Mécanique des fluides (PC*)

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1 Mécanique des fluides (PC*) La mécanique des fluides est un sous-ensemble de la mécanique des milieux continus. Elle compend l'étude des gaz et des liquides à l'équilibe et en mouvement, ainsi que l'étude de l'inteaction de ces denies avec les cops solides. Son impotance s'explique pa le fondement théoique qu'elle offe à de nombeuses disciplines comme la météoologie, l'aéodynamique, l'étude des plasmas, La maîtise de l'eau, comme de l'ai, a intéessé les hommes depuis la péhistoie, pou ésoude les poblèmes d'iigation et utilise la foce du vent pou populse les bateaux. C'est Achimède, au III ème siècle av. J.-C., qui a été le véitable initiateu de la "mécanique des fluides " en énonçant le théoème qui pote son nom. Bien qu'ils ne connussent pas les lois de l'hydaulique, les Romains utilisaient ses applications pou la constuction de canaux ouvets pou la distibution d'eau. On l'ignoe souvent, mais Léonad de Vinci a laissé des notes elatives aux vagues, aux toubillons, aux cops flottants, aux écoulements dans des tubes et à la machineie hydaulique. C'est lui qui a conçu, le pemie, un paachute, l'anémomète (pou mesue la vitesse des vents) et une pompe centifuge. Au XVII ème siècle, Pascal, à la suite de tavaux su le développement de méthodes de calcul, a donné un nouvel esso à l'hydaulique en expliquant, ente autes, les expéiences de son contempoain Toicelli su les pompes aspiantes. Ses tavaux ont été epis duant les siècles suivants avec, en paticulie, les innovations de Pitot (endement des machines hydauliques, tube de Pitot) et Ventui (tavaux hydauliques, constuction d'une tuyèe à cônes divegents). Les théoiciens Benoulli et Eule ont gandement contibué à la fomulation des pincipes de l'hydodynamique ; de même, les tavaux de Navie, en théoie généale de l'élasticité, et de Baé de Saint-Venant, auteu des pemièes expéiences pécises su l'écoulement des gaz à gande vitesse et d'études théoiques complétées pa Stokes, ont fait avance de manièe décisive la mécanique des fluides. Allée toubillonnaie deièe un cylinde ciculaie Mais il a fallu attende le XX ème siècle, avec la convegence de connaissances mathématiques et expéimentales et l'utilisation de calculateus de plus en plus puissants, pou que soient véitablement abodés des poblèmes aussi complexes que les écoulements de fluides visqueux dans des tuyaux cylindiques et que soient expliquées les difféences ente les écoulements laminaies - étudiés pa Poiseuille au milieu du XIX ème siècle - et tubulents, pa les tavaux de Reynolds, notamment.

2 Rue de toubillons altenés de Von Kaman dans un écoulement à tès gand nombe de Reynolds. Ces domaines d'études, ainsi que les poblèmes de couche limite développés pa Pandtl ou ceux d'écoulements tubulents taités pa Kaman, font, aujoud'hui encoe, l'objet de echeches poussées. Toubillon maginal (votex) ; catapultage d'un F18. L'étude des fluides au epos dans un epèe donné constitue la statique des fluides. Elle compend la statique des liquides (ou hydostatique) et la statique des gaz (ou aéostatique). La dynamique des fluides étudie, pou sa pat, les fluides en mouvement. On distingue la dynamique des liquides (ou hydodynamique) et la dynamique des gaz (ou aéodynamique). En oute, la dynamique des fluides conducteus de l'électicité en pésence de champs magnétiques constitue un domaine à pat, que l'on nomme la magnétohydodynamique. Les diveses banches de la mécanique des fluides jouent un gand ôle dans de nombeux domaines, tant dans l'industie que dans la echeche. Toubillon maginaux (votex) ; au soleil couchant, note les deux toubillons des volets et la épatition elliptique de la potance matéialisée pa la condensation de l'humidité de l'ai.

3 L'hydodynamique est nécessaie à la compéhension du fonctionnement de nombeux engins (pompes, moteus, échangeus de chaleu...) dans lesquels inteviennent des écoulements de fluides dans des conduites. Elle est également à la base de la constuction navale, de l'hydologie, de l'océanogaphie. Décollement aéodynamique su une VW Beetle : le test aux fils de laine monte des décollements qui n'inteviennent qu au niveau du pae choc aièe de l'auto. Ceci est cetainement du à la dépession engendée pa les puissants toubillons maginaux dus à la cambue impotante du toit. Ce que l'on gagne en taînée de pession et en patie pedu en taînée induite pa la potance. L'aéodynamique pemet de concevoi avions, fusées, navettes spatiales... Sa connaissance contibue à la diminution de la consommation d'énegie des véhicules, en péconisant pou ceux - ci des fomes "aéodynamiques" qui éduisent l'effet de la ésistance de l'ai à l'avancement. L'aéodynamique est également à la base de la météoologie et de l'étude de l'atmosphèe des autes planètes. La magnétohydodynamique joue un ôle essentiel en astophysique (modèles d'étoiles, dynamique de la matièe intestellaie). Elle intevient également dans l'étude des gaz ionisés, ou plasmas (déchages électiques dans les gaz, confinement des plasmas pa champs magnétiques destiné à la poduction contôlée d'énegie pa fusion themonucléaie). Elle a aussi pemis de éalise des pototypes de centales convetissant diectement de l'énegie themique en énegie électique (convetisseus magnétohydodynamiques). I) Etude phénoménologique des fluides : 1 L état fluide : Un fluide est un système composé de nombeuses paticules libes de se mouvoi les unes pa appot aux autes. Dans un liquide comme dans un gaz, le mouvement des molécules est désodonné : c est l agitation themique. D un point de vue quantitatif, on elève les difféences suivantes : 3

4 Dans un liquide, les distances intemoléculaies sont de l ode de gandeu des dimensions moléculaies, alos que dans un gaz, elles sont beaucoup plus gandes. Les foces d inteaction ente molécules (foces de Van de Waals en 1 / 7 ) jouent un ôle beaucoup plus impotant dans les liquides que dans les gaz. Aux pessions usuelles, la densité paticulaie des liquides est de l ode de fois celle des gaz. Le coefficient de compessibilité χ d un gaz est tès supéieu à celui d un liquide : dans la plupat des poblèmes, les liquides pouont ête considéés comme incompessibles. Selon la définition élémentaie, un liquide a «un volume pope, mais pas de fome pope», alos qu'un gaz n'a pas de «volume pope mais tend à occupe tout l'espace qui lui est offet». En éalité, la distinction ente liquide et gaz n'est pas toujous évidente : en effet, le passage de la phase gazeuse à la phase liquide peut se faie sans tansition (on pale alos de continuité de l'état fluide). Toutefois, dans les conditions nomales de pession et de tempéatue, la phase liquide et la phase gazeuse se difféencient tès nettement. Dans un liquide comme dans un gaz, les molécules sont animées de mouvements désodonnés. Cependant, dans un liquide, les molécules sont distantes les unes des autes d'une longueu coespondant envion à leu taille, alos que dans un gaz les distances ente molécules sont tès gandes pa appot à leu dimension. Les foces dites d'inteaction moléculaie jouent donc un ôle impotant dans l'état liquide alos qu'elles n'inteviennent que tès peu dans l'état gazeux. Le modèle de gaz pafait, qui suppose que les molécules n'inteagissent pas ente elles, end compte assez convenablement des popiétés de la plupat des gaz. Les liquides et les gaz se distinguent pa leu compessibilité. On appelle coefficient de compessibilité le appot de la diminution elative de volume à l'augmentation de pession, et ce à tempéatue constante. Ce paamète a donc la dimension de l'invese d'une pession. Les liquides ont des compessibilités tès faibles (celle de l'eau, à une tempéatue de 0 C, est de 4, ), qui vaient peu avec la pession et la tempéatue. Ainsi, un accoissement de pession de Pa se taduit pa une diminution de volume de l'eau égale à un dix millième du volume initial, soit, pou donne un ode d'idée, 0,1 cm 3 pou 1 L. Pou les gaz, le coefficient de compessibilité vaie plus : à une pession voisine de la pession atmosphéique nomale, la compessibilité de l'ai est fois plus gande que celle de l'eau. Admette qu'un fluide est incompessible evient à die que sa masse volumique est constante. Le plus souvent, les liquides sont considéés comme des fluides incompessibles. En evanche, l'étude d'un gaz demande de pende en compte sa compessibilité ; il existe cependant des conditions dans lesquelles un écoulement gazeux peut ête assimilé à un écoulement incompessible (losque la vitesse de l'écoulement est tès petite pa appot à celle du son). Gandeu moyenne locale, paticule fluide : Une paticule de fluide est un élément de volume de fluide de dimension mésoscopique (de l ode de 0,1 µm 3 ). Le vecteu vitesse de cette paticule est la moyenne statistique des vecteus vitesses des molécules qui la constituent. Le mouvement du fluide dans un éféentiel (R) est alos décit pa l ensemble des vecteus vitesses de ses paticules. 4

5 Du monde des paticules (à gauche) au monde fluide (à doite) 3 Containtes dans les fluides : Les diveses couches d'un fluide en mouvement ne peuvent pas glisse libement les unes su les autes : tout se passe comme si des fottements au sein du fluide s'opposaient aux mouvements elatifs des lignes de couant voisines. Cette ésistance au glissement ou à la défomation caactéise la viscosité d'un fluide ; elle est la popiété invese de la fluidité. Cette viscosité, dite dynamique, s'expime comme le quotient d'une masse pa une vitesse (l'unité est le poiseuille ); en ègle généale, elle dépend fotement de la tempéatue - celle des liquides diminue avec la tempéatue, alos que celle des gaz coît - et elle se évèle tès peu sensible à la pession. On mesue la viscosité dynamique d'un fluide, généalement liquide, à l'aide d'un viscosimète. Le pincipe consiste en une compaaison ente le temps mis pa le fluide pou s'écoule dans un tuyau vetical su une distance donnée et celui mis pa un fluide de éféence (l'eau pa exemple). Connaissant la densité des deux fluides, on en déduit la viscosité. On appelle fluide non visqueux, ou fluide pafait, un fluide dont l'écoulement se fait «sans fottements intenes» d'aucune sote. Le modèle du fluide pafait pemet de ende compte assez convenablement de la stuctue de cetaines égions d'écoulements éels ou de la modélise, mais jamais de la stuctue complète de ceux-ci. Une des caactéistiques pincipales de la mécanique des fluides appaaît ici : pou epésente des faits ou des obsevations, elle fait appel à des modèles, dont le degé de affinement est vaiable. En aison de l'extême complexité des phénomènes qu'elle tente de décie, elle ne peut se passe de tests expéimentaux (éalisation de maquettes testées dans un bassin et qui seviont à la conception des navies ; essais en souffleie pou la constuction aéonautique, etc...). Foces de viscosité : On étudie un cas simple où les plans paallèles à (Oxz) glissent les uns su les autes (voi figues). Ce cas est une bonne appoximation de la éalité losque les dimensions de l écoulement selon (Ox) et (Oz) sont gandes vis-à-vis de l épaisseu de la couche de fluide. On suppose que le vecteu vitesse peut s écie sous la fome (voi figue) : v = v( y, t) u x (y epésente la cote veticale) Comme div( v ) = 0, cet écoulement peut ête celui d un fluide incompessible. 5

6 Une plaque de suface S que l on taîne su une couche de liquide visqueux. La plaque se déplace à une vitesse constante et entaîne le liquide avec elle. La vitesse est ici une fonction coissante de y. La foce de cisaillement F execée pa S su S 1 s oppose à la défomation du système constitué pa S 1 et S. Considéons deux éléments de fluide S 1 et S, sépaés pa la suface Σ, d aie S et nomale à (Oy). La foce de cisaillement, execée pa S su S 1, est tangente à Σ. Dans le cas de la figue, la suface S va plus vite que la suface S 1 et va donc l entaîne avec elle. Cette foce est donc : Popotionnelle à l aie S de la suface Σ. De même sens que u x si v(y,t) est une fonction coissante de y v Si la foce de cisaillement est une fonction linéaie de la déivée, le fluide est dit newtonien y (voi les compléments su les fluides non newtoniens et la héologie). On se placea dans le cade de cette hypothèse dans la suite du cous. Conclusion : Pou un écoulement unidiectionnel, tel que v = v( y, t) u, la foce de suface tangentielle F, x appelée foce de cisaillement ou de viscosité, qui s exece à taves une suface d aie S nomale à u vaut (il s agit de la foce execée pa la couche supéieue su la couche inféieue) : y v F η = S u y La viscosité a pou effet, dans un écoulement unidiectionnel, d accélée les éléments lents et de feine les éléments apides. Il s agit donc d un tansfet intene de quantité de mouvement, qui pésente les caactéistiques d une diffusion de quantité de mouvement. x 6

7 Le coefficient η, appelé coefficient de viscosité du fluide, peut ête, avec une bonne appoximation, considéé comme une constante caactéistique du fluide à une tempéatue donnée. L unité pou le coefficient de viscosité est le poiseuille (symbole Pl, égal à 1 Pa.s). Quelques exemples (dans les conditions nomales) : Cops pu Eau Ai Glycéine Viscosité 1, Pl 1, Pl 1,4 Pl Equivalent volumique des foces de viscosité : On considèe un «pavé» de fluide de volume dxdydz. y + dy v( y dy, t) η + dxdz u y x v( y, t) η dxdz u y y On suppose que le champ des vitesses peut encoe s écie sous la fome : v = v( y, t) ux (écoulement incompessible, div( v ) = 0 ) x Pou un tel champ, les foces de viscosité sont potées pa l axe (Ox) et seules les faces y et y + dy sont concenées. On peut écie, en appliquant le pincipe de l action et de la éaction, la ésultante des foces de viscosité su le pavé de fluide : Soit : v( y + dy, t) v( y, t) df = df ( y + dy) + df ( y) = η dx dz u η dx dz u y y vis vis vis x x v( y, t) df v( y, t) df dx dy dz u soit f u y dτ y vis vis = η x vis = = η x Pou un champ des vitesses quelconque mais coespondant à un écoulement incompessible (donc div( v ) = 0 ), nous admettons que ce ésultat se généalise sous la fome : Remaque : v x dfvis fvis = = η v = η vy dτ v z * vis f est la densité volumique des foces de viscosité ; elle n est qu un équivalent mathématique ca ces foces ne s appliquent qu à la suface d un système. 7

8 * L expession de la densité volumique des foces de viscosité n est donc valable que pou un fluide incompessible. La possibilité de vaiation du volume d une paticule de fluide au cous de son mouvement, sous l effet du champ de pession ou de tempéatue, intoduit un teme uuuuu supplémentaie qui a pou expession ( η + η ') gad( div( v)), où η est la viscosité de volume (ou deuxième viscosité). Comme dans la suite du cous on n utilisea que des fluides pafaits (donc de viscosités nulles) ou des fluides visqueux incompessibles, ce coefficient η ne sea jamais pis en compte. Intepétation micoscopique de la viscosité, tansfet de quantité de mouvement : La foce de viscosité est nulle si le champ des vitesses est unifome et tend à homogénéise le champ des vitesses dans le cas contaie. La viscosité est un phénomène de tanspot diffusif de la quantité de mouvement hoizontale. Le tansfet diffusif de quantité de mouvement (qui elle est hoizontale) se fait selon u y. On note ρv = ρv( y, t) u x la densité volumique de quantité de mouvement, où ρ désigne la masse volumique du fluide que l on suppose constante. La foce de cisaillement (ou de viscosité) peut s écie : v η ( ρv) F = η S ux = S u y ρ y Cette foce désigne la foce subie pa la couche inféieue due à la couche supéieue. Ainsi, si ( ρv) v(y,t) est une fonction coissante de y, > 0 et la couche inféieue eçoit donc une quantité y dp de mouvement donnée pa la loi de Newton diff F =. dt Pa conséquent, dans un champ de vitesses inhomogène, les foces de viscosité poduisent un tansfet de quantité de mouvement des zones apides ves les zones lentes, qui tend à établi l homogénéité de la vitesse dans l écoulement. x Modèle micoscopique sommaie pou les gaz : 8

9 Desciption du modèle : Débit moléculaie : 9

10 Débit de quantité de mouvement : Viscosité d un gaz : 10

11 II) Champ des vitesses dans un fluide : 1 Desciption lagangienne, desciption euléienne : Desciption lagangienne : (Lagange, ) A un instant initial t 0, on découpe le fluide en paticules de fluides élémentaies centées su un ensemble de points couants M 0 et on suit le mouvement de ces paticules au cous du temps dans le éféentiel (R). A un instant t, on peut ainsi défini le vecteu vitesse v( M 0, t) de la paticule qui était en M 0 à l instant t 0. On définit natuellement la tajectoie d une paticule de fluide, lieu des positions successives de cette paticule au cous du temps. Dans ce point de vue, un obsevateu est lié à chaque paticule de fluide. Ce type de desciption est utile losqu on veut étudie les phénomènes d advection 1 de contaminants, comme des éléments adioactifs disséminés dans des écoulements et qui suivent les tajectoies des paticules de fluides. C est cette desciption qui est choisie taditionnellement en mécanique du point matéiel ou du solide pa exemple. Le pêcheu suivant des yeux les feuilles se place en fomalisme lagangien. En guise d illustation, un policie qui veut véifie qu une voitue paticulièe ne commet pas d excès de vitesse choisia de suive cette voitue et d en mesue la vitesse avec un ada embaqué. Si le policie est plutôt péoccupé pa le espect de la limitation de vitesse à un caefou dangeeux, il y posea son ada et contôlea la vitesse de toutes les voitues qui passeont à cet endoit : c est l appoche euléienne d un écoulement. De manièe plus pécise, le fluide est décit à chaque instant pa l ensemble des vitesses des paticules de fluide qui le composent ; on note R 0 leu position initiale (à l instant t = 0). La vitesse d une paticule est alos : dr( t) V ( t) = = V ( R0, t) dt où R ( t) = OM uuuu est le ayon vecteu de la paticule à l instant t. 1 Les tanspots d'un point à un aute se font soit pa advection soit pa diffusion. Imaginons des poissons dans une ivièe. Le mouvement généal de l'eau assue le tanspot advectif des poissons. Le mouvement des poissons pa appot à l'eau (pa exemple en se epéant su une feuille mote déivant dans le couant) est le tanspot diffusif. 11

12 Ces gandeus ne dépendent explicitement que du temps pou une paticule considéée ( R( t) est une fonction connue du temps). Ainsi, en fomalisme lagangien, la vitesse de chaque paticule ne dépend que du temps t (la tajectoie étant connue) et des coodonnées initiales de la paticule. Losque l on obseve les tajectoies des dives véhicules (ente t = t 1 et t = t ), on se place en fomalisme lagangien. Desciption euléienne : (Eule, ) Plutôt que de décie la vitesse d une paticule de fluide, ce qui founit des caactéistiques de l écoulement en fonction du temps mais jamais aux mêmes endoits (la position de la paticule ne cesse de vaie), la desciption euléienne consiste à étudie le mouvement du fluide à des endoits fixes. Il existe de nombeuses techniques expéimentales pemettant de mesue la vitesse d un fluide en une position donnée (comme le «fil chaud» qui pemet d obteni la vitesse du fluide en mesuant le efoidissement d un fil chauffé, ou l anémomète constitué d une hélice dont la vitesse de otation donne la vitesse du vent, ). Ainsi, on peut suive l évolution tempoelle de la vitesse en un point M fixe : on obtient la vitesse de la paticule de fluide qui se touve en M à l instant t de la mesue. Il s agit donc à chaque fois d une paticule difféente. Le pêcheu obseve comment s écoule le fluide autou du oche : il se place en fomalisme euléien. L ensemble des vecteus vitesse des paticules fome un champ de vecteus : v(, t) = v( M, t) = v( x, y, z, t) dépendant à la fois de l espace et du temps : les vaiables d espace (x,y,z) et le temps t sont des vaiables indépendantes. L appoche euléienne décit l état d un fluide en mouvement en lui associant des champs : champ des vitesses, champ de pession, champ de tempéatue, Le point de vue euléien est le point de vue implicitement adopté en électomagnétisme et en themodynamique su les phénomènes de diffusion. 1

13 La desciption euléienne est paticulièement adaptée dans le cas des écoulements stationnaies. Un écoulement stationnaie (ou écoulement en égime pemanent) est un écoulement pou lequel la vitesse en tout point M est indépendante du temps : v ( M ) = 0 t Dans un écoulement stationnaie, la vitesse est constante en tout point fixe mais la vitesse des paticules de fluide vaie, sauf exception, avec le temps. Ainsi, un écoulement stationnaie euléien n est pas un écoulement stationnaie lagangien. Les deux gendames obsevant les vitesses des véhicules se sont placés en fomalisme euléien pou décie l écoulement du tafic. A la même date t, ils n obsevent pas les mêmes véhicules. Le caactèe stationnaie d un écoulement dépend du éféentiel choisi. Penons le cas du sillage d un canad à la suface d une ivièe : ce sillage, qui donne l impession de suive le canad est stationnaie dans le éféentiel lié au canad mais n est pas stationnaie dans le éféentiel lié à la bege. Champ de vitesse, lignes de couant et tajectoies : La cate du champ des vitesses donne une epésentation gaphique d un écoulement. Cette cate est le tacé du vecteu vitesse v( M, t) en tout point M à un instant donné t. A tite d exemple, on considèe l écoulement stationnaie autou d un cylinde fixe, de ayon R, infini dans la diection (Oz) pependiculaie au plan de la feuille, d un fluide pafait (viscosité nulle) ayant une vitesse unifome v 0 = v0 u loin du cylinde. Le calcul du vecteu vitesse (, ) x v x y = v u + v u conduit à x x y y (voi paagaphe 6) : ( y x ) R xyr vx = 1 + v ; v v ( x y ) = + ( x + y ) 0 y 0 Une epésentation de l écoulement souvent utilisée est celle des lignes de couants : ces lignes sont les coubes tangentes au vecteu vitesse v( M, t) en chacun de leus points M, à l instant considéé. L équation d une ligne de couant (compaable à une ligne de champ en électostatique) s obtient en écivant que tout vecteu déplacement élémentaie d le long de la ligne est colinéaie au vecteu vitesse v( M, t), soit v( M, t) d = 0. 13

14 Cylinde fixe : champ des vitesses (à gauche) et lignes de couants (à doite), confondues avec les tajectoies des paticules de fluide. Dans le cade de la desciption lagangienne, on obtient diectement les tajectoies des paticules de fluide ; expéimentalement, on obtient ces tajectoies en suivant le déplacement de taceus. Ligne de couant Tajectoie M 0 v( M, t = t ) 0 0 Ligne de couant à l instant t 0 et tajectoie passant pa le point M 0 à l instant t 0. Mathématiquement, une tajectoie s obtient pa l intégation (avec des CI : M 0 et t 0 ) de l équation : d = V ( R 0, t) dt On peut emaque que cette équation implique d V ( R 0, t) = 0. En généal, les tajectoies et les lignes de couant ne sont pas confondues. Dans le cas des écoulements stationnaies : V ( R, t) = V ( R( t)) = v( ) = v( M ) 0 et cette elation donne également la fome des lignes de couant. En conclusion : tajectoies et lignes de couant sont identiques pou les écoulements stationnaies (c est le cas dans la figue pécédente). Compléments : * Lignes de couant : 14

15 * Tube de champ : 15

16 3 Déivée paticulaie du champ des vitesses : Imagine un petit bonhomme su une paticule fluide (toujous la même) : les vaiations des gandeus qu il mesue (vitesse, pession, masse volumique, ) sont des vaiations paticulaies, c est-à-die des vaiations de gandeus liées à la même paticule qui se déplace au cous du temps. ( M + dm, t + dt) ( M, t ) d = v( M, t) dt On compend intuitivement que, pou étudie le mouvement d une paticule de fluide soumise à difféentes foces, il va falloi détemine son accéléation. Mais comment calcule l accéléation d une paticule de fluide en fomalisme euléien? La difféentielle de la vitesse d une paticule de fluide (toujous la même) vaut : v v v v dv = dt + dx + dy + dz t x y z Pendant l intevalle de temps dt, la paticule de fluide s est déplacée de : d = v dt D où : v v v v dv = dt + vxdt + vydt + vzdt t x y z Et l accéléation de la paticule de fluide devient : 16

17 Soit encoe : dv v v v v a = = + vx + vy + vz dt t x y z dv v uuuuu a = = + ( v. gad) v dt t En toute igueu, v dans le membe de gauche désigne la vitesse de la paticule fluide (et d / dt est appelée déivée paticulaie, encoe notée D / Dt ) alos que dans les autes temes, v désigne uuuuu le champ des vitesses dans tout le fluide. Enfin, le teme ( v. gad) v pemet de ende compte que, même dans un écoulement stationnaie (dans le sens euléien du teme), aux vaiations spatiales de la vitesse coespondent des accéléations pou les paticules. Généalisation : La déivée paticulaie» d une gandeu vectoielle G est donnée pa : dg G uuuuu = + ( v. gad ) G dt t Cette déivée paticulaie se décompose en deux temes : uuuuu * ( v. gad) G : la déivée convective, qui indique un caactèe non unifome de G. G * : la déivée locale, qui indique un caactèe non pemanent de G. t Remaque : On peut monte que (se place en coodonnées catésiennes) : 17

18 uuuuu uuuuu v uuu ( v. gad) v = gad + ot( v) v Exemple d un solide en otation : On considèe un solide en otation autou d un axe fixe (Oz). Tout point M lié au solide possède un vecteu vitesse de la fome : v = ωu θ où ω est la vitesse angulaie de otation autou de l axe (Oz) et la distance du point M à l axe de uuu otation. On calcule ot( v) en utilisant un fomulaie d analyse vectoielle : uuuu 1 d ot( v) = ( ) uz uz d ω = ω = ω Remaque : pou un champ vectoiel de la fome f ( ) u θ : uuu 1 d ot [ f ( ) uθ ] = ( f ( ) ) u d Le otationnel de la vitesse en un point du solide enseigne donc su la otation de ce point autou de l axe de otation (Oz). Le toubillon, pafois appelé voticité (du latin votex), est une fomulation mathématique de la dynamique des fluides eliée à la quantité de vitesse angulaie ou de otation que subit un fluide localement. Une façon simple de visualise le toubillon est de considée un fluide en mouvement dans lequel on délimite un petit volume igide. Si cette pacelle toune pa appot à un éféentiel au lieu de tanslate, elle toubillonne. On définit alos, pou un fluide, le vecteu toubillon pa : Ω = 1 ( ) ot uuu v Ce vecteu epésente le vecteu otation (locale) d une paticule de fluide. Localement, le champ des vitesses d un fluide enseigne su l existence de toubillons dans ce fluide pa l intemédiaie de son otationnel. z Tanslation simple à gauche, otation à doite menant à du toubillon Un écoulement est dit non toubillonnaie (ou iotationnel) si le vecteu toubillon est nul en tout point. Dans le cas contaie, l écoulement est dit toubillonnaie. k Il ne faut pas confonde tubulences et toubillons : un champ des vitesses de la fome v = u θ est toubillonnaie (comme on peut le véifie en coodonnées cylindiques), mais il ne s agit pas d une tubulence. 18

19 On peut calcule le vecteu toubillon : 1uuu k 1 1 d k k 1 Ω = ot u u u θ z 3 = = d La fonction mathématique qui décit ce champ des vitesses est «simple». En patique, les tubulences sont constituées de toubillons de taille et de fome vaiables, qui se font et se défont constamment. z Stuctue toubillonnaie (exemple de la tonade) : Cette stuctue coespond à une situation bidimensionnelle où le fluide toune autou de l axe des z avec une vitesse othoadiale v = v(, θ ) u. On suppose le fluide incompessible. Alos : θ 1 v(, θ ) div( v) = = 0 θ On peut calcule le vecteu toubillon : (donc v() ne dépend que de uniquement et pas de θ) 1uuu 1 1 d Ω = ot( v) = [ v( ) ] uz d Une telle stuctue de champ des vitesses coespond donc à un vecteu toubillon Ω = Ωuz. On pouvait s y attende en faisant l analogie avec un solide en otation autou de l axe (Oz), ou encoe pa analogie avec le champ magnétique céé pa un couant électique à section ciculaie de longueu infinie. En effet, le champ des vitesses d un fluide (incompessible) véifie les équations locales : uuu div( v) = 0 et ot( v) = Ω Un champ magnétique pemanent véifie les équations de Maxwell : uuu divb = 0 et otb = µ j La souce du champ magnétique est le vecteu j, celle de v le double du vecteu toubillon, Ω. Ainsi, si deux poblèmes, l un de magnétostatique, l aute d écoulement incompessible, pésentent les mêmes syméties, les mêmes conditions aux limites et les mêmes épatitions de souces, alos les solutions (c est-à-die les expessions du champ B et de la vitesse v ) seont fomellement identiques. On considèe le cas idéal où : Alos, pou 0 < < a : 1 1 d d ω0 pou 0 < < a ω = 0 pou > a C v = soit v = + [ ( )] ω0 ( ) ω0 La constante C = 0 sinon la vitesse seait infinie en = 0 : v( ) = ω

20 Pou > a : 1 1 d cste ω0a [ v( ) ] = 0 soit v( ) = = d On a utilisé la continuité de la vitesse en = a pou détemine la constante d intégation. Champ des vitesses d une tonade. Remaques : Le théoème de Stockes donne : v. dl = uuu ot( v). nds = Ω. nds ( C ) ( S ) ( S ) On obtient l équivalent du théoème d Ampèe en magnétostatique. En penant comme contou un cecle et comme suface celle de ce cecle, on obtient : * Pou < a : * Pou > a : On etouve les ésultats pécédents. πv( ) = ω π soit v( ) = ω 0 0 ω0a π v( ) = ω0π a soit v( ) = Cas d un toubillon «ponctuel» ou «votex» : La ciculation de la vitesse su une ligne de couant extéieue à l œil de la tonade est C = π a ω. C est donc une constante qui caactéise la tonade au même tite que la donnée de 0 la vitesse angulaie ω 0. Le toubillon est dit ponctuel (et nommé votex) si a 0 tout en maintenant C constante (finalement, ω0 ). Le champ des vitesses d un votex s écit : 0

21 v( ) = u π θ C (avec 0 ) Au cas limite du votex coespond, en magnétostatique, le cas d un fil infini pacouu pa le µ 0I couant d intensité I = π a j, pou lequel le champ magnétique vaut B( ) = u. π θ 4 Equation locale de consevation de la masse et conséquences : a) Débit volumique, débit massique : On appelle débit volumique D v à taves une suface (S) oientée, le volume de fluide qui tavese (S) pa unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteu nomal à la suface et négativement dans le cas contaie. Ce débit vaut : D v = ( S ) v. n ds Le débit massique D m coespond à la masse de fluide qui tavese (S) pa unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteu nomal à la suface et négativement dans le cas contaie : D v. n ds = µ = j. n ds m ( S ) ( S ) avec j = µ v (vecteu densité de couant ou vecteu densité de flux de masse de l écoulement). Si le fluide est incompessible et homogène, donc si la masse volumique est constante et indépendante du point, alos : D m = µ D On peut emaque que ces débits sont les équivalents de l intensité électique, du flux themique et du débit de paticules (vu en diffusion). v b) Equation locale de consevation de la masse : On considèe un volume V délimité pa une suface femée S (fixe dans le éféentiel d étude). n j ds µ Volume V Soit µ la masse volumique du fluide. La masse totale M(t) compise dans le volume à l instant t vaut : M ( t) µ dτ = ( V ) La consevation de la masse pemet d écie : d dt ( M t d V ) µ (, ) τ = j. n ds ( ) ( S ) 1

22 Le volume (V) étant fixe : d dt ( ( M, t) d V ) µ ( M, t) µ τ = dτ t ( ) ( V ) Finalement, le pincipe de consevation de la masse conduit à En utilisant le théoème de Geen-Ostogadsky : µ ( M, t) dτ = t ( V ) ( V ) divj dτ soit ( V ) µ ( M, t) dτ = t ( V ) ( S ) µ ( M, t) + divj dτ = 0 t j. n ds Ce ésultat étant vai pou tout volume (V), il vient : µ ( M, t) + divj = 0 t C est l équation locale de consevation de la masse. Conséquences pou les écoulements stationnaies : le flux de j est consevatif ( divj = 0 ). Il en ésulte que : * Le débit massique sotant d une suface femée est nul * Le débit massique à taves toute section d un tube de couant est le même à un instant donné. 5 Intepétation de la divegence de la vitesse, cas paticulies des écoulements incompessibles : On peut écie l équation locale de consevation de la masse sous la fome : µ µ uuuuu + div( µ v) = + µ div( v) + v. gadµ = 0 t t Soit, en faisant appaaîte la déivée paticulaie de la masse volumique : Dµ 1 Dµ µ div( v) + = 0 soit div( v) = Dt µ Dt Soit une paticule de fluide située au point M à l instant t et m sa masse. Soient V(t) et V(t + dt) son volume aux instants t et t + dt. Alos, avec µ = m / V : 1 Dµ V D m 1 DV V ( t + dt) V ( t) div( v) = = = = µ Dt m Dt V V Dt V ( t) dt On voit ainsi l intepétation de ( ) div v : c est une mesue en chaque point du taux d accoissement elatif du volume de la paticule de fluide au cous du temps.

23 Dµ Pou un écoulement incompessible, = 0 et ainsi div( v ) = 0. On en déduit que le débit Dt volumique se conseve dans un tube de champ et donc concètement dans une canalisation. En paticulie, si la vitesse est constante su une section de la canalisation : v S = v S 1 1 Ainsi, losque les lignes de champ d un écoulement se esseent, la nome du vecteu vitesse augmente. 6 Ecoulements non toubillonnaies, potentiel des vitesses : Un écoulement non toubillonnaie est tel qu en tout point de l espace : uuu ot( v ) = 0 On peut alos défini (à une constante pès) un potentiel des vitesses, noté Φ, pa : uuuuu v = gadφ Si l écoulement est de plus incompessible : uuuuu div( v) = 0 donc div( gadφ ) = Φ = 0 Le potentiel des vitesses véifie l équation de Laplace (vue en électostatique pou le potentiel électique), Φ = 0. * Analogie électostatique : 3

24 Exemple d une souce et d un puits bidimensionnels : Champ des vitesses d une souce bidimensionnelle. (figues) 4

25 Ce flux epésente un débit volumique pa unité de longueu de l axe (Oz), noté D v1 et joue * Constuction d un écoulement pa supeposition : Pincipe de supeposition : Dipôle hydodynamique : On considèe l association d une souce bidimensionnelle (débit D v1 ) et d un puits également bidimensionnel (de débit opposé - D v1 ), situés à poximité l un de l aute. 5

26 (à doite) de la figue 6

27 Conclusion : Un dipôle hydodynamique est constitué pa la supeposition d un puits (- D v1 ) et d une souce (+ D v1 ) bidimensionnels tès poches (distance d) l un de l aute vis-à-vis des distances d obsevation. Le potentiel du champ des vitesses est donné dans un système de coodonnées cylindiques pa : 7

28 Dv1d cosθ Φ = π 7 Exemple ; écoulement autou d une aile d avion : On considèe une aile d avion cylindique d axe hoizontal (Oz) et de ayon R, en mouvement ectiligne unifome à vitesse U u dans le éféentiel teeste (R 0 ). x Loin de l aile, l ai est au epos et la pession est constante (notée P ). Il est commode pou expime les conditions aux limites su l aile de taite le poblème dans le éféentiel (R) lié à l avion, où l on note v le champ euléien des vitesses. (Ecoulement d ai autou d une aile d avion.) Loin de l aile, la loi de composition des vitesses donne : v( ) = v ( ) v = 0 U u = U u y 0 e x x O θ M x Aile d avion v( ) = U u x Hypothèses : L écoulement est stationnaie. L écoulement est incompessible ; ce choix est convenable bien que l ai soit un fluide compessible si l on suppose que l avion est subsonique (Voi paagaphe III-3). 8

29 L écoulement est iotationnel. L écoulement est plan et invaiant pa tanslation le long de l axe de l aile (on néglige les effets de bods) et on écit v ( M ) = v (, θ ) u + v (, θ ) u. θ θ Recheche du champ des vitesses : uuu L écoulement étant iotationnel ( ot v = 0 ), il existe un potentiel des vitesses Φ tel que : uuuuu v = gad Φ L écoulement étant incompessible, div v = 0, soit Φ = 0 : le potentiel des vitesses véifie l équation de Laplace. Etant donné l invaiance pa tanslation selon (Oz), le potentiel des vitesses est de la fome Φ (, θ ). La solution généale de l équation de Laplace est dans ce cas : 0 0 n n n n n n n n n= 1 n= 1 Φ (, θ ) = α ln + β + ( α + β ) cos( nθ ) + ( γ + δ ) sin( nθ ) où les αn, βn, γ n et δ n sont des constantes quelconques. On econnaît dans cette expession un développement en séie de Fouie du potentiel des vitesses à fixé. Le poblème étant symétique pa appot au plan médiateu de l aile y = 0, ce développement est pai en θ et les temes en sinus sont nuls : A l infini : Soit Ainsi : Φ = U cosθ. On en déduit : n n Φ (, θ ) = α ln + β + ( α + β ) cos( nθ ) 0 0 n= 1 uuuuu uuuuu v = U u = gad( Ux) = gad( U cos θ ) 1 0 x α = U ; β = 0 ; α = 0 ( pou tout n 1) Φ (, θ ) = U cos θ + ( β n n ) cos( nθ ) Su l aile, la coodonnée nomale (la vitesse adiale) de la vitesse doit s annule : O : n n= 1 Φ v ( R, θ ) = = 0 n ( R, θ ) n Pa conséquent : Φ = U + n n n 1 cos θ ( βn ) cos( θ ) n= 1 β1 U + n R n = R cosθ βn n 1 cos( θ ) 0 n= 9

30 D où : Finalement : 1 = UR et n = 0 β β > R Φ (, θ ) = U + cosθ On en déduit les coodonnées du champ des vitesses : Φ R v = = U 1 cos θ 1 Φ R vθ = = U 1+ sinθ θ Ecoulement autou d'un cylinde. La fin de l'animation monte la désintégation du toubillon (votex) symétique. Ce type d'écoulement peut s'obseve quand on touille une tasse de café. Remaque : Au paagaphe (II-), on a donné les coodonnées catésiennes de la vitesse : 30

31 ( y x ) R xyr vx = 1 + v ; v v ( x y ) = + ( x + y ) 0 y 0 On peut etouve ces coodonnées à pati des coodonnées de la vitesse en polaies. En effet, pou la coodonnée selon l axe (Ox) : Soit : R R vx = v cosθ vθ sinθ = U 1 cos θ U 1 sin θ + Finalement, avec v0 R R x y vx = U + U ( cos θ sin θ ) = U + U = U et = x + y : On obtiendait de même l expession de v y. v x ( y x ) R = 1 + ( x + y ) v 0 III) Equations dynamiques locales des fluides pafaits : 1 Foces volumiques, foces massiques : Dans l hypothèse du fluide pafait, on néglige les foces de viscosité. Un élément de fluide de volume dτ et de masse dm est soumis à des foces de epésentation massique ou volumique selon l expession : df = f dm = f dτ ( avec : f = µ f ) Exemples : Foces de pesanteu : Foces de pession : m v v m f = g ; f = µ g m uuuuu uuuuu 1 uuuuu df = gadp dτ ; fv = gadp ; fm = gadp µ v Comment démonte le pincipe d Achimède? (cf figue) 31

32 (figue B) 3

33 (Figue A) Une couonne en o ou en métal quelconque? Pouquoi un bateau flotte et existence du mouvement pepétuel? La condition pou qu'un bateau puisse flotte est elativement simple : il faut que son poids total soit inféieu au poids d'un volume d'eau égal à son volume immegeable (à peu pès le volume de sa coque). Une chose moins simple est de s'assue que le bateau ne chaviea pas : on a vu un galion nommé Vasa se etoune dans le pot de Stockholm le jou de son baptême! 33

34 A : pouquoi un bateau flotte? B : le mouvement pepétuel? Un bateau qui flotte ( F A + mg = 0 ) est stable quand une otation d'un angle α (angle de oulis) engende un couple qui s'oppose à cette otation. Los de cette otation, qui s'effectue à volume immegé constant, le couple céé est égal au moment de F A pa appot au cente de gavité G uuuu du bateau, GG ' FA, où G'(α) est l'isobaycente du volume immegé. Mais le sens de ce moment est complexe à détemine ca le point d'application G'(α) n'est pas un point fixe du bateau. Toutefois, chaque point de la doite veticale D(α) contenant G'(α) épond à la définition de point d'application pou F A. Pou des angles α pas top gands, les doites D(α) définies dans le epèe lié au bateau se coupent toutes en un même point C. Tout se passe donc comme si la poussée d'achimède s'appliquait au point C, appelé cente de poussée ou métacente, fixe pa appot au bateau. Ce cente de poussée (une fois déteminé pa des calculs en généal complexes) pemet de qualifie facilement la stabilité. Le bateau est stable losque son cente de poussée C est au-dessus du cente de gavité du bateau G (le moment des foces tend à amene le bateau ves sa position α = 0) et la stabilité est d'autant meilleue (fote intensité du couple s'opposant au oulis) que C est haut pa appot à G. En patique, on augmente la stabilité des bateaux en abaissant leu cente de gavité G, que ce soit en lestant leu quille ou en plaçant les chagements louds en fond de cale. «Les limites à Achimède» : On a epésenté (figue B) en coupe un cylinde homogène susceptible de toune autou de son axe et à moitié immegé dans une cuve d'eau (des joints ente la paoi de la cuve et le cylinde assuent l'étanchéité sans gêne une otation éventuelle). Si on cheche à applique le théoème d'achimède, il est clai que le cylinde ayant une moitié dans l'eau et une moitié dans l'ai (de densité négligeable), le cente de gavité G' «des fluides déplacés» se touve dans la patie immegée dans l'eau. La poussée d'achimède exece donc un couple non nul pa appot à. Comme le poids s'exece au cente de gavité G appatenant à, son moment pa appot à, ainsi que celui de la éaction de l'axe, est nul et le moment de la poussée d'achimède n'est donc pas compensé : le cylinde toune. On en déduit alos, avec sans doute une cetaine excitation, que l'on a enfin inventé le mouvement pepétuel! Cette conclusion, démentie hélas pa l'expéience, est également démentie pa un aisonnement su les foces élémentaies de pession qui s'appliquent su le cylinde : chacune de ces foces nomales à la suface est concouante ou paallèle à (espectivement pou les foces s'appliquant su la suface cylindique et su les deux 34

35 sections femant le cylinde), elles ont donc toutes un moment nul pa appot à, et le cylinde ne doit donc pas toune! Ce paadoxe (appaent) célèbe appelle que le théoème d'achimède n'est applicable que losque l'objet immegé peut ête emplacé, sans petube les fluides entouant l'objet, pa des fluides qui seaient à l'équilibe mécanique. O, il est clai ici que cette condition ne peut ête emplie : dans le cas envisagé, l'inteface ente l'eau et l'ai n'est pas hoizontale! En conclusion, homis le cas tivial d'un objet complètement immegé dans un seul fluide connexe, il sea toujous pudent, avant de faie appel à Achimède, de véifie que l'on peut effectivement emplace l'objet pa des fluides en équilibe! Equation d Eule, applications : Dans un éféentiel galiléen (R), la elation fondamentale de la dynamique appliquée à une paticule de fluide de masse dm dont on suit le mouvement et soumise aux foces df s écit : Dv dm df Dt = O : Dv v uuuuu v uuuuu v uuu = + ( v. gad) v = + gad + ot( v) v Dt t t uuuuu df = gadp dτ + f dτ v dm = µ dτ D où l équation d Eule : Ou encoe : µ v + ( v. gad) v gadp fv t µ uuuuu uuuuu = + v uuuuu v uuu uuuuu µ + µ gad + µ ot( v) v = gadp + fv t Applications : Exemple des écoulements géostophiques : On considèe un point O de latitude λ à la suface de la Tee et un epèe (Oxyz) du éféentiel teeste (R). Le éféentiel teeste est en otation avec un vecteu Ω = ΩuSN diigé pa l axe Sud Nod pa appot au éféentiel géocentique galiléen. Il appaaît donc dans le éféentiel teeste des foces de Coiolis et des foces d inetie d entaînement. Rappelons que pa définition du poids, les foces d inetie d entaînement sont incluses dans le poids que nous supposeons décit pa un champ de pesanteu g = guz localement unifome. On va cheche un citèe pou pouvoi néglige tous les temes contenant la vitesse dans l équation d Eule sauf celui dû aux foces de Coiolis. Pou cela on se donne une vitesse caactéistique v, une échelle spatiale caactéistique L et une duée caactéistique d évolution τ pou le champ des vitesses de telle sote que : 35

36 uuuuu µ ( v. gad) v µ v( v / L) v µ Ω v µ Ωv LΩ v µ t µ Ω v µ ( v / τ ) 1 µ Ωv τω Ω y O λ z 1 Ainsi, pou des vents tels que v 0,1 m. s évoluant su une duée τ supéieue à dix jous su des échelles spatiales de l ode d au moins cinquante kilomètes, on a, avec uuuuu v µ ( v. gad) v µ t < 3.10 et < 10 µ Ω v µ Ω v Ω = 7.10 ad. s : Ceci pemet de néglige l accéléation et d écie l équation d Eule sous la fome simplifiée : uuuuu gadp + µ g µ Ω v = 0 Cas des vents hoizontaux : On suppose désomais que le mouvement vetical est négligeable. Le teme de Coiolis s écit alos : 0 µ Ωsin λvy dfic = µ Ωcos λ µ sin λvx dτ Ω Ωsin λ µ cos λv Ω x La composante veticale de la foce de Coiolis est négligeable devant le poids, de telle sote que l équation d Eule pojetée su la veticale conduit seulement à la elation de la statique des fluides, P / z = µ g. En définitive, en notant Ω // = Ω zuz = Ωsin λuz, l équation d Eule dans le plan hoizontal s écit vectoiellement : uuuuu gadp = µ Ω v // 36

37 Allue des lignes de couants : uuuu Pou compae les lignes de couant définies pa d( OM ) v = 0 uuuuu uuuu dp = gadp. d( OM ) = 0 et les isobaes définies pa : On pend le poduit scalaie de l équation pécédente pa d( OM uuuu ) : uuuu uuuuu uuuu uuuu uuuu dp = d( OM ). gad p = µ ( Ω// v). d( OM ) = µ ( Ω //, v, OM ) = µ Ωsin λuz.( d( OM ) v) uuuu Ainsi le long d une isobae on a dp = 0 et donc le vecteu d( OM ) v qui est paallèle à u z doit ête nul afin d avoi une ligne de couant. On monte donc que les isobaes sont aussi lignes de couant. P 3 P P 1 A Sens de otation des vents autou d un anticyclone (P 3 < P < P 1 ) dans l hémisphèe Nod. En oute, au voisinage d un anticyclone (A) dans l hémisphèe Nod (sinλ > 0), on dp < 0 uuuu losqu on s éloigne du cente et la elation ci dessus impose que le tiède ( uz, d( OM ), v) soit indiect : donc le vent toune dans le sens des aiguilles d une monte autou d un anticyclone dans l hémisphèe Nod. Le sens de otation est invesé pou une dépession dans l hémisphèe Nod ca alos dp > 0. Enfin les sens de otation sont invesés dans l hémisphèe Sud ca alos sinλ < 0. Oscillations d un fluide dans un tube en U : On souhaite étudie les oscillations d'un fluide incompessible dans un tube en U de faible section en intégant l équation d Eule le long d une ligne de couant. On suppose que les sufaces libes estent dans les paties ectilignes et veticales du tube. Solution : La cote de la suface libe du fluide dans la banche doite du tube est notée z. Soit s l abscisse cuviligne d un point M du fluide. La vitesse s écit v( M, t) = z& ( t) T, où T est le vecteu unitaie tangent à la ligne de couant (voi figue). 37

38 L intégale de l équation d Eule s écit : B A B v( M, t) v ( M, t) 1 Buuuuu. dl + epm ( M, t) + + gadp( M, t). d = 0 t ρ l A Soit : Lz && + gz = 0 L D où un mouvement oscillant sinusoïdal de péiode T = π. g La méthode de ésolution utilisée ici se généalise et conduit au théoème de Benoulli. A 3 Relations de Benoulli, applications : On suppose dans la suite que la seule foce volumique (aute que les foces de pession) est le poids. Cas d un écoulement pafait, stationnaie, iotationnel, incompessible et homogène : L équation d Eule devient : En notant : Alos : D où : uuuuu v uuuuu µ gad = gadp + µ g µ g = µ uuuuu gad( gz) (l axe (Oz) est oienté ves le haut) uuuuu v uuuuu uuuuu µ gad = gadp µ gad( gz) 38

39 uuuuu v gad µ + µ gz + P = 0 Un champ scalaie dont le gadient est nul est indépendant du point M ; c est une fonction du temps uniquement f(t). Comme l écoulement est stationnaie, cette fonction est constante : 1 µ v + µ gz + P = C (Théoème de Benoulli) Ainsi, le théoème de Benoulli affime que la quantité égale à une même constante. 1 µ v + µ gz + P este en tout point Remaque : Dans le CP où v = 0, on etouve la elation fondamentale de l hydostatique des fluides 1 ( µ gz + P = C ). On emaque que µ v et µ gz désignent les énegies volumiques cinétique et potentielle (de pesanteu), homogènes à une pession. Cas d un écoulement pafait, stationnaie, incompessible et homogène : On enonce à l hypothèse «écoulement iotationnel». Alos : uuu uuuuu v µ ( ot v v) = gad µ + µ gz + P z z B B Ligne de couant O z A Afin d élimine le teme en otationnel, on multiplie scalaiement pa d et on intège le long d une ligne de couant ente deux points A et B : B uuu B uuuuu v µ ( ot v v). d = gad µ + µ gz + P. d A A En tout point, d uuu est paallèle au champ des vitesses : le teme ( ot v v). d est donc nul. Ainsi : Soit : B A uuuuu v gad µ + µ gz + P. d = µ v + µ gz + P = µ v + µ gz + P A A A B B B A 39

40 Ainsi, l abandon de l hypothèse «écoulement iotationnel» esteint le théoème de Benoulli aux points A et B d une même ligne de couant. Cas d un écoulement pafait, non stationnaie, iotationnel, incompessible et homogène : L équation d Eule devient : v uuuuu v uuuuu uuuuu µ + µ gad = gadp µ gad( gz) t Soit : v 1 µ uuuuu = gad µ v + P + µ gz t uuu uuuuu Comme ot v = 0, on peut défini un potentiel des vitesses tel que v = gad Φ. Alos, avec : v uuuuu uuuuu ( gad ) gad Φ = Φ = t t t Il vient : uuuuu Φ 1 gad µ + µ v + P + µ gz = 0 t Soit une généalisation du théoème de Benoulli dans le cas non stationnaie : Φ 1 µ + µ + + µ = t ( ) v P gz f t (fonction du temps uniquement) Intepétation énegétique du théoème de Benoulli : On se place dans le cas d un écoulement pafait, stationnaie, iotationnel, incompessible et homogène. Alos : 1 µ + µ + = v gz P C En multipliant pa le volume dτ d une paticule de fluide : On econnaît : 1 µ τ + µ τ + τ = d v d gz P d Cste µ dτ gz : énegie potentielle de pesanteu de la paticule de fluide. 1 µ dτ v : énegie cinétique de la paticule de fluide. P dτ : énegie potentielle associée aux foces de pession. Le théoème de Benoulli, plus généal que la simple consevation de l énegie mécanique d un point matéiel dans un milieu non continu, est un cas paticulie du 1 e pincipe : 40

41 d( U + E + E ) = P dτ + δq c, maco p, maco Avec du = δq = 0 : les hypothèses implicites de l application du théoème de Benoulli sont les aspects isothemes et adiabatiques de l évolution. En effet, pou un fluide pafait, l énegie intene ne dépend que de la tempéatue. Pa ailleus, l aspect adiabatique de la tansfomation ne pose pas de poblème paticulie ; en l absence de tansfet themique en povenance de l extéieu du fluide, il n y a pas de poduction de chaleu au sein même d un fluide non visqueux. Applications : Ecoulement pemanent et lent d un fluide compessible : Peut-on applique le théoème de Benoulli sous sa fome la plus simple à un fluide compessible comme l ai? On appelle la définition du coefficient de compessibilité : 1 V 1 dv χt = = ( à T = cste) V P V dp m Il peut encoe s écie en fonction de la masse volumique : µ = V T 1 dµ χt = µ dp On suppose qu il est possible de néglige les vaiations de µ pou un écoulement pemanent où la vitesse vaie ente 0 et v max. D apès le théoème de Benoulli (en l absence de vaiation de la cote z), la pession vaieait ente P min et P max avec : v Pmax = Pmin + P = P min + µ Une telle vaiation de pession est compatible avec l hypothèse si la vaiation de µ qui lui est liée est faible en valeu elative, soit si : max vmax µ χ T µ P = χ T µ << µ soit vmax << χ µ 1 O, c = coespond à l ode de gandeu de la vitesse du son dans le fluide, pa µχ conséquent, en ode de gandeu : vmax << c Il est donc possible d applique la elation de Benoulli la plus simple (écoulement pafait stationnaie, homogène et iationnel) : 1 µ + µ + = v gz P C à un fluide compessible, dans la mesue où la vitesse d écoulement este tès inféieue à la vitesse de popagation du son dans ce fluide. T 41

42 Jet homocinétique à l ai libe : On considèe l écoulement stationnaie d un fluide incompessible sous fome : * d un jet libe, c est-à-die sans aucun contact avec une suface igide ou un aute fluide ; * de vitesse constante v = v u. x Ce jet est dit homocinétique. v = vu x Jet homocinétique On suppose que les seules foces intevenant sont les foces de pession ; la elation de Benoulli s écit, dans tout le jet : 4

43 1 µ + = v P cste La vitesse étant la même en tout point du jet, il en est de même de la pession. Aux bods du jet, au contact de l atmosphèe, la pession vaut P 0. C est donc la pession en tout point du jet. Dans un jet homocinétique à l ai libe, la pession est unifome et égale à celle existant dans le milieu extéieu. On admetta ce ésultat pou tout jet à l ai libe. Le phénomène de Ventui : Un écoulement stationnaie homogène incompessible et soumis aux seules foces de pession, est limité pa une conduite de section vaiable. Le poblème est unidimensionnel : toutes les gandeus ont une valeu unifome su une section doite de la conduite. La consevation du débit volumique D v ente les deux sections d aies S A et S B donne : v S = v S soit va < vb A A B B L application du théoème de Benoulli ente deux points A et B situés su une même hoizontale donne : 1 1 µ v + P = µ v + P A A B B On en déduit que PA > PB : les égions de faible section, donc de gande vitesse, sont aussi des égions de basse pession (effet Ventui). Dans les tubes veticaux, le fluide est immobile et les hauteus de liquide mesuent les pessions P A et P B : On en déduit la difféence de pession : P = P + µ gh et P = P + µ gh A atm A B atm B P P = µ g( h h ) A B A B On peut ensuite en déduie le débit volumique dans la conduite, en calculant péalablement v A : D où : S A va vb = va va = ( PB PA ) = g ( ha hb ) S B µ 43

44 Et le débit volumique D v vaut : S v g ( h h ) = B A A B SA S B S D S v S g ( h h ) = = B v A A A A B S A S B Le tube de Ventui peut ainsi sevi de débitmète. Remaque : l effet Ventui este bien véifié pa un gaz compessible comme l ai, tant que sa vitesse este inféieue à la vitesse de popagation du son. Aute conséquence de l effet Ventui (balle de ping-pong dans un flux d ai) : Dans le cas où la balle est tout pès de l entonnoi, la vitesse de l ai au voisinage des points poches (B et C su la figue) est supéieue à la vitesse au sommet de la balle (pa exemple, au point A). Pa le théoème de Benoulli, la pession en B et en C est inféieue à la pession en A. La ésultante des foces de pession sea diigée ves le bas et aua donc tendance à «plaque» la balle conte l entonnoi. Cas où la balle est loin de l entonnoi : la vitesse de l écoulement est plus élevée au cente du jet d ai qu aux bods et donc si la balle est décentée pa appot au jet d ai, la pession du côté du cente (A) est plus faible que du côté du bod (B). La ésultante des foces de pession est diigée de B ves A, donc aua tendance à amene la balle au cente du jet d ai. Elle agit comme une foce de appel. La balle semble attiée pa les égions de l écoulement où la vitesse est la plus apide. Balle de ping-pong dans un jet d ai. Losque que le jet est vetical (à doite), la balle est maintenue en suspension pa une foce de taînée paallèle à l écoulement. Si on l incline (à gauche), la balle este suspendue gâce à une foce d attaction due à la déviation du jet. 44

45 Autes conséquences de l effet Ventui : Effet de sol pou une fomule 1 : P A > P B. Deux bateaux naviguant côte à côte ou amaés dans un couant. La déflexion des lignes de couant ente les navies poduit une chute de pession pa effet Ventui et les deux bateaux épouvent une foce qui les pousse l un ves l aute. De fots vents peuvent ête céés pa effet Ventui dans les ues aux bâtiments alignés. 45

46 Vidange d un ésevoi ; fomule de Toicelli : En étudiant l écoulement de l eau pa un oifice de suface S pecé dans le bas d une cuve, Toicelli obseva que le jet sotait pependiculaiement à la suface S, avec un débit volumique D v (t) popotionnel à S et à la acine caée de la hauteu d eau H(t) dans la cuve. Lignes de couant Σ H S U Comment intepéte ce ésultat? La consevation du débit donne : ( ) ( ) dh Dv t = SU t = Σ dt où U(t) est la vitesse de sotie dans le jet et Σ la section de la cuve. Comme S << Σ, on en déduit que dh << U : on peut se place en égime quasi-stationnaie en supposant H cste et utilise dt la elation de Benoulli en égime stationnaie (voi le nd execice ci dessous pou la justification). On se place su une ligne de couant (voi figue). Le jet d eau étant à l ai libe, sa pession est celle du gaz qui l entoue, c est-à-die la pession atmosphéique P 0. Il en est de même pou la suface libe dans la cuve. Le théoème de Benoulli donne alos : 1 P0 + µ gh = P0 + µ U Pa conséquent : U = gh 46

47 On obtient une loi analogue à la loi de la chute libe dans le champ de pesanteu. Ensuite, le jet suit une loi de chute libe avec la vitesse initiale U hoizontale, d où la fome paabolique du jet. 1 e execice ; temps de vidange d un ésevoi : Le liquide considéé est un fluide pafait en écoulement incompessible. Solution : 47

48 Le tube de Pitot (Ingénieu fançais, XVIII ème siècle) : Remaque ; influence de l oientation de l ouvetue d un tube : On place deux tubes dans un écoulement liquide, comme pécisé su la figue. En A, la vitesse est celle de l écoulement, notée v. En B, le fluide est immobile et aucune ligne de couant ne passe. Il y a continuité de pession ente les points A et A et ente les points B et B. Le théoème de Benoulli et le pincipe fondamental de la statique des fluides donne : 48

49 1 ρ + = = ρ = ρ v PA PB et Patm PA gh1 PB gh Pa conséquent, la vitesse de l écoulement est : v = g( h h ) 1 Le choix de l oientation des tubes pemet donc, pa une mesue de dénivellation, d en déduie la vitesse du fluide. Sonde Pitot : On place un obstacle dans un écoulement d ai (voi figues). On mesue la pession en un point A situé face à l écoulement et en un point B situé su le côté. Le théoème de Benoulli donne, en négligeant ρ gz : O, la vitesse en A est nulle. On obtient ainsi : v B ( PA PB ) = ρ Ainsi, la mesue statique de la difféence de pessions (P A P B ) pemet d accéde à la mesue de la vitesse au point B, sachant que (on suppose ici que ρliq >> ρ : Il vient : P P = P P = P P = ρ gh A B D B' D C liq vb = lid gh ρ ρ A B B A B B A Tube de Pitot pou la mesue de la vitesse d un écoulement. liq 49

50 Effet Magnus et application aux effets dans les balles de tennis et les ballons de foot : On se place dans le éféentiel baycentique du ballon : le ballon toune donc autou d un axe passant pa le baycente de la balle et le fluide se déplace pa appot à ce éféentiel. Cas du dessin du haut (effet lifté) : en B, la vitesse est inféieue à la vitesse en A (le point B «lutte» conte le fluide) ; pa conséquent, d apès le théoème de Benoulli, P B > P A. Il appaaît ainsi une ésultante des foces de pession veticale et diigée ves le bas. C est l effet Magnus. La balle va descende plus apidement qu en l absence d effet. 50

51 Dessin du haut : lift Dessin du bas : slice (Attention, les figues sont tacées dans le éféentiel baycentique de la balle). Dans le cas de l effet slicé, c est le contaie : la foce ésultante est ves le haut et la balle aua tendance à alle plus loin qu en l absence d effet. Execice su l effet Magnus : 51

52 le potentiel des vitesses en coodonnées cylindiques : Solution : 5

53 Potance des avions : Le pofil d une aile est tel que le mouvement de l ai peut ête considéé comme la somme d une tanslation (avec le vecteu vitesse v, qui epésente la vitesse de l ai loin de l aile) et d une otation au voisinage du pofil de l aile. Pa conséquent, la vitesse ésultante est plus gande su Foce de potance d une aile. Intados 53

54 Où ρ est la masse volumique du fluide, S l aie d une suface de éféence de l obstacle, v la vitesse du fluide pa appot à l obstacle loin de celui ci, C y le coefficient de potance et C x le coefficient de taînée. Les coefficients C x et C y sont des nombes sans dimensions. Ils dépendent de la fome et de l oientation de l obstacle. Il y a deux façons de les détemine : en faisant des essais en tunnel et pa la simulation numéique. Le fait de pouvoi simule des écoulements en faisant des essais en gandeu éduite dans des tunnels ou en souffleie et la manièe d extapole ensuite ves la gandeu éelle seont examinés au paagaphe «similaité et nombe de Reynolds». Sphèe : Les objets onds, tels que les balles de tennis, subissent une taînée d intensité modéée. Aile d avion : La fome d une aile d avion éduit la taînée. Caé : Les objets plats à bods caés subissent une taînée de gande intensité. IV) Ecoulements d un fluide éel ; viscosité d un fluide et nombe de Reynolds : 1 Constatations expéimentales : La démache consiste à pati de constatations expéimentales. 1 Il existe une foce de ésistance au cisaillement du fluide. Pa exemple, faie glisse deux plaques paallèles entouant un fluide nécessite l appaition d une foce tangente aux plaques. A l inteface fluide solide, v fluide vsolide = 0 : pa exemple, on constate que la poussièe este collée aux pâles d un ventilateu. Il faut ainsi teni compte d une foce de viscosité volumique pou explique le ésultat (1). Teni compte de () implique une modification des conditions aux limites : 54

55 Dans le cas d un fluide pafait, il n y a pas de conditions aux limites paticulièes pou la vitesse tangentielle d une paticule de fluide su une paoi solide : elle peut, en paticulie, ête difféente de 0 (la composante nomale sea toujous nulle). Pou un fluide visqueux, il fauda pa conte écie la nullité de la composante tangentielle à la suface de l obstacle : v ( / ) 0 tan fluide paoi = (Vitesse tangentielle) Il appaaît une couche limite au voisinage de l inteface solide fluide dans laquelle la vitesse tangentielle va pogessivement s annule. v Paoi Couche limite Pa ailleus, la viscosité est un pocessus dissipatif. Le fluide va pede de l énegie los de son mouvement et les paticules fluides échangent de la chaleu (pocessus non adiabatique). Finalement, la difféence essentielle ente fluide pafait et fluide visqueux appaaît dans l existence de «couches limites» (plus ou moins épaisses) au contact des paois solides. A l intéieu de ces couches, la vitesse tangentielle d un fluide visqueux passe pogessivement d une valeu nulle (su la paoi) à une valeu pédite de manièe acceptable pa le modèle du fluide pafait. En fonction de la potion de paoi considéée, ces couches limites peuvent ête laminaies ou tubulentes, avec des tansitions de l une à l aute en des points paticulies. L impotance de la taînée dépend fotement de la stuctue de la couche limite. Couche limite. A : écoulement pafait autou d une plaque mince. B : écoulement éel ; en pointillés, l épaisseu de la couche limite. 55

56 On considèe la plaque pécédente supposée caée de côtés L, en mouvement unifome à la vitesse v = vu. x Dans la couche limite, les fottements dominent et le teme de diffusion de quantité de mouvement est pépondéant. En dehos, c est au contaie le teme de convection qui l empote. A la suface de la couche limite, ces deux temes seont du même ode de gandeu, soit : uuuuu ρ( v. gad) v) η v On note δ l épaisseu de la couche limite et U 0 la vitesse du fluide loin de la couche limite : D où : uuuuu U ρ( v. gad) v ρ( v ) v ρ x L η v v U v η + x y η δ 0 U0 U0 ηl ν L ρ soit L η δ δ ρu U ρlu0 Le nombe de Reynolds vaut (voi paagaphe (5)) Re =, d où l épaisseu de la couche η limite : Pa exemple, pou une aile d avion : 0 δ L = 5 m ; U = 50 m. s ; ν = 1,5.10 m. s L R e Alos, R e = 1, 7.10 et δ = 1, mm. L épaisseu est tès faible et on peut die que le modèle de l écoulement pafait est valable dans tout l espace. Pa conte, si le nombe de Reynolds est faible (< 1 pa exemple), alos δ > L : dans ce cas, la viscosité est pimodiale (écoulement pa exemple de miel su une cuillèe). Sillage : 56

57 Ecoulement laminaie et écoulement tubulent : Losque le vecteu vitesse d un écoulement v(, t) vaie eatiquement (d un point à l aute à t fixé, ou en un point donné en fonction du temps), on dit que l écoulement est tubulent. La vitesse de l écoulement est généalement «impotante». Exemples d écoulements laminaies et tubulents. Dans le cas contaie, l écoulement est qualifié de laminaie : il peut ête décit comme un ensemble de lames ou de couches glissant les unes su les autes. La vitesse de l écoulement est alos «faible». 57

58 * Dans la couche limite, l écoulement peut ête laminaie ou tubulent. * Dans les écoulements éels, on peut obseve un décollement de la couche limite : c est ainsi qu appaaît le sillage dans l écoulement autou d une sphèe. Une couche limite tubulente ésiste mieux au décollement qu une couche limite laminaie. Exemple ; les toubillons maginaux deièe les avions : Allue des toubillons maginaux 58

59 Equations du mouvement d un fluide visqueux incompessible (équation de Navie-Stokes) : Le pincipe fondamental de la mécanique appliqué à une paticule de fluide et en tenant compte de la foce de viscosité conduit à l équation de Navie Stokes : 59

60 3 Exemples de ésolution de l équation de Navie-Stokes : a) Ecoulement de Couette plan : Solution : 60

61 b) Ecoulement de Poiseuille : En 1835 un médecin fançais, Poiseuille fit une séie d expéiences pou détemine comment un fluide visqueux s écoule dans un tuyau doit. Son but était de compende la dynamique de la ciculation sanguine chez l homme sachant que le plasma sanguin se compote comme un fluide newtonien. Le manomète lit la pession dans la manchette enoulée autou du bas. La petite ampoule de caoutchouc pompe de l ai dans la manchette, augmentant la pession, jusqu à coupue du flux sanguin dans l atèe bachiale dans le bas supéieu. La pession est libéée pogessivement et, à l aide d un stéthoscope, on entend le sang losqu il ecommence à s écoule. 61

62 La tension atéielle vaie dans le cops en patie à cause de la pesanteu. Un fluide visqueux incompessible de densité ρ s écoule dans un tube cylindique de longueu L et de ayon R. La pession à l entée du tube (z = 0) est P E. La pession à la sotie du tube est P S. L z On va calcule les champs des vitesses et de pession à l intéieu du tube. devient : 6

63 dont la solution est P(z) = cz + a, avec a une constante d intégation. Les conditions aux limites donnent finalement : PE PS P( z) = PE z L et la solution pou le champ des vitesses est : P P v = R 4ηL E S z ( ) ( ) donnée su la figue. A pati de cette solution, on peut calcule le débit volumique D de l écoulement (en m 3.s 1 ), en notant P = PE PS la chute de pession dans le tube : 63

64 appelée équation de Poiseuille, qui expime la chute de pession P dans un tube de longueu L, de ayon R, pou un fluide de viscosité η en écoulement stationnaie, en fonction du débit volumique D. Ecoulement de Poiseuille : écoulement dans un cylinde. Foce de fottement subie pa le fluide : Su la paoi du cylinde, la containte de viscosité (pa unité de suface) a pou expession : f v dv = η d C est la foce qu exece la paoi su le fluide qui glisse su elle. Pou calcule la ésultante de ces foces de viscosité, on écit : Puis : dv d = R = R u PE PS = R η L P P F = η R( πrl) u = π R Pu η L E S v z z L écoulement étant stationnaie, la quantité de mouvement totale du fluide contenu dans le cylinde este constant au cous du temps, pa conséquent : F + F + F = 0 Pa conséquent : Pession P ession v à l ' entée à l ' entée F = F + F = ( π R P π R P ) u = π R Pu v P ession Pession e s z z à l ' entée à l ' entée On etouve bien le ésultat pécédent. z 64

65 Compléments ; le système cadio vasculaie humain : c) Ecoulement ente deux cylindes coaxiaux : 65

66 66

67 4 Similaité et nombe de Reynolds (Hos pogamme) : a) Intoduction : On constate que, mis à pat les quelques cas que l on peut ésoude analytiquement, il est tès difficile de ésoude les équations du mouvement d un fluide visqueux. Ecoulement autou d un obstacle. 67

68 b) Equations nomalisées et nombe de Reynolds : des gandeus sans dimension. La 1 èe étape est de pati de l équation de Navie Stokes en divisant pa ρ sous la fome : v uuu 1uuuuu 1 uuuuu η + otv v + gad( v ) = gadp + v t ρ ρ dynamique 1 Soit, en faisant inteveni le vecteu toubillon Ω = ( ) ot uuu v : v 1uuuuu 1 uuuuu η + Ω v + gad( v ) = gadp + v t ρ ρ On pend le otationnel de l expession pécédente. On obtient (sachant que le otationnel d un gadient est nul) : Ω uuu η uuu + ot( Ω v) = ot( v) t ρ O : Soit, avec Puis : Ω = 1 ( ) ot uuu v et div( v ) = 0 uuu uuu uuuuu ot( ot( v)) = gad( div( v)) v (fluide incompessible) : uuu ot( Ω ) = v uuu uuu uuu uuuuu ot( ot( Ω )) = ot( v) = gad( divω) Ω La divegence d un otationnel étant nul, il vient finalement que : uuu ot( v) = Ω Et l équation de Navie Stokes devient : Ω uuu η + ot( Ω v) = Ω t ρ 68

69 Ce sont des gandeus sans dimensions. L équation véifiée pa le vecteu toubillon devient : 1 v 1 v Ω v Ω ' = ' ; = ; Ω = v = ' v v ' = Ω' = D t D t ' D D t D t ' 1 v v ( Ω v) = v ' ( Ω' v ') = ' ( Ω' v ') D D D 1 v v Ω = Ω ' = Ω ' 3 D D D Alos, en substituant dans l équation véifiée pa le vecteu toubillon et en simplifiant pa v / D : Ω ' η + ' ( Ω ' v ') = ' Ω ' t ' ρdv D Ainsi, ces équations pou le champ nomalisé Ω ' = Ω ne dépendent donc que d un seul paamète, sans dimensions, appelé nombe de Reynolds : v 69

70 R e ρdv = η c) Ecoulements similaies : R a ρ D v = η a a a a Ecoulement autou d une aile gandeu natue (a) ; écoulement autou d une aile modèle éduit (b) ; écoulement dans l espace nomalisés (c). Les écoulements sont similaies s ils ont le même nombe de Reynolds. 70

71 En effet, on a monté au paagaphe pécédent que ces écoulements, ayant le même nombe de Reynolds, étaient décits pa la même équation nomalisée. a b En paticulie, les lignes de couant seont les mêmes (au facteu de popotionnalité D / D pès). Une photogaphie instantanée des lignes de couant de l écoulement (b) est identique à celle de l écoulement (a). b Supposons que l on mesue une foce F (pa exemple, une foce de potance et de taînée su une aile) execée pa le fluide (b) su l obstacle «modèle éduit». Quelle est la foce que l on peut a pédie pou F dans le cas (a) «gandeu natue»? 71

72 Le but des essais en tunnel aéo/hydo-dynamique (ou des simulations numéiques) est d obteni ces coefficients C x et C y en fonction des paamètes : nombe de Reynolds R e, angle d incidence i et fome de l objet. Une fois les C x et C y connus, les expessions pécédentes pemettent de pédie quelles seont les foces dans le cas «gandeu natue». Compléments ; égimes d écoulement dans un canal et nombe de Foude : Le nombe de Foude, de l'hydodynamicien anglais William Foude, est un nombe adimensionnel qui caactéise dans un fluide l'impotance elative des foces liées à la vitesse et à la foce de pesanteu. Ce nombe appaaît essentiellement dans les phénomènes à suface libe, en paticulie dans les études de cous d'eau, de baages, de pots et de navies (achitectue navale). Il est également impotant dans la météoologie pou l'écoulement en montagnes. Si le fluide ne peut ête assimilé à un fluide pafait, il faut aussi pende en compte le nombe de Reynolds. Le nombe de Foude F pou un canal ectangulaie est défini pa : F = v gh où v est la vitesse de l'écoulement, g l'accéléation de la pesanteu et h une dimension linéaie caactéistique du phénomène. Exemple : L eau est assimilée à un fluide pafait, incompessible, de masse volumique ρ. Elle s écoule dans un canal de section doite ectangulaie, de lageu l constante et de pofondeu h. La suface libe est en contact avec l ai atmosphéique à la pession P 0. L écoulement est supposé pemanent, iotationnel et de diection hoizontale (x x). Le champ de pesanteu est unifome. a) Monte que la quantité : H v = h + g est constante le long de l écoulement. qv b) On note σ = le débit volumique pa unité de lageu. Expime σ(h) et mette en évidence, l pou un débit donné, l existence de deux égimes d écoulements possibles. On intoduit le nombe de Foude : 7

73 v F = gh L écoulement est dit fluvial ou toentiel selon que F est inféieu ou supéieu à 1. Identifie les deux égimes d écoulement obtenus à la question pécédente. Intepéte énegétiquement F. Solution : a) On peut applique le théoème de Benoulli (écoulement stationnaie, incompessible, iotationnel) : 1 P + ρv + ρgz = cste On choisit l oigine de l axe vetical (oienté ves le haut) au fond du canal. Pa conséquent, en notant h 0 la pofondeu pou x = 0 (au début du canal) : Soit : 1 1 P + ρv + ρgh = P + ρv + ρgh v + h = v0 + h0 = H g g On emaque que gh epésente la somme de l énegie cinétique massique et de l énegie potentielle massique de pesanteu. b) En une abscisse x donnée, la vitesse est unifome. Le débit volumique pa unité de lageu est alos : q v 1 σ = = ( vhl ) = vh = h g ( H h ) l l L allue du débit en fonction de h est donnée su la figue. σ Le maximum de σ vaut σ max H = 3 h 1 h 3/ g et il est obtenu pou hm = H. 3 On voit que pou un débit donné (plus petit que σ max ) va coesponde deux valeus de pofondeus h 1 et h et donc deux valeus de vitesse : 73

74 v = g( H h ) et v = g( H h ) 1 1 Le couple (v 1,h 1 ) coespond à F > 1 : égime toentiel (gande vitesse, faible pofondeu) Le couple (v,h ) coespond à F < 1 : égime fluvial (faible vitesse, gande pofondeu) On emaque que : F v v énegie cinétique massique = = = gh ρ gh énegie potentielle massique de pesanteu ρ / Ainsi, pou un cous d'eau, un même débit peut ête obtenu de deux façons difféentes : F > 1 : égime toentiel, avec une faible hauteu d'eau et une fote vitesse (équivalent d'un égime supesonique). Dans ce égime, le fluide est "tié" pa les foces qui le meuvent (la gavité le plus souvent), sans que la masse de fluide en avant soit une gène. F < 1 : égime fluvial, avec une fote hauteu d'eau et une faible vitesse (équivalent d'un écoulement subsonique). Ce égime est "piloté pa l'aval" : le compotement des paticules en mouvement est containt pa celles qui les pécèdent. 5 Aute définition du nombe de Reynolds et intepétation : La complexité de l équation de Navie-Stokes : est due essentiellement à deux temes : uuuuu Le teme de convection de quantité de mouvement ρ( v. gad) v, qui end l équation non linéaie. Le teme de diffusion visqueuse η v dû au tansfet de quantité de mouvement, qui intoduit des déivées du second ode. On considèe un écoulement dont les paamètes sont v (vitesse du fluide loin de l obstacle) et D une taille caactéistique (la longueu de l obstacle, pa exemple). L ode de gandeu du appot du teme convectif su le teme de diffusion vaut : uuuuu v ρ( v. gad) v ρ D ρdv = η v v η η D η Avec ν = (viscosité dynamique du fluide) : ρ uuuuu ρ( v. gad) v Dv = Re η v ν On etouve l expession du nombe de Reynolds R e défini pécédemment. L expéience monte que si R e < 000, l écoulement est laminaie alos que si R e > 000, il devient facilement tubulent. 74

75 R e < 000 : écoulement laminaie R e > : écoulement tubulent 000 < R e < 000 : écoulement instable, ente le égime laminaie et le égime tubulent Pou un nombe de Reynolds élevé, les tansfets de quantité de mouvement pa convection sont plus impotants que ceux pa diffusion ; cela signifie que le temps caactéistique associé à ces tansfets pa convection est plus cout que celui pa diffusion. Tout se passe comme si la viscosité du fluide était nulle. Le fluide a un compotement de fluide pafait et son mouvement est égi pa l équation d Eule : µ v + ( v. gad) v gadp fv t µ uuuuu uuuuu = + L L épaisseu de la couche limite δ est alos faible. R e Pou un nombe de Reynolds faible, les tansfets de quantité de mouvement pa diffusion sont plus impotants que ceux pa convection ; le temps caactéistique associé à ces tansfets pa diffusion est plus cout que pa convection. L équation de Navie-Stokes devient alos : µ v uuuuu = gadp + fv + v t η Les écoulements dominés pa la viscosité sont toujous des écoulements tès lents avec une longueu caactéistique tès coute (sève dans les poes des abes) ou impliquant des fluides tès visqueux (écoulements de lave). 75

76 Exemples d écoulements laminaies ou tubulents selon la valeu du nombe de Reynolds. Le teme convectif est non linéaie : l appaition de tubulences a lieu pou des nombes de Reynolds élevés, donc losque le teme non linéaie l empote nettement su le teme linéaie (dû à l aspect diffusif de l écoulement, c est-à-die à la viscosité). C est donc bien l aspect non linéaie de l écoulement qui favoise les tubulences. 6 - Ecoulement autou d une sphèe : Un fluide exece su une sphèe en mouvement une foce opposée à sa vitesse, appelée «taînée». On note µ la masse volumique du fluide, η sa viscosité, le ayon de la sphèe et v sa vitesse. Evolution du C x en fonction du nombe de Reynolds (échelle logaithmique). * Si R e < 1 : la foce de taînée est donnée pa la fomule de Stokes : F = 6πη v C est la foce taditionnelle de fottement fluide, popotionnelle à la vitesse et de sens opposé à celle ci. 3 6 * Si 10 < < 10 : la foce de taînée est donnée pa : R e 76

77 1 F = C µπ vv x où C x est le coefficient de taînée (sans dimension), qui dépend de la textue de la sphèe. On etouve une foce de fottement de type quadatique (popotionnelle au caé de la vitesse). * En dehos de ces deux domaines, il n existe pas de loi simple donnant l expession de la foce de taînée. * La seconde fomule se généalise pou tout type d objet : 1 F = C µ S vv x où S est la suface de l objet pojetée dans un plan pependiculaie à la vitesse. * Losque le nombe de Reynolds augmente, il appaaît un sillage deièe la sphèe, constitué 3 d abod de toubillons, puis devenant tubulents pou R e > 10. Un sillage tubulent dissipe beaucoup plus d énegie. 6 * Pou R e = 10, la taille du sillage diminue fotement, entaînant une chute du coefficient de taînée. Voici pouquoi une balle de golf est bosselée. En effet, dans les conditions d utilisation, le nombe de Reynolds d une balle de golf est supéieu à Les balles de golf sont bosselées de façon à augmente les tubulences, pou leu pemette d alle plus loin. Ainsi, dans les mêmes conditions de lancement, une balle de golf peut atteinde une distance de 150 m, alos que cette distance ne seait que de 100 m avec une balle lisse. Les iégulaités pemettent d obteni autou de la sphèe une couche limite tubulente alos que celle ci est laminaie pou une suface lisse. Losque la couche limite est tubulente, la ésistance au mouvement est plus faible. 77

78 Desciption qualitative de l écoulement autou d une sphèe : A gauche : pou un nombe de Reynolds faible, l écoulement est laminaie et quasi-linéaie. A doite : le toubillon appaaissant deièe la sphèe est toique. A gauche : quand R e augmente, le toubillon finit pa occupe la patie aval de la sphèe. A doite : le toubillon toique pécédent se détache en penant une fome hélicoïdale. A gauche : l écoulement n est plus égulie. La couche limite est laminaie, mais une zone tubulente se développe deièe la sphèe. Le point de décochement de la couche limite est situé «en avant». A doite : la couche limite laminaie pécédente est devenue tubulente ; elle se décoche à «l aièe» de la sphèe. Le sillage est éduit et la ésistance moinde. Execice ; écoulement non stationnaie autou d une sphèe : 78

79 Solution : 79

80 V) Bilans dynamiques et themodynamiques : 1 Système femé, système ouvet : Système femé : il est constitué d une quantité de matièe déteminée que l on suit dans son mouvement ; la suface (S) qui le délimite peut se défome et se déplace dans le éféentiel d étude. Système ouvet : on aisonne su des «sufaces de contôle» (S), délimitant des volumes de contôles (V), fixes dans le éféentiel choisi ; il peut alos y avoi un flux de matièe à 80

81 taves la fontièe du système ente l intéieu et l extéieu. Ces systèmes sont bien adaptés à la méthode euléienne. Bilans d énegie intene et d enthalpie (exemple du moteu à éaction) : Dans un moteu à éaction, un gaz (assimilé à l ai supposé pafait) pacout un cycle que l on considéea tout d abod comme étant évesible. Il pénète dans le éacteu à la pession P 1 et à la tempéatue T 1 (état (1)). Il est ensuite compimé adiabatiquement jusqu à la pession P et la tempéatue vaut alos T (état ()). Il ente alos dans une chambe de combustion où sa tempéatue passe de T à T 3, la pession estant égale à P (la sotie de la chambe de combustion est epésentée pa l état (3)). Le gaz subit ensuite une détente adiabatique dans une tubine jusqu à P 4 et T 4 (état (4)). Cette détente est telle que la puissance founie à la tubine compense exactement celle que consomme le compesseu ente les états (1) et (). Enfin, le gaz se détend dans une tuyèe adiabatique sans paties mobiles jusqu à P 1 et T 5 (état (5)). Le gaz est ejeté avec la vitesse c (ce qui assue la populsion) dans l atmosphèe extéieue où il se efoidit à la pession constante P 1 de T 5 à T 1. On considèe que la vitesse du gaz est patout négligeable sauf à la sotie de la tuyèe. Etage compesseu Chambe de combustion Etage tubine-tuyèe Tuyèe Données numéiques : T 1 = 90 K, P 1 = 1ba, P / P1 = 5. La tempéatue du gaz à l entée de la tubine est T 3 = 1300 K. L ai est considéé comme étant un gaz diatomique de masse molaie 1 1 M = 9 g.mol. La constante R des gaz pafaits vaut 1 R = 8,31 J.K. mol. Les applications numéiques demandées sont elatives à l unité de masse (ici, 1 kg) et les gandeus extensives coespondantes seont notées pa des lettes minuscules (s m pou l entopie, h m pou l enthalpie, e cm pou l énegie cinétique macoscopique, ). L unité de masse d ai qui ente dans le compesseu ne eçoit, de la pat de celui-ci, qu un tavail mécanique noté w m (avec w m > 0 ). On considèe à l instant t le système femé constitué du gaz compis dans le compesseu et de la masse dm de gaz (dans l état P 1 et T 1 ) qui va ente, pendant l intevalle de temps dt, dans le compesseu. A l instant t + dt, ce système est constitué de la même quantité de gaz compise dans le compesseu et de la même masse dm de gaz qui est sotie, étant désomais dans les conditions P et T. Le 1 e pincipe appliqué à ce système (en négligeant l énegie cinétique macoscopique) s écit : Avec : ( U gaz danslecompesseu + ( dm) um, ) ( U gaz danslecompesseu + ( dm) um,1 ) = P ( dmv ) P ( dm v ) + ( dm) w 1 m,1 m, m 81

82 U gaz danslecompesseu, l énegie intene du gaz constamment contenu dans le compesseu ; elle est constante en égime stationnaie. Gaz en écoulement A A P 1 T 1 Compesseu P T B B Masse dm à l instant t Masse dm à l instant t + dt u m,1 et u m, désignent les énegies intenes massiques et v m,1 et v m, les volumes massiques de l ai dans les états (1) et () espectivement. la quantité P1 ( dmvm,1) P ( dmvm,) epésente le tavail des foces de pessions extéieues au système, à l entée et à la sotie de la machine (encoe appelé tavail de tansvasement). Enfin, le tansfet themique eçu pa le système est nul puisque, d une pat, le compesseu est caloifugé et, d aute pat, il n y a pas de tansfet de chaleu pa conduction ente la masse qui ente ou qui sot de la machine et son envionnement immédiat puisque les tempéatues sont identiques (et égales à T 1 ou T ). En emaquant que hm = um + Pvm epésente l enthalpie massique, on aboutit finalement au bilan énegétique suivant : h h = w m, m,1 m Le bilan énegétique dans la tuyèe s écit maintenant, puisque l énegie cinétique macoscopique en sotie e cm,5 n est plus négligeable (et avec des notations semblables à celles de la question ()) : Soit, finalement : ( U gaz danslatuyèe + ( dm) um,5 + ( dm) ecm,5 ) ( U gaz danslatuyèe + ( dm) um,4 ) = P ( dm v ) P ( dm v ) 4 m,4 1 m,5 ( hm,5 hm,4 ) + ecm,5 = 0 d où ecm,5 = ( hm,5 hm,4 ) = ( T5 T4 ) 7 D une manièe généale (en égime pemanent) : h + e + e = w + q m c, maco p, ext m th 8

83 3 Bilans de quantité de mouvement : a) Foce subie pa un coude de canalisation : De l eau de masse volumique µ coule en égime stationnaie avec un débit massique D m dans une canalisation hoizontale de section constante S faisant un coude d angle doit. On néglige la pesanteu et l écoulement est supposé pafait. Loin du coude en amont, la pession est unifome et vaut P 1 et l écoulement est unidimensionnel de vitesse v1u x. Loin du coude en aval, la pession unifome vaut P et la vitesse vu y. y V P x F P 1 V 1 Calculs de v et de P : On aisonne su le système femé suivant : le contenu de tube coudé et une masse δm 1 qui ente en amont ente les instants t et t + dt. La consevation de la masse donne : m( t) + δ m = m( t + dt) + δ m 1 où m(t) et m(t + dt) désignent la masse de fluide dans le tube aux instants t et t + dt. Pa ailleus, δ m1 = µ Sv1dt et δ m = µ Svdt, ainsi : m( t + dt) m( t) = µ S( v v ) dt 1 L écoulement est ici stationnaie (m(t + dt) = m(t)), pa conséquent : µ S( v v ) dt = 0 soit v = v 1 1 Le théoème de Benoulli (valable ici ca l écoulement est stationnaie, pafait, incompessible, homogène) donne (le tube est hoizontal!) : 1 µ v + P = 1 µ v + P soit P = P = P Calcul de la foce subie pa la canalisation (bilan de quantité de mouvement) : La foce F execée pa l eau su la canalisation est égale à l opposée F de la foce execée pa la canalisation su l eau. En l absence de viscosité, il s agit aussi de la ésultante des foces de pession su la paoi latéale (T) de la canalisation. Un bilan de quantité de mouvement su l eau contenue dans la canalisation pemet de calcule cette foce. 83

84 On considèe le même système femé que pécédemment, ente les instants t et t + dt. La vaiation de quantité de mouvement de ce système vaut : Dp = p( t + dt) + ( δ m ) vu y [ p( t) + ( δ m1 ) v1u x ] En égime stationnaie, p( t + dt) = p( t) et δ m1 = δ m = µ Svdt ( v = v1 = v), pa conséquent : Dp = µ Sv ( uy ux ) Dt Le fluide est soumis aux foces : le poids (négligé), à la foce l entée ( P0 Su x ) et à la sotie ( P0 Suy ) du tube. Le théoème de la ésultante cinétique donne : Dp = µ Sv ( uy ux) = F + P0 S( ux uy ) Dt On en déduit la foce execée pa l eau su la canalisation : F = ( P S + µ Sv )( u u ) 0 x y F et aux foces de pession à La diection de la foce était attendue ; cette foce est la ésultante des foces de pession execées pa l eau su la canalisation. Sa diection et son sens montent qu au voisinage du coude, il existe une supession su le bod extéieu de la canalisation pa appot au bod intéieu b) Poussée d une fusée et chaiot qui ped son chagement : 84

85 Voi execices (notamment l execice : «Il pleut su un chaiot»). 4 Retou su l écoulement de Poiseuille cylindique : On applique le TRC au système constitué du fluide contenu dans le cylinde de ayon < R à l instant t et de la masse dm 1 qui y ente ente t et t + dt. A l instant t + dt, ce système est constitué du fluide contenu dans le cylinde de ayon à t + dt et de la masse dm qui en sot ente t et t + dt. Si l on se place dans le cade du égime pemanent, la vaiation de quantité de mouvement du système est alos simplement nulle. Le bilan des foces s écit alos : D où : Pa intégation, en tenant compte de v(r) = 0 : Pπ u Pπ u η dv π Lu d ( e z s z ) + z = 0 dv Pe Ps = d η L P P v R 4ηL e s ( ) = ( ) On etouve bien l expession de la vitesse de l écoulement obtenue à pati de l équation de Navie Stockes. On peut, pa un aisonnement énegétique, détemine la puissance des foces de viscosité qui s applique su la conduite. En égime pemanent, la vaiation d énegie cinétique du système pécédent est nulle, pa conséquent, en temes de puissance : Soit : D où : P foces de pession + Pvis cosité = 0 P vs P vs P e s + viscosité = 0 Pvis cos ité = Dv ( Pe Ps ) 85

86 On définit la vitesse moyenne v m de l écoulement pa P πη D vis cosité = 8 Lvm η = ) : π R 8 LDv v = π R vm, d où (avec P 4 5 Bilans de moment cinétique (le touniquet hydaulique) : Solution : 86

87 Quelques gands physiciens de la mécanique des fluides 87

88 88

89 89