Théorie des ensembles et combinatoire

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1 Théorie des ensembles et combinatoire Valentin Vinoles 24 janvier 2012

2 Table des matières 1 Introduction 2 2 Théorie des ensembles Définition Aartenance et inclusion Oérations ensemblistes Intersection Union Comlémentaire Exercices Factorielle Définition Exercices Combinatoire Cardinal Définition Formule de Grassman Listes d éléments d un ensemble Permutations d un ensemble Listes avec réétitions Listes sans réétition (arrangement) Combinaisons Exercices Coefficients binomiaux Symétrie Triangle de Pascal Formule du binome Exercices Alications d un ensemble dans un autre Définition Surjection, injection, bijection Surjection Injection Bijection Lien avec la combinatoire Exercices

3 Chaitre 1 Introduction Combien y a-t-il de numéros de cartes bancaires ossibles? Combien eut-on tracer de triangles en utilisant n oints? Voici des questions auxquelles la combinatoire, la science de comter des objets, ermet de réondre. La combinatoire trouve un grand nombre d alications dans les robabilités discrètes. Elle ermet de calculer la robabilité de gagner au loto, la robabilité de faire un 7 avec deux dés ou encore la robabilité d avoir au moins deux as dans une main de cinq cartes. La réonse est donnée ar la formule des robabilités uniformes (c est-à-dire dans le cas où toutes les configurations ont la même chance d arriver) : robabilite de l évènement = nombre de cas favorables nombre de cas ossibles. Ainsi our connaitre la robabilité d avoir deux as dans une main de cinq cartes, il faut savoir combien il y a de mains de cinq cartes (cas ossibles), et savoir combien il y a de mains de cinq cartes avec au moins deux as (cas favorables). Le résent document vise à donner les outils de base de théorie des ensembles et de combinatoire our réondre à ce genre de questions. On commence ar donner quelques éléments de la théorie dite naïve 1 des ensembles. Ensuite, arès un bref chaitre sur la notion de factorielle, on donnera les rinciaux résultats de combinatoire qui ermettent de réondre aux questions ci-dessus. Pour finir on donnera deux chaitres comlémentaires, l un our arofondir la notion de coefficient binomial et l autre our donner oint de vue lus théorique sur la combinatoire à travers la notion d alication. Les démonstrations ne sont as inattaquable sur le lan de la rigueur ure, mais sont là our donner une idée de ourquoi les choses marchent. 1. l étude d une théorie axiomatique rigoureuse des ensembles, comme celle de Zermelo-Fraenkel, déasse de très loin le niveau de ce cours. 2

4 Chaitre 2 Théorie des ensembles 2.1 Définition Définition. Un ensemble est une collection d objets. Ces objets sont aelés éléments de l ensemble. Les ensembles euvent être finis ou bien infinis. Dans le cas fini, on utilisera la notation avec des accolades : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} désigne l ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 6. Il n y a as de notion d ordre, un ensemble est seulement caractérisé ar ses éléments. Ainsi {4, 1, 3, 2} = {1, 2, 3, 4}. De même on ne rend as en comte la réétition des objets : {1, 2, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}. On notera l ensemble vide, c est-à-dire l ensemble qui ne contient aucun élément. 2.2 Aartenance et inclusion Pour dire qu un objet a est élément d un ensemble A, on notera a A, et a / A dans le cas contraire. i) 2 {1, 2, 3, 4}. ii) 2 / {1, 3, 5, 7}. iii) 2 / Q. iv) 2 R. Définition. Un ensemble A est inclus dans un ensemble E si tout élément de A est un élément de E. On note alors A E, et A E dans le cas contraire. Autrement dit, on a A E si our tout élément a A, on a a E. Si A B, on dit que A est un sous-ensemble (ou une artie) de E. 3

5 i) L ensemble des voitures est inclus dans l ensemble des moyens de transort, mais l ensemble des moyens de transort n est as inclus dans l ensemble des voitures. ii) {1, 5, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6}. iii) N R. iv) Q Z. 2.3 Oérations ensemblistes Intersection Définition. L intersection de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B. On le note A B. Autrement dit, x A B si x A et x B. Lorsque A B =, on dit que les ensembles A et B sont disjoints. i) {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 3, 5}. ii) N { 2} =. iii) Q R = Q Union Définition. L union (ou réunion) de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B. On le note A B. Autrement dit, x A B si x A ou x B. Attention le ou mathématique est inclusif et non exclusif, contrairement à la vie courante (fromage ou dessert, garçon ou fille, etc.) comme le montre le remier exemle suivant : i) {1, 2} {2, 3} = {1, 2, 3} (ou inclusif) et non {1, 3} (ou exclusif). ii) {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}. iii) Q R = R. 4

6 2.3.3 Comlémentaire Définition. Soit E un ensemble et soit A un sous-ensemble de E. Le comlémentaire de A est l ensemble des éléments de E qui ne sont as dans A. On le note A c, A ou encore E \ A. Autrement dit, x A c si x E et x / A. On remarquera l imortance de bien réciser l ensemble E comme le montre les exemles suivants : i) Pour {1, 3, 5} vu comme sous-ensemble de {1, 2, 3, 4, 5, 6}, on a {1, 3, 5} c = {2, 4, 6}. ii) Pour {1, 3, 5} vu comme sous-ensemble de {1, 3, 5, 7}, on a {1, 3, 5} c = {7}. iii) Le comlémentaire de N vu comme sous-ensemble de Z est l ensemble Z des entiers strictement négatifs. 2.4 Exercices Exercice 1. Soient A et B deux ensembles inclus dans un ensemble E. Comrendre ourquoi on a toujours les roriétés suivantes (ne as hésiter à faire des schémas!) : i) A = et A = A. ii) A A B, A B A, A B A B et A. iii) (A c ) c = A, A A c = E et A A c =. iv) Si A B et B A, alors A = B. Exercice 2. Trouver tous les sous-ensembles ossibles de {1, 2, 3}. Exercice 3. Soit A l ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à 10 qui sont airs et soit B l ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à 10 qui sont divisibles ar 3. i) Écrire les éléments de A et de B. ii) Exliciter A B et A B. iii) Exliciter A c et B c vus comme sous-ensemble de {0, 1,..., 9}. iv) Donner un ensemble C non vide qui soit inclus dans B. v) Donner un ensemble D non vide tel que A et D soient disjoints. 5

7 Chaitre 3 Factorielle 3.1 Définition Définition. Soit n un entier naturel non nul. On définit la factorielle de n, notée n!, ar On convient que 0! = 1. Exemle. 5! = Exercices n! = 1 2 n. Exercice 4. Montrer que 6! 7! = 10! sans calculer exlicitement les différentes factorielles. Exercice 5. Soit n un entier naturel. Simlifier (n + 1) n! et (n + 1)!. n! Exercice 6. Soient n et des entiers naturels tels que n. Montrer que n! = n (n 1) (n + 1). (n )! 6

8 Chaitre 4 Combinatoire 4.1 Cardinal Définition Définition. Le cardinal d un ensemble fini 1 E est le nombre d éléments de E. On le note #E, card(e) ou encore E. i) #{1, 3, 5, 7} = 4. ii) # = Formule de Grassman Proosition. Soient A et B deux ensembles finis. On a #A B = #A + #B #A B. En articulier, si A B = (A et B disjoints) on a Et si B = A c, on a toujours A B = et de lus #A B = #A + #B. #A c = #E #A. Démonstration. Quand on fait #A + #B, on comte une fois les éléments de A qui ne sont as dans B, une fois les éléments de B qui ne sont as dans A mais on comte deux fois les éléments qui sont à la fois dans A et dans B, c est-à-dire dans A B. Il faut donc retrancher une fois #A B à #A + #B our obtenir #A B. On a alors bien #A B = #A + #B #A B. 4.2 Listes d éléments d un ensemble Permutations d un ensemble Définition. Soit E un ensemble fini de cardinal n 1. Une ermutation de E est une liste (e 1, e 2,..., e n ) de tous les n éléments de E, où e 1 E, e 2 E,..., e n E deux à deux distincts. L ordre comte dans les ermutations. 1. La notion de cardinalité our des ensembles infinis existe mais déasse de très loin le niveau de ce cours. 7

9 i) (1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 2, 4, 3) sont des ermutations de {1, 2, 3, 4}. ii) chien, chine, niche sont des ermutations de {i, e, n, h, c}. Proosition. Le nombre de ermutations d un ensemble à n éléments est n!. Il y a donc n! façons d ordonner un ensemble de n éléments. Démonstration. Pour le remier terme de la liste, on a n choix ossibles. Pour le deuxième, on a n 1 choix ossibles (les n éléments moins celui choisi en remier), our le troisième n 2 et ainsi de suite jusqu à n avoir lus qu un seul choix our le n-ième élément. On a donc n (n 1) 1 = n! choix ossibles. Alications. i) Il y a 120 façons de disoser 5 ersonnes dans une voiture à 5 laces. En effet, cela revient à trouver toutes les ermutations d un ensemble à 5 éléments, il y en a en tout 5! = 120. ii) Il y a 20! = façons d ordonner 20 livres sur une étagère Listes avec réétitions Définition. Soit E un ensemble fini de cardinal n 1 et soit un entier naturel non nul. Une liste avec réétition de éléments de E est de la forme (e 1, e 2,..., e ) avec e 1 E, e 2 E,..., e E. On utilisera les listes avec réétitions our modéliser les situations corresondants à un tirage avec remise de objets dans une urne à n éléments. i) (2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3) est une liste avec réétitions de 9 éléments de {1, 2, 3, 4}. ii) Soit E = {a, b, c,...} l alhabet (y comris les lettres accentuées). Tout mot eut être vu comme une liste avec réétitions de E. Proosition. Soit E un ensemble fini de cardinal n et soit un entier naturel non nul. Le nombre de listes avec réétition de éléments de E est n. Démonstration. Pour le remier terme de la liste, on a n choix ossibles. Pour le deuxième, on a toujours n choix ossibles (on a le droit aux réétitions), our le troisième encore n et ainsi de suite fois. On a donc n n n ( fois) choix ossibles, c est-à-dire n choix. Alication. Il y a 10 8 numéros de téléhone commençant ar 06. En effet, il y en a autant que de listes avec réétitions de 8 éléments de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} qui a 10 éléments. Il y en a en tout Listes sans réétition (arrangement) Définition. Soit E un ensemble fini de cardinal n 1 et soit n un entier naturel non nul. Une liste sans réétition de éléments de E est de la forme (e 1, e 2,..., e ) avec e 1 E, e 2 E,..., e E deux à deux distincts. On a nécessairement n si on veut que les éléments soit deux à deux distincts 2. Une liste sans réétition est aussi aelée arrangement. On utilisera les listes sans réétition our modéliser les situations corresondants à un tirage sans remise de objets dans une urne à n éléments, tirage our lequel l ordre comte. 2. ce rincie est connu sous le nom de rincie des tiroirs, voir la dernière artie du chaitre 6 our lus d exlications. 8

10 i) (1, 2, 3) et (3, 1, 2) sont des listes sans réétitions de 3 éléments de {1, 2, 3, 4}, mais as (1, 1, 2). ii) Soit E = {a, b, c,...} l alhabet. Le mot beau est un arrangement de E, mais as maman. Proosition. Soit E un ensemble fini de cardinal n 1 et soit n un entier naturel non nul. Le nombre A n d arrangements à éléments de E est A n = n (n 1) (n + 1) = On remarque que our = n, on retrouve le nombre de ermutations. n! (n )!. Démonstration. Pour le remier terme, on a n choix ossibles. Pour le deuxième, on a n 1 choix ossibles (les n éléments moins celui choisi en remier), our le troisième n 2 choix et ainsi de suite jusqu à n avoir lus que n ( 1) = n + 1 choix our le dernier terme (le -ième). On a donc n (n 1) (n + 1) choix ossibles. Alication. Il y a A 3 5 = 20 façons de disoser 2 ersonnes dans une voiture à 5 laces. En effet, cela revient à trouver tous les arrangements à 2 éléments d un ensemble à 5 éléments, il y en a en tout A 3 5 = Combinaisons Définition. Soit E un ensemble fini de cardinal n 1 et soit n un entier naturel non nul. Une combinaison de éléments de E est un sous-ensemble de E de cardinal. Les éléments d une combinaison sont deux à deux distincts. Contrairement aux listes, il n y a as de notion d ordre. On utilisera les combinaisons our modéliser les situations corresondants à un tirage sans remise de objets dans une urne à n éléments, tirage our lequel l ordre ne comte as. i) {1, 2, 3} et {3, 1, 4} sont des combinaisons de 3 éléments de {1, 2, 3, 4}. ii) Une main dans un jeu de cartes est une combinaison de cartes, tyiquement 4 ou 5. Proosition. Soit E un ensemble fini de cardinal n 1 et soit n un entier naturel non nul. Le nombre ( n ) de combinaisons de éléments de E est ( ) n n (n 1) (n + 1) n! = =!!(n )!. Le nombre ( n ) s aelle coefficient binomiale et se lit armi n. Il corresond au nombre de façons de choisir éléments dans un ensemble à n éléments. Démonstration. Notons C n le nombre de combinaisons. Un arrangement est caractérisé ar : 1. le choix d une artie de E à éléments : il y en a C n ossibles ; 2. une façon d ordonner ces éléments : il y en a!. On en déduit qu il y a Cn! choix d arrangement. Or on sait d autre art qu il y en a A n. On a donc ( ) Cn = A n n! n =!!(n )! =. 9

11 Alication (nombre de tirages ossibles au loto). Un tirage du loto consiste à tirer 5 numéros comris entre 1 et 49, l ordre ne comtant as. Cela revient à comter le nombre de combinaisons à 5 éléments de {1, 2,..., 49} de cardinal 49. Il y en a ( ) 49 5 (5 armi 49), c est-à-dire ( ) 49 = Exercices Exercice 7. Résoudre avec le formalisme de la théorie des ensembles le roblème suivant : dans un lycée de 80 ersonnes, 55 ersonnes font l otion sort, 33 font l otion latin et 16 ne font aucune de ces otions. Combien de ersonnes font les deux otions? Exercice 8. Il y a 20 chevaux au déart dans une course hiique. Combien y a-t-il de tiercés (c està-dire les 3 remiers chevaux) ossibles à l arrivé dans l ordre? Et dans le désordre? Exercice 9. Une laque d immatriculation est de la forme XX NNN XX où X est une lettre entre A et Z et N un nombre entre 0 et 9. Combien y a-t-il de laques d immatriculation différentes? Exercice 10. Une banque fournit des cartes bancaires qui ont un code secret à 4 chiffres. La banque n accete as les codes ayant quatre fois le même chiffre, comme 0000 ou Combien y a-t-il de codes secrets accetables? Exercice 11. On tire trois boules simultanément dans une urne contenant trois boules blanches, trois rouges, trois vertes et trois noires. Combien y a-t-il de tirages contenant aucune boule blanche? 1 boule blanche? 2 boules blanches? 3 boules blanches? Même questions si on fait un tirage avec remise. Exercice 12. Dans un jeu de 32 cartes, on choisit 5 cartes au hasard (c est-à-dire une main). 1. Combien y a-t-il de mains au total? 2. Combien y a-t-il de mains contenant exactement 3 as? 3. Combien y a-t-il de mains contenant au moins 3 as? 4. En déduire le nombre de mains contenant les 4 as. Pouvait-on trouver directement ce résultat? Exercice 13. On se donne un olynôme à n côtés. Combien y a-t-il de diagonales? En déduire quels sont les olygones ayant autant de diagonales que de côtés. Exercice 14. Dans le quadrillage ci-contre, on ne eut se délacer que vers le bas ou vers le droite. 1. Combien y a-t-il de chemins de A vers B? 2. Combien y a-t-il de de A vers B assant ar C? 10

12 Exercice 15. Dans un tournoi de tennis, 2n joueurs sont en lice. Le remier jour, on a n rencontres qui font chacune affronter deux joueurs. Montrer que le nombre de configurations ossibles des rencontres est (2n)! 2 n n!. Exercice 16 (aradoxe des anniversaires). On considère un groue de n ersonnes. On considère E l ensemble de toutes les dates d anniversaires des n ersonnes et A l ensemble de toutes les dates d anniversaire deux à deux distinctes. Calculer #E uis #A. On admet que la robabilité que ersonne n ait la même date d anniversaire que quelqu un d autre est donnée ar #A/#E. Calculer cette robabilité our n = 10, n = 30, n = 50 et n = 100. Commenter le résultat. 11

13 Chaitre 5 Coefficients binomiaux On raelle que le coefficient binomial ( n ) vaut ( ) n n! =!(n )! et corresond au nombre de façons de choisir éléments armi n sans tenir comte de l ordre. Quelques valeurs articulières : i) ( n 0) est le nombre de sous-ensembles à 0 éléments dans un ensemble à n éléments. Il y en a qu un seul, c est l ensemble vide. On a donc ( ) n = 1. 0 ii) ( n 1) est le nombre de sous-ensembles à 1 éléments dans un ensemble à n éléments. Il y en a autant que d éléments. On a donc ( ) n = n. 1 iii) ( n n) est le nombre de sous-ensembles à n éléments dans un ensemble à n éléments. Il y en a autant que d éléments. Il y en a qu un seul, c est l ensemble lui-même. On a donc ( ) n = 1. n 5.1 Symétrie Proosition. Soient n 1 et des entiers naturels tels que n. On a ( ) ( ) n n =. n On remarque que l on retrouve (en renant = 0) que ( ) ( ) n n = = 1. 0 n En renant = 1 on a ( ) n = n 1 ( ) n = n. 1 Démonstration. Il suffit de remarquer qu à un sous-ensemble de cardinal on eut associer son comlémentaire, qui a our cardinal n. Comter le nombre de sous-ensembles revient donc à comter les comlémentaires. Dans un cas il y en a ( ) ( n et dans l autre n n ), d où ( ) ( ) n n =. n 12

14 5.2 Triangle de Pascal Proosition. Soient n 1 et des entiers naturels tels que n 1. On a ( ) n = ( ) n ( n 1 Démonstration. Soit E un ensemble de cardinal n et soit a E. Les sous-ensembles de E de cardinal se divisent en deux catégories : ceux ne contenant as a (il y en a ( ) n 1 : choix de éléments armi n 1), et ceux contenant a (il y en a ( n 1 1) : choix de 1 éléments armi n 1). Finalement, comme on est soit dans l une soit dans l autre catégorie on obtient bien ( ) n = ( ) n 1 1 ( n 1 + Cela nous donne un moyen simle de calculer les coefficients binomiaux : our trouver un certain coefficient, on additionne dans le tableau suivant les coefficients situés juste au dessus et juste au dessus à gauche entre eux : n n 1 n n 1 1 n 1 n 1 n 5.3 Formule du binome ( n 1 1 ). ). ) ( n 1 ) ( n ) Proosition. Soient a et b deux réels et soit n un entier naturel non nul. On a (a + b) n = n =0 ( ) n a n b. 1 n 1 Démonstration. En déveloant le roduit, on obtient une somme de termes de la forme αa q b où q et rerésente le nombre de fois qu on a choisit de déveloer selon a ou b resectivement. On a q + = n (car à chaque fois que l on choisit a on ne choisit as b, et inversement). Le terme est donc αa n q. Or il y a ( n ) façons de choisir fois la valeur b armi les n exressions de (a + b). On a donc α = ( n ). Enfin, our obtenir tous les termes, il faut faire la somme sur tous les choix, donc sur tous les, on obtient bien (a + b) n = n =0 ( ) n a n b. Alication. On a (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. 13

15 En effet, on a (a + b) 3 = = 3 ( ) 3 a 3 b =0 ( ) 3 a 3 b ( ) 3 a 2 b = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. ( ) 3 a 1 b ( ) 3 a 0 b Exercices Exercice 17. Montrer que our tout entier naturel n non nul, le réel (2 + 3) n + (2 3) n est un entier naturel. Exercice 18. Soient a et b deux réels. Montrer grâce à la formule du binome que (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 et (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. Exercice 19. Soit E un ensemble de cardinal n Montrer que le nombre de sous-ensembles de E est 2 n. 2. En déduire la formule n =0 ( ) n = 2 n. 3. Retrouver ce résultat avec la formule du binome avec un choix judicieux de a et b. Exercice 20. Une urne contient n boules blanches et n boules noires (n 1). On tire n boules simultanément. 1. Combien y a-t-il de tirages ossibles? 2. Soit un entier naturel tel que n. Montrer que il y a ( n 2 ) tirages contenant boules blanches. 3. En déduire une formule our n ( ) 2 n. =0 14

16 Chaitre 6 Alications d un ensemble dans un autre Dans la suite, A et B désignent deux ensembles non vides. 6.1 Définition Définition. Une alication (ou fonction) de A vers B est une relation qui à chaque élément de A associe un unique élément de B. i) On eut considérer l alication qui a chaque élève de la classe associe sa taille. ii) Les fonctions classiques d analyse (fonctions affines, racines carrés, cosinus, etc.) sont des alications d un sous-ensemble de R vers R. iii) Le rocédé qui a un entier associe son inverse si cet entier est non nul, et 0 s il est nul est une alication de Z dans Q. iv) Le fait s associer à un réel x comris entre -1 et 1 un réel θ tel que cos θ = x n est as une alication de [ 1, 1] dans R, car le θ n est as unique (ar exemle cos 0 = cos(2π) = 1). On note f(a) l élément de B qui corresond à a A ar l alication f. Il s aelle image de a. On dit que a A est un antécédent de b B ar l alication f si f(a) = b. A riori, il eut exister un seul, lusieurs ou même aucun antécédent. 15

17 6.2 Surjection, injection, bijection Surjection Définition. Une alication de A vers B est surjective si tout élément de B admet au moins un antécédent. On dit alors que c est une surjection. Autrement dit, our tout b B, il faut qu il existe un a A tel que f(a) = b. On rendra garde au fait que le caractère surjectif d une alication déend de l ensemble B. i) L alication qui à tous les jours de l année associe le jour de la semaine corresondant est surjective de l ensemble des jours de l année dans {lundi,mardi,..., dimanche}. ii) La fonction x R x 2 R n est as surjective car -1 n a as d antécédent. Mais la fonction x R x 2 R + est surjective (y R + a our antécédent y). iii) La fonction x R 2x + 1 R est surjective (y R a our antécédent (y 1)/2, c est la solution de l équation 2x + 1 = y d inconnue x) Injection Définition. Une alication de A vers B est injective si tout élément de B n admet as lus d un antécédent (un seul ou aucun). On dit alors que c est une injection. Autrement dit, our tout a A et a A, f(a) = f(a ) imlique que a = a. i) L alication qui à chaque élève associe sa chaise dans la salle est injective de l ensemble des élèves dans l ensemble des chaises de la salle (il ne eut y avoir la même chaise our deux élèves). 16

18 ii) L alication qui à tous les jours de l année associe le jour de la semaine corresondant n est as injective de l ensemble des jours de l année dans {lundi,mardi,..., dimanche}. iii) La fonction x R x 2 R n est as injective car 1 2 = ( 1) 2 mais 1 1. iv) La fonction x R 2x + 1 R est injective car our y R et y R, si 2y + 1 = 2y + 1 alors y = y Bijection Définition. Une alication de A vers B est bijective si elle est à la fois injective et surjective. On dit alors que c est une bijection. Autrement dit, our tout b B, il existe un unique antécédent a A, c est-à-dire f(a) = b (l existence vient du caractère surjectif et l unicité du caractère injectif). i) L alication qui à chaque élève associe son numéro dans l ordre alhabétique est bijective de l ensemble des élèves dans {1,..., n} où n est le nombre d élève. ii) La fonction x R + x 2 R + est bijective, mais as x R x 2 R + (as injective), x R + x 2 R (as surjective) ou x R x 2 R (as surjective ni injective). iii) La fonction x R 2x + 1 R est bijective. 6.3 Lien avec la combinatoire Dans ce qui suit, A est un ensemble de cardinal n et B un ensemble de cardinal m. Proosition. Il existe m n alications entre A et B. Cela corresond exactement au nombre de liste sans réétition de éléments. Démonstration. On remarque que l on a m choix our chaque valeur de f(a) B avec a A. Comme il y a n éléments dans A, on a en tout m n choix ossibles. Proosition. S il existe une bijection entre A et B, alors n = m. La réciroque est vraie : si n = m on eut associer à chaque élément de N un unique élément de A (il suffit d ordonner les éléments dans les deux ensembles et d associer le remier avec le remier, le second avec le second, etc.). Démonstration. Soit f une bijection entre A et B. Comme à chaque élément de B on fait corresondre un unique élément de A, comter les éléments de A c est exactement comter les éléments de B. On a donc bien n = m. Proosition. Le nombre de bijection de A dans lui-même est n!. 17

19 Démonstration. Notons A = {a 1, a 2,..., a n }. Pour construire une bijection, on a n choix our la valeur de f(a 1 ) A, uis n 1 choix our f(a 2 ), et ainsi de suite jusqu à n avoir lus qu un seul choix our f(a n ). On a donc en tout n (n 1) 1 = n! choix ossibles. Proosition. Le nombre d alications injectives de A vers B est 0 si m < n et A n m si n m. On raelle que A n m = m (m 1) (m n + 1). Cela corresond au nombre de liste avec réétition (arrangement). Le fait qu il n existe as d injection si le cardinal de l ensemble d arrivée est strictement lus etit que l ensemble de déart est connu sous le nom de rincie des tiroirs. Cela vient du fait que si on veut ranger n chaussettes dans m < n tiroirs, il y aura forcément au moins un tiroir avec deux chaussettes, c est-à-dire qu il existe au moins deux éléments de A différents ayant la même image. Démonstration. Notons A = {a 1, a 2,..., a n }. Soit f une injection de A vers B. 1. Suosons m < n et osons F = {f(a 1 ), f(a 2 ),..., f(a n )}. C est un sous-ensemble de B, donc #F #B = m. Mais comme f est injective, les f(a i ) sont deux à deux distincts, donc #F = n. On en déduit que n m ce qui contredit l hyothèse m < n. Il n y a donc as d injection de A vers B. 2. Si n m, on voit que l on a m choix our la valeur de f(a 1 ), m 1 choix our f(a 2 ) (car f est injective on ne eut avoir la même valeur), et ainsi de suite jusqu à n avoir que m (n 1) = m n + 1 choix our f(a n ). On a donc bien m (m 1) (m n + 1) = A n m choix ossibles. 6.4 Exercices Exercice 21. Les fonctions suivantes sont-elles injectives? surjectives? bijectives? 1. n Z 2n Z ; 2. n N n + 1 N ; 3. n Z n + 1 Z ; 4. z C z 2 C ; 5. x [ 1, 1] 2x/(1 + x 2 ) [ 1, 1]. Exercice 22. Soit f une fonction strictement croissante de R dans R. Montrer que f est injective. Exercice 23 (alications du rincie des tiroirs). 1. Un humain a un nombre de cheveux comris entre 0 et Montrer que dans une ville comme Paris ossédant deux millions d habitants, il existe au moins deux ersonnes ayant exactement le même nombre de cheveux. 2. Soit n un entier naturel non nul. On choisit n + 1 entiers comris entre 1 et 2n. Montrer qu il en existe au moins deux consécutifs. Exercice 24. Construire une alication bijective de N dans Z. Exercice 25. Soit n et deux entiers naturels tel que n. Montrer que le nombre d alications strictement croissantes de {1,..., } dans {1,..., n} (avec n) est ( n ). On ourra remarquer our commencer qu une telle alication est nécessairement injective. 18