Résolution numérique de problèmes de contrôle optimal via la condition nécessaire, application au problème de transfert d orbite à faible poussée

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1 Résoluion numérique de problèmes de conrôle opimal via la condiion nécessaire, applicaion au problème de ransfer d orbie à faible poussée Présenaion TIPE 23: conrôle opimal 4 janvier 23 Lycée Ferma Toulouse J. Gergaud, J. Noailles gergaud@enseeih.fr, jnoaille@enseeih.fr ENSEEIHT-IRIT, UMR CNRS 555 Toulouse, FRANCE TIPE conrôle opimal, p./4

2 Plan Principe du Maximum de Ponriaguine Exemples simples Applicaion au problème de ransfer d orbie à poussée faible en emps minimum Applicaion au problème de maximisaion de la masse finale Les méhodes direces TIPE conrôle opimal, p.2/4

3 ! ' # ) 2 * 2 * Problème de conrôle opimal fixés e " & dans % % /.-, $ ( +* +* ( /, - ( où 4 3 ; ( 5 3 ; ( TIPE conrôle opimal, p.3/4

4 3 % % 3 % % Hamilonien ) $! % % désigne le produi scalaire. où % : la foncion ne dépendra plus de % Remarque. Si 4 3 ) $! TIPE conrôle opimal, p.4/4

5 $! $ $! ) Principe du Maximum Hypohèses simplifiées (i) e son coninues (ii) Les dérivées parielles (iii) (iv) es de classe es compac e! exisen e son coninues TIPE conrôle opimal, p.5/4

6 PMP non e Théorème Si es soluion alors il exise simulanémen nuls els que l on ai (i) l équaion adjoine (ii) la minimisaion de l Hamilonien! # " (iii) les condiions de ransversalié & % " $ ' & % " (' *' ) (' $ TIPE conrôle opimal, p.6/4

7 ' * Exemple! Equaion adjoine Minimisaion de l Hamilonien! si sinon Condiions de ransversalié TIPE conrôle opimal, p.7/4

8 # % 2 p Problème aux deux bous # # %.5.5 u TIPE conrôle opimal, p.8/4

9 3 3 z Foncion de ir es la soluion du sysème à valeur iniiale suivan. où # #, S(z) TIPE conrôle opimal, p.9/4

10 2 & p Résoudre où es la soluion de TIPE conrôle opimal, p./4 où u Exemple 2!

11 Foncion de ir S(z) z TIPE conrôle opimal, p./4

12 ' ' 2 & Résoudre es où la soluion de TIPE conrôle opimal, p.2/4 où.5.5 u p Exemple 3!

13 Foncion de ir S (z) S 2 (z) z z 2 z z 2 TIPE conrôle opimal, p.3/4

14 TIPE conrôle opimal, p.4/4 Algorihme de Newon Exemple S(z) 5 z3z2 z z z

15 * * Cas dimension Objecif: résoudre où es une foncion de Par définiion de la dérivée on a au voisinage de dans avec ici L algorihme de Newon s écri alors de la même façon: Remarque. On n inverse jamais un sysème linéaire pour résoudre une équaion linéaire!!! TIPE conrôle opimal, p.5/4

16 Algorihme Iniialisaion choisir choisir choisir nbimax k= Corps Répéer Résoudre k:=k+ Jusqu à (k=nbimax ou ) TIPE conrôle opimal, p.6/4

17 - Théorème. On suppose que Soi 4 3 es un ouver convexe de sur es inversible e el que ( Il exise : es Lipschizienne sur el que Il exise ( l algorihme de Newon alors il exise el que pour ou dans converge e la convergence es quadraique: TIPE conrôle opimal, p.7/4

18 Problèmes de ransfer orbial CNES Fore excenricié iniiale ( ) Poussées faibles (6 à.2 Newons) Minimisaion de ' Maximisaion de la masse finale TIPE conrôle opimal, p.8/4

19 libre # 5 # # 5 Min libre e TIPE conrôle opimal, p.9/4 avec

20 ( # ' & # # 5 # 5 libre fixé e TIPE conrôle opimal, p.2/4

21 Paramères orbiaux Il fau, pour des raisons de sabilié lors de l inégraion numérique ravailler avec le sysème de coordonnées de Gauss: où es le veceur excenricié,. es le veceur roaion du plan de l orbie, $ $ es la longiude vraie, Z saellie périgée plan équaorial w ω X orbie Ω Y i Figure : Coordonnées de Gauss TIPE conrôle opimal, p.2/4

22 Repère orho-radial k j r w S v s q O i Figure : Repère orho-radial TIPE conrôle opimal, p.22/4

23 # # Problème en coordonnées de Gauss ' & ( ' 5 & ' & # 5 TIPE conrôle opimal, p.23/4

24 " Minimisaion de l Hamilonien! * ' alors % Si alors % Si alors Si Condiions de ransversalié TIPE conrôle opimal, p.24/4

25 Résulas numériques Le calcul de la foncion de ir nécessie l inégraion numérique d un sysème différeniel ordinaire La dérivée de la foncion de ir es approchée numériquemen par différences finies Il fau faire de la mise à l échelle (scaling) des données Logiciel fmin de J.B. Caillau TIPE conrôle opimal, p.25/4

26 Résulas numériques: 6N P L e x 5.5 h x. 5.2 r 3.5 e y m h y r r u u r 2 2 r 3 2 u r r 2 TIPE conrôle opimal, p.26/4

27 Résulas numériques: 6N.5 p P p L p ex 2 p hx p ey x 5 p hy µ ψ ψ 2 ψ TIPE conrôle opimal, p.27/4

28 Résulas numériques: 3N P L e x h x x 3 r e y h y m u 4 r r u 2 r 2 r u r r 2 TIPE conrôle opimal, p.28/4

29 Résulas numériques:.2n P L e x e y x h x x 4 h y r m u 4 r r u 2 r 2 r u r r 2 TIPE conrôle opimal, p.29/4

30 5 5 Relaion, 6N 4.8 h 3N h.2n h 2 jours 6 mois TIPE conrôle opimal, p.3/4

31 5 fixé " # # # 5 # # Max libre e # " 5 TIPE conrôle opimal, p.3/4 avec Remarque.

32 Minimisaion de l Hamilonien L Hamilonien es % Si alors Si alors " Si alors Si alors " Si alors " Si alors TIPE conrôle opimal, p.32/4

33 Difficulés Le conrôle Bang-Bang indui un second membre d équaion différeniel disconinu. Dérivabilié de la foncion de ir? Le ir simple diverge ici TIPE conrôle opimal, p.33/4

34 Resulas pour 2.5N, Figure : éa e conrôle TIPE conrôle opimal, p.34/4

35 Resulas pour 2.5N, Figure : conrôle TIPE conrôle opimal, p.35/4

36 # ) 4 # / Méhodes direces Problème de Mayer $ ( 3 ( 3 ( Remarque. On peu oujours se ramener à un problème de Mayer. Il suffi de définir un éa el que:! 5 3 ( ) On prendra TIPE conrôle opimal, p.36/4

37 & $ $ $ $ $ $ $ $ Discréisaion d une EDO fixé) ' ( ' (pas consan) $ Schéma d Euler $ $ On pose $ $ L erreur locale (c es-à-dire l erreur d un pas) de ce schéma es en Méhode des rapèzes On prend le schéma: $ $ $ $ L erreur locale es en TIPE conrôle opimal, p.37/4

38 * * * * Méhode direce On discréise l équaion d éa e on obien le problème d opimisaion en dimension finie suivan: pour * * $ pour TIPE conrôle opimal, p.38/4

39 & & ' & * * Tir direc On rédui l espace des conrôles: * * consan sur * * affine sur... e Cas des conrôles consans par morceaux On peu alors en foncion de des calculer, puis,...,e enfin D où le problème d opimisaion en dimension finie pour TIPE conrôle opimal, p.39/4

40 Remarques Les méhodes direces son plus robuses Il es plus facile d inroduire des conraines sur l éa avec les méhodes direces Les résulas des méhodes direces son moins précis, en pariculier sur le conrôle L ineracion mahémaique-numérique es fondamenale ici. Cee présenaion peu aussi concerner le poin discre, coninu TIPE conrôle opimal, p.4/4