Cours sur les suites numériques

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1 Suites umériques Cours sur les suites umériques M HARCHY TS 2 -Lycée Agora-205/206 Raisoemet par récurrece Théorème : Axiome de récurrece Soit P ue propriété portat sur les etiers aturels Si elle vérifie les deux coditios suivates : P (0) est vraie, 2 pour tout etier aturel p, P (p) implique P (p + ), alors P () est vraie pour tout etier aturel Si l o peut poser le pied sur le premier barreau de l échelle, et si l o sait passer d u barreau au suivat, alors o pourra moter au sommet de l échelle (même si celle-ci est ifiie!) Remarque Ue propriété peut être vraie qu à partir d ue certai rag 0 ( 0 =,2,) Das ce cas, o iitialise la récurrece à partir de cet etier 0, e vérifiat que P ( 0 ) est vraie Meer ue démostratio par récurrece : O procède e 3 étapes : Iitialisatio : o vérifie que P (0) est vraie 2 Hérédité : o suppose que P (p) est vraie pour u etier aturel p quelcoque fixé (Hypothèse de récurrece) ; o démotre que P (p + ) est vraie 3 Coclusio : pour tout etier aturel, P () est vraie Exercice Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, 4 est multiple de 3 Exercice 2 Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel et tout réel α 0, ( + α) + α

2 Suites umériques 2 Suites réelles : gééralités 2 Défiitio et otatios Défiitio Ue suite réelle est ue foctio de N das R L image d u etier aturel par ue suite réelle u : N R est otée u Le réel u est appelé terme gééral de la suite u ou terme d idice ou de rag La suite u elle-même est souvet otée (u ) N ou (par abus toléré) (u ) Exercice 3 Calculer les 5 premiers termes de la suite (u ) N das chacu des cas suivats : u = 2 pour tout N 2 u = pour tout N 3 u = k= k pour tout Les suites défiies comme celles de l exemple 3 par ue relatio du type u = f () sot dites défiies de maière explicite 22 Suites défiies par récurrece Ue suite (u ) N peut égalemet être défiie par la doée de : so premier terme u 0 (ou u 0, 0 état u etier quelcoque) ; 2 ue relatio de type u + = f (u ), où f est ue foctio de E das E (E sous-esemble de R) Ue telle suite est dite défiie par récurrece L égalité u + = f (u ) est la relatio de récurrece vérifiée par la suite Exercice 4 Calculer les 5 premiers termes de la suite (u ) N défiie par : Remarque : u 0 = 0 et u + = + u 2 pour tout N Ue suite défiie par récurrece peut égalemet (mais pas toujours!) admettre ue défiitio explicite, et réciproquemet Exercice 5 Cojecturer puis démotrer par récurrece l expressio explicite de la suite (u ) N de l exemple 4 2 Doer ue défiitio par récurrece de la suite (u ) N de l exemple 33, défiie par u = k= k 23 Suites arithmétiques et géométriques 23 Suites arithmétiques Défiitio 2 Ue suite (u ) N est dite arithmétique s il existe u réel r tel que pour tout etier aturel, u + = u + r Le réel r est alors appelé la raiso de cette suite 2

3 Suites umériques Théorème 2 Pour tous etiers aturels et p, u = u p + ( p)r E particulier, u = u 0 + r Pour tout etier aturel, u 0 + u + + u = ( + ) u 0+u 2 E particulier, = (+) 2 Remarque : (Somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique) = (Nombre de termes) Exercice 6 Soit (u ) N la suite arithmétique de premier terme u 0 = 4 et de raiso 0 Exprimer u e foctio de Calculer u 57 2 Calculer la somme S = Suites géométriques Défiitio 3 Ue suite (u ) N est dite géométrique s il existe u réel q tel que pour tout etier aturel, u + = q u Le réel q est alors appelé la raiso de cette suite Premier terme+derier terme 2 Théorème 3 Pour tous etiers aturels et p, u = u p q p E particulier, u = u 0 q Si q, pour tout etier aturel, u 0 + u + + u = u 0 q + q E particulier, + q + + q = q+ q Remarque : de termes RaisoNombre si Raiso, (Somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique) = (Premier terme) Raiso Exercice 7 Soit (u ) N la suite géométrique de premier terme u 0 = 2 et de raiso 2 Exprimer u e foctio de Calculer u 0 2 Calculer la somme des 0 premiers termes de la suite ; la somme des premiers termes de la suite Que se passe-t-il lorsque deviet très grad? Exercice 8 Soit (u ) N la suite défiie par u = 2 Motrer à l aide de ses premiers termes que cette suite est i arithmétique i géométrique 24 Suites majorées, miorées, borées Défiitio 4 Ue suite (u ) N est dite majorée s il existe u réel M, appelé majorat de la suite, tel que pour tout etier aturel, u M Ue suite (u ) N est dite miorée s il existe u réel m, appelé miorat de la suite, tel que pour tout etier aturel, u m Ue suite (u ) N est dite borée si elle est à la fois majorée et miorée 3

4 Suites umériques Exercice 9 Motrer que la suite (u ) N est borée par m et M das chacu des cas suivats : u = 2 pour 2 u = pour N ; m = 2 3 et M = 2 3 u = + 8 pour N ; m = et M = u 0 = et u + = u + pour N ; m = et M = 2 5 u 0 = 0 et u + = 3 u + 2 pour N ; m = 0 et M = 3 25 Suites mootoes Défiitio 5 Ue suite (u ) N est dite croissate si pour tout etier aturel, u u + Ue suite (u ) N est dite décroissate si pour tout etier aturel, u u + Méthode : Pour étudier le ses de variatio d ue suite, o peut : Étudier le sige de la différece u + u Comparer à le quotiet u + u Exercice 0 Étudier le ses de variatio de la suite (u ) N das chacu des cas suivats : u = 2 pour N 2 u = pour N 3 u = k= k pour tout 4 u = 2 pour 5 u = 3! pour 6 u 0 = et u + = u + 7 u 0 = 0 et u + = 3 u + 2 4

5 Suites umériques 3 Limite d ue suite 3 Suite covergete Défiitio 6 Soit (u ) N ue suite réelle et l u réel O dit que la suite (u ) N coverge (ou ted) vers l, ou ecore admet pour limite l, si tout itervalle ouvert coteat l cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag Autremet dit : pour tout itervalle ouvert I coteat l, il existe u etier N tel que pour tout etier N, u appartiet à I Remarques : Tout itervalle ouvert coteat l cotiet u itervalle de la forme ]l ε ; l + ε[ O peut doc se limiter à utiliser la propriété de la défiitio avec les itervalles de cette forme : ue suite (u ) N coverge vers l si pour tout réel ε > 0, il existe u etier N tel que pour tout N, u l < ε (c est-à-dire u ]l ε ; l + ε[) u + l (u l) + 0 u l + 0 Exercice Motrer que la suite ( coverge vers 0 ) N Vocabulaire : Si ue suite coverge vers u réel l, c est-à-dire admet ue limite fiie, elle est dite covergete Das le cas cotraire, c est-à-dire si elle admet pour limite ou +, ou bie si elle a pas de limite, elle est dite divergete Théorème 4 : Uicité de la limite Toute suite covergete a ue limite l uique O ote alors cette limite l = lim + u, ou l = limu, ou l = limu Théorème 5 Toute suite covergete est borée Exemples : La suite costate défiie par u = k pour tout N coverge vers k : lim + u = k ( 2 Les suites et ) N ( ) (p p N N ) coverget vers 0 3 Pour tout réel q tel que q <, la suite (q ) N coverge vers 0 4 Cojecturer puis démotrer la limite de la suite de terme gééral u = 2 5

6 Suites umériques 32 Suite divergeat vers l ifii Défiitio 7 Ue suite (u ) N diverge vers + si tout itervalle de la forme ]A ; + [ cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag Autremet dit : pour tout réel A, il existe u etier N tel que, pour tout N, u > A Corollaire : Ue suite qui diverge vers + est pas majorée Théorème 6 Toute suite croissate o majorée diverge vers + Toute suite décroissate o miorée diverge vers Défiitio 8 Ue suite (u ) N diverge vers si tout itervalle de la forme ] ; A[ cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag Autremet dit : pour tout réel A, il existe u etier N tel que, pour tout N, u < A Corollaire : Ue suite qui diverge vers est pas miorée Exemples : Les suites ( ) N et (p ) N (p N ) diverget vers + 2 Pour tout réel q >, la suite (q ) N diverge vers + 3 Cojecturer puis démotrer la limite des suites de terme gééral u = 2 5 et v = Suite admettat aucue limite Lorsqu ue suite admet i limite fiie (ie e coverge pas) i limite ifiie (ie e diverge pas vers ± ), o dit qu elle diverge, ou qu elle est divergete Exemples : La suite (( ) ) N diverge 2 Pour tout réel q <, la suite (q ) N diverge 4 Règles de calcul sur les limites Théorème 7 Soiet (u ) N et (v ) N deux suites réelles de limites respectives l et l Alors les suites (u + v ) N, (u v ) N et (λu ) N (où λ R) coverget respectivemet vers l + l, ll et λl Si de plus l 0, les suites ( v ) N et ( u v ) N coverget respectivemet vers l et l l 6

7 Suites umériques Exercice 2 Soiet (u ) N et (v ) N deux suites réelles covergeat respectivemet vers 2 et 5 Quelle est la limite des suites (u + v ) N, (u v ) N, (u v ) N, ( u v ) N et ( 3 4 u v )? N Si l o iclut la possibilité que l ue des deux suites diverge vers l ifii, l esemble des cas possibles sot résumés das les tableaux ci-dessous 4 Somme lim + u l l l + + lim + v l + + lim + (u + v ) l + l + + FI Exercice 3 Détermier la limite de la suite (u ) N das chacu des cas suivats u = pour tout N 2 u = pour tout N 3 u = 5 ( ) 2 + pour tout N 42 Produit lim + u l l > 0 l > 0 l < 0 l < lim + v l ± lim + u v ll FI Exercice 4 Détermier la limite de la suite (u ) N das chacu des cas suivats u = ( 2 + ) 2 pour tout N 2 u = ( 2)( 2 + 3) pour tout N ( 3 u = + 3 )(2 + 4) pour tout N 7

8 Suites umériques 43 Quotiet lim + u l 0 l 0 l ± 0 lim + v l 0 0 ± l 0 ± l 0 l ± 0 lim + u v l l ± ± ± ± ± FI FI Lorsque le tableau idique ±, ue étude de siges est écessaire pour pouvoir coclure + ou : le résultat fial dépedra d ue part du sige de l ou l, d autre part, si lim + v = 0, du sige de v au voisiage de + (c est-à-dire à partir d u certai rag) Exercice 5 Détermier la limite de la suite (u ) N das chacu des cas suivats u = 3 pour tout N u = 2+4 pour tout N 3 u = 6+ 2 pour tout N 3 4 u = pour tout N 5 u = + 3 pour tout N 6 u = ( 2 3 ) ( 23 ) pour tout N 7 u = ( 7 5 ) ( 75 ) pour tout N 44 Traitemet des formes idétermiées Les quatre cofiguratios suivates sot appelées formes idétermiées Elles écessitet ue étude au cas par cas car il existe pas de règle géérale permettat d e doer la limite résultate Exercice 6 Détermier des exemples de suites (u ) et (v ) pour lesquelles : lim + u = +, lim + v = et lim + (u + v ) = 0 ; 5 ; ; + 2 lim + u = 0, lim + v = + et lim + u v = 0 ; 2 ; ; + 3 lim + u = +, lim + v = + et lim + u v = 0 ; 7 ; ; + 4 lim + u = 0, lim + v = 0 et lim + u v = 0 ; π ; ; + 8

9 Suites umériques 5 Limites et iégalités 5 Théorème de comparaiso pour des suites divergeat vers l ifii Théorème 8 Soiet (u ) N et (v ) N deux suites telles que : u v à partir d u certai rag ; la suite (u ) ted vers + quad ted vers + ; alors la suite (v ) ted vers + quad ted vers + Exercice 7 Détermier la limite de la suite (u ) das chacu des cas suivats : u = + ( ) 2 u = 2 3si Théorème 9 : Limite de q Soit q R Si q >, alors lim + q = + Si q =, alors lim + q = Si q < (c est-à-dire < q < ), alors lim + q = 0 Si q, alors la suite (q ) N a pas de limite 52 Théorème des gedarmes Théorème 0 : Théorème des gedarmes Soiet (u ) N, (v ) N et (w ) N trois suites telles que : (u ) et (w ) coverget vers la même limite l ; u v w à partir d u certai rag ; alors la suite (v ) coverge aussi vers l Corollaire : si (u ) N et (v ) N sot deux suites telles que (v ) coverge vers 0 et u l v à partir d u certai rag, alors (u ) coverge vers l Exercice 8 Détermier la limite de la suite (u ) das chacu des cas suivats : u = ( ) 2 u = si 2 3 u = si(2 ) 4 u = si( π ) 5 u = 2+cos 6 u = cos2 7 u = 3 2si(2 ) Exercice 9 Soit u = sik k= = si + si2 + + si pour tout etier N E détermiat u ecadremet de u, motrer que la suite (u ) coverge 9

10 Suites umériques Exercice k = O défiit pour tout etier N : u = k= Quelle est la limite de chacu des termes qui composet la somme ci-dessus? Peut-o e déduire la limite de u? Parmi les termes qui composet la suite u, lequel est le plus grad? Le plus petit? 3 E déduire que pour tout etier, u 2 puis coclure Suites mootoes Théorème Toute suite croissate et majorée coverge Toute suite décroissate et miorée coverge ATTENTION : si ue suite croissate est majorée par u réel M, o peut e déduire qu elle coverge, mais o que sa limite est égale à M! Par cotre, o sait par le théorème 0 que sa limite est iférieure ou égale à M Théorème 2 Soit (u ) N ue suite croissate covergeat vers ue limite l Alors tous les termes de la suite sot iférieurs ou égaux à l Exercice 2 Soit u = k= k 2 pour tout N Etudier le ses de variatio de la suite (u ) 2 E remarquat que pour k 2, k 2 k(k ) et k(k ) = k k, motrer que (u ) est majorée 3 E déduire que (u ) coverge, et proposer u ecadremet de sa limite Exercice 22 O défiit pour tout etier : u = k= k 3 = Doer u miorat de la suite (u ) 2 Etudier le ses de variatio de la suite (u ) 3 Motrer que pour tout etier, u 2 4 Justifier que la suite (u ) coverge, et doer u ecadremet de sa limite La limite de cette suite est appelée la costate d Apéry, du om du mathématicie fraçais Roger Apéry qui a démotré so irratioalité e 977 0