2) Représentation géométrique d un nombre complexe
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- Sabine Beauchemin
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1 I- FORME ALGÉBRIQUE D UN NOMBRE COMPLEXE 1) Définition Définition : tout nombre complexe est un nombre de la forme z = a + ib, où a et b sont deux nombres réels et i est un nombre tel que i² = -1. Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe. Tout nombre complexe de la forme z = ib, (où b ) s appelle un imaginaire pur. Si un nombre complexe a une partie imaginaire nulle, alors on l assimile au nombre réel a. Exemples : o z 1 = i, on a : Re(z 1 ) = 10 et Im(z 1 ) = 4 o z 2 = - 3i, on a : Re(z 2 ) = 0 et Im(z 2 ) = -3 Remarque : les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Afin d éviter toute confusion entre l intensité i du courant et le nombre complexe i dont le carré est -1 défini ci-dessus, ce nombre est noté j au lieu de i par les physiciens. 2) Représentation géométrique d un nombre complexe Définition : on se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; ; ) : Pour tout nombre a et b réels, au point M de coordonnées (a, b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib. On dit que z est l affixe du point M et que le point M(a ; b) est le point image de nombre complexe z = a + ib. Au vecteur de coordonnées (a, b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib. On dit que z est l affixe du vecteur et que le vecteur (a ; b) est le vecteur image de nombre complexe z = a + ib. 1
2 Exemple : 1 2i Remarque : on dit que dans le plan complexe, l axe des abscisses est l axe des réels et que l axe des ordonnées est l axe des imaginaires. 3) Conjugué d un nombre complexe Définition : soit a et b deux nombres réels et z le nombre complexe défini par. Le nombre complexe est appelé conjugué de z et noté. Exemples : Propriété (admise) : si les points M et M sont les images respectives des nombres complexes z et dans le plan complexe, alors M et M sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Géométriquement : M 4 : il est le symétrique de M 2 par rapport à O, son affixe est ( ), c est l opposé de. M 3 : il est le symétrique de M 1 par rapport à O, son affixe est ( z), c est l opposé de z. M 1 : point d affixe z. M 2 : point d affixe et symétrique de M 1 par rapport à l axe des abscisses. 2
3 4) Opérations a) Egalité de deux nombres complexes Définition : quelque soient a, a, b et b deux nombres complexes a + bi et a + b i sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales. C est-à-dire : a + bi = a + b i si et seulement si a = a et b = b avec a, a, b et b quatre réels. Exemple : on cherche à déterminer tous les réels x et y tels que (x 2) + (y 1)i = 2 3i. L égalité entre les deux nombres complexes est équivalente au système suivant : Equivaut à : 4 2 Cas particulier : si nous avons un nombre complexe z = a +ib tel que z = 0, alors 0 0. Les parties réelles et imaginaires sont nulles. b) Addition et produit de deux nombres complexes Remarque : les propriétés des opérations dans restent vraies dans. En particulier : o les produits remarquables sont aussi valables dans ; o l addition et la multiplication dans s effectuent en utilisant les règles de calcul usuel et le fait que i² = -1. Exemples : on considère les nombres complexes z = -2 + i et z = 3 + 2i. o z + z = (-2 + i) + (3 + 2i) = (-2 + 3) + (1 + 2)i = 1 + 3i. o zz = (-2 + i)(3 + 2i) = (-6-2) + (-4 + 3)i = -8 - i. c) Vecteur et affixe Propriété (admise) : soit A et B deux points d affixes z A et z B dans le plan muni d un repère orthonormal. Alors l affixe du vecteur est donnée par = z B - z A. 3
4 Exemple 1 : on considère les points A, B, C et D d affixes respectives : z A = -2 - i ; z B = 3 + i ; z C = 6 + 4i et z D = 1 + 2i. Alors on a : = z B - z A = 5 + 2i = z C z D = 5 + 2i On en déduit que =, donc ABCD est un parallélogrammme. Exemple 2 : z 1 est l affixe du vecteur. z 2 est l affixe du vecteur. z 3 est l affixe du vecteur. Déterminer les formes algébriques de z 1, z 2 et z 3. 2 ; 3 ainsi z 1 = 2 + 3i. 1 ; 2 ainsi z 2 = 1-2i. 3 ; 1 ainsi z 3 = 3 + i. d) Opérations avec le conjugué Propriété : pour tout nombre complexe z et z, le conjugué d une somme de deux complexes z et z est égal à la somme des conjugués et le conjugué d un produit de deux complexes z et z est égal au produit des conjugués. C est-à-dire, z et z complexes :.. Propriété : quelque soit le nombre complexe z tel que z = a + bi, avec a et b deux réels, on a : ²². 4
5 Démonstration : z = a + bi donc = a - bi, ainsi, nous avons : ² ² ²² ² ² 1 Exemple : e) Inverse d un nombre complexe non nul La multiplication dans ayant les mêmes propriétés que dans, on définit l inverse de z comme le nombre par lequel on doit multiplier z pour trouver 1. On regarde alors comment écrire l inverse de z sous la forme a + bi. L idée est d utiliser le conjugué du dénominateur pour obtenir une écriture de z avec un dénominateur réel. Propriété (admise) : quelque soit le nombre complexe z non nul tel que z = a + bi, avec a et b deux réels, on a : 1 ² ² ² ² ² ² Remarque : pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l inverse d un nombre complexe non nul, on multiplie donc le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Exemples : f) Quotient de deux nombres complexes Le quotient du nombre complexe z par le nombre complexe non nul z est le produit de z par l inverse de z. La règle de calcul ci-dessous est donc une conséquence directe de la règle de calcul de l inverse. 5
6 Propriété (admise) : quelque soit les nombres complexes z et z (z non nul) tel que z = a + bi, avec a et b deux réels, et z = a + b i, avec a et b deux réels on a : ² ² Remarque : pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Exemple : on considère les nombres complexes z = -2 + i et z = 3 + 2i. Alors : ² ² 2² II- FORME TRIGONOMÉTRIQUE D UN NOMBRE COMPLEXE 1) Module Définition : le plan complexe est muni d un repère orthonormal (O ;,). Pour tout nombre complexe z, on considère le point M d affixe z, on appelle module de z le nombre réel, noté, défini par. Conséquences (admises) : o Pour tout, 0. o 0 si et seulement si z = 0. o Pour tout,. o Pour tout,. Calcul du module : soit z = a + ib un nombre complexe non nul où a et b sont deux réels. On note M(a ; b) le point d affixe z dans un repère orthonormal (O ; ; ). Le module z est égal à la distance OM et la distance OM est égale à : OM = ² ² (Pythagore). On en déduit que ² ². Par la suite, nous appellerons ρ le module de z. 6
7 2) Argument Théorème 1 (admis) : un nombre complexe z est de module 1 si et seulement si il existe un réel θ tel que cos sin M sin. cos Définition : on appelle argument d un nombre complexe z de module 1 tout nombre réel θ tel que cossin. Il arrive qu on note, par abus de langage, arg. Théorème 2 (admis) : le plan est muni d un repère orthonormal direct (O ;, ). Soit z un nombre complexe de module 1 et M le point d affixe z. L ensemble des arguments de z est l ensemble des mesures en radians de l angle ;. Soit un argument de z. est argument de z si et seulement si il existe un entier relatif k tel que 2. Exemples : 7
8 3) Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Définition : soit ρ un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel. Soit z le nombre complexe de module ρ et d argument θ : éè 1 é cossin 1. é é ρcos sin On généralise pour tout nombre complexe : ρcos sin s appelle forme trigonométrique de z. Théorème (admis) : un complexe non nul z possède une infinité de formes trigonométriques. Si cos sin et cos sin sont deux formes trigonométriques de z, alors ρ = ρ et il existe un entier relatif k tel que θ = θ +2kπ. Exemples : Le nombre complexe z de module 2 et dont un argument est a pour forme trigonométrique : 2 cos 2 sin 2 Le point M d affixe z est représenté ci-contre dans le plan muni d un repère orthonormal direct ; ;. Le nombre complexe z de module 2 et dont un argument est a pour forme trigonométrique : 2 cos 3 sin 3 Le point M d affixe z est représenté ci-contre dans le plan muni d un repère orthonormal direct ; ;. 8
9 4) Passage d une forme à l autre Lien entre forme trigonométrique et forme algébrique pour z non nul : cos sin Formes Relations de «passage» de l une à l autre Algébrique ou cartésienne z = a + ib (a et b réels) Trigonométrique cos sin avec ρ réel positif cos sin ² ² cos sin Exemples : déterminer la forme trigonométrique des nombres suivants : ρ ρ z 3 = -3. Il s agit d un nombre réel. Il est inutile de faire des calculs pour déterminer sa forme trigonométrique. En utilisant son point image de coordonnées (-3 ; 0), on en déduit immédiatement que 3 et que arg(z 2 ) = π + k2π, où k est un entier relatif. On obtient donc z 3 = [3 ; π]. 9
10 5) Opérations a) Inégalité triangulaire L addition de deux nombres complexes n a pas de forme «intéressante» avec la forme trigonométrique. Nous relevons par contre l inégalité triangulaire : Nous ne faisons pas de démonstration rigoureuse ici, mais nous illustrons cette formule à l aide de la figure suivante : Dans le plan muni d un repère orthonormal direct ; ; : soient, et les images respectives de z, z et z + z. Nous avons, donc AC = BD. De la propriété de l inégalité triangulaire dans le triangle ABD, on déduit : AD AB + BD donc. b) Module et argument d une différence de deux nombres complexes Nous savons que le module d un nombre complexe est une distance (ou la norme d un vecteur), de plus, toute distance entre deux points peut être considérée comme le module d un nombre complexe. Théorème (admis) : dans le plan muni d un repère orthonormal direct ; ;, pour tout point M 1 et M 2 d affixes respectives z 1 et z 2, nous avons : 1 0
11 De la même façon que le module d une différence de deux nombres complexes s interprète comme une distance, l argument d une différence de deux nombres complexes est une mesure d un angle de vecteurs. Théorème (admis) : dans le plan muni d un repère orthonormal direct ; ;, pour tout point M 1 et M 2 d affixes respectives z 1 et z 2, nous avons l angle ( ; ) qui a pour mesure tout argument de (z 2 z 1 ). c) Produit de deux nombres complexes Théorème : quelque soient deux nombres complexes non nuls z et z ; Le module du produit zz est égal au produit des modules de z et de z :. Un argument du produit zz est la somme d un argument de z et d un argument de z : arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) + k2π, k Démonstration : Exemple : soit les nombres complexes 2, 3 3, 4. Alors : 236 arg arg arg
12 d) Puissance d un nombre complexe A partir du paragraphe précédent, on peut démontrer le théorème suivant. Théorème (admis) : quelque soient n un nombre entier naturel et z un nombre complexe non nul, nous avons : 2, Exemple : soit 2, 4. Alors : 2,3 4 8, 3 4 e) Inverse d un nombre complexe Théorème : quelque soit un nombre complexe non nul z, nous avons : arg2, Démonstration : Exemple : 1 2
13 f) Quotient de deux nombres complexes Théorème : quelque soient deux nombres complexes non nuls z et z, nous avons : ; argarg 2, Démonstration : Exemple : 1 3
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