Fonction exponentielle - Correction

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1 Exercice 1 Fonction exponentielle - Correction Résoudre les équations suivantes : 1. e x e x = 0 e x e x = 0 e x = e x x = x x = 0. e x (1 + e)e x + e = 0 On pose X = e x. L équation à résoudre devient donc : X (1 + e)x + e = 0 C est une équation du second degré. Calculons le discriminant. = (1 + e) 4e = 1 e+ = (1 e) Et donc, en sachant que e > 1, la racine du discriminant vaut : = e 1 L équation du second degré admet donc deux solutions distinctes : { X1 = 1+e+e 1 = e = e > 0 X = 1+e (e 1) = 1+e e+1 = = 1 > 0 e x (1 + e)e x + E = 0 (e x = e ou e x = 1) x = 1 ou x = 0 3. e x + 19 = 5e x e x + 19 = 5e x (7e x = 19) (e x = 19 7 ) (ln(ex ) = ln( 19 7 )) x = ln(19 7 ) 3e 4. x +1 5e x + = ex 37 e x 64 On pose X = e x. L équation de départ devient donc : 3X + 1 5X + = X 37 X 64 L ensemble de définition de cette équation est : R { 5 ; 3}. Résolvons-la. 3X + 1 5X + = X 37 (3X + 1)(X 64) = (5X + )(X 7) X 64 (6X 190X 64 = 5X 183X 74) X 7X + 10 = 0 (X )(X 5) = 0 Soit : X = ou X = 5. Or, et 5 sont dans l ensemble de définition R { 3X+1 5 ; 3}, donc et 5 sont bien solutions de 5X+ = X 37 X 64. Revenons au petit x : e x = ou e x = 5 soit : x = ln() ou x = ln(5) 1

2 5. e 3x+ + e e 3x+ = e + 1 On pose X = e 3x+ > 0. L équation de départ devient donc : Résolvons cette équation. X + e X = 1 + e X + e X = 1 + e X (1 + e)x + e = 0 Equation du second degré avec = (1 + e) 4e = (1 e) positif, donc deux solutions distinctes. { X 1 = 1+e+ = 1+e+e 1 = e X = 1+e = 1+e e+1 = = 1 Ces solutions sont strictement positives, donc, en revenant au petit x : Donc, les solutions de l équation e 3x+ + e 3x+ = e ou e 3x+ = 1, soit : 3x + = 1 ou x + = 0. e e 3x+ = e + 1 sont les suivantes : x = 1 3 ou x = 3. Exercice Résoudre les inéquations suivantes : 1. e x e x < e 6 e x e x < e 6 e x +x < e 6 x + x < 6 x + x 6 < 0 On résout aisément l équation x + x 6 = 0 pour trouver les solutions 3 et. Donc, l ensemble des solutions de l inéquation est : S =] 3; [ e. x 1 e x < ex e x +1 Cette inéquation est définie pour x tel que e x 0 c est-à-dire si x ln(). On pose X = e x. L inéquation de départ devient donc : Ce qui se résout ainsi : X X < X X < X X + 1 X X X X + 1 X X + 1 < 0 X + 3X 1 (X )(X + 1) < 0 Les racines du polynôme X + 3X 1 sont X 1 = 3 13 < 0 et X = > 0. Or, X = e x > 0, on ne gardera que la solution positive. Traçons le tableau de signe correspondant.

3 Revenons au petit x : X + 3X 1 (X )(X + 1) < 0 X ] ; [ e x 1 e x < ex e x + 1 Conclusion, l ensemble des solutions de l inéquation sont : Exercice 3 Montrer la ite suivante : x ] ln( ); ln()[ S =] ln( ); ln()[ e x 1 = 1 x 0 x Il s agit d une application directe de la dérivabilité de la fonction exponentielle en zéro. Soit f(x) = e x. Exercice 4 f(x) f(0) e x 1 = = f (0) = e 0 = 1 x 0 x 0 x 0 x Déterminer la ite suivante : Posons tout d abord : Pour tout x 0, on a : Limite en + : 3x 5 x+5 x ± e( x 4 +5x ) +3 u(x) = 3x5 x + 5 x 4 + 5x + 3 u(x) = 3x5 (1 3x x ) 5 x 4 (1 + 5 x + 3 x ) = 3 x x x 5 x + 3 x 4 Or, 1 3x x x + 3 = 1 x 4 u(x) = + ex = + Donc, d après le théorème sur la ite composée de deux fonctions, on a : eu(x) = + f(x) = + Limite en : 1 3x x 5 x x + 3 = 1 x 4 u(x) = x 3

4 Or, x ex = 0 Donc, d après le théorème sur la ite composée de deux fonctions, on a : x eu(x) = 0 f(x) = 0 x Exercice 5 Déterminer la ite suivante des fonctions suivantes en ±. 1. f(x) = 5x e x +1 Limite en + : Pour tout x non nul, on a : Or : On sait que : Et donc : D où : 5x e x + 1 = x(5 x ) e x (1 + 1 e ) = x e x 5 x x e x 5 x = e x = 1 5 x e x = 5 e x x = + x e x = 0 5x e x + 1 = 0 f(x) = 0 Limite en : Beaucoup plus simple. On va déterminer la ite du numérateur puis celle du dénominateur. (5x ) = } x x (ex + 1) = 1 5x x e x + 1 = f(x) = x. g(x) = ex5 1 x Limite en + : Pour tout x non nul, on a : e x5 1 x = x 4 ex5 x 5 (1 1 e x5 ) 4

5 Or : x5 = + X + ex = + Donc, d après le théorème sur la ite de la composée de deux fonctions : ex5 = + D où : De plus, on sait que : Et que : Or, Conclusion : (1 1 ) = 1 e x5 x5 = + e X X + X = + e x5 x 5 = + x4 = + f(x) = + Limite en + : On a : Et comme : On peut en conclure que : x x5 = X ex = 0 x ex5 = 0 1) = 1 x (ex5 1 x x = 0 f(x) = 0 x Exercice 6 Déterminer la ite suivante : Pour tout réel x ln 5, on a : e x + 1 e x 5 e x + 1 e x 5 = ex (1 + 1 e ) x e x (1 5 e ) = ex e x 1 5 x e x 5

6 Or : Et comme : Nous pouvons en conclure que : (1 + 1 e x ) = 1 (1 5 e x ) = e x 1 5 = 1 e x ex = + e x + 1 e x 5 = + Exercice 7 Déterminer la dérivée des fonctions suivantes : 1. f(x) = x e x Pour fout réel x, on pose u(x) = x et v(x) = x. On a donc : f(x) = u(x) e v(x) Les fonctions u et v sont dérivables sur l ensemble des réels et u (x) = x et v (x) = 1. Donc, f est dérivable sur R et pour tout réel x, on a : f (x) = u (x) e v(x) + y(x) v (x)e v(x) = xe x x e x = x( x)e x. g(x) = e x x Pour tour réel x positif non plus, on pose u(x) = x et v(x) = x. On a donc : g(x) = u(x) e v(x) g (x) = u (x) e v(x) + u(x) v (x)e v(x) = 1 x ex + x e x = e x 1 ( x + x) 3. h(x) = ex 3x x +e x Pour tout réel x, on pose u(x) = e x 3x et v(x) = x + e x. On a donc : h(x) = u(x) v(x) Or, les fonctions u et v sont dérivables sur R : u (x) = e x 3 et v (x) = x + e x. Comme pour tout réel x, v(x) 0, la fonction h est dérivable sur R. Calculons sa dérivée. h (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) v (x) = (ex 3)(x + e x ) (e x 3x)(x + e x ) (x + e x ) = ex + x e x 3e x 3x e x xe x + 6x (x + e x ) = (x x 3)e x + 3x (x + e x ) 6

7 Exercice 8 Soit la fonction f définie sur R + par f(0) = 0 et si x 0 : f(x) = x e 1 x 1. Montrer que f est continue sur R + et étudier la continuité de f en 0. La fonction e 1 x est continue sur R +, qui est la composée de fonctions continues, et la fonction racine carrée est continue sur R +. Donc, la fonction f est continue sur R + car c est un produit de fonctions continues. Etudions à présent la continuité de f en 0. La fonction racine est continue en 0, donc : De plus : On en déduit donc que : Et que : La fonction f est donc continue en 0. Finalement, f est continue sur R. x = 0 x 0 1 x 0 + x = X ex = 0 e 1 x = 0 x 0 x 0 +( x 1 x ) = 0 f(x) = 0 = f(0) x 0. Montrer que f est dérivable sur R + et étudier la dérivabilité de f en 0. La fonction e 1 x est dérivable sur R +, qui est la composée de fonctions continues, et la fonction racine carrée est dérivable sur R +. Donc, la fonction f est dérivable sur R + car c est un produit de fonctions continues. Etudions à présent la dérivabilité de f en 0. Si x > 0, alors : Or, on sait que : De plus : D où : f(x) f(0) x 0 La fonction f est dérivable en 0 et on a : = f(x) x x = x e 1 1 x = x ( x ) e 1 x ( x) = 0 x x 0 + x = X XeX = 0 x 0 +( 1 x ) e 1 x = 0 f(x) f(0) = 0 x 0 + x f (0) = 0 7

8 Exercice 9 Soient les fonctions f et g définies par : f(x) = 1 x x + xe x g(x) = 1 x x On désigne par C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormé. 1. Déterminer la ite de la fonction f en. Partie A Pour tout réel x, on a : f(x) = xe x ( 1 xex e x + 1) On sait que : Et que : De plus : x xex = 0 x ex = 0 1 x xex e x + 1 = 1 x = + x X + ex = + Donc, d après le théorème sur la ite de la composé de deux fonctions : x e x = + D où : Finalement, on obtient : x xe x = f(x) = x. Déterminer la ite de la fonction f en +. On a : Or : Ainsi : 1 x x = x ( 1 1 x ) (1 x x) = + x = X XeX = 0 xe x = 0 (1 x x ( xe x )) = + 8

9 Et donc : f(x) = + 3. On pose h(x) = f(x) g(x). Déterminer la ite de la fonction h en +. Donner une interprétation graphique de ce résultat. On a : Et on a vu que : h(x) = f(x) g(x) = xe x xe x = 0 f(x) = 0 Qu es-ce que cela veut dire? Eh bien, comme f(x) = g(x) + h(x) et que la ite de h(x) en l infini vaut 0, la courbe C g est une courbe asymptote à la courbe C f. 4. Etudier la position relative des courbes C f et C g. On a : f(x) g(x) = h(x) = xe x Et h(x) est du signe de x, donc C f est au dessous de C g sur l intervalle ] ; 0[ et C f est au dessus de C g sur ]0; + [. De plus, les courbes se coupent au point d abscisse 0. Partie B 5. Montrer que la dérivée f de f est : f (x) = (x 1)(1 e x ) D abord, la fonction f est dérivable sur l ensemble des réels et pour tout réel x, la dérivée de f est : f (x) = x 1 + e x xe x = (x 1) e x (x 1) = (x 1)(1 e x ) 6. Etudier le signe de cette dérivée pour en déduire les variations de la fonction f. On a : 1 e x > 0 1 > e x e x > 1 x > 0 On en déduit aisément le tableaux de signes suivant : 9

10 On en déduit facilement que f est strictement croissante sur ] ; 0[ et sur [1; + [ et strictement décroissante sur [0; 1]. 7. Dresser le tableau de variation des fonction f et g. Le tableau de variations de la fonction f se déduit du tableau de signes précédent : Pour la fonction g, on a : g (x) = x 1 8. Tracer C f et C g. Voici les représentations graphiques des fonction f et g. 10

11 Exercice 10 Soit f la fonction définie sur [1; + [ par : f(x) = e x x Partie A 1. En dérivant deux fois la fonction f, déterminer les variations de cette fonction sur son domaine de définition. Pour tout x [1; + [ : f (x) = e x x f (x) = e x Or, x 1, donc : e x e car la fonction exponentielle est croissante. Ainsi e x e > 0 et f (x) > 0. Donc, f est strictement croissante sur [1; + [. Ainsi, si x 1, alors f (x) > f (1) et comme f (1) = e > 0, on a f (x) > 0 et donc f est strictement croissante sur [1; + [.. Déterminer le signe de f. 11

12 Comme f est strictement croissante sur [1; + [ et u 1, alors : f(x) f(1) Or, Donc f est positive sur [1; + [. f(1) = e 1 > 0 On considère la fonction g définie sur [0; + [ par : Partie B g(x) = xe x On appelle C g sa courbe représentative. 3. Déterminer la ite de g en +. Pour tout x [1; + [ : Donc, si x [1; + [, alors : f(x) > 0 f(x ) > 0 e x > x 4 e x < 1 x 4 xe x < 1 x 3 0 g(x) 1 x 3 D après le théorème des gendarmes, comme : On a : 1 x 3 = 0 g(x) = 0 4. Justifier la décidabilité de g sur [0; + [ avant de déterminer ses variations sur [0; + [ et dresser son tableau de variations. La fonction x est dérivable sur [0; + [, la fonction e x est dérivable sur [0; + [ comme composée de fonctions dérivables et enfin la fonction xe x, soit la fonction g, est dérivable sur [0; + [ comme produit de fonctions dérivables. On peut donc calculer sa dérivée. Pour tout x de l intervalle [0; + [ : g (x) = e x x e x = (1 x )e x Donc, f (x) est du signe de (1 x ) car e x > 0 (c est une exponentielle). 1 x = 0 x 1 = ou x = On en déduit aisément le tableau de signes suivant. Nous lisons très bien que g est strictement croissante sur [0; ] et strictement décroissante sur [ ]. Voici donc le tableau de variations de la fonction g. 1

13 5. Déterminer une équation de la tangente (T ) à C g au point d abscisse 0. La fonction f est dérivable en 0, donc C g admet au point d abscisse 0 une tangente d équation : y = g (0)(x 0) + g(0) Comme g (0) = 1 et g(0) = 0, une équation de la tangente (T ) à C g au point d abscisse x = 0 est donc : y = x 6. Tracer la droite (T ) et la courbe C g. Partie C On considère la fonction h définie sur [0; + [ par : h(x) = x 3 e x On appelle C h sa courbe représentative. 7. Déterminer la ite de h en + en utilisant la partie A. Pour tout x [1; + [ : Donc, si x [1; + [, alors : f(x) > 0 f(x ) > 0 e x > x 4 e x < 1 x 4 x3 e x < 1 x 0 h(x) 1 x D après le théorème des gendarmes, comme : On a : 1 x = 0 h(x) =

14 8. Déterminer les variations de h sur [0; + [ et dresser son tableau de variations. La fonction h est dérivable sur [0; + [, on peut donc la calculer. Pour tout x [0; + [ : h (x) = 3x e x x 4 e x = x e x (3 x ) h (x) est donc du signe de (3 x ) car x e x > 0. Les racines du polynôme (3 x ) se calculent facilement. Les voici : x 1 = On en déduit le tableau de signes de la fonction h. 3 et x = 3. 3 On en déduit que h est strictement croissante sur [0; ] et strictement décroissante sur [ 3, + ]. 9. Déterminer les positions relatives de C g et C h. Pour déterminer la position relative de ces deux courbes, on étudie le signe de g(x) h(x). Pour tout x [0; + [ : g(x) h(x) = xe x x 3 e x = x(1 x )e x Le signe de g(x) h(x) est celui de x(1 x ). Voici le tableau de signes correspondant. C g est au dessus de C h sur ]0; 1[, C g est en dessous de C h sur ]1; + [ et les deux courbes se coupent aux points d abscisses 0 et Tracer C g et C h. Voici les tracé dans un graphique. 14

15 Exercice 11 La suite (u n ) est définie pour n 1 par : u n = (1 + 1 n )n Le but de cet exercice est de déterminer la ite de cette suite. 1. Montrer que, pour tout réel x, on a : 1 + x e x. En déduire que si n 1, alors (1 + 1 n )n e. On sait que 1 + x e x (cela se démontre très facilement). En posant x = 1 n, on a : si n 1, alors : n e 1 n Donc, la fonction x n, n naturel non plus, étant croissant sur [0; + [ : (1 + 1 n )n e. En posant X = x, montrer que si X < 1, alors e X 1 1 X. En déduire que si n 1, alors e (1 + 1 n )n+1. On pose X = x. Si X < 1, alors 0 < 1 X e X et donc : Or : X = 1 n+1 donne : 1 1 X = n+1 En utilisant la question précédente, on obtient : e X 1 1 X = 1 n n+1 e X = e 1 n+1 = n + 1 n e 1 n n e (1 + 1 n )n+1 = n 15

16 3. En déduire que si n 1, alors 0 e u n 3 n. D après les questions précédentes, pour tout n 1 : (1 + 1 n )n e (1 + 1 n )n+1 0 e (1 + 1 n )n (1 + 1 n )n+1 (1 + 1 n )n Or : (1 + 1 n )n+1 (1 + 1 n )n = (1 + 1 n )n 1 n 0 e u n n (1 + 1 n )n 1 n e n 3 n 4. En conclure que : On a : D où : n + (1 + 1 n )n = e 3 n + n = 0 (e u n) = 0 n + u n = e n