Réflexion. Année Séquence 7 : TRIANGES RECTANGLES et CERCLES Objectifs : Séance 1

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1 Séance 1 Séquence 7 : TRINGES RECTNGLES et CERCLES Objectifs : Enoncé des propriétés qui justifient l existence d un triangle rectangle pplication à des calculs avec le théorème de Pythagore Définition, construction et application de la tangente Distance d un point à une droite Faire marquer le devoir de recherche dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Mardi 31 Janvier Objectif : Construire un carré d aire donnée Triangle inscrit dans un cercle ctivité 1: Réflexion. ngles d un triangle rectangle Détaillez chaque étape de votre raisonnement. 5

2 Séance 2 ctivité 2: Distance d un point à une droite Problématique. Soit une droite D et un point n appartenant pas à D. Soit H le pied de la perpendiculaire à D passant par. La longueur H est la plus courte distance de à tout point de D et est appelée distance du point à la droite D. D H (H) D H D Quel que soit M appartenant à D, l on a H < M M Tangente à un cercle Soit un cercle de centre O et un point M appartenant au cercle. La tangente au cercle passant par le point M est la droite perpendiculaire en M au rayon [OM] D M O Exercice 1 Soit BC un triangle rectangle en. Montrer que la droite (B) est tangente au cercle de centre C passant par. Exercice 2 On considère un cercle C et une droite D. Construire une tangente au cercle C parallèle à la droite D. Combien peut-on construire de telles tangentes? Exercice 3 I On considère un cercle C de centre et un point B extérieur à ce cercle. Le cercle de diamètre [B] coupe C en deux points M et P. Montrer alors que la droite (MB) est tangente à C en M. II Soient un cercle C (0 ;3cm) et un point K extérieur au cercle C. Tracer une droite passant par K et tangente au cercle C en un point M. Exercice 4 Soient et B deux points tels que B = 5 cm. 1 ) Construire une droite D passant par le point B telle que la distance du point à cette droite soit égale à 4 cm. 2 ) Peut-on trouver une telle droite pour une distance de 6 cm? Justifier la réponse. Exercice 5 Soient un cercle C de centre I et une corde [B] de C tel que l angle IÂB vaut 40. Tracer la droite tangente à C en et la droite tangente à C en B. et se coupent en un point M. 1 ) Montrer que les angles IÂB et IB ˆ sont égaux. 2 ) Montrer que les angles MÂB et MB ˆ sont égaux. En déduire que M = MB. 3 ) Montrer que la droite (MI) est la médiatrice de [B]. 6

3 Séance 3 ctivité 3: Vocabulaire, définitions, Propriétés. Définition : Un triangle qui a un angle droit est un triangle rectangle. Le côté opposé à l angle droit est l hypoténuse. Propriétés : Dans un triangle rectangle : - La médiane relative à l hypoténuse a pour C longueur la moitié de la longueur de l hypoténuse. Si BC est un triangle rectangle en et si O est le milieu de [BC] alors O = OB = OC. - Le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle. O - Les angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires. L aire du triangle rectangle est égale au demiproduit des longueurs des deux côtés de l angle B droit. ire du triangle BC rectangle en : B 2 C = 1 B x C 2 Comment reconnaître un triangle rectangle? 1 ) Par sa définition : Si un triangle a un angle droit alors c est un triangle rectangle. 2 ) Si dans un triangle, la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de la longueur de ce B côté alors ce triangle est rectangle et ce côté est l hypoténuse. O - [O] est la médiane relative à [BC] - O = BC C 2 lors BC est un triangle rectangle en. 3 ) Si un triangle a un de ses côtés qui est le diamètre d un cercle et si son troisième sommet C est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle et le côté est l hypoténuse. B Si [BC] est le diamètre de C et si C alors BC est un triangle rectangle et [BC] est l hypoténuse. O C Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l angle droit. Le triangle BC est rectangle en On a donc : BC 2 = B 2 + C 2. 7

4 Séance 4 ctivité 4: pplications. (.) pplication 1 : Enoncer le théorème de Pythagore pplication 2 : Calculs d angles dans un triangle rectangle 8

5 Séance 5 ctivité 5: ccompagnement personnalisé Exercice 1 : ** Construction et aire d un triangle ** a) Construire un triangle IJK rectangle en K tel que KI = 4 cm et l angle KÎJ = 50. Tracer en vert les trois hauteurs du triangle. b) Construire un triangle EFG rectangle en G tel que EG = 3,5 cm et GF = 5,8 cm. Calculer l aire du triangle EFG. c) Construire un triangle MOT tel que, [OK] soit la hauteur issue de O, on ait : OK = 5cm, MK = 3cm et MT = 7,6cm. Calculer l aire du triangle MOT d) Construire un triangle BC tel que, [H] représentant la hauteur issue de, on ait : H = 4cm, B = 6cm et BC = 7cm. Calculer l aire du triangle BC Exercice 2 : Soit MPH un triangle tel que l angle MP ˆ H = 58 et l angle HM ˆ P = ) Quelle est la nature du triangle MPH? 2 ) Construire ce triangle en prenant MP = 7 cm. Soit BC un triangle rectangle en tel que B = 4 cm et BC = 8 cm. Soit O le milieu de [BC]. 1 ) Quelle est la nature du triangle BO? Exercice 3 : 2 ) Montrer que l angle OC ˆ = ) Calculer l angle ÔC. Exercice 4 : Construire un triangle CIO rectangle en C et isocèle avec CI = 5 cm. Soit T le milieu de l hypoténuse. 1 ) Quel est le sommet principal? Justifier. 2 ) Calculer l aire du triangle CIO. 3 ) Calculer l angle CÎO. 4 ) Montrer que [CT) est la bissectrice de l angle IC ˆ O. 5 ) Montrer que (CT) est perpendiculaire à (IO) Exercice 5 : Construire un triangle REC rectangle en E tel que RE = 7cm et CE = 6 cm. Soient,O et I les milieux respectifs de [ER], [RC] et [CE]. Construire 1 et 2 les médiatrices respectives de [RE] et [CE]. 1 ) Montrer que et 1 et 2 se coupent en O. 2 ) Montrer que O = 3 cm et IO = 3,5 cm. 3 ) Calculer l aire des triangles REO et ECO. Exercice 6 : Construire un triangle MS isocèle de base [M]. Construire le point I symétrique de M par rapport à S. Montrer que le triangle MI est rectangle. Exercice 7 : Soit BC un triangle équilatéral tel que B = 4cm. Construire le point E tel que soit le milieu de [BE]. Montrer que (EC) (BC). Calculer la longueur du cercle circonscrit au triangle BEC. Exercice 8 : Soit un cercle C(O, 3cm). Construire une corde [B] mesurant 5cm et soit K son milieu. Construire la médiatrice de [B]. coupe le cercle C en deux points E et G. 1 ) Montrer que passe par O. 2 ) Justifier la nature des triangles GB et GE. 3 ) Calculer l aire du triangle GE. Faire marquer le devoir maison dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Mardi 7 Février Objectif : Conjecturer et prouver des propriétés de Pythagore 9

6 Séance 5 ctivité 6: Geogebra Objectif : Se servir d un logiciel de géométrie dynamique pour conjecturer des propriétés Exercice 2 : Construire une spirale 10