MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

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1 Chapitre 7 - ests d hypothèses Lexique anglais - français Constats - terminologie - onepts de base tests ests onernant une moyenne - variane onnue - variane inonnue - ourbe aratéristique - n =? est de Shapiro-Wilk : distribution gaussienne? ests onernant moyennes : - varianes inonnues égales - ourbes aratéristiques - n =? - varianes inonnues inégales - éhantillons appariés (dépendants) ests onernant les varianes: une variane / varianes Lexique anglais français null hypothesis. hypothèse nulle ( prinipale) alternative hypothesis.. ontre-hypothèse signifiane level seuil de signifiation ritial region région ritique type I error faute (erreur) de type I type II error.. faute (erreur) de type II one-tailed test. test unilatéral two-tailed test test bilatéral OC (Operating Charateristi) urve.... ourbe d effiaité (aratéristique) paired samples. éhantillons apprariés (pairés) hors programme 7.4 ( 1 binomiale) 7.5 ( binomiales) 7.7 (non paramétrique) onstats - terminologie onepts de base prendre des déisions à l aide de données éhantillonnales provenant d observations passives ou de données expérimentales: - appareils de mesure ont-ils la même justesse /préision? - traitement anti orrosion réduit il la rouille de 5% après 4 ans? - un type de boulon peut-il être soumis à 1 yles de tension-ompression sans se rompre par fatique? prendre une déision onjeture issue probabiliste formulation d une hypothèse statistique hypothèse statistique : affirmation onernant une population - vraie ou fausse - on dispose que de un seul éhantillon de taille n - risques (probabilités ) de mauvaises déisions: -- aepter une hypothèse fausse ( erreur de type II) -- rejeter une hypothèse vraie (erreur de type I) adopter une hypothèse : les données de l éhantillon n indiquent pas lairement que on ne doit pas l adopter réfuter une hypothèse : l éhantillon témoigne fortement ontre onstats - terminologie onepts de base Hypothèse nulle H : hypothèse à tester (mettre à l épreuve) Contre hypothèse H 1 : seule affirmation sensée lorsque que H est fausse H est toujours formulée en termes d une valeur exate du paramètre statistique à tester - exemple : H : µ = 1 H 1 prévoit toujours un ensemble de valeurs : ex. H 1 : µ < 1 test statistique : est définie par une région ritique d une statistique (fontion des données) qui onduit au rejet de H Région d aeptation Région ritique : > erreur de type I : réfuter l hypothèse nulle H alors qu elle est vraie erreur de type II : adopter (ne pas rejeter) H alors qu elle fausse seuil (niveau) de signifiation : la probabilité de ommettre erreur type I

2 onstats - terminologie onepts de base SA H DÉCISION VRAIE FASSE REJE DE H erreur type I pas d erreur LES DÉCISIONS SAISIQES La statistique n est pas une disipline qui permet de déider de la vérité ou de la fausseté des questions qu elle examine : est plutôt une siene du omportement rationnel qui fournit des règles de onduite pratiques dans des situations d inertitude. NON REJE H pas d erreur erreur type II ne hypothèse partiulière est délarée vraie : sur la base de données disponibles vous pouvez la tenir vraie jusqu à preuve du ontraire. Risque de type I = P ( erreur type I ) = α Risque de type II = P ( erreur type II ) = β LA DÉCISION ES BASÉE SR DES OBSERVAIONS i LE SA RÉEL DE H N ES JAMAIS CONN β ES NE FONCION CORBE D EFFICACIÉ ne hypothèse partiulière est délarée fausse : sur la base de données disponibles vous ne pouvez pas la tenir pour vraie. Mais dans les deux as, vous aurez raison en moyenne, dix neuf fois sur, (95%), ou n importe quel niveau de onfiane ou niveau de risque (=1- niveau de onfiane) que l on se fixe d avane. En moyenne vos onlusions seront don bonnes, mais on ne pourra jamais savoir si une déision partiulière est bonne Cas A : test moyenne µ - population gaussienne - variane onnue ~ N ( µ, ) Cas A : test moyenne µ - population gaussienne - variane onnue ~ N ( µ, ) GASS N ( µ, ) / n H : µ = µ vs H 1 : µ > µ 1,,, n : éhantillon de = i / n : moyenne éhantillonnale si H est vraie µ = µ = ( µ ) / ( / n ) ~ N (, 1) Exemple 1 : un aier d un alliage spéial a une tension de rupture (psi) dont la moyenne est de 58 ave un éart type de 3. n hangement dans la omposition de l alliage devrait augmenter la tension moyenne sans hanger l éart type. Si le nouvel alliage ne produit auun hangement on voudrait pouvoir le dire ave une probabilité de.99. Par ontre, si la tension moyenne est augmentée de 5, on veut que le risque de ne pas le déteter soit.1 Questions (a) définir l hypothèse nulle, la ontre hypothèse, le seuil du test, le risque de type II. (b) Poser les équations définissant les risques de type I et de type II; résoudre afin de trouver la taille de l éhantillon à prélever et déterminer la région ritique du test. () n éhantillon de 19 observations a donné une moyenne de 597. Le nouvel alliage est-il supérieur? α µ z 1 - α z =1 Région ritique : rejeter H si > =? P ( rejeter H quand elle est vraie ) = α P ( > ) = P ( - µ > - µ ) = P ( µ ) ( - µ ) > / n / n = P ( > z ) = α z =( -µ )/ / n = z 1-α = µ + z 1-α ( / n ) 7-7 Solution (a)-(b) Région ritique > / n β = 3 α µ = 58 H µ 1 = = 65 H 1 : µ > µ ( unilatérale ) P( erreur type I ) = P ( > ) = α =.1 P( erreur type II ) = P ( < ) = β =.1 7-8

3 Cas A : test moyenne µ - population gaussienne - variane onnue ~ N ( µ, ) Solution (a)-(b) P ( > si µ = 58) = α =.1 (1) P ( < si µ = 65) = β =.1 () équations ave inonnus : n et n = ( z.99 + z.9 ) / ( 65 58) = ( ) ( 3 / 5 ) = = * 3 / (19).5 = ( ) puisque x = 597 > = on rejette H Solution (a)-(b) Région ritique > / n = 3 µ = 58 H µ 1 = = 65 H 1 P( erreur type I ) = P ( > ) = α =.1 P( erreur type II ) = P ( < ) = β =.1 β α Cas A : test moyenne µ - population gaussienne - variane onnue ~ N ( µ, ) Définition: Courbe d effiaité (aratéristique) du test probabilité d aepter H en fontion de la moyenne µ de la population β ( µ ) = P ( < =µ + z 1-α ( / n) µ) = P [( -µ)/ / n < z 1-α +(µ - µ) / / n] = Φ (z 1-α + δ n) ( * ) dépend de α, n, δ où δ = (µ - µ) / : paramètre de non entralité graphiques : page 7-11 ave α =.5,.1 / n = 1,,3, / -1 δ 3 Calul de n : on veut que β ( µ 1 )= β pour une valeur partiulière µ 1 de µ n = ( z 1-α + z 1- β ) / (µ 1 µ ) - Exemple : voir page 7-9 ave α =.1 β =.1 = 3 µ = 58 µ 1 = 65 Exemple : alul de la fontion d effiaité µ = µ β ave la formule ( * ) i haut Cas A : test moyenne µ - population gaussienne - variane onnue ~ N ( µ, ) ourbe d effiaité (aratéristique) du test : unilatéral Cas A : test moyenne µ - population gaussienne - variane onnue ~ N ( µ, ) type de la CONRE HYPOHÈSE : unilatérale ou bilatérale Exemple 1 ( page 7-8) : ontre hypothèse H 1 : µ > µ unilatéral droite ( as 1 ) autres as H 1 : µ < µ unitatéral gauhe ( as ) Formules H 1 : µ µ bilatéral ( as 3 ) Cas rejeter H si x < = µ - z 1-α ( / n ) note : - z 1-α = z α n= ( z 1-α + z 1- β ) / (µ 1 µ ) - β( µ ) = Φ (z 1-α - δ n) δ = (µ -µ) / Cas 3 rejeter H si x < 1 = µ - z 1-α/ ( / n ) ou si x > = µ + z 1-α/ ( / n ) région ritique bilatérale équivalent à : rejeter H si x - µ / / n > z 1-α/ n = ( z 1-α/ + z 1- β ) / (µ 1 µ ) β( µ ) = Φ (z 1-α/ - δ n) +Φ (z 1-α/ - δ n)

4 Cas A : test moyenne µ - population gaussienne - variane onnue ~ N ( µ, ) ourbe d effiaité (aratéristique) du test : bilatéral Cas B : test moyenne µ - population N ( µ, ) variane inonnue Si est inonnue : on en fait l estimation ave la variane éhantillonnale s S = ( i ) / ( n - 1 ) et utilise la statistique de Student en plae de Les as sont résumés dans le tableau. Hypothèse nulle Statistique pour le test Contre hypothèse (alternative) Critère de rejet H N : µ = µ onnue x = µ n H A : µ µ H A : µ > µ H A : µ < µ > z 1 α > z 1 α < z1 α H N : µ = µ inonnue = x µ s n H A : µ µ H A : µ > µ H A : µ < µ > t n 1, 1 α > tn 1, 1 α < tn 1, 1 α 7-13 Remarque : le test est employé pour le as de différenes appariées ( éhantillons dépendants) ave xi = x1i xi 7-14 Cas B : test moyenne µ - population gaussienne - variane inonnue ~ N ( µ, ) ourbe d effiaité (aratéristique) du test : unilatéral Cas B : test moyenne µ - population gaussienne - variane inonnue ~ N ( µ, ) ourbe d effiaité (aratéristique) du test : bilatéral

5 Cas B : test moyenne µ - population gaussienne - variane inonnue ~ N ( µ, ) Exemple : étiquette sur un ontenant 4 litres de peinture ouvre 35 pi. a en moyenne dans des onditions normales d utilisation. Vous testez 6 ontenants ave les résultats suivants : 35, 85, 31, 3, 8, 9. ( a ) estez H : µ = 35 vs H 1 : µ < 35 au seuil α =.5 ( b ) aluler le nombre d observations néessaire pour déteter un éart de moyenne de 1 pi. ar. ave un risque de type de.1 Solution : ( a ) n = 6 x = 95 s = 11.83, 5 = ( ) / = < - t 5,.95 = -.15 H est rejetée ( b ) δ = 1 / =.84 noté d dans l annexe L-3 (page 55) on obtient une valeur de n = 15 Cas C : test d ajustement à une loi gaussienne - proédure de Shapiro-Wilk B : vérifier si une série de données x 1, x, x 3,,,,,, x n provient d une population distribué selon une loi gaussienne. H : ~ N ( µ, ) vs H 1 : ~ loi non gaussienne Plusieurs tests : Khi, Kolmogorov-Smirnov ( D ), Lilifors, Shapiro-Wilk. ( W ) Statistique W du test de Shapiro-Wilk : W = [ a n, i x ( i ) ] / [ ( x i -x ) ] a n, i oeffiients spéiaux ( table non disponible dans le manuel du ours ). La statistique W mesure la orrélation entre la série ordonnée des observations et les quantiles théoriques d une loi N(,1 )..7 W 1 Déision : rejeter H si W est petite Mise en oeuvre ave le logiiel Statistia : p-value = P( W < W alulée ) Si le p-value est petite (disons inférieure à.5 ) on rejette loi gaussienne omme modèle aeptable pour les observations. Exemple 3 : OHM p. 37, 43 n = 1 : W alulée =.85 et P ( W.85) =.6 = p-value 7-17 on ne rejette pas la loi gaussienne pour es données Exemple 3 : graphique quantile quantile W =.85 et P ( W.85) =.6 = p-value Cas D : test d égalité de moyennes Quantile-Quantile Plot of E3_Y (h7.sta 1v*5) Distribution: Normal E3_Y = *x GASS ~ N ( µ, ) Y ~ N ( µ Y, Y ) GASS Y Observed Value µ 1 µ Y ,,, n1 éhantillons indépendants Y 1, Y,, Y n = i / n moyennes Y = Y 1 i / n H : µ = µ Y heoretial Quantile as 1 : varianes onnues Cas : varianes inonnues Cas 3 : éhantillons appariés ableau page

6 Cas D : tests d égalité de moyennes Hypothèse nulle H N Statistique pour le test Contre hypothèse ( x x H N : µ 1 µ = 1 = 1, onnues 1 + n1 n H N : µ 1 µ = 1 = = inonnue ( x x ) ) H A : µ 1 µ H A : µ 1 µ > 1 = H A : µ 1 µ 1 1 S P + n1 n H A : µ 1 µ > ( n1 S1 + ( n S S p = n H A : µ 1 µ < 1 + n ( x H : µ 1 µ = 1 x ) N = S 1 S 1 + n1 n inonnues inégales a = s1 n1, b = s n ( a + b) ν = a ( n1 + b ( n H A : µ 1 µ H A : µ 1 µ < H A : µ 1 µ > H A : µ 1 µ < > z 1 α > z 1 α Critère de rejet z < 1 α > t ν, 1 α > t n 1 + n, 1 α < t n 1 + n, 1 α > t n 1+ n,1 α t > ν, 1 α < tν, 1 α 7-1 Exemple 4 : aluler un intervalle de onfiane ave oeffiient de onfiane.95 pour la différene de vie ( heures ) moyenne de deux types ( et Y) d ampoules életriques à l aide des informations suivantes : : n 1 = 16 = 18 = 15 Y : n = 9 Y = 81 Y = 97 Intervalle de onfiane ave oeffiient de onfiane.95 µ -µ Y : ± 1.96 ( 18 / / 9 ).5 = 8 ± 8.1 = ( -.1, 16.9 ) Question : les ampoules de type durent - elles ( en moyenne ) plus longtemps que les ampoules de type Y? Solution ave un test d hypothèse : bilatéral - varianes onnues - alpha =.5 = ( ) / ( 18 / / 9 ).5 = 8 / =1.91 < 1.96 = z.975 la durée moyenne ampoules type n est pas différente de la durée moyenne des ampoules de type Y 7 - différene entre moyennes ave varianes inonnues égales Exemple 5 : OHM p. 45, 47 ex.7.19 omparaison de l épaisseur à heure x et heure y GASS ~ N ( µ, ) Y ~ N ( µ Y, ) GASS Heure x : Heure y : Solution : ave Statistia / module Basi Statistis and ables / - test independent ,,, n1 = i / n1 Résultat ( - Y ) - ( µ -µ Y ) µ µ Y S p 1/ n1 + 1 / n.4.. éhantillons indépendants moyennes Y 1, Y,, Y n Y = Y i / n S = ( i ) / ( n1-1 ) varianes S Y = ( Y i Y) / ( n - 1 ) S p = [ ( n1-1 ) S + ( n 1) S Y ] / ( n1 + n -) pooled = ~ Student ave n1 + n - ddl 7-3 No of obs HERE: x HERE: y épaisseur n moy éart type Y est ave varianes inonnues et égales s p = 1. = ddl=58 p- value =.4 égalité moyennes rejetée 7-4

7 est d égalité de moyennes : éhantillons appariés dépendants Contexte : lorsque les séries de mesures proviennent des mêmes unités expérimentales. Par exemple, lorsque que l on fait une omparaison AVAN-APRÈS : : x 1, x,, x n mesures avant sur n unités expérimentales Y : y 1, y,, y n mesures après sur les mêmes unités expérimentales l indépendane des éhantillons n est vérifiée ar les mêmes unités expérimentales sont utilisées pour faire la omparaison. Le test est basé sur les différenes : D i = x i - y i i = 1,,, n Le problème est ramené à un test de la nullité d une moyenne ave variane inonnue. Remarque: il est important de reonnaître le as d éhantillons appariés dépendants afin d exéuter le bon test tel que dérit à la page 7-1 ( observations ouplées) Exemple 6 : OHM ex. 7.6 p omposants életroniques sont testés à niveau de température : N et E N : normale ( degrés C) E: élevée ( 1 degrés C) ne mesure de qualité importante Y fut mesurée à es niveaux de température Composant : N (normale) : E (élevée) : D = Y N Y E : test : D =.61 s D =.39 = D / (s D / 15) = 6. > t 14,.995 =.977 On rejette l égalité des moyennes ave risque de type 1 de Cas E - test sur une variane H : = Exemple 7 : OHM ex p. 6 réf. table.1 p. 8 n = 75 données de poids donne s = (.11 ) =.1 test de H : =.15 vs H 1 : <.15 W = 74 (.1) /.15 = 5.3 p-value = P ( W 5.3 ) =.16 on rejette H si on utilise un risque de type I de Cas F - test d égalité de varianes H : = Y Courbes d effiaité du test Khi-deux Annexes L-5 /L Appliation : Calul de n Exemple 8 : OHM ex p. 64 n 1 = 16 s = 1.93 et n = 1 s Y = 1. test unilatéral F = 1.93 / 1. = 3.7 loi de Fisher ave ( 15, 9 ) ddl : F 15,9,.95 = 3.1 voir aussi : ourbes d effiaité du test F Annexe L-7 p