VITESSE - ACCELERATION

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1 CINEMATIQUE VITESSE - ACCELERATIN Mécanique Référence au programme S.T.I Référence au module - Cinémaique. Module 7 : :Cinémaique -1 Mouvemen relaif de deux solides en liaison glissière ou pivo -1. Caracérisaion du mouvemen d un poin d un solide 1- bjecifs de la séquence : Définir le graphe des déplacemens e des viesses, Définir la relaion enre déplacemen, viesse e accéléraion. - Siuaion pédagogique : prérequis connaissances visées naure de la démarche à savoir Géomérie vecorielle. Equaions horaires. Acquisiion de connaissances. Tracer le graphe des déplacemens e des viesses. 1. VITESSE 1.1 Noion de viesse Soi (S) un solide en mouvemen dans un repère R. Soi M un poin apparenan au solide (S), de coordonnées x(), y() e z() à l insan. Soi T(M S/R ) la rajecoire de M. T (M S/R ) M M 1 (S) Sur cee rajecoire, choisissons par convenion : une origine M ; un sens posiif ; une unié de longueur. n relève, aux insans, 1,, les posiions du poin M apparenan à S dans le repère R. R M Insans 1 Posiion sur T(M S/R ) M M 1 M Abscisse curviligne s = f() s = s 1 = M M 1 s = M M S = arc M M = valeur algébrique, à l insan, de l arc oriené M M VITESSE - ACCELERATIN Conenu du Dossier : 6 pages S. PIGT M_1-1.Doc (Word7) CINEMATIQUE Version

2 1. Viesse algébrique moyenne Enre 1 e : V( 1 ) moy = s s1 1 s D = = D : disance en mère e en seconde 1.3 Viesse algébrique insananée Si es rès proche de 1, alors devien infinimen pei. d s v() = = s () (dérivée de l abscisse curviligne) 1.4 Veceur viesse insananée Le veceur viesse du poin M dans son mouvemen par rappor au repère fixe R, es égal à la dérivée vecorielle (par rappor au emps) du veceur posiion, dans le repère R. V(M S/R ) = lim MM' V(M S/R) = dm R Le veceur V(M S/R) es el que : - son origine es confondue avec la posiion de M à l insan ; - il es oujours angen en M à la rajecoire T(M S/R ) ; - il es oriené dans le sens du mouvemen ; - sa norme es V(M S/R) = v = - unié : mère par seconde, ou m/s. ds ; V(M S/R) T(M S/ R ) M M1 R (S) M Aure expression possible : x() Si M y() Alors V(M S/R) z() R dx dy dz R VITESSE - ACCELERATIN Page / 6 S.PIGT M_1-1.DC(Word7) CINEMATIQUE Version

3 ACCELERATIN.1 Accéléraion angenielle moyenne Si le poin M se siue en M 1 à l insan 1 e qu il possède une viesse insananée v 1 ; s il passe à l insan en M à la viesse v, son accéléraion angenielle moyenne enre 1 e vau : a () moy = v v1 1 v = R M (S) M 1 T (M S/R ) L accéléraion peu aussi êre noée Γ(M S/R ) ou γ (M S/R ).. Accéléraion angenielle insananée v A l insan quelconque, elle correspond à la limie du rappor lorsque. dv d s d s a () = ; or v() = ; d où a () = = s ().3 Veceur accéléraion (M/R) = dv(m/ ) R = R d M R Composanes angenielle e normale de l accéléraion : Soien : un veceur uniaire normal en M à la rajecoire T(M S/R ), oriené vers l inérieur de la courbure ; un veceur uniaire angen en M à T(M S/R ), oriené comme la rajecoire. R T(M S/ R ) M Dans cee base (,), l accéléraion peu s écrire : (M/R) = a n + a avec : a n = accéléraion normale = R v (R représene le rayon de courbure) dv a = accéléraion angenielle = VITESSE - ACCELERATIN Page 3 / 6 S.PIGT M_1-1.DC(Word7) CINEMATIQUE Version

4 3 CAS DU MUVEMENT DE TRANSLATIN RECTILIGNE UNIFRME C es le mouvemen le plus simple, sans accéléraion (a=) e avec une viesse consane au cours du emps. Il es noé M.T.R.U. 3.1 Equaions de mouvemen Soien : : insan iniial, = ; x : le déplacemen iniial, à = ; v : la viesse iniiale, à = ; x() : le déplacemen à l insan. v() : la viesse à l insan. rigine du repère x Insan x Insan Equaions Graphe de posiion Graphe de viesse a() = v() = v = consane x() = v * + x x() x x() = v. + x v() v v() = v x e v son les condiions iniiales du mouvemen ; = - 4 CAS DU MUVEMENT DE TRANSLATIN RECTILIGNE UNIFRMEMENT ACCELERE Il ser de modèle à de nombreuses éudes simplifiées. Pour ces mouvemens, accélérés (a>) ou décélérés (a<), l accéléraion rese consane au cours du emps. Il es noé M.T.R.U.V. 4.1 Equaions du mouvemen Soien : : insan iniial, = ; x : le déplacemen iniial; a : l accéléraion iniiale ; v : la viesse iniiale ; x : le déplacemen à l insan. x v Insan x Insan v Equaions Graphe de posiion Graphe de viesse a() = a = consane v() = a.x + v x() = 1 a.x ² + v.x + x x x x = f() (branche de parabole) v = v + a. x, v e a son les condiions iniiales du mouvemen. VITESSE - ACCELERATIN Page 4 / 6 S.PIGT M_1-1.DC(Word7) CINEMATIQUE Version v v

5 5 MUVEMENT DE RTATIN : GENERALITES 5.1 Roaion d un solide M Insan La roaion d un solide es définie par son mouvemen angulaire (ous les poins de ce solide on même viesse angulaire). θ θ M 1 Insan 1 θ = θ 1 + θ θ 1 5. Viesse angulaire, ou viesse de roaion ω Viesse angulaire moyenne : Viesse angulaire insananée : ω = ω dθ θ θ 1 moy = 1 θ = [en radian / seconde] = θ' = θ& Remarques : 1 our = π radian = 36 ; Si N es la viesse de roaion en our/min, alors : 5.3 Accéléraion angulaire α ω = π.n 3 α dω d θ = = ω' = ω& ou α = = θ'' = && θ 5.4 Viesse d un poin T M V M = ω.m = ω.r V M M Remarque : puisque ω a même valeur pour ous les poins du solide, la viesse linéaire (M S/R ) varie linéairemen avec la disance r à l axe de roaion. V N V P N P r VITESSE - ACCELERATIN Page 5 / 6 S.PIGT M_1-1.DC(Word7) CINEMATIQUE Version

6 6 CAS DU MUVEMENT DE RTATIN UNIFRME L accéléraion angulaire α es nulle. Ce mouvemen es noé M.R.U. 6.1 Equaions de mouvemen Les équaions de mouvemen son : θ () = ω() = ω = consane θ() = ω.x + θ ω e θ son les condiions iniiales du mouvemen. 7 MUVEMENT DE RTATIN UNIFRMEMENT VARIE L accéléraion angulaire α es consane. Ce mouvemen es noé M.R.U.V. 7.1 Equaions de mouvemen Les équaions de mouvemen son : θ () = θ = consane ω() = θ. x + ω θ() = 1.θ. x ² + ω. x + θ ω e θ son les condiions iniiales du mouvemen. Remarque : Si θ >, il y a accéléraion du mouvemen. Si θ <, il y a décéléraion du mouvemen (ou freinage). VITESSE - ACCELERATIN Page 6 / 6 S.PIGT M_1-1.DC(Word7) CINEMATIQUE Version