Corrigé sujet Mathématiques Sciences Po Paris 2016 by freemaths.fr • ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE • MATHÉMATIQUES

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1 - freemaths.fr Suites, T. S - freemaths.fr Suites, T. ES - freemaths.fr Foctios, Itégrales, T. S - freemaths.fr Thème sur freemaths.fr ( ) Suites, T. S Foctios, Itégrales, T. S Probabilités Discrètes, T. S Probabilités Discrètes, T. ES Géométrie das l Espace, T. S

2 PROBL ME ( poits ) freemaths. fr: Suites, T. S Suites, T. ES Foctios, Itégrales, T. S Partie A:. Calculos, et 3 : = ( + % ) <=> =, 0 x => = 5 600, = ( + % ) <=> =, 0 x => 3 = ( + % ) <=> 3 =, 0 x => 3 = 6, = 6 836, 4. Au total: = 5 600, = 6 et 3 = 6 836, 4.. Motros que pour tout etier, =, : + D après l éocé, à l ouverture du cotrat e javier 06, le cliet dépose à la baque D où: = De plus, le 3 décembre de chaque aée, le cliet perçoit % d itérêts sur le capital de l aée écoulée et le er javier de chaque aée, il dépose 500. Soiet: +, le solde de l assurace vie au er javier de l aée ( 06 + ( + ) ),, le solde de l assurace vie au er javier de l aée ( 06 + ).

3 Pour tout etier, le solde + est égal au solde augmeté de % et auquel o ajoute 500. Doc pour tout etier aturel : + = ( + % ) <=> + =, Au total: pour tout etier, + =, Motros que la suite ( K ) est géométrique: º ı : K = <=> K + = <=> K + = (, ) ( ). Or: K 0 = => K 0 = et = K Aisi: () <=> K + = (, 0 [ K ] ) => K + =, 0 K, º ı. Par coséquet, ( K ) est bie ue suite géométrique de raiso q =, 0 et de premier terme K 0 = a. Déduisos-e l expressio de K, e foctio de : Comme K + =, 0 K, d après le cours ous pouvos affirmer que: K = K 0 x (, 0 ), avec: K 0 = , cad: K = x (, 0 ), º ı. 4. b. Déduisos-e l expressio de, e foctio de : Nous savos que, º ı : * K = x (, 0 ) * = K

4 D où: º ı, = x (, 0 ) a. Justifios que la suite ( ) ted vers + : lim g + = lim x (, 0 ) g + = + car: lim (, 0 ) = +, car:, 0 >. g + Au total: lim g + 5. b. Écrivos l algorithme demadé: L algorithme demadé est: = + et doc la suite ( ) est divergete. Iitialisatio: Affecter à K la valeur Affecter à la valeur 0 Affecter à la valeur Traitemet: Tat que < K Affecter à la valeur + Affecter à la valeur, 0 x Fi du Tat que Affichage: Afficher c. Détermios l aée recherchée: Il s agit de détermier " " tel que: > 0000.

5 > <=> x (, 0 ) > <=> (, 0 ) >, 5 <=> l (, 0 ) > l (, 5 ) <=> > l (, 5 ), car:, 0 >, et doc: l (, 0 ) > 0 l (, 0 ) => > 0, 47 => as car est u etier aturel. Aisi, au bout de as cad e 037, le solde de l assurace sera strictemet supérieur à Partie B:. a. Calculos ( ): f ( ) = 30 x x - Aisi: f ( ) = 4 3. => f ( ) = b. Détermios la limite de e + : 30 x - 6 lim f ( x ) = lim x g + x g + 5 x - 30 x = lim x g + 5 x ( = lim e + des termes de plus haut degré ) =.

6 Au total: lim f ( x ) =. x g + 5. c. Que peut-o déduire quat à la courbe représetative de? Comme lim f ( x ) =, ous pouvos affirmer que: la courbe admet au x g + voisiage de + ue asymptote horizotale d équatio y =.. Calculos, pour tout : Ici: f ( x ) = 30 x x - Df = [ ; + [. Posos: f = f, avec: f f ( x ) = 30 x - 6 et f ( x ) = 5 x -. f et f sot dérivables sur comme foctios polyômes, doc dérivables sur [ ; + [. Das ces coditios, f f est dérivable sur [ ; + [ comme quotiet deux foctios dérivables sur [ ; + [, avec: pour tout x ı [ ; + [, f ( x ) 0. Par coséquet, f est dérivable sur [ ; + [. Aisi, ous pouvos calculer f pour tout x ı [ ; + [. de Pour tout x ı [ ; + [: f ( x ) = 30 x ( 5 x - ) - 5 ( 30 x - 6 ) ( 5 x - ) <=> f ( x ) = => f ( x ) = 450 x ( 450 x - 40 ) 80 ( 5 x - ). ( 5 x - )

7 Au total: pour tout x,ı [ ; + [, f ( x ) = 80 ( 5 x - ) Dressos le tableau de variatio de pour : Pour tout x ı [ ; + [: f ( x ) = 80 ( 5 x - ) > 0. Aisi: f est strictemet croissate sur [ ; + [. Nous pouvos dresser alors le tableau de variatio suivat: + + Avec: a = f ( ) => a = 4, 3 a b = lim f ( x ) => b =. x g + b 4. Représetos la courbe das u repère orthoormal: y 0 C x

8 Partie C: 7. Motros par récurrece que º ı, U : Nous allos motrer par récurrece que: " º ı : U ". Iitialisatio: U 0 = et. Doc vrai au rag " 0 ". U = 30 x x - cad: U = 4 3 et 4 3. Doc vrai au rag " ". Hérédité: Soit ı, supposos U et motros qu alors: U +, avec: U + = 30 U U - Supposos: U, pour u etier aturel fixé. ( ) ( ) <=> U => f ( ) f ( U ) f ( ), car: la foctio est strictemet croissate sur [ ; + [ et U, => 4 3 U + => 4 3 U x x -

9 => 4 3 U => U +, º ı. Coclusio: º ı, ous avos: U.. a. Expliquos pourquoi la suite ( V ) est bie défiie: La suite ( V ) est défiie pour tout ı ssi: 5 U U - 0 ssi: U 4 5 <. Or, c est toujours vérifié car: º ı, U. Au total: º ı, la suite ( V ) est bie défiie.. b. b. Calculos V 0, V et V : Après calculs, ous obteos: V 0 = - 5 3, V = et V = b. b. Motros que la suite ( V ) est géométrique de premier terme et de raiso 5 : ( V ) est ue suite géométrique de raiso 5 ssi: º ı, V + = 5 x V. Or: V + = 5 U U + -, avec: U + = 30 U U -. Das ces coditios: V + =... => V + = 5 5 U U -

10 => V + = 5 x V, º ı. De plus: V 0 = 5 U U 0 - <=> V 0 5 x - 0 = 5 x - => V = Au total: ( V ) est bie ue suite géométrique de raiso q = 5 premier terme V 0 = et de. c. Exprimos V e foctio de : Comme V + = 5 V, d après le cours ous pouvos affirmer que: V = V 0 x 5, avec: V0 = - 5 3, cad: V = x 5, º ı.. d. d. Doos l expressio de U e foctio de V : Nous savos que: V = 5 U U - <=> V x (5 U - ) = 5 U - 0 <=> 5 U V - V = 5 U - 0 <=> U x ( 5 V - 5 ) = V - 0 => U = V V - 5. Das ces coditios: U = x x , º ı.

11 . d. d. Démotros que U = 4 x x 5 x x : 0 º ı : U = x x = - 0 x - 5 x = 4 x 5 x => U = 4 x x 5 x x, º ı. Au total: º ı, U = 4 x x 5 x x.. e. e. Etablissos l algorithme demadé: Le taux de variatio du produit fiacier est: U + U -. Notos: U + U - = W U -. L algorithme demadé est:

12 Iitialisatio: Affecter à U la valeur Affecter à la valeur 0 Affecter à W la valeur 4 3 Traitemet: Tat que W U - > 0, 0, Faire: pred la valeur + U pred la valeur 4 x x 5 x x 30 U - 6 W pred la valeur 5 U - Fi du Tat que Affichage: Afficher e. e. Détermios l aée recherchée: Il s agit de détermier " " tel que: U + U - < 0, 0. U + U - < 0, 0 <=> U + U <, 0 <=> 30 U U - <, 0 U <=> 30 U U - <, 0 U <=> 30 U - 6 < 5, 3 U -, 04 U <=> 5, 3 U - 3, 04 U + 6 > 0. ( )

13 Soit l équatio: 5, 3 x - 3, 04 x + 6 = 0. ( U = ) = 47, 366 > 0, d où solutios das. = 3, 04-47, , 6 0, 8 ı [ ; ], doc à rejeter, = 3, , , 6, 7 ı [ ; ], à reteir. Par coséquet, ous retiedros:, 7. Aisi: si U ı ], 7 ; ], l iéquatio ( ) est vérifiée. Das ces coditios, la première aée " " pour laquelle le taux de variatio du produit fiacier sera iférieur à % est telle que: U, 7. U, 7 <=> 4 x x 5 x x, 7 <=> 4 x x, 7 x ( 5 x x ) <=> ( 4-3 x, 7 ) x (, 7 x 5-4 ) x 5 <=> 5, 7 x x, 7 <=> x l 5 l => 4, 8 as, 35 0, => = 5 as car est u etier aturel. Aisi, au bout de 5 as cad e 0, le taux de variatio du produit fiacier sera iférieur à %.

14 EXERCICE: Vrai ou Faux? ( 8 poits ) 3. C est vrai. Soit G la variable aléatoire correspodat au gai du joueur. Les valeurs que peut predre la v. a. G sot: { -,, 3 }. P ( G = - ) = P ( obteir le chiffre " ") + P ( obteir le chiffre " 3 ") = =. P ( G = ) = P ( obteir le chiffre " " ) = 4. P ( G = 3 ) = P ( obteir le chiffre " 4 " ) = 4. D où la loi de probabilité de la v. a. G est: G = i - 3 P ( G = i ) 4 4 Nous pouvos remarquer que: =. Das ces coditios: E ( G ) = - x + x x 4

15 cad: E ( G ) = 0. 4 Doc l affirmatio est vraie.. C est vrai. Soit l évéemet F = " les chaussettes sot de la même couleur ". L évéemet F = [ ( chaussette verte au er tirage ) ( chaussette verte au e tirage ) ] [ ( chaussette bleue au er tirage ) ( chaussette bleue au e tirage ) ]. D où: P ( F ) = [ P ( chaussette verte au er tirage ) x P ( chaussette verte au e tirage ) ] + [ P ( chaussette bleue au er tirage ) x P ( chaussette bleue au e tirage ) ]. Aisi: P ( F ) = 5 0 x x 4 => P ( F ) 0, 605. Doc l affirmatio est vraie. 3. C est faux. Soiet les évéemets: C = " l assiette est cassée ", et C = " l assiette est pas cassée ". O désige par X le ombre d assiettes cassées sur 00 assiettes prises au hasard. Nous sommes e présece de 00 épreuves aléatoires idetiques et idépedates. La variable aléatoire discrète X représetat le ombre de réalisatios de C suit doc ue loi biômiale de paramètres: = 00 et p = 4%. Et ous pouvos oter: X B ( 00 ; 4% ).

16 E fait, o répète 00 fois u schéma de Beroulli. 5 Das ces coditios, il s agit de calculer: P ( X ). Or: P ( X ) = P ( X = 0 ) + P ( X = ) = 00 0 = ( 6% ) 00 + ( 4% ) 0 ( 6% ) => P ( X ) 0, x 4% x ( 6% ) ( 4% ) ( 6% ) Au total, la probabilité demadée est d eviro: 8, 7% < 0%. Doc l affirmatio est fausse. 4. C est vrai. Pour le justifier, ous allos motrer que sur : l équatio de la foctio expoetielle est supérieure à celle de la droite ( D ), tagete à la courbe ( C ) au poit poit x = 0. L équatio de la foctio expoetielle est: y = e, º ı. L équatio de la droite ( D ) est: y = +, º x ı. Das ces coditios, a-t-o: º x ı, e x x +? º x ı, e x x + <=> e x - x - 0. Soit: f ( x ) = e x - x -, º x ı. Posos: f = f + f, avec: f ( x ) = e x et f ( x ) = - x -. f est dérivable sur comme foctio " expoetielle ". f est dérivable sur comme foctio " polyôme ".

17 Doc, f est dérivable sur comme somme ( + ) de foctios dérivables sur. 6 Aisi, ous pouvos calculer f pour tout x ı. Pour tout x ı : f ( x ) = e x - <=> f ( x ) = e x - e 0. Nous pouvos dresser alors le tableau de variatio suivat: x f f a Avec: a = f ( 0 ) => a = e cad: a = 0. Au total: º x ı, f ( x ) 0, " 0 " état le miimum de f <=> º x ı, e x - x - 0 <=> º x ı, e x x +. (CQFD) Doc l affirmatio est vraie. 5. C est vrai. E effet: l équatio de ( d ) est: y = + 3, le coefficiet directeur de ( d ) est alors:,

18 ( d ) a aisi pour équatio: y - y A = ( x - x A ) 7 <=> y - = ( x - ) => y = x + 0. Doc l affirmatio est vraie. 6. C est faux. E effet, f est pas défiie sur. Erreur volotaire ou ivolotaire das l éocé, doc o exploite! Doc l affirmatio est fausse. 7. C est vrai. E effet, ici: A ( ; 3 ), B ( 6 ; 4 ) et C ( 7 ; - ). Das ces coditios: AB = 5, AC = 6-4 et BC = - 5, AB = 5 + => AB = 6, AC = 6 + (- 4 ) => AC = 5, BC = + (- 5 ) => BC = 6. D où: AC = AB + BC, et: le triagle ABC est isocèle e B. Doc, d après la réciproque du théorème de Pythagore: le triagle ABC est rectagle isocèle e B.

19 8. C est vrai. 8 E effet, faisos ue représetatio du cercle trigoométrique pour justifier: - x x 0 - Nous remarquos que l ordoée du poit d abscisse x est idetique à celle du poit d abscisse - x. Doc, ous avos bie: º x ı, si ( - x ) = si x. Doc l affirmatio est vraie.. C est faux. D après le cours sur les suites: " Toute suite croissate et majorée est covergete ".

20 " Toute suite décroissate et miorée est covergete ". Doc l affirmatio est fausse. 0. C est faux. Pour le justifier, il suffit de predre la foctio f ( x ) = Cette foctio est positive et croissate, et pourtat: 30 x x - de Partie B. lim g + ( x ) = +. Doc l affirmatio est fausse.