Chap. B3 : fonctions usuelles (fin)

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1 MPSI Semane 7, du au 4 novembre 7 Chap. B3 : fonctons usuelles (fn) Tout le B sur les manp. pratques de fonctons trgo. est à revor, rajouter seulement le IV 4) et le 5) c-dessous. Le ), ), 3) sont culturels. Tout le D.M. 5 sur les fonctons trgo. récp. est à maîtrser c est le V de ce cours. Le VI porte sur les fonctons hyperbolques. IV Fonctons trgonométrques : Mode d emplo de ce IV : Le ), ) et 3) vsent à aller vers une défnton rgoureuse des angles et des fonctons sn et cos. Tels quels, ls sont hors programme et non egbles : c est pourquo auss tous les détals ne sont pas donnés, mas seront faclement comblés par les plus motvé(e)s. Les paragraphes suvants 4) et 5) contennent en revanche des compléments mportants au B. ) La noton de longueur d arc de cercle, et le nombre π : a) Défnton de la longueur d un arc de cercle, dans le premer quadrant Consdérons dans le plan R, le quart de cercle unté, graphe de f t [, ]. Sot [, ], découpons le segment [, ] comme sut : pour chaque n N, on consdère la subdvson régulère = t < t < < t n = en n segments de longueur /n de sorte que t = /n. Notons M = (t, f(t )) comme ndqué sur la fgure des notes, où on a prs n = 4 et M 4 = (, f()). Applquons le T.A.F. à la foncton f (contnue sur [, ] dérvable au mons sur [, [), pour chaque couple (t, t + ) (pour =,..., n ) : on sat qu l este un c ]t, t + [ tel que : f(t + ) f(t ) = (t + )f (c ) = ( c ) (). n c n = n Notons M = (t, f(t )). La lgne polygonale M M,..., M n a pour longueur L n = ((t + ) + (f(t + ) f(t )) ) /, donc par (), comme + c c = c, on obtent : () c L n = n n = = M M + = Idée Il est naturel de défnr la longueur d arc de cercle de M = (, ) à M = (, f()), comme la lmte, s elle este, des longueurs des lgnes polygonales L n quand n tend vers l nfn. Or : Théorème (sur les sommes de Remann) à comparer à la déf. de l ntégrale du B. : Les sommes n convergent quand n vers : n = c. D où la défnton naturelle : Défnton Pour tout [, [, la longueur l() d arc de cercle de M = (, ) à M = (, f()) est la lmte de la sute (L n ) quand n +, et elle vaut auss : l() =. N.B. A ce stade, on ne connaît pas de formule usuelle pour une prmtve de t b) Proprétés de la foncton longueur d arc : l() () Par déf. [, [, l () = > donc l est strctement crossante sur [, [.. () Par alleurs, pour tout t [, ], t t donc, donc, donc (nombres postfs strctement) : pour tout t [, [ :. Donc pour tout [, [, Mas on sat calculer. =. (C est l avantage par rapport à ).

2 MPSI Semane 7, du au 4 novembre 7 Donc [, [, l(). Par () et ce qu précède, on peut applquer le théorème de la lmte monotone pour conclure que l() a une lmte dans R quand. Défnton On appelle π = lm l(). On notera encore π =. Autrement dt, on défnt π/ comme la longueur d arc du quart du cercle unté. Rem. Dans la déf. précédente, l ntégrale s entend comme la lmte des effet par rapport à la déf. de l ntégrale donnée au B, comme la foncton prolonge pas par contnuté en, l s agt d une ntégrale généralsée., quand. En Rem. La majoraton précédente donne que π/. On peut fare meu... Archmède... ne se ) Défnton des fonctons sn, cos dans le premer quadrant : a) Par constructon, la foncton l [, ] [, π/] est contnue, strctement crossante et surjectve (T.V.I et lmtes). Donc l est une bjecton contnue entre deu ntervalles, on sat donc (thme adms du B) que l [, π/] [, ] est auss contnue. La foncton l assoce donc à chaque longueur d arc u [, π/] l abscsse [, ] de l unque pont M tel que l arc M M sot de longueur u, comme ndqué sur le dessn c-dessus. b) Où l on défnt enfn le snus : Défnton : u [, π/], sn(u) def = l (u). Remarque : Ans on défnt le snus comme la foncton récproque de la foncton. En comparant au DM, cela sgnfe qu on défnt d abord l arcsn, pus le snus! Remarque l ne faut pas oubler que nos arcs partent de M = (, ) et pas de (, ) comme d habtude. La rason de ce cho un peu dérangeant état de ne pas commencer par ntrodure une foncton longueur d arc qu aurat été avec le pb. de l ntégrale en. c) Et le cosnus? Idée : pour le pont M tel que M M = u on a posé que sn(u) état l abscsse de M, on veut ben sûr que cos(u) sot l ordonnée de M. Par Pythagore, on obtent donc la défnton suvante :

3 MPSI Semane 7, du au 4 novembre 7 Déf. u [, π/], cos(u) def = l (u) = sn (u). 3) Démonstratons des proprétés attendues de sn, cos a) Prolongement : On prolonge la déf de sn et cos par symétre, sur [ π, π]. (Autrement dt, pour u [π/, π], on pose que sn(u) = sn(π u) et cos(u) = cos(π u), et pour u [ π, ] on défnt cos(u) = cos( u) et sn(u) = sn( u).) Ensute on prolonge ces fonctons en des fonctons π-pérodques. b) Dérvablté, dérvées : () Par théorème fondamental de l analyse, la foncton l [, ] sur [, [ de dérvée l >. est dérvable Donc par théorème sur la dérvée d une foncton récproque sn = l est dérvable sur [, π/[= l ([, [) et u [, π/[, sn (u) = l (sn(u)) = sn (u) = cos(u). Le théorème de la lmte de la dérvée, qu s applque car on sat que sn contnue sur [, π/], dérvable sur [, π/[ et sn (u) = cos(u) cos(π/) = montre que sn est auss dérvable en u π/ π/ et que la formule sn = cos est donc valable sur [, π/]. Avec les prolongements du a), on en dédut l égalté sn = cos sur R (eercce). () Eercce : démontrer alors que cos = sn sur R. c) Proprétés algébrques : Comment montrer les formules d addtons comme : (a, b) R, cos(a + b) = cos(a) cos(b) sn(a) sn(b) et ses soeurs? Une soluton vent des proprétés de dérvablté qu on vent de montrer. En effet : cos et sn vérfent la même E.D. y + y =. Mas alors pour b fé, les fonctons y a cos(a + b) et y a cos(a) cos(b) sn(a) sn(b) vérfent la même E.D. y + y = avec les mêmes condtons ntales y () = y () et y () = y () ce qu par théorème (cf. B4), donne l égalté y = y. d) Proprété fondamentale de paramétrage du cercle : Thme (fondamental) En notant C = {(, y) R, + y = } le cercle unté : = cos(θ), (, y) C,! θ [, π[, y = sn(θ). 4) Complément au B sur les prop. analytques de sn, tan : des négaltés mportantes a) Inégaltés utles pour le snus : () R, sn() La concavté de sn [, π] donne cette négalté sur [, π]. Pourquo cela sufft-l? () Inégalté en sens nverse : [, π ], sn() également avec la concavté. π b) Cas de tan : négalté [, π/[, tan(). Le graphe de tan dot être ben connu! 5) Complément au B sur la polynomalsaton resp. la lnéarsaton : a) Polynomalsaton : () epresson générale des polynômes de Tchebychev T n tels que cos(n) = T n (cos()). Abraham et Isaac donnent une écrture eplcte de T n comme une somme. () Que fare pour sn(n)? Smplement dérver! n sn(n) = sn()t n(cos()). () Savor calculer le coeff. domnant de T n à partr de la formule eplcte. (v) Savor enfn trouver une relaton de récurrence d ordre entre T n+ () et T n (), T n (). b) Lnéarsaton : Léonard et Isaac pour lnéarsaton de sn n () (resp. cos n ()) cf. e. D.S. : attenton à la parté de n. V Fonctons trgonométrques récproques : tout le D.M. 5 (caher de vacances) Retenr surtout la dssymétre de certanes opératons : prendre le sn fat oubler des choses, prendre l arcsn non. Savor ben pratquer le rasonnement par analyse/synthèse. 3

4 MPSI Semane 7, du au 4 novembre 7 VI Fonctons hyperbolques : ) L héroïne de ce VI : On consdère dans le plan R l ensemble : H = {(, y) R, y = } ) Etude de l ensemble H : a) Tracé : Tracé de H en voyant H comme réunon de deu graphes de fonctons. On trouvera auss les drotes asymptotes de ces graphes. b) Changement de repère ramenant H à une hyperbole de lycée : En remarquant que y = ( y)( + y) et en posant u = y et v = + y, on montre que pour un certan repère R = (O, ε, ε ) à précser, un pont M = (, y) tel que [M] R = ( u ) est dans v H s, et seulement s, v = /u. Cec montre que l ensemble H est une hyperbole au sens vu au lycée. c) Ressemblance algébrque avec le cercle unté d équaton + y = : Pas de questons dans ce c), paragraphe à lre pour motver la sute. () Rappel : Théorème fondamental de la trgonométre (cf. IV) (donné par la constructon des fonctons sn et cos) : (, y) R, + y = cos(θ), =! θ [, π[, y = sn(θ). () Reformulaton : t (cos(t), sn(t)) est une bjecton de [, π[ sur le cercle unté, on dt un paramétrage bjectf du cercle unté. () Motvaton pour la sute : peut-on trouver un paramétrage analogue pour l hyperbole H? 3) Méthode à la Euler pour trouver les fonctons hyperbolques : a) Etenson de cos et sn au varables complees () On rappelle qu on sat défnr e z pour tout z C. Comment est-ce défn? () On pose alors, par défnton : z C, cos(z) = ez + e z, sn(z) = ez e z. Ce sont ben sûr alors des fonctons de C dans C On vérfe qu on a alors z C, cos (z) + sn (z) =. () Comment ces fonctons permettent-elles, en revenant à des fonctons réelles, de s approcher de la soluton du problème du paramétrage de l hyperbole posé au ) c) ()? b) Défnton H.P. des fonctons ch et sh à l ade des cos et sn complees On pose pour tout R, ch() = cos() = e + e et sh() = sn() = e e. On vérfe alors R, ch() R et sh() = R et qu on a la relaton fondamentale : ch () sh () =. ( ) Attenton à l ordre! Rem. A ce stade, on ne sat pas s l applcaton t R (ch(t), sh(t)) va réalser un paramétrage de l hyperbole H, mas en tous cas, elle arrve dans H. En fat, on vot qu elle ne peut pas être surjectve, car pour tout t R, ch(t) >, donc elle arrve dans H + = H {(, y) R, }. 4) Etude plus standard des fonctons ch, sh, th : COURS La seule déf. à retenr : R, ch() = (e + e ) et sh() = (e e ), et th() = sh() ch(), appelées cosnus hyperbolque, snus hyperbolque et tangente hyperbolque respectvement. 4

5 MPSI Semane 7, du au 4 novembre 7 a) Fare l étude : pour chacune : parté, dérvée, varatons, concavté, lmtes en ±. b) Nature des branches nfnes : courbe asymptote d équaton y = e / pour ch et sh (qu est-ce que cela sgnfe?), drotes asymptotes y = ± pour th. c) Savor tracer ces courbes rapdement. d) Equvalents utles : sh(), th(). (à justfer). e) Bjectvté du sh de R dans R de ch R + de R + dans? : à justfer. Les fonctons récproques sh et (ch R +) se notent Argsh et Argch mas ces noms ne sont plus au programme. Noter que la notaton sh est c tout à fat légtme. f) Conséquence : théorème de paramétrage de l hyperbole. (, y) R, y =, > }! t R, = ch(t), y = sh(t). 5) Une autre rason d être des fonctons hyperbolques a) Théorème (dém. mportante) toute foncton f F(R, R) s écrt de manère unque f = p + avec p foncton pare et foncton mpare. Ben retenr le prncpe de la preuve : C.N. donne les canddats pus valdaton des canddats Termnologe : p s appelle la parte pare de f et la parte mpare de f. b) Applcaton c à la foncton ep : quelle est la parte pare de ep, sa parte mpare? 6) Proprétés algébrques des fonctons hyperbolques : eercces a) La seule formule à retenr : ch sh = : attenton à l ordre! b) Formules d addtons Eercce : trouver les formules donnant ch(a + b), sh(a + b), th(a + b), analogues au cas des fonctons trgo, mas attenton au sgnes. Méthodes possbles : (M) conjecturer pus vérfer avec la déf. de ch et sh (calcul sur les ep.) : pas la plus jole! (M) Utlser le fat que e a = ch(a) + sh(a) : à mon avs la plus jole. Départ : ch(a + b) = (ea+b + e a b ) = (ea e b + e a e b ) =... (M3) (qu demande de retenr l écrture complee H.P. du 3)) : généralser les formules cos(a + b) (etc) au cas de a, b complees, applquer ch() = cos() et sh() = sn(). c) Equatons avec des fonctons trgonométrques hyperbolques Eercce : résoudre l équaton sh() + ch() = 5. Méthode : c est beaucoup plus smple qu en trgo. usuelle car on peut tout écrre avec l ep. réelle. 5