elle-même par un demi-tour autour de ce point. Exemples - Centre et axes de symétrie de figure usuelles Rectangle Deux axes de symétrie. Un centre de symétrie O. D C O A B

37 Losange Deux axes de symétrie. Un centre de symétrie O. B A O C D Carré Quatre axes de symétrie. Un centre de symétrie O. D C A O B

38 Cercle Toute droite passant par le centre est un axe de symétrie. Un centre de symétrie O. O

39 Faire les exercices n os

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