254 = avec b 0. Dans la division euclidienne de 254 par 8, le quotient est 31 et le reste et 6.

Transcription

1 I. Division euclidienne a et b désignent deux nombres entiers positifs, avec b 0. Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r qui vérifient : a = b q + r avec r < b. q s'appelle le quotient de la division euclidienne. r s'appelle le reste de la division euclidienne. Exemple 254 = avec b 0. Dans la division euclidienne de 254 par 8, le quotient est 31 et le reste et 6. II. Diviseurs d un nombre entier a et b désignent deux nombres entiers positifs, avec b 0. On dit que b est un diviseur de a lorsqu il existe un nombre entier k tel que a = b k. Exemple 63 = 7 9. Donc 7 est un diviseur de 63. De même 9 est un diviseur de 63. Vocabulaire Lorsque b est un diviseur de a, on peut aussi dire que «a est divisible par b» ou que «a est un multiple de b» ou encore «b divise a» Remarques Si b est un diviseur de a, alors le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur : lui-même. Tout nombre entier est divisible par 1. Tout nombre entier est divisible par lui-même. Un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs (1 et lui-même) est appelé nombre premier. III. Plus grand diviseur de deux entiers a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. Le plus grand commun diviseur des nombres a et b s appelle le PGCD des nombres a et b. On le note PGCD a;b ( ). 1

2 Exemples Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18. Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 et 45. Les diviseurs communs à 18 et de 45 sont : 1 ; 3 et 9. Donc PGCD 18;45 ( ) = 9. Les diviseurs de 26 sont : 1 ; 2 ; 13 et 26. Les diviseurs de 49 sont : 1 ; 7 et 49. Le seul diviseur commun à 26 et de 49 est 1. Donc PGCD 26;49 ( ) = 1. PGCD a;a ( ) = a PGCD( a;1) = 1 PGCD( a;b) = PGCD( b;a) ( ) = b. Si b est un diviseur de a, alors PGCD a;b Exemples 85 = 17 5 donc PGCD( 85;17) = PGCD( 17;85) = 17. IV. Méthodes de calcul du PGCD de deux entiers 1. Algorithme de soustractions successives PGCD( a;b) = PGCD( b;a b). Exemple : Calcul du PGCD( 145;58). ( ) = PGCD( 58;87) ( ) = PGCD( 58;29) ( ) = PGCD( 29;29) ( ) = 29, alors PGCD( 145;58) = = 87 d où PGCD 145; = 29 d où PGCD 87; = 29 d où PGCD 58;29 Comme PGCD 29;29 Exercice 1 1. Calculer le PGCD 391;136 ( ) avec la méthode des soustractions successives. ( ). 2. Faire de même pour calculer PGCD 1173;867 2

3 2. Algorithme d Euclide PGCD a;b ( ) = PGCD( b;r ) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Exemple : Calcul du PGCD( 224;80). 224 = d où PGCD 224;80 80 = d où PGCD 80;64 Donc PGCD 224;80 Exercice 2 ( ) = Calculer le PGCD 589;124 ( ) = PGCD( 80;64) ( ) = PGCD( 64;16). ( ) avec la méthode de la division euclidienne. ( ). 2. Faire de même pour calculer PGCD 912;32 V. Nombres premiers entre eux et fraction irréductible 1. Nombres premiers entre eux On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Exemples PGCD 26;49 PGCD 18;45 Applications ( ) = 1, donc les nombres 26 et 49 sont premiers entre eux. ( ) = 9, donc les nombres 18 et 45 ne sont pas premiers entre eux. Déterminer si les nombres suivants sont premiers entre eux : 1. 9 et et Fraction irréductible Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. 3

4 Exemples Les nombres 189 et 97 sont premiers entre eux donc la fraction 97 est irréductible. 189 Les nombres 9 et 24 ne sont pas premiers entre eux donc la fraction 9 24 n est pas irréductible. Elle peut être simplifiée par Rendre une fraction irréductible a et b désignent des nombres entiers positifs, avec b 0. La fraction a peut être simplifiée par le PGCD( a;b)et la fraction ainsi obtenue est b irréductible. Exemple 1 : Avec le PGCD Rendre irréductible la fraction On calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur de la fraction. PGCD 312;546 ( ) = 78. On simplifie la fraction par = = 4 7. La fraction 4 7 est irréductible. Exemple 2 : Avec les critères de divisibilités Rendre irréductible la fraction On remarque que les nombres 105 et 135 sont multiples de 5. Ainsi on peut simplifier la fraction par = = On remarque que les nombres 21 et 27 sont multiples de 3. Ainsi on peut simplifier la fraction par = = 7 9. Rappel sur les critères de divisibilité Si un nombre se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8 alors il est divisible par 2. Si un nombre se termine par 0 ou 5 alors il est divisible par 5. Si la somme des chiffres d un nombre entier est divisible par 3 (ou 9), alors ce nombre est divisible par 3 (ou 9). Exercice 3 Un pâtissier a préparé des sachets contenant soit des pains au chocolat, soit des croissants. 4

5 Chaque sachet contient plusieurs viennoiseries. Le pâtissier a mis le même nombre de viennoiseries dans chaque sachet. Il a ainsi réparti 84 pains au chocolat et 56 croissants. 1. Combien de viennoiseries a-t-il mis dans chaque sachet? 2. Quel est le nombre total de sachets? 5