a est le dividende b est le diviseur q est le quotient r est le reste

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1 Les nombres entiers L'ensemble des entiers naturels est noté. = {0, 1, 2, 3,... }. Propriétés de. Le plus petit élément de est noté 0. P1. Toute partie non vide de admet un plus petit élément. P2. L'ensemble n'admet pas de plus grand élément. P3. Toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément.. On note * l'ensemble \ {0}.. Tout entier naturel n admet un successeur unique n+1. Le successeur se nomme aussi le suivant.. A l'exception de 0, tout entier naturel n admet un prédécesseur unique n 1. Le prédécesseur se nomme aussi l'antécédent. La division euclidienne Division euclidienne dans N Théorème Pour tous entiers naturels a et b, avec b non nul, il existe un unique couple (q, r) d'entiers naturels, tel que : a = bq + r, et r < b La division euclidienne de a par b est l'opération qui associe à a et b le couple (q, r). a est le dividende b est le diviseur q est le quotient r est le reste 7 = et 1<2. Dans la division euclidienne de 7 par 2, le quotient est 3, le reste est 1. 7 = et 3<4. Dans la division euclidienne de 7 par 4, le quotient est 1, le reste est 3. Définition On dit que a est divisible par b si r = 0 donc si a = bq. Les expressions suivantes sont équivalentes : (a divisible par b), ( a multiple de b), (b diviseur de a), (b divise a). '' b divise a '' se note '' b a ''. Si a = b c, on dit que les entiers b et c sont des diviseurs associés de a. Système de numération Généralité Un système de numération a pour but de représenter N, ensemble infini, avec un nombre fini de symboles. Théorème 1 Soit b > 1, un entier naturel fixé nommé base du système considéré. ZHIOUA. K Page 1

2 Tout entier naturel a, non nul, admet pour la base b, une décomposition unique, du type : Où les ai sont des entiers naturels dans [0, b 1] et an est non nul. C'est la décomposition de a dans le système de numération à base b. Dans ce système, le nombre a est symbolisé par : ou ou Décomposition pratique d'un nombre dans un système à base b Algorithme Pour écrire un nombre a en base b : Si a < b, alors a est symbolisé par un seul chiffre ou symbole dans le système à base b; Si a > b, On effectue les divisions euclidiennes par b suivantes : a par b : a = b q1 + r 1. q1 par b : q1 = b q2 + r 2. q2 par b : q2 = b q3 + r 3. qi par b : qi = b qi+1 + ri+1. qn-1 par b : qn-1 = b qn + rn. On arrête dés que qn < b. (0) (1) (2) (n 1) Alors en multipliant les égalités (1) par b, (2) par b²,..., (n 1) par les n égalités de (0) à (n 1) on obtient :, puis en additionnant membre à membre On a donc : C'est la décomposition de a dans le système de numération à base b. Décomposer, dans le système à base 8, le nombre qui s'écrit 2462 dans le système décimal. On effectue les divisions euclidiennes par 8 suivantes : 2462 par 8 donne 2462 = par 8 donne 307 = par 8 donne 38 = , et 4 < 8. Donc 2462 = 4 ( ) + 6 (8²) + 3 (8) + 6. Donc 2462 = ( 4636 ) 8 Remarques R1. L'écriture du nombre a dans le système à base b ne nécessite que l'emploi de b symboles représentant chacun l'un des entiers de l'ensemble {0, 1,..., b 1}. R2. Pour tout système de numération de base b 10, on utilise les chiffres arabes de {0, 1,..., b 1} ZHIOUA. K Page 2

3 . Par exemple pour la base 6, les chiffres utilisés sont {0, 1, 2, 3, 4, 5}. R3. Si la base b est supérieur à dix, on doit ajouter d'autre symboles. Par exemple, pour la base douze, peut représenter dix et représenter onze. Les 12 symboles dans ce système sont {0, 1, 2,..., 8, 9,, (10)10 = ( (11)10 = ( )12. (13)10 = (11)12, car 13 = (23)10 = (1, car 23 = car 22 = (34)10 = (2 car 34 = R4. Pour tout système de numération, puisque la base b est un entier >1, le nombre un est représenté par 1 et le nombre 0 par 0. 0 = (0)b. 1 = (1)b. b = (10)b, car b = 1 b + 0. b² = (100)b, car b² = 1 b² + 0 b + 0., car Système décimal (base dix) R5. Le système légal est le système décimal (base dix). Si le système n'est pas précisé, c'est le système décimal qui est sous-entendu. Les dix symboles utilisés dans le système décimal sont les chiffres arabes : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. R6. Le nombre dix est représenté par 10. s de nombres en base dix 382 = 3 10² = Système binaire (base deux) R7. Dans le système binaire (base deux) la représentation d'un entier naturel ne nécessite que les deux caractères 0 et 1. (0)10 =(0)2 (3)10 = (11)2 (6)10 = (110)2 (9)10 = (1001)2 (1)10 = (1)2 (2)10 = (10)2 (4)10 = (100)2 (5)10 = (101)2 (7)10 = (111)2 (8)10 = (1000)2 (10)10 = (1010)2 (11)10 = (1011)2 Critères de divisibilité Soit un nombre a an an-1... a2 a1)10. Divisibilité par 2 a est divisible par 2 si a1 est pair. Divisibilité par 5 a est divisible par 5 si a1 = 0 ou 5. Divisibilité par 4 a est divisible par 4 si (a2 a1) est divisible par 4. Divisibilité par 25 a est divisible par 25 si (a2 a1) est divisible par 25. Donc si (a2 a1) = 00, 25, 50 ou 75. ZHIOUA. K Page 3

4 Divisibilité par 8 a est divisible par 8 si (a3 a2 a1) est divisible par 8. Divisibilité par 125 a est divisible par 125 si (a3 a2 a1) est divisible par 125. Divisibilité par 3 a est divisible par 3 si ai) est divisible par 3. s Si a alors ( ai) = = 9 divisible par 3, donc 252 est divisible par 3. Si a alors ( ai) = 5+3 = 8 non divisible par 3, donc 53 non divisible par 3. Divisibilité par 9 a est divisible par 9 si ( ai) est divisible par 9. Divisibilité par 11 a est divisible par 11 si la différence entre la somme I de ses termes de rang impair et la somme P de ses termes de rang pair est divisible par 11. Donc si [(... + a3 + a1) (... + a4 + a2)] est divisible par 11. s Si a = 2856, alors I = 6+8; P = 5+2, donc I P = (6+8) (5+2) = 14 7 = 7 non divisible par 11, donc 2856 n'est pas divisible par 11. Si a = 4972, alors I P = (2+9) (7+4) = = 0 divisible par 11, donc 4972 est divisible par 11. Si a = 94259, alors I P = (9+2+9) (5+4) = 20 9 = 11 divisible par 11, donc est divisible par 11. On peut aussi dire qu'un nombre entier est divisible par 11 si la somme alternée de ses termes est divisible par 11. Congruence Définition Si a = 94259, alors est divisible par 11. = = 11 divisible par 11, donc On dit que a est congru à a' modulo b et on écrit même reste dans la division euclidienne par b. s 13 1 [2], car 13 = [5], car 13 = Propriétés La relation est une relation d'équivalence dans : a, b, c, d dans, avec b non nul on a : (réflexivité) a a [b]. (symétrie ) Si a c [b], alors c a [b] (transitivité )Si a c [b] et c d [b], alors a d [b]. si a a' est un multiple de b, donc si a et a' ont le ZHIOUA. K Page 4

5 P.G.C.D Le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers a et b se note pgcd(a, b) ou a b. Théorème 1 L'ensemble des diviseurs communs de deux entiers naturels non nuls est l'ensemble des diviseurs de leur pgcd. Si b divise a, alors pgcd(a, b) = b. Définition Propriétés de la loi a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, pgcd (a, b) = 1 P1. La loi est commutative et associative sur * : a b = b a (a b) c = a (b c) P2. Sur *, la multiplication est distributive par rapport à la loi : a (b c) = ab ac Théorème 2 Un entier naturel d est le pgcd de a et b si, et seulement si, les quotients de a et b par d sont premiers entre eux. (Corollaire ) Théorème 3 L'entier naturel d est le pgcd des p entiers naturels a1, a2,..., ap si, et seulement si, les quotients des ai par d sont premiers entre eux dans leur ensemble. Recherche pratique du P.G.C.D Il y a plusieurs méthodes pour déterminer le pgcd de deux nombres. Algorithme d'euclide Pour déterminer le pgcd des entiers non nuls a et b où b a : (1) On effectue la division euclidienne de a par b : a = b q1 + r1. Si r1 = 0 alors b a, donc pgcd(a, b) = b. (2) Si r1 non nul, on effectue la division euclidienne de b par r1 : b = r1 q2 + r2, et 0 < r2 < r1 (3) Si r2 non nul, on effectue la division euclidienne de r1 par r2 : r1 = r2 q3 + r3, et 0 < r2 < r3 (i) Si ri+1 non nul, on effectue la division euclidienne de ri par ri+1 : ZHIOUA. K Page 5

6 ri = ri+1 qi+2 + ri+2, et ri+2 < ri+1 Enfin on effectue la division euclidienne de rn par rn+1 dernier reste non nul. pgcd(a, b) = rn+1 dernier reste non nul. Division euclidienne de b par r1 : 12 = r2 = 5 Division euclidienne de r1 par r2 : 7 = r3 = 2 Division euclidienne de r2 par r3 : 5 = r4 = 1 Division euclidienne de r3 par r4 : 2 = r5 = 0 Donc pgcd( 259, 12) = r4 = 1. Théorème de Bezout Soient a et b deux entiers non nuls. pgcd(a, b) = 1 x, y dans tels que ax + by = 1. Théorème 5 Si un entier naturel a est premier avec b1, b2,..., bn, entiers naturels, alors a est premier avec leur produit. ( pgcd(a, bi) = 1, i dans{1, 2,..., n} ) =>( pgcd(a, b1b2...bn) = 1 ) (Corollaire) Théorème 6 Si un entier naturel a est premier avec un entier naturel b non nul, alors a est premier avec naturel n non nul. ( pgcd(a, b) =1) => ( n dans N*, pgcd(a, ) = 1 ) Théorème de Gauss Soient trois entiers naturels a, b et c, si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c. ( a bc et pgcd(a, b) = 1 ) => ( a c) pour tout entier (Corollaire) Théorème 8 Si un entier naturel a est divisisible par les entiers naturels b1, b2,..., bn, et si ces entiers sont premiers entre eux deux à deux, alors a est divisible par leur produit. i dans{1, 2,..., n} bi a et pgcd(bi, bj) = 1 ) => ( b1b2...bn a ) Nombres premiers Rappels. L'entier 0 est divisible par tout entier non nul.. L'entier 1 n'est divisible que par lui-même.. Tout entier naturel non nul est divisible par 1 et par lui-même. Définition Un entier naturel premier est un entier naturel p dont l'ensemble des diviseurs contient exactement deux éléments distincts : {1, p}.. Un nombre non premier est appelé nombre composé.. L'entier 1 n'est pas premier (il n'a qu'un diviseur).. Parfois on dit '' irréductible '' au lieu de '' premier ''. ZHIOUA. K Page 6

7 . Il existe une infinité de nombres premiers.. Un entier relatif z est premier si sa valeur absolue z est un entier naturel premier..un entier relatif premier est un entier relatif z dont l'ensemble des diviseurs comporte exactement quatre éléments : {-z, -1, 1, z}. Théorème 1. Tout entier supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Théorème 2. L'ensemble des nombres premiers est infini. Théorème 3. Tout entier n, non premier et >1, admet au moins un diviseur premier, dont le carré est au plus égal à n. Algorithme de recherche Pour savoir si un entier naturel n est premier : On regarde si n est divisible par les entiers premiers successifs p = 2, 3, 5,..., on s'arrête quand p² > n. S'il existe un entier p premier divisant n tel que p² n, alors n n'est pas premier (selon le théorème 3). Sinon n est premier. 197 est-il premier? 197 n'est pas divisible par : 2 (2² = 4 < 197) 3 (3² = 9 < 197) 5 (5² = 25 < 197) 7 (7² = 49 < 197) 11 (11² = 121 < 197) 13 (13² = 169 < 197) 17 ( 17² = 289 > 197 FIN ) 197 est premier Théorème 4. Tout nombre premier est premier avec tout entier qu'il ne divise pas. Théorème 5. Deux entiers naturels premiers distincts sont premiers entre eux. Théorème 6. Tout entier naturel premier est premier avec tous les entiers naturels non nuls qui lui sont inférieurs. Théorème 7. Tout nombre premier divisant un produit d'entiers divise l'un au moins des facteurs du produit. Théorème 8. Tout entier naturel premier divisant un produit d'entiers naturels premiers est égal à l'un deux. Théorème 9. Pour tous entiers naturels a et n non nuls, les diviseurs premiers de de a. Factorisation d'un entier Théorème fondamental (10) sont les diviseurs premiers Tout entier non premier >1 est factorisable de façon unique en un produit d'entiers naturels premiers. Définition ZHIOUA. K Page 7

8 [ARITHMETIQUES( 4M ) Soit la factorisation de a en facteurs premiers. les nombres se nomment facteurs primaires ou nombres primaires. les nombres se nomment facteurs premiers. Recherche pratique de la factorisation d'un entier Recherchons la factorisation de en facteurs premiers. La factorisation de est donc : = 2 3² 13. Théorème 11 Soit la factorisation de a en facteurs premiers, alors : (1) Le nombre de diviseurs de a est N = (a1+1) (a2+1)... (ak+1). (2) Le produit des diviseurs de a est P =. Théorème 12 Un entier b >1 divise un entier a > 1, si l'ensemble des facteurs primaires de b est inclus dans l'ensemble des facteurs primaires de a. P.G.C.D et facteurs premiers Théorème 13 Le P.G.C.D de n1, n2,..., np, est le produit de tous les facteurs premiers communs aux factorisations de n1, n2,..., np, chacun d'eux étant affecté du plus petit des exposants de ce facteur dans les factorisations respectives de n1, n2,..., np. Ce théorème offre une méthode pratique de calcul de P.G.C.D. ZHIOUA. K Page 8

9 P.G.C.D de 760, 340, = 5 19 P.P.C.M et facteurs premiers 600 = 3 5² 340 = 2² 5 17 pgcd( 760, 600, 340 ) = 2² 5 = 20 Théorème 14 Le P.P.C.M de n1, n2,..., np, est le produit de tous les facteurs premiers des factorisations de n1, n2,..., np, chacun d'eux étant affectés du plus grand des exposants de ce facteur dans les factorisations respectives de n1, n2,..., np. Ce théorème offre une méthode pratique de calcul de ppcm. P.P.C.M de 760, 340, = = 3 5². 340 = 2² ppcm(760, 340, 600) = 3 5² = Puissance d'un entier et facteurs premiers Théorème 15 Pour tout entier n >1, un entier naturel a >1 est la puissance n-ème d'un entier naturel, si chacun des exposants de sa factorisation en produit d'entiers premiers est un multiple de n. Montrer que est le carré d'un entier naturel = 2² 3² = (2 3 5²) ² = (150)². Donc est le carré de 150. P.P.C.M Définiton L'ensemble des multiples d'un entier a est Ma = {b dans Z, tel que k dans Z tel que b = ak} Ma = {b dans Z, tel que a divise b }. L'ensemble des multiples de zéro est réduit à {0}. Le plus petit commun multiple de deux entiers a et b est noté : ppcm(a, b) ou a b. Propriétés Sur *, la loi est commutative et associative : ZHIOUA. K Page 9

10 a b = b a (a b) c = a (b c) Sur *, la multiplication est distributive par rapport à la loi. a (b c) = ab ac Théorème 9 L'ensemble des multiples communs de deux entiers est l'ensemble des multiples de leur P.P.C.M. Théorème 10 L'ensemble des multiples communs des n entiers non nuls a1, a2,..., an, est l'ensemble des multiples de leur P.P.C.M. Théorème 11 Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors : pgcd(a, b) ppcm(a, b) = a b Ainsi on peut déterminer le ppcm en connaissant le pgcd et le produit de a et b. ppcm(a, b) = ab / pgcd(a, b). ZHIOUA. K Page 10