LOGARITHME NEPERIEN. 1. Exercices préliminaires : 11. Méthode approximative pour déterminer une aire :

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1 LOGARITHME NEPERIEN 1. Exercices préliminaires : 11. Méhode approximaive pour déerminer une aire : On veu déerminer l aire siuée sous la courbe délimiée par la courbe, l axe des x, les 2 vericales passan par x = 1 e x = 2. Méhode : - on compe les carreaux eniers : 30 - on compe les carreaux coupés par la courbe : 5 - on addiionne en compan les carreaux incomples pour moiié oal : / 2 = 32,5 - on calcule l aire d un carreau : 0,2 * 0,2 = 0,0 - on calcule l aire demandée 32,5 * 0,0 = 1,3 aenion l unié n es bien sûr pas le cm 2! 12. Méhode approximaive pour déerminer une aire :

2 Déerminer l aire siuée sous la courbe, délimiée par les 2 droies d équaion x = 1 e x = 1,5. Cee courbe es la représenaion de x a 1 x Nombre de carreaux : - eniers : - incomples : - oal : Aire d un carreau : Aire oale : M appeler si vous ne rouvez pas 0,05 2. Courbe 1/x : Déerminer à parir de la courbe complèe ci-dessous : l aire de 1 à 2 : l aire de 1 à 2,7 : l aire de 1 à 0,8 :

3 Définiions : Le logarihme népérien d un nombre es donné par la mesure de l aire siuée sous la courbe représenaive de la foncion 1/x e délimiée par les 2 droies vericales passan par le poin (1 ; 0 ) e le poin ( x ; 0) Cee foncion se noe ln si x > 1, le logarihme es posiif ; si x < 1 le logarihme es négaif

4 I CALCULATRICE ET LOGARITHME FONCTION LOGARITHME Effecuez les calculs suivans avec vore calcularice : On uilisera les ouches Ln pour le logarihme Népérien e log pour le logarihme décimal. x Ln log Comparer : Ln 2 + Ln 3 = e Ln 6 = Ln 2 - Ln 3 = e Ln 2 3 = Ln 1 2 = e Ln 2 = Ln 9 = e 2.Ln 3 = Même opéraion avec les logarihmes décimaux. log 2 + log 3 = e log 6 = log 2 log 3 = e log 2 3 = log 1 2 = e log 2 = log 100 = e 2.log 10 = II FONCTION LOGARITHME NEPERIEN 1 Propriéés * La foncion f : x Ln x es définie sur * Ln 1 = * Ln a b = * Ln a b = * Ln a b = * Ln 1 a = * Ln e = 1 avec e 2 Sens de variaion *Foncion dérivée * ableau de variaion f (x) = x f (x) f(x)

5 3 Représenaion graphique Remarque imporane Si f(x) = Ln u(x) alors f (x) = Exemple : Quelle es la foncion dérivée de Ln (2x + 1) 5 Exercices a) Le emps de charge d'un condensaeur es donné par la formule : = RC ln U S R en Ω ; C en F ; U en V U S U C Calculer le emps dans les deux cas suivans : R = 10 kω ; C = 1000 µf ; U S = 2 V ; U C = 8 V ; = R = 5 kω ; C = 2700 µf ; U S = 12 V ; U C = 6 V ; = b) Le ravail pour comprimer un gaz es donné par la formule : W = P 1 V 1 ln P 2 W en J ; V P 1 1 en m 3 ; P 1 e P 2 en Pa P 1 es la pression iniiale ; P 2 es la pression finale Calculer le ravail dans les deux cas suivans : V 1 = 50 L ; P 1 = 1 bar ; P 2 = 50 bars ; W = V 1 = 20 L ; P 1 = 5 bar ; P 2 = 100 bars ; W =

6 III Logarihme Décimal 1 Définiion f : x log x es définie sur log x = Ln x Ln10 2 Propriéés log 10 = log a b = log a b = log ab = 3 Tableau de variaion x f (x) f(x) Représenaion graphique

7 5 Exercice Le gain en puissance d un amplificaeur ou d un filre es donné par la formule : G = 10 log ( P s P e ) Le gain G en décibel (db) ; la puissance d enrée P e en W ; la puissance de sorie P s en W. Calculer le gain si P s = 3 P e G... Calculer le gain si P s = P e / 10 G... Pour un amplificaeur, le gain es... Pour un filre, le gain es... IV Applicaions 1 Résoluion de l équaion a x = b 2 Exercices a) Un capial es placé au aux de 8% l'an. Au bou de combien de emps aura--il riplé son capial? C n =C.(1,08) n où n es le nombre d années de placemen b) L'inensié d'un niveau acousique d'un son es exprimée en décibel par la relaion L = 10.log I I 0 avec I l'inensié acousique à éudier e I 0 l'inensié acousique de référence W/m². Quelle es en décibel l'inensié acousique d'un son I =10 - W/m²?

8 EXERCICES 7Exercices logarihmes exponenielles Calculs : RC 1. u = E 1e E = 12 V = 15. R = C = Calculer u 2. formule du 1. E = 2V = 2RC Calculer u I L = 10 log I0 = 10 I = 10 Calculer L I 0. θ = λ exp λ θ = 097. = 15 Calculer sans calcularice e en expliquan : ln ( e ) ; ln ; ln ; ln ( e) ; ln 2 e e 1 e Equaions : 2 log = ; ln = ; = ; + = ; exp = ;. = exp m ; 5 = 8 l a b 6. ( x) ( y) e e ( c) β 3 2 η γ 7. ( α ) e ( e ) = exp + 1 ; = 13 ; 18 1 = 1 ; 7 = 1 Transformaion de formules : c 8. exp ( x) = y irer x; 5ln ( x) = y irer x; a = be irer c; u = E exp irer RC P2 P 9. W = PV irer P u = E 2 1 1ln 2 ; 1 exp irer G irer P P RC ; = 10log P Tracés : 1 1 irer P 2 1 x x 10. Tracer f: [ 0; 15] R x a 8( 1e ) e g[ 0; 15] R x a10 exp sur la même feuille 5 déerminer les équaions des angenes aux deux courbes aux poins d abscisse 0. Les racer. 11. Tracer u = E 1 exp R C F E V [ ] RC = Ω = µ = 15 0; 250s déerminer l équaion de la angene au emps =0. La racer. Enoncé de bac pro msma (exrai) : La empéraure θ de la plaque à l insan es donnée par la relaion : θ = 60 1λe 1000 en secondes θ en C. 1. Déerminer λ sachan qu à l insan = 0 la empéraure de la plaque es de 2 C. 2. On pose λ = θ Monrer que s exprime en foncion de θ par la relaion : =ln Calculer le emps nécessaire pour porer la empéraure de la plaque de 2 C à 00 C. 3. T éan un n ombre réel apparenan à l inervalle [ -5 ; 0 ], on considère la foncion θ définie par : θ T = e T ( ) ( ) 31. Calculer la dérivée θ (T). 32. En déduire le sens de variaion de la foncion θ. 33. Représener graphiquemen la foncion θ. Echelle : en abscisse 2 cm pour l unié ; en ordonnée 1 cm pour 50 uniés.

9 Conrôle Un condensaeur es un dipôle permean d emmagasiner une quanié d élecricié. Pour le charger, il suffi de le connecer à une source de couran coninu pendan un cerain emps. Soi u la ension (en vols) mesurée aux bornes du condensaeur pendan la charge. Cee ension es foncion du emps (en secondes). Soi E la ension (en vols) mesurée aux bornes de la source. Cee ension es consane. u s exprime en foncion de E e par la relaion u = E( 1e ) 1. Calculer E si pour = 3 s, u = 12,7 V (arrondir le résula à 0,1 V près) 2. Pour oue la suie du conrôle, prendre u = 2( 1e ). Compléer le ableau de valeurs suivan (arrondir à 0,1 V près) u 3 Tracer sur papier milliméré la représenaion graphique de la foncion u() pour 0 18 s. Déerminer graphiquemen le emps correspondan à u = 20 V. 5. Déerminer par le calcul le emps correspondan à u = 20 V 6. Exprimer en foncion de u. Conrôle Un condensaeur es un dipôle permean d emmagasiner une quanié d élecricié. Pour le charger, il suffi de le connecer à une source de couran coninu pendan un cerain emps. Soi u la ension (en vols) mesurée aux bornes du condensaeur pendan la charge. Cee ension es foncion du emps (en secondes). Soi E la ension (en vols) mesurée aux bornes de la source. Cee ension es consane. u s exprime en foncion de E e par la relaion u = E( 1e ) 1. Calculer E si pour = 3 s, u = 12,7 V (arrondir le résula à 0,1 V près) 2. Pour oue la suie du conrôle, prendre u = 2( 1e ). Compléer le ableau de valeurs suivan (arrondir à 0,1 V près) u 3 Tracer sur papier milliméré la représenaion graphique de la foncion u() pour 0 18 s. Déerminer graphiquemen le emps correspondan à u = 20 V. 5. Déerminer par le calcul le emps correspondan à u = 20 V 6. Exprimer en foncion de u.

10 Corrigé du Conrôle = E( 1e ) e =. je lis 7,2 s 20 = 2( 1e ) ( 1 e ) 21. V ± e ± x ± ln ± u = 2( 1e ) ± e x ± u ± ln ± 1 2 u u u =ln( ( = 2 1 )) ln( 1 ) u

11 MSMA : R La ension aux bornes d une bobine es donnée par la formule u = E e L 1. E es la ension de la source, L es l inducance de la bobine en Henry (H), R es la résisance en Ω, le emps en secondes. 1. Calculer E si u = 7.6 V quand R = 0. Ω, L = 1.7 H, = 3 s. (arrondir à 10-2 V) 0, 2. Tracer la représenaion graphique de la foncion = 1, u 15 1 e 7 pour varian de 0 à 25 s. 3. Déerminer graphiquemen le emps correspondan à u = 13 V.. Calculer le emps correspondan à u = 13 V. 5. Déerminer l équaion de la angene à la courbe au emps = 0. Tracer cee angene. R 6. Monrer que L s exprime par la formule L = u ln 1 E Corrigé du conrôle : 0, * , =, E 1 e E = 15, 01V 0, * 3 1, 7 1 e Graphiquemen, je lis : 8,6 V. 5. u' ( 0) 0 15, 0 e 17, 0, * 0 = 1, 7 0, 6 = 15 * 1 = 17, 17, c es le coefficien direceur de la angene donc l équaion es 6 u = 17, pour racer, prendre = 0 ; u = 0 = 3. ; u = = 15 1 e ( 0, / 17) e ± ( 0, / 17) ln ± = 8, 56 s 0, 1, 7 x 6. u = E 1e 1 R L x ( ) L x R e ± + 1 E u 1 ( ) L x R ln ± 1 E u Expliquer le passage à la formule

12 CORMERAIS P