Sommaire de la séquence 5

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1 Sommaire de la séquence 5 Séance Je retrouve des formules connues Séance Je calcule en fonction de... et je découvre les équations Séance J étudie la notion d équation Séance Je résous des équations complexes Séance J applique la distributivité Séance Je supprime des parenthèses Séance Je développe une expression de la forme (a+b)(c+d) Séance Je résous des problèmes Séance J effectue des exercices de synthèse Objectifs Calculer la valeur d une expression littérale. Réduire une expression littérale. Développer une expression littérale. Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. Cned-2009

2 Séance 1 Je retrouve des formules connues séance 1 Séquence 5 Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la SÉQUENCE 5. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d exercices et écris en haut de cette page : «SÉQUENCE 5 : DÉVELOPPEMENTS». Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. je révise les acquis de la 5e 1- L écriture simplifiée de 3 (a a + a 2) est : 3 (aa + a2) 3 (a² + 2a) 3 (a² + 2a) 6a ,5 3,9 6,5 3,9 est égal à : 10 3,9 64,35 25,35 (16,5 6,5) 3,9 3,9 (16,5 6,5) 5-2x + 5x est égal à : 10x² (2 + 5)x 7x 7x² est égal à : L expression 5 (x + 2) peut s écrire 5x + 2 5x (x + 2) 7x Effectue les exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice 1 6- Je choisis un nombre et je calcule la somme du double de ce nombre et de 3. Si je choisis le nombre 2, je trouve : Retrouve la formule du périmètre de chacune des figures ci-dessous. Chacune de tes expressions littérales devra être la plus simplifiée possible. figure 1 figure 2 figure 3 figure 4 a x c u y v Exercice 2 Trace une figure dont le périmètre pourrait être donné par l expression littérale suivante : 8x + 2y. Cned, Mathématiques 4e 109

3 Séquence 5 séance 2 Exercice 3 Retrouve la formule de l aire de chacune des figures ci-dessous. Chacune de tes expressions littérales devra être la plus simplifiée possible. figure 1 figure 2 figure 3 figure 4 a x r y a h b Exercice 4 On se propose de trouver une expression littérale de l aire de cette figure : ab 1- Noémie propose l expression littérale suivante : ab +. ab 2 Quentin propose celle-ci : 2a b 2 Que penses-tu de leurs propositions? b 3ab 2- Manon a trouvé l expression littérale :. Qu en penses-tu? 2 Indication : pense à factoriser par ab. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 2. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche. c a Séance 2 Je calcule en fonction de et je découvre les équations Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. Exercice 5 Voici 3 bateaux tous construits de la même manière : la coque est un trapèze isocèle et la voile un triangle isocèle. Les côtés de même longueur du triangle isocèle mesurent 2 cm de plus que les petits côtés du trapèze. 3 cm 4 cm 4,5 cm 1 cm 2 cm 2,5 cm 110 Cned, Mathématiques 4e

4 séance 2 Séquence 5 1- a) Dessine un quatrième bateau en choisissant une mesure pour les petits côtés du trapèze isocèle, en respectant les règles décrites en début d exercice. b) Calcule le périmètre des trois bateaux ci-dessus. Tu désigneras par P 1, P 2 et P 3 ces périmètres. 2- Les bateaux étant tous construits sur le même modèle, on décide d établir une formule pour calculer leur périmètre en fonction de la mesure commune des petits côtés de la coque : a) Lindsay propose la formule suivante : x + x + x + x + (x + 2) + (x + 2) + (x + 2) Hugo propose : 4 x + 3 (x + 2) En remplaçant x par 1, puis 2, puis 2,5 dans chaque formule, regarde si tu retrouves les périmètres que tu as calculés à la question 1. Les expressions du périmètre de Lindsay et d Hugo sont-elles correctes? b) Ali a été félicité par son professeur. il a trouvé la formule la plus simple : 7x + 6 Peux-tu expliquer sa réponse? c) Quelle mesure faut-il choisir pour x pour que le périmètre du bateau soit égal à 41 cm? Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens ÉCRITURES LITTÉRALES Simplifications des écritures littérales Exemples : Somme : x + x + x = 3x 3x + 5x = 8x Produit : 3 (x + 2) = 3 x = 3x + 6 Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret. Exercice 6 Pour chacune des figures proposées, écris une formule pour son périmètre, puis simplifie au maximum l expression littérale. figure 1... x x x cm Cned, Mathématiques 4e 111

5 Séquence 5 séance 2 figure 2 x x figure 3 : La figure est un carré sur lequel est posé un triangle équilatéral x Exercice 7 On souhaite déterminer pour chacune des figures de l exercice 6 le nombre x pour lequel le périmètre est 42 cm. Pour cela, tu vas utiliser un tableur. Tu peux en télécharger un gratuitement sur internet (openoffice calc sur le site Tu peux aussi utiliser Microsoft Excel. Sur ta feuille de calcul, recopie le contenu des cellules A1, B1, D1, E1, G1, H1. a) On va calculer le périmètre de la figure 1 pour x = 1 : inscris le nombre 1 dans la cellule A2, puis dans la cellule B2, écris la formule du périmètre en tapant «=14*» puis en cliquant dans la cellule A2 (le tableur calculera alors 14 le contenu de la cellule A2). A2 s inscrit alors en bleu dans la cellule : Tape sur la touche ENTER et le résultat attendu s inscrit dans la cellule B2 : 112 Cned, Mathématiques 4e

6 séance 2 Séquence 5 Retourne maintenant dans la cellule A2, puis tape un autre nombre, 2 par exemple, suivi de la touche ENTER. Le contenu de la cellule B2 se modifie et tu obtiens le résultat du périmètre pour x = 2. Continue ainsi à changer la valeur du nombre de la case A2 jusqu à obtenir la réponse souhaitée pour le périmètre, à savoir 42 cm. Pour quelle valeur de x obtiens-tu 42 cm? b) Complète ta feuille de calcul pour le périmètre de la 2 e figure ; commence par entrer le nombre 1 dans la cellule D2, puis la formule du périmètre de la figure 2 dans la cellule E2 (pense à commencer ta formule par le symbole =, n oublie pas le symbole «*» pour le et pense à cliquer dans la cellule D2 à la place du x). Tu dois obtenir 21 dans la cellule E2. Pour quelle valeur de x obtiens-tu 42 cm? Indication : pense aux nombres décimaux! c) Procède de la même manière pour la 3 e figure. Pour quelle valeur de x obtiens-tu 42 cm? Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. Prends ton temps et essaie de bien réfléchir aux deux questions posées. Exercice 8 1- Parmi les quatre «phrases» mathématiques ci-dessous, lesquelles sont des égalités? a) = 12 b) 6 = 2 ( 3) c) AB = 3 cm d) EF 9 e) 2 + 4x = 14 f) 7(4x 5) = 28x 35 g) 1 m = 100 cm 2- Parmi les égalités ci-dessus, lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. j e retiens Définition : Une égalité est une expression mathématique qui comporte un signe égal. Exemples : x = 3 59 = 31 2 Remarque : une égalité peut être vraie ou fausse. L égalité 7 = 8 est fausse! Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. Exercice 9 1- L égalité 5 + 3x = 2 est-elle vraie? Si ce n est pas toujours le cas, trouve une valeur de x pour laquelle 5 + 3x = Je choisis un nombre. Je multiplie ce nombre par 3. J ajoute au résultat 5. J obtiens 2. Quel nombre avais-je choisi au départ? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 3. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche. Cned, Mathématiques 4e 113

7 Séquence 5 séance 3 Séance 3 J étudie la notion d équation Dans l exercice 7 de la séance 2, tu as cherché a) pour quelle valeur de x on avait 14x = 42 b) pour quelle valeur de x on avait 12x + 9 = 42 c) pour quelle valeur de x on avait 5x + 6 = 42 Ces trois égalités (en gras) s appellent des équations. Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens ÉQUATION Une équation est une égalité dans laquelle un nombre est inconnu. Ce nombre est souvent désigné par la lettre x. Résoudre une équation signifie trouver la (les) valeur(s) du nombre inconnu (s il en existe) qui rend(ent) l égalité vraie. Toute valeur qui rend l égalité vraie s appelle une solution de l équation. Exemple : 12x + 9 = 42 est une équation. 12x + 9 est le membre de gauche et 42 celui de droite. Résoudre cette équation signifie trouver la (les) valeur(s) de x (s il en existe) pour laquelle (lesquelles) l égalité est vraie. 2,75 est une solution de cette équation car 12 2, = 42 Remarque : Le signe «=» a un nouveau «sens» dans l écriture d une équation. Il pose en fait une question : «pour quelle(s) valeur(s) de x obtient-on une égalité vraie?» Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. Exercice 10 Pour chacune des équations, on propose 3 valeurs. Une seule des trois est une solution, laquelle? a) 4x 8 = 5 b) 8x + 7 = 2 c) 3x + 2 = 2x 7 valeur 1 : x = 3 4 valeur 1 : x = 1 valeur 1 : x = 9 5 valeur 2 : x = 13 4 valeur 3 : x = 3,2 valeur 3 : x = Effectue l exercice suivant sur ton livret. valeur 2 : x = 0,625 valeur 2 : x = valeur 3 : x = Cned, Mathématiques 4e

8 séance 3 Séquence 5 Exercice Fais correspondre à chaque phrase une équation. x Quel est le nombre qui ajouté à 4 donne 1? = 5 2 Quel est le nombre qui multiplié par 3 donne 5? x 7 = 3 Quel est le nombre qui, lorsqu on lui soustrait 7, donne 3? x 3 = 5 Quel est le nombre qui divisé par 2 donne 5? x + 4 = 1 2- Résous les quatre équations de la question précédente. Effectue les exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice 12 Résous les équations suivantes : a) 3 + y = 4 b) 7 z = 35 c) 8 = 3 + u d) Exercice 13 Mon triple est égal à 7. Qui suis-je? Exercice 14 Essaie de résoudre l équation : 5 + 3x = 1. Aide : essaie de calculer 3x avant de calculer x! Exercice Peux-tu trouver des nombres dont le carré est égal à 1? 2- Résous l équation : x 2 = 1. Exercice AB = 11 Ali et Lindsay essaient de résoudre l équation : 5y = 2y Ali essaie de trouver des solutions entières, mais il ne trouve pas de solution. Lindsay utilise un tableur, écrit dans la case B1 : 5 * A1+100, dans la case C1 : 2 * A Elle rentre ensuite des valeurs diverses dans la case A1 : 3 ; 2 ; 1 ; 2. Pour chacune de ces valeurs, elle n obtient pas des nombres égaux dans les cases B1 et C1. Essaie de chercher des solutions par un calcul direct comme Ali, puis utilise un tableur comme Lindsay. Arrives-tu à trouver une solution? 2- Noémie dit : «j ai trouvé une solution : 50 3!». Vérifie que Noémie dit vrai. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 6. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche. Cned, Mathématiques 4e 115

9 Séquence 5 séance 4 Séance 4 Je résous des équations complexes Effectue l exercice suivant directement sur ton livret. Exercice 17 Au marché, le marchand de fruits et légumes utilise une «balance de Roberval». C est une ancienne balance, représentée ci-contre. Le principe de cette balance est simple : lorsqu il y a le même «poids» sur chaque plateau de la balance, l aiguille centrale est en position verticale. On dit alors que la balance est en équilibre. Par exemple, on pose un légume sur le plateau gauche de la balance, l aiguille se penche vers la gauche. Si on ajoute à droite des poids qui sont plus lourds que le légume, l aiguille de la balance se penche vers la droite. Lorsque la balance est en équilibre, les deux objets sur chacun des deux plateaux ont le même «poids» : ici, le légume pèse 170 g. 100 g 50 g 20 g 1- On a représenté ci-dessous les plateaux de la balance du marchand sur lesquels sont posés des pommes et des poids. L objectif est de trouver le «poids» d une pomme. 50 g 200 g 50 g 1 ère étape : 50 g 200 g 50 g On traduit par une équation l équilibre de cette balance en prenant pour x le poids d une pomme en g. Complète les pointillés. 2x + =.. 2 ème étape : 50 g 200 g 50 g En enlevant 50 g de chaque côté, l équilibre est maintenu. Complète les pointillés. 2x =. 3 ème étape : Tu connais maintenant le «poids» des 2 pommes. Quelle opération te permet de trouver le «poids» d une pomme?. Donc x =. 116 Cned, Mathématiques 4e

10 séance 4 Séquence 5 2- De la même manière qu au 1, traduis chaque équilibre par une équation puis trouve le poids y en g d une clémentine. 1 ère étape : 100 g 100 g 50g 5y + =.. 2 ème étape : 100 g 100 g =.. 50g 3 ème étape : =.. 50g y = Le poids d une clémentine est donc g soit environ. g (arrondi au dixième de g près). Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens Propriété (admise) On ne change pas une égalité si on ajoute (ou soustrait) à ses deux membres un même nombre. On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre non nul. Exemple : Résoudre l équation 5y = 2y y = 2y + 50 on a retranché 100 aux deux membres 3y = 50 on a retranché 2y aux deux membres y = 50 on a divisé chaque membre par 3 3 dans chaque membre : On contrôle en remplaçant y par = = = = La solution de l équation est Cned, Mathématiques 4e 117

11 Séquence 5 séance 4 Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. je comprends la méthode Résoudre l équation : 4x 3 = 8x Je fais disparaître le terme en x du membre de droite en retranchant 8x à chaque membre. 2- Je simplifie chaque membre, les «x» ont disparu du membre de droite. 3- Je fais disparaître le «3» du membre de gauche en ajoutant 3 à chaque membre. 4- Je simplifie chaque membre, il ne reste que des «x» dans le membre de gauche, et des nombres dans celui de droite. 5- Ensuite, je peux utiliser deux méthodes : 1ère méthode 4x 3 8x = 8x + 4 8x 4x 3 = 4 4x = x = 7 Je pense à la définition du quotient d un nombre par un autre nombre non nul. 7 Le nombre qui multiplié par 4 donne 7 est x = = 4 4 2ème méthode Je divise chaque membre par 4 pour trouver la valeur de x cherchée. 4x = x = = 4 4 Effectue les exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice Résous l équation : 3x 5 = 5x Résous l équation : 7x + 6 = 3x 2 3- Résous l équation : 9x 8 = x 3 Exercice 19 Noémie et Quentin ont réalisé chacun une feuille de calculs à l aide d un tableur. Noémie fait calculer dans la case B1 du tableur : Le double du nombre qui se trouve dans la case A1, résultat auquel on ajoute 5, et on divise le tout par 3. Quentin fait calculer dans la case B1 du tableur de son ordinateur : Le nombre qui se trouve dans la case A1 moins 8, résultat que l on divise par 2. a) Complète les formules que doivent écrire Noémie et Quentin : Noémie : B1 = Quentin : B1 = 118 Cned, Mathématiques 4e

12 séance 5 Séquence 5 b) Pour quelle(s) valeur(s) (s il en existe) du nombre de la case A1 Quentin et Noémie obtiennent-ils le même nombre dans la case B1? Appelle x le nombre de la case A1. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 8. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. Séance 5 J applique la distributivité Effectue l exercice ci-dessous sur ton cahier d exercices. Exercice 20 Aux questions du professeur «Qu est-ce qu une somme?», «Qu est-ce qu un produit?», Ali a répondu : «Une somme, c est par exemple , et un produit 15 3». «C est très bien, mais alors , c est une somme ou un produit?» a demandé le professeur? 1- Quelle serait ta réponse? 2- Quentin a proposé : «C est une somme puisque c est le signe + qui apparaît en 1er dans le calcul». Mais Manon n est pas d accord : «Non, c est un produit car la multiplication a priorité par rapport à l addition». À ton avis, qui a raison? 3- Effectue le calcul suivant : Quelle opération as-tu fait en dernier? Cette opération te permet de déterminer si l expression est une somme ou un produit alors conclus! Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens Pour déterminer si une expression est une somme ou un produit, on doit déterminer l opération qui sera faite en dernier. Si cette opération est une addition (respectivement une soustraction), on conclura que c est une somme (respectivement une soustraction) et si cette opération est une multiplication, on conclura que c est un produit. Exemples : est une somme car l opération faite en dernier est une addition. 3 (x 2) est un produit car l opération faite en dernier est une multiplication est : «la somme du produit de 5 par 3 et de 8» 3 (x 2) est : «Le produit de 3 par la différence de x et de 2» Effectue les 3 exercices suivants directement sur ton livret. Cned, Mathématiques 4e 119

13 Séquence 5 séance 5 Exercice 21 Pour chaque expression, entoure la bonne réponse. Exercice 22 7x + 6 somme produit ab 2a b différence produit 2 4 x + 3 (x + 2) somme produit 2(5x 3) différence produit 3 x y + 1 somme produit (x + 6) (x + 5) somme produit Fais correspondre à chaque phrase l expression littérale correcte : La somme de x et du double de la somme de x et de 6 (2x + 6) x Le produit du double de x par la somme de x et de x Le produit de la somme de 2x et de 6 par x La somme du double de 6 et du double de x 2x (x + 6) Exercice 23 x + 2 (x + 6) De la même manière que dans l exercice précédent, écris les phrases qui traduisent les expressions littérales x (x + 2) x 2y x 4 + x... Effectue l exercice ci-dessous sur ton cahier d exercices. Exercice 24 R 5 cm x cm I 3 cm On prend pour unité de longueur le cm. Le rectangle RECT a pour longueur x et pour largeur 5. E L objectif de l exercice est de trouver pour quelle valeur de x l aire du rectangle TRIO est égale aux 3 de l aire 5 T O C du rectangle RECT. 120 Cned, Mathématiques 4e

14 séance 5 Séquence 5 1- Exprime RI en fonction de x. 2- Déduis-en une expression littérale de l aire du rectangle TRIO, puis développe cette expression en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction. 3- Traduis par une équation l objectif de l exercice, en utilisant l expression trouvée au 2). 4- Résous cette équation et réponds au problème posé. Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe suivant. j e retiens DÉVELOPPER ET FACTORISER Développer un produit, c est transformer un produit en une somme ou une différence : k (a + b) = k a + k b k( a b) = k a k b exemple : exemple : 7 (x + 2) = 7x = 7x (x 3) = 5x 15 Factoriser une somme ou une différence, c est transformer une somme ou une différence en un produit : k a + k b = k (a + b) k a k b = k ( a b) exemple : exemple : 9 x + 9 y = 9 (x + y) n t n c = n ( t c) Effectue les exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice 25 Développe les expressions suivantes : A = 5 (x 9) B = 3 (4y + 1) C = 2 ( 3x + 5y) D = 4x (7 2x) Exercice 26 Factorise les expressions suivantes : A = 12a 12b B = 27u + 36v 45w C = 5x 5 D = 12y + 24z Exercice 27 A N y cm T U 2 cm B O Le rectangle ABCD de longueur y et de largeur x est décomposé en 3 figures : le carré BOUT de côté 2, le rectangle TUNA et le rectangle DNOC. 1- Trouve les expressions littérales des aires des quadrilatères ABCD, TUNA, BOUT et DNOC. Donne leur forme développée. x cm 2- En additionnant les aires de TUNA, BOUT et DNOC, retrouve l expression de l aire de ABCD. D C 3- Trouve une expression littérale des périmètres des quadrilatères ABCD, TUNA, BOUT et DNOC. Donne la forme factorisée des périmètres de ABCD et DNOC. Cned, Mathématiques 4e 121

15 Séquence 5 séance 6 Exercice 28 Laquelle de ces figures a pour périmètre 5 (x + 1)? figure 1 figure 2 figure 3 x + 2,5 x 0,25 0,5 x x Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 8. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche. Séance 6 Je supprime des parenthèses Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice 29 Le professeur demande «simplifiez cette expression littérale : 3x + (5 9x) + 2 (7 6x)» Hugo obtient 0, Quentin trouve 12x et Manon a pour résultat 18x À l aide d un calcul pour quelques valeurs de x, détermine parmi les trois élèves celui ou celle qui semble avoir la bonne réponse. 2- Le professeur sait que les erreurs proviennent du mauvais calcul de la partie «2 (7 6x)» de l expression. Pour expliquer ce point, il rappelle que multiplier un nombre par ( 1) revient à prendre son opposé. a) Complète les pointillés 7 = 7 8 = ( 8) b) Complète les pointillés en développant l expression. (a + b) = ( 1) (a + b) =.. Le professeur conclut en disant : «C est finalement simple, l opposé d une somme, c est la somme des opposés!». c) À l aide de la règle prouvée précédemment et donnée par le professeur, simplifie l expression littérale : 2 + 3x + (5 9x) (7 6x). 122 Cned, Mathématiques 4e

16 séance 6 Séquence 5 Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens Suppression des parenthèses On peut supprimer des parenthèses précédées d un signe +. Exemples : 8 + (3 13) = = 2 3x + (5 9x) = 3x + 5 9x = 6x + 5 On peut supprimer des parenthèses précédées d un signe, il suffit de se souvenir de la propriété : «l opposé d une somme est la somme des opposés». Exemples : 8 (3 13) = x ( 7 + 6x) = 3x + 7 6x L opposé de 3 est 3. L opposé de 7 est 7. L opposé de 13 est 13. L opposé de +6x est 6x. 8 (3 13) = 8 3 ( 13) = x ( 7 + 6x) = 3x ( 7) (+6x) = 3x + 7 6x Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. je comprends la méthode Supprime les parenthèses, puis simplifie : (6y 1) ( 5y + 3) Simultanément, je change les signes dans chaque parenthèse car elles sont précédées d un signe. Je simplifie en regroupant les termes semblables : Effectue les exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice 30 Supprime les parenthèses précédées d un signe : (6 y 1) ( 5 y + 3) = 6 y y 3 6y y 3 = y 2 A = (4 + 5x) C = (13x 5y + 3) E = ( 10x 3) B = (9x 5) D = ( 1 + 7a) F = (7 x + 2y) Exercice 31 Supprime les parenthèses puis simplifie les expressions littérales suivantes : A = 6a (7 9a) + ( 7a + 2) C = (5c 5) (5c 5) B = 19 + (5 b) (b + 1) D = 4 (6d + 1) (7 3d) Cned, Mathématiques 4e 123

17 Séquence 5 séance 7 Exercice 32 Le professeur de mathématiques propose aux élèves de travailler par groupes de quatre afin de répondre au problème suivant : A B C Trouver le plus possible d expressions littérales pour l aire du polygone ACDEGIJK. x Lindsay, Manon, Hugo et Ali travaillent dans le L même groupe et décident de se répartir le travail I H de la manière suivante : Lindsay calculera l aire du polygone en K J additionnant les aires des rectangles ABJK, BCHI y et DEGH. Manon calculera l aire du rectangle MENK puis retranchera les aires des rectangles MDCA et GNJI. Hugo calculera l aire du rectangle MEGL, retranchera l aire de MDCA et ajoutera l aire de LIJK. Ali vérifiera que les 3 expressions de ses camarades sont bien égales. 1- Quelles sont les expressions littérales de Lindsay, Manon et Hugo? 2- Fais le travail d Ali. M D E 1 F G N Exercice 33 Dans la figure ci-contre, les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Calcule x c est-à-dire FE. B D 3 cm 2 cm A Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 9. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. Séance 7 Je développe une expression de la forme (a + b)(c + d) Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d exercices. Exercice 34 On a découpé le rectangle LIDU ci-contre en 4 rectangles UBTO, BLET, ISTE et DOTS. x 5 1- Donne deux expressions littérales de l aire de LIDU : y la 1 ère sous la forme d un produit la 2 ème sous la forme d une somme, en O T additionnant les aires des rectangles UBTO, 2 DOTS, BLET et ISTE. D S 2- En t aidant de la distributivité de la multiplication par rapport à l addition vue à la séance 5, trouve une méthode pour passer de la 1 ère à la 2 ème expression. F 2 cm C E 7 cm D [AB] E [AC] C [EF] FE = x U B L E I 124 Cned, Mathématiques 4e

18 séance 7 Séquence 5 Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. j e retiens Double distributivité Quels que soient les nombres a, b, c et d : Exemples : = (70 + 6)(30 + 7) = = = (x + 5)(y + 2) = x y + x y = xy + 2x + 5y + 10 Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. je comprends la méthode Développer et réduire : (3x 5)( 2x 1) (a + b)(c + d) = a c + a d + b c + b d Dans un premier temps, je pense que : (3x 5)( 2x 1) = (3x + ( 5))( 2x + ( 1)) Je multiplie d abord 3x par ( 2x + ( 1)). J obtiens : 3x ( 2x) + 3x ( 1) Je multiplie ensuite 5 par ( 2x + ( 1)). J obtiens : 5 ( 2x) + ( 5) ( 1) J écris. (3x 5)( 2x 1) = 3x ( 2x) + 3x ( 1) + ( 5) ( 2x) + ( 5) ( 1) Je simplifie chaque produit. (3x 5)( 2x 1) = 6x² 3x + 10x + 5 Je regroupe les termes semblables : (3x 5)( 2x 1) = 6x² + 7x + 5 Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d exercices. Exercice 35 Développe puis réduis les expressions suivantes. A = (x + 3)(y + 1) B = (2x + 5)(3x + 2) C = (x 2)(6x + 7) D = (3a 2)(a 3) E = (3 y)(y 6) F = ( 5x 1)(2x 3) Exercice 36 Calcule les aires des figures bleues. y + 5 3x y x 2 y 3 Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 9. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche. Cned, Mathématiques 4e 125

19 Séquence 5 séance 8 Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Séance 8 Je résous des problèmes je comprends la méthode Mettre en équation le problème ci-dessous : Louis, Margot et Lorraine sont frère et sœurs. Louis a 2 fois plus de CD que Margot et Lorraine a 12 CD de moins que Margot. À eux trois, ils ont 96 CD. Combien chacun a-t-il de CD? Je choisis l inconnue. Je choisis d appeler x le nombre de CD de Margot. Je traduis le problème posé par une équation d inconnue x. Le nombre de CD de Louis est le double de celui de Margot soit 2x. Lorraine a 12 CD de moins que Margot, elle en a donc : x 12 Si j ajoute le nombre de CD de chacun, je trouve 96. l équation suivante traduit le problème posé : 2x + x + x 12 = 96 { nombre de CD de Louis Je résous l équation. 2x + x + x 12 = 96 Je réponds au problème posé. Je vérifie que la solution trouvée convient en reprenant l énoncé. 4x 12 = 96 { nombre de CD de Margot 4x = Effectue les exercices suivants dans ton cahier d exercices. { nombre de CD de Lorraine { nombre total de CD 4x = 108 x = x = 27 x = 27 donc Margot a 27 CD. Louis en a le double, donc il a 54 CD. Lorraine en a 12 de moins que Margot, elle a donc 15 CD. Je vérifie que le total du nombre de CD fait bien 96 : = 96. Exercice 37 Le professeur de Lindsay, Ali et Hugo donne le problème suivant à résoudre : «Louis, Margot et Lorraine sont frère et sœurs. Louis a 4 ans de plus que Margot, et Margot a 2 fois l âge de Lorraine. La somme de leurs trois âges est 34 ans. Quels âges ont Louis, Margot et Lorraine?» 1- Lindsay choisit pour inconnue l âge de Margot. Comment va-t-elle résoudre le problème posé? Aide-toi de la méthode précédente, suis bien les 5 étapes! 2- Ali pense que la mise en équation de ce problème est plus simple si on choisit pour inconnue l âge de Lorraine. Écris sa résolution. Te semble-t-elle plus simple que celle de Lindsay? 3- Hugo a choisi pour inconnue l âge de Louis. Écris sa résolution. Que penses-tu de son choix? 126 Cned, Mathématiques 4e

20 séance 8 Séquence 5 Exercice 38 J achète un billet de train avec une réduction de 3 %. Je paie 145,5. Quel était le prix du billet avant la réduction? Exercice 39 Un rectangle a une longueur égale au triple de sa largeur. Sa largeur est de (x 3) cm et son périmètre est de 56 cm. Quelle est sa longueur? Exercice 40 Léa achète dans un théâtre pour un groupe de 18 personnes des places à 15 et à 21. Sachant qu elle a dépensé au total 300, combien a-t-elle acheté de places de chaque sorte? Pour l exercice suivant, tu effectueras les deux premières questions directement sur ce livret et le reste sur ton cahier d exercices. Exercice 41 Voici un programme de calcul : Étape 1 : Choisis un nombre. Étape 2 : Multiplie-le par 2. Étape 3 : Retranche 3 au résultat précédent. Étape 4 : Multiplie le résultat précédent par 5. Étape 5 : Retranche le décuple du nombre de départ. Le décuple d un nombre est 10 fois ce nombre. Étape 6 : Ajoute Manon, Quentin et Noémie ont choisi chacun un nombre différent : 3 pour Manon, 5 pour Quentin et 4 pour Noémie. Complète les étapes de leurs calculs ci-dessous : 2 Manon Quentin Noémie Étape 1 : 3 Étape 1 : 5 2 Étape 1 : 4 Étape 2 : 2 3 = 6 Étape 2 : Étape 2 : Étape 3 : Étape 3 : Étape 3 : Étape 4 : Étape 4 : Étape 4 : Étape 5 : Étape 5 : Étape 5 : Étape 6 : Étape 6 : Étape 6 : 2- Que remarques-tu? En prenant n pour le nombre choisi au départ, écris une expression littérale traduisant le programme de calcul. 4- Écris sous la forme d une conjecture la remarque faite au 2) (reprends l expression trouvée au 3) 5- Démontre cette conjecture. Cned, Mathématiques 4e 127

21 Séquence 5 séance 9 Séance 9 J effectue des exercices de synthèse Tous les exercices de cette séance sont des exercices extraits de sujets du Diplôme National du Brevet. Ils sont à effectuer sur ton cahier d exercices. Exercice 42 Onagre est un opérateur de téléphonie mobile qui propose les abonnements suivants : Abonnement A : abonnement 19, puis 0,30 la minute de communication. Abonnement B : abonnement 29, puis 0,20 la minute de communication. 1- Complète le tableau. Durée (en minutes) Abonnement A (en ) Abonnement B (en ) Soit x le nombre de minutes de communication. Exprime le prix de chaque abonnement en fonction de x. 3- Détermine le nombre de minutes correspondant à un montant de 151 avec l abonnement A. 4- Trouver le nombre de minutes pour lequel les deux tarifs sont égaux. Exercice 43 1 ère partie Sur un plan, un terrain rectangulaire est représenté par un rectangle ABCD de largeur AB = 9 cm et de longueur BC = 12 cm. 1- Déterminer l aire du triangle ACD. 9 cm B 12 cm C F 2- Calculer AC. A 4 cm E D 2 ème partie Les distances sont exprimées en cm et les aires en cm². E est le point du segment [AD] tel que AE = 4 et F est un point de [CD]. 1- On suppose que CF = x. Montrer que l aire du triangle EFD est 36 4x 2- Pour quelle valeur de x l aire du triangle EFD est-elle égale à 24 cm²? 128 Cned, Mathématiques 4e

22 séance 9 Séquence 5 Exercice 44 x est un nombre positif compris entre 0 et 10 ; les longueurs sont exprimées en cm et les aires en cm². La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. Il s agit de savoir s il existe une valeur de x pour laquelle ABC est un triangle rectangle. 1- Calcule AB et AC lorsque x = 4. Lorsque x = 4, ABC est-il un triangle rectangle? 2- Développer et réduire (x + 7)² et (x + 8)² 3- En déduire : AB² AC² = 2x Pour quelle valeur de x le triangle ABC est-il rectangle? Pour terminer cette séquence voici un test, lis attentivement les questions et coche directement la ou les bonnes réponses puis regarde le corrigé. A x + 7 C x B Cned, Mathématiques 4e 129

23 Séquence 5 séance 9 je m évalue 1- Une expression littérale du périmètre de cette figure est : 4 A D 2x + 5 3x 2x + (x 4) + 4 Ce n est pas possible de savoir. 3-5(x + 3) + 3(x 2) est égal à : 8x + 9 8x + 1 2x + 9 8x + 13 H B x x C 2- L équation 12x + 8 = 10x 3 a pour solution : Parmi ces expressions, laquelle n est pas un produit? (3x + 1)(2x + 7) (3 + x) 2 5x 2x 3x + 1 7(1 + x) 5- Le produit de la somme de n et de 3 par le quart du triple de n s écrit : 3 n + n 4 3 n n 4 3 n 3+ 3n 4 ( n + 3) 3n 4 6- (5x + 4) (3x + 1) est égal à : 5x + 4 3x + 1 5x 4 3x 1 5x 4 + 3x 1 5x 4 3x Cned, Mathématiques 4e

24 séance 9 Séquence 5 7- (3x 2)(5x 1) est égal à : 15x² 13x x² + 13x x² + 7x x² 7x 2 8- Sophie, âgée de 39 ans, a deux filles de 8 ans et 5 ans. Dans combien d années la somme des âges des 2 filles sera-t-elle égale à l âge de leur mère? Dans 34 ans. Dans 31 ans. Dans 26 ans. Dans 13 ans. 9- Quelle expression traduit le programme suivant : «Choisis un nombre, ajoute 5, multiplie le résultat par le double du nombre de départ, et enfin retranche le décuple du nombre de départ». x + 5 2x 10x (x + 5) 2x 10x 2x² x 10- L aire de la surface bleue est donnée par l expression : A x C B AGEC est un rectangle ; y H I (BF) // (CE) ; D (HD) // (GE) 2 G F x y y² (x y) y x(y + 2) y(y + 2) 2(x y) E (y + 2)(x y) 2(x y) Cned, Mathématiques 4e 131

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