CH 1 : MODELISATION DES ASSERVISSEMENTS

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1 V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 1

2 1 INTRODUCTION 1.1 L AUTOMATIQUE CH 1 : MODELISATION DES ASSERVISSEMENTS L auomaique es la science ayan pour obje l éude des sysèmes auomaisés. Ne pas confondre auomaique e auomaisme. Un auomaisme es un sysème echnique permean le foncionnemen d un sysème auomaisé. L auomaique présene diverses branches selon la naure des sysèmes éudiés. Les sysèmes auomaisés peuven êre : - Des sysèmes séqueniels : exemple machine à café. - Des sysèmes asservis coninus Linéaires : commande de viesse de moeurs Non linéaires : Régulaion de empéraure en ou ou rien - Des sysèmes asservis échanillonnés : commande de sysèmes asservis par ordinaeur. Dans le cadre du programme pédagogique naional de l IUT Mesures Physiques, seuls les sysèmes asservis linéaires coninus mono-voies son abordés. 1.2 DEFINITIONS Un sysème es un disposiif isolé soumis aux lois de la physique don le foncionnemen es régi par un sysème d équaions relian les variables de sorie aux variables d enrée Variables d enrée Sysème physique Variables de sorie Le sysème es mono-voie s il me en jeu - une enrée ou consigne : variable exérieure agissan sur le sysème - une sorie : caracérise l éa du sysème Le sysème es linéaire si la relaion enrées/sories es un sysème d équaions différenielles linéaires. Un sysème linéaire obéi au principe de superposiion : Pour un sysème mono-voie : Si e 1 engendre s 1, e 2 engendre s 2, e 3 engendre s 3 ec Alors e = ae 1 + be 2 + ce 3 + engendre s = as 1 + bs 2 + cs 3 + Le sysème es coninu si ous les signaux qui le caracérisen son coninus aux sens mahémaique. Par opposiion, il exise des sysèmes à emps discre : sysèmes échanillonnés Remarque : Un sysème asservi es encore appelé asservissemen. V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 2

3 2 STRUCTURE DES SYSTEMES ASSERVIS 2.1 SYSTEME BOUCLE Exemple n 1 : Conduie d une voiure. On considère le sysème consiué de l ensemble conduceur, voiure, roue. Le sousensemble voiure-roue es considéré comme le processus à piloer, le conduceur consiue en langage d auomaicien le régulaeur. Quelles son les grandeurs d enrée (consignes)? Quelles son les grandeurs de commande sur la voiure? Quel organe perme l envoi des commandes sur le processus? Quelles son les grandeurs de sorie? Quel organe assure le rôle de capeur? Par quel moyen inelligen le sysème es-il commandé? En quoi le sysème es-il bouclé? Dessiner un schéma bloc du sysème. Quels signaux peuven venir perurber le sysème? 3 TRANSFORMEE DE LAPLACE 3.1 INTRODUCTION Les signaux uilisés en auomaique son causaux : ils son nuls pour < 0. Cela signifie qu ils son nuls avan d avoir éé appliqués! Pour modifier la grandeur de sorie d un sysème, par exemple la viesse d un moeur, on uilise souven les signaux échelon ou rampe. Ces signaux d énergie infinie n on pas de ransformée de Fourier car x() d ne converge pas (end vers + ). V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 3

4 3.2 DEFINITION S il exise un réel σ el que x() exp(- ) d converge, alors la ransformée de Fourier de x() exp(-σ) exise, on l appelle ransformée de Laplace. Ainsi : On pose p = σ + jω X (σ+jω) = x() exp(-σ) exp(-jω) d X (p) = x() exp(-p) d Pour des signaux causaux, nuls pour < 0, l inégrale s effecue de 0 à +, on obien la définiion de la ransformée de Laplace X de x : Soi un signal x() quelconque, la ransformée de Laplace X(p) de x() es définie par : X (p) = x() exp(-p) d 3.3 TABLE DES TRANSFORMEES DE FOURIER Voir annexe 3.4 PROPRIETE DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE Voir annexe 4 FONCTION DE TRANSFERT 4.1 DEFINITION Soi un sysème linéaire coninu mono-voie : e() E(p) Sysème Equa diff F(p) s() S(p) La foncion de ransfer du sysème es définie par : F(p) = Transformée de Laplace des variaions de s() Transformée de Laplace des variaions de e() Ainsi s() e e() son reliés par une équaion différenielle résulan de l applicaion des lois de la physique. S(p) e E(p) son reliés par la foncion de ransfer. V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 4

5 4.2 STRUCTURE D UN ASSERVISSEMENT Objecifs : Mere en évidence à parir d un exemple les noions suivanes : - Srucure du sysème asservi : Acionneur / capeur / process Chaîne d acion / chaîne de réacion Chaîne de puissance / chaîne de mesure Comparaeur Signaux : consigne, écar, commande, sorie, reour Régulaeur : comparaeur + ampli+correceur Signaux de perurbaion - Foncionnemen en régulaion ou en poursuie - Noion de performance du sysème : Rapidié de réponse Précision de réponse Sabilié On considère le sysème consiué d une chaudière permean de réguler la empéraure d une maison. La régulaion de empéraure s effecue par l inermédiaire d une élecrovanne agissan sur le débi d eau chaude dans les radiaeurs. Capeur de empéraure Radiaeur T Régulaeur De quoi es consiué le processus à réguler? Quels son les signaux d enrée, de commande e de sorie? Dessiner le schéma bloc du sysème en faisan apparaîre : le comparaeur, l acionneur, le processus e le capeur. Quels peuven êre les perurbaions agissan sur le sysème? Quels son les deux modes de foncionnemen possible permean d assurer la empéraure souhaiée en oue circonsance? Quelles son les performances aendues d un sysème auomaisé? V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 5

6 4.3 LES FT MISES EN JEUX DANS UN ASSERVISSEMENT consigne e() + - Ecar ε() Commande u() sorie s() Correceur C(p) Process F(p) reour r() Régulaeur Capeur B(p) Chaîne d acion ou chaîne direce : c es une chaîne de puissance Elle es caracérisée par A(p) = C(p) F(p) Chaîne de réacion ou de reour : c es une chaîne de mesure, faible puissance. Elle es caracérisée par B(p) 5 DETERMINATION DES FT METHODE THEORIQUE, A PARTIR DE L EQUA-DIFF Un sysème masse ressor froemen visqueux modélisan un amorisseur de voiure donne l équaion différenielle suivane : d 2 y/d ξ ω 0 dy/d + ω 0 2 y = ω 0 2 y 0 Déerminer la foncion de ransfer Y(p) / Y 0 (p) du sysème. y() posiion de la voiure y 0 () exciaion au niveau de la roue METHODE EXPERIMENTALE Réponse impulsionnelle : exemple 1 er e 2 ème ordre Réponse indicielle : exemple 1 er e 2eme ordre Réponse harmonique : exemple 1 er e 2eme ordre Voir annexe V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 6

7 CH 2 : FONCTIONS DE TRANSFERT DU SYSTEME ASSERVI 1 SCHEMA FONCTIONNEL On a vu au chapire précéden que la srucure d un sysème asservi se résume au schéma foncionnel suivan : consigne e() + Ecar ε() Commande u() sorie s() Correceur C(p) Process F(p) reour r() Ce schéma peu êre simplifié : Régulaeur Capeur B(p) consigne e() = Ecar ε() A(p) sorie s() reour r() B(p) Tou sysème asservi présene donc : - Une chaîne d acion ou chaîne direce : Sa foncion de ransfer sera noée A(p) - Une Chaîne de réacion ou de reour : Sa foncion de ransfer sera noée B(p) Le sysème peu foncionner : - En boucle ouvere lorsque le reour n es pas connecé au sousraceur. On n a plus d asservissemen, plus de régulaion. - En boucle fermé lorsque cee connexion es réalisée. L asservissemen es ainsi réalisé En boucle fermée, l asservissemen peu foncionner : - En poursuie : La sorie doi suivre les variaions de la consigne. - En régulaion : La consigne es fixe, la sorie doi êre mainenue dans sa valeur quelles que soien les perurbaions agissan sur le sysème. Ce découpage des 2 modes de foncionnemen es un peu arificiel, un foncionnemen en poursuie s accompagne simulanémen d une régulaion : La sorie doi suivre l enrée indépendammen des perurbaions exérieures qui peuven exiser. V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 7

8 2 FTBO Définiion : Foncion de Transfer en Boucle Ouvere Par définiion, on appelle Foncion de Transfer en Boucle Ouvere (FTBO), la foncion de ransfer R(p) / ε(p). On la noe T(p). Ainsi : T(p) = A(p). B(p) = chaîne direce * chaîne de reour Remarque : Dimension de T(p) 3 - FTBF Définiion Définiion : Foncion de Transfer en Boucle Fermée Par définiion, on appelle Foncion de Transfer en Boucle Fermée (FTBF), la foncion de ransfer S(p) / E(p). On la noe H(p). Remarque : Dimension de H(p) 3.2 Expression de H(p) en foncion de A(p) e B(p) Remarque : Dimensions comparées de A(p) e B(p). V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 8

9 3.3 Expression de H(p) en foncion de T(p). La connaissance de T(p) à parir d une éude héorique ou expérimenale perme de déerminer H(p). L inérê es que l éude héorique es plus simple en boucle ouvere! Enfin l expression de H(p) monre aussi que l éude de T(p) donc du sysème en boucle ouvere permera de prédire son foncionnemen en boucle fermée 3.4 Capeur inégré dans la chaîne direce, sysème à reour uniaire En réalié quand on veu observer l évoluion d une grandeur physique, on es amené à observer l évoluion de son image élecrique donnée par le capeur. Auan considérer ce signal comme sorie du sysème. Cela nous amène à modifier le schéma foncionnel en amenan le capeur dans la chaîne direce. Le sysème devien à reour uniaire. Consigne e() = Ecar ε() A(p) sorie s() B(p) Reour r() : Image élecrique de la grandeur de sorie reour r() Dans ce cas la FTBF H(p) devien : H(p) = Chaîne direce / [ 1 + Chaîne direce* chaîne reour ] = A(p) B(p) / [ 1 + A(p) B(p) ] 4 FONCTION DE TRANSFERT RELATIVE AUX PERTURBATIONS Non raié => volume horaire insuffisan! 5 INFLUENCE DE LA FLUCTUATION DES PARAMETRES Non raié => volume horaire insuffisan! V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 9

10 6 EXEMPLE consigne e() + reour r() Ecar ε() Commande u() sorie s() Correceur C(p) Process F(p) (empéraure) Régulaeur Capeur B(p) On donne C(p) = K : Il s agi d un amplificaeur Le process es un four don la foncion de ransfer es F(p) = 2 / [ p] Le capeur es une sonde de empéraure don la consane de emps es négligeable par rappor à celle du four. Donc B(p) = B = cse. En inégran le capeur à la chaîne direce, a) Exprimer la FTBO b) Exprimer la FTBF. c) Comparer les consanes de emps en boucle ouvere e boucle fermée. V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 10

11 1 DEFINITION DE LA STABILITE Ch 3 : STABILITE DES SYSTEMES Préciser si les sysèmes dessinés ci-dessous son sables : En déduire une définiion de la sabilié d un sysème : Définiion Sysème F(p) sabl Sysème F(p) insa 2 FONCTION DE TRANSFERT ET REPONSE IMPULSIONNELLE On applique une impulsion de Dirac à l enrée d un sysème e on enregisre sa réponse impulsionnelle. δ() : impulsion de Dirac Sysème F(p) s() : réponse impulsionnelle Rappeler la définiion de la Foncion de ransfer F(p) Quelle es la ransformée de Laplace de δ()? En déduire la relaion enre la foncion de ransfer e la ransformée de Laplace de la réponse impulsionnelle. Propriéé V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 11

12 3 STABILITE D UN SYSTEME DU 1 er ORDRE Soi un sysème connu par sa foncion de ransfer F(p) = 1/(1+ τp) 3.1 Exprimer F(p) sous la forme F(p) = A/(p + a) 3.2 En uilisan la able de ransformée de Laplace, exprimer la réponse impulsionnelle du sysème. 3.3 En déduire une condiion de sabilié du sysème Soi une foncion de ransfer F(p) = N(p) / D(p), On appelle pôles de la Foncion de ransfer, les racines du dénominaeur, c es à dire les soluions de l équaion D(p) = A quelle condiion sur le pôle de sa Foncion de Transfer un sysème du 1 er ordre es-il sable? Im Ré 3.5 Eudier la sabilié en boucle fermée d un sysème asservi don la foncion de ransfer du processus F(p) es du 1 er ordre : F(p) = K/(1 + τp) consigne e() + - Ecar ε() Ampli : A Commande u() sorie s() Process F(p) reour r() Régulaeur Capeur : B cse a) Exprimer la FTBF H(p) b) Exprimer les pôles de la FTBF c) En déduire l expression de H(p) sous la forme H(p) = K/(p + a) d) En uilisan la able de ransformée de Laplace, exprimer la réponse impulsionnelle du sysème. e) Le sysème es-il sable en boucle fermée? Rédiger sur une feuille annexe! V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 12

13 4 STABILITE D UN SYSTEME DU 2 eme ORDRE Rédiger sur une feuille annexe! Soi un processus connu par sa foncion de ransfer F(p) = 0,75 / ( p + 0.4p² ) 4.1 Déerminer les pôles de F(p) e en déduire l expression de F(p) sous la forme F(p) = K / [ (p+a)(p+b) ] puis F(p) = K 1 /(p + a) + K 2 /(p+b) 4.2 En uilisan la able de ransformée de Laplace, exprimer la réponse impulsionnelle du sysème. 4.3 Le processus es-il sable? 4.4 Eudier la sabilié en boucle fermée du sysème asservi : consigne e() reour r() + - Ecar ε() Ampli : A = 1 Commande u() F(p) sorie s() Exprimer la FTBF H(p) en foncion de A sous forme normalisée du second ordre, exprimer l amorissemen e la pulsaion propre en foncion de A. On considère A = 1 a) Calculer le coefficien d amorissemen b) Exprimer les pôles de la FTBF c) En déduire l expression de H(p) sous la forme H(p) = K/(p + a)(p+b) d) En uilisan la able de ransformée de Laplace, exprimer la réponse impulsionnelle du sysème. e) Le sysème es-il sable en boucle fermée? On considère A = 4 a) Calculer le coefficien d amorissemen b) Exprimer les pôles de la FTBF c) En déduire l expression de H(p) sous la forme H(p) = K/(p + a)(p+b) d) En uilisan la able de ransformée de Laplace, exprimer la réponse impulsionnelle du sysème. e) Le sysème es-il sable en boucle fermée? 5 POLES DE LA FT ET STABILITE D UN SYSTEME De l éude précédene, déduire en généralisan, la condiion nécessaire e suffisane de sabilié d un sysème d ordre n quelconque. Sabilié Im Im Ré Ré V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 13

14 6 STABILITE D UN SYSTEME ASSERVI DU 3 ème ORDRE Soi un processus connu par sa foncion de ransfer F(p) = 0,8 / [ p ( p + 0.4p² ) ] consigne e() + - Ecar ε() Ampli : A = 1 Commande u() F(p) sorie s() reour r() Exprimer la FTBF H(p) en foncion de A Consaer que les pôles de H(p) dépenden de A, e que l éude de l influence de A sur leur valeur n es pas aisée Pour des sysèmes d ordre supérieur à 3, l éude de la sabilié par la place des pôles dans le plan complexe n es pas aisée. En pariculier, il es difficile de rouver la plage des valeurs de A permean au sysème de reser sable en boucle fermée. On es amené à uiliser d aures méhodes : simulaion, éude fréquenielle, crière de Rouh. 7 CRITERE DE ROUTH Equaion caracérisique 1 + T(p) = 0 (dénominaeur de la FTBF) 1 + T(p) = 0 a n p n + a n-1 p n-1 + a n-2 p n a 1 p + a 0 = 0 Table de Rouh a n a n-2 a n-4 a n-6 q 1 q 2 a n-1 a n-3 a n-5 a n-7 a n-1 a n-2 - a n a n-3 a n-1 a n-4 - a n a n-5 a n-1 a n-6 - a n a n-7 a n-1 a n-1 a n-1 q 1 a n-3 - a n-1 q 2 q 1 a n-5 - a n-1 q 3 q 1 q 1 q 3.. Le sysème es sable en boucle fermée si ous les coefficiens de la première colonne son de même signe. S il y a N changemens de signes sur ces coefficiens, alors la FTBF présene N pôles à parie réelle posiive. Si ous les coefficiens d une même ligne son nuls, le sysème es juse oscillan en boucle fermée. (pôles imaginaires purs) Applicaion : A l aide du crière de Rouh, éudier le domaine des valeurs de A permean au sysème décri au 5 d êre sable en boucle fermée. V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 14

15 8 REPONSE EN FREQUENCE ET STABILITE consigne e() = Ecar ε() A(p) sorie s() reour r() B(p) 8.1 CONDITION D ENTRETIEN DES OSCILLATIONS a) Ecrire la FTBF H(p) b) On se place en régime sinusoïdal. Comme en élecronique, S(jω) es noé S e E(jω) es noé E. A quelle condiion a--on en boucle fermée, S 0 quand E = 0 c) Ecrire la condiion d enreien des oscillaions en boucle fermée sous forme argumen e module. d) Ecrire la condiion d amorçage des oscillaions du sysème en boucle fermé e) Traduire physiquemen cee condiion d amorçage f) Les graphiques suivans donnen les courbes de réponse en fréquence de la FTBO de quelques sysèmes. Dire si le sysème es sable en boucle fermée 0 db 0 db 0 db ϕ = arg T(jω) ϕ = arg T(jω) ϕ = arg T(jω) Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Bode de la FTBO V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 15

16 8.2 CRITERE DE STABILITE EN BOUCLE FERMEE Crière fréqueniel de sabilié 8.3 STABILITE EN BOUCLE FERMEE ET ORDRE DU SYSTEME Représener graphiquemen l allure des diagrammes de Bode d une FTBO du 1 er ordre, 2 ème ordre e 3 ème ordre : Ordre 1 Ordre 2 Ordre 3 T1(p) = K / (1 + τ1p) T2(p) = K / (1 + τ1p) (1 + τ2p) T3(p) = K / (1 + τ1p) (1 + τ2p) (1 + τ3p) 0 db 1/τ1 0 db 1/τ1 1/τ2 0 db 1/τ1 1/τ2 1/τ3 ϕ = arg T(jω) ϕ = arg T(jω) ϕ = arg T(jω) Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Bode de la FTBO En déduire l influence de l ordre de la FTBO sur la sabilié en boucle fermée du sysème 8.4 INFLUENCE DE L AMPLIFICATION On considère un asservissemen disposan d un correceur proporionnel dans la chaîne direce, le coefficien d amplificaion A es le paramère de réglage. consigne e() = Ecar ε() A F(p) sorie s() reour r() B(p) V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 16

17 Exprimer La FTBO : T(p) = Monrer que la courbe arg(t(jω) ne dépend pas de A Quelle ransformaion géomérique subi la courbe G = 20 log T(jω) quand A augmene? Compléer les graphiques suivans e en déduire l influence de A sur la sabilié du sysème en boucle fermée Diagramme de Bode de la FTBO pour A = 1 Diagramme de Bode de la FTBO pour A > 1 Diagramme de Bode de la FTBO pour A >> 1 0 db 0 db 0 db ϕ = arg T(jω) ϕ = arg T(jω) ϕ = arg T(jω) Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Bode de la FTBO Conclusion, influence de A sur la sabilié en boucle fermée : V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 17

18 9 DIAGRAMME DE BLACK DEFINITION 0 db 0 db ϕ = arg T(jω) ϕ = arg T(jω) -180 Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Black de la FTBO 9.2 STABILITE EN BOUCLE FERMEE ϕ = arg T(jω) ϕ = arg T(jω) Sable en boucle fermée Insable en boucle fermée Diag. de Black de la FTBO Diag. de Black de la FTBO V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 18

19 9.3 - MARGES DE STABILITE Marge de gain (MG) : MG -180 Mϕ ϕ = arg T(jω) Marge de Phase (Mϕ): Sable en boucle fermée Bon réglage : Diag. de Black de la FTBO 9.4 DEGRE DE STABILITE Considérons un sysème du 2 nd ordre soumis à un échelon de consigne. Si le sysème es rop faiblemen amori, il es proche de l insabilié. Le régime oscillaoire amori dure longemps, le sysème es len à se sabiliser. Si le sysème es rop foremen amori, la réponse es apériodique mais le sysème répond lenemen. Il y a donc un compromis à rouver enre sabilié, amorissemen e rapidié de réponse. La rapidié de réponse es quanifiée à l aide du emps de réponse à 5 % On prend ainsi en compe les évenuelles oscillaions amories e la pene de la angene à l origine dépendan de la bande passane du sysème. En effe, plus la bande passane es grande, plus le sysème es ape à ransmere les variaions bruales. Le fron de l échelon es mieux ransmis, mais la sabilisaion de la sorie à sa nouvelle valeur dépendra de l amorissemen. La bande passane ne suffi donc pas, il fau un bon amorissemen évian des phénomènes de résonance rop marqués dans la bande passane. V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 19

20 Ch 4 : CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS 1 PRINCIPE DE LA CORRECTION Schéma Bloc d un sysème avec correceur dans la chaîne direce : consigne e() + - Ecar ε() C(p) Commande u() Process : F(p) sorie s() reour r() Capeur : B(p) Pour améliorer les performances du sysème, on joue sur la commande u() élaborée par un correceur. Non modifiable! Le bu es d améliorer pour un foncionnemen en boucle fermée, la précision e la rapidié de réponse ou en conservan des marges de sabilié saisfaisanes Dans le cas d un asservissemen indusriel, on uilise des correceurs spécifiques regroupan rois acions : proporionnelle, inégrale e dérivée. Un el correceur es appelé correceur PID. 2 RAPPEL ACTION PROPORTIONNELLE 2.1 FONCTION DE TRANSFERT C(p) = K 2.2 PROPRIETES 20 log K Quand K augmene, le diagramme de Black de la FTBO es ranslaée vers le hau La marge de phase e de gain diminue K augmene => La courbe mone Diag. de Black de la FTBO pour K =1 (rai plein) e pour K > 1 (poinillés) V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 20

21 Réponse indicielle (échelon de consigne) d un sysème sans inégraion e d ordre >2 : s() s() s() K faible K moyen K for Sysème rop amori : len Sysème moyennemen amori : emps de réponse correc Sysème pas assez amori : len De façon générale, quand K augmene : - le coefficien d amorissemen diminue. - l écar saique diminue précision saique augmene s() On cherche généralemen à régler K pour avoir une réponse emporelle présenan un seul rebond. On doi réaliser un compromis enre précision saique e amorissemen. Noons égalemen que K rop for peu se raduire expérimenalemen par une sauraion de l ampli : le signal de commande es écrêé. On ne gagne alors plus en rapidié. K rès for A parir de l ordre 3 : Sysème insable Remarque : Mécanisme d augmenaion de la rapidié (exemple d un sysème du 1 er ordre) consigne e() échelon reour r() + - Ecar ε() C(p)= K ampli Commande u() Capeur : B(p) Process : F(p) sorie s() u() u() u() Sauraion K faible K for K rop for Le sysème en boucle fermée devien plus rapide car la commande a une ampliude plus grande grâce à l amplificaion! V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 21

22 3 ACTION PROPORTIONNELLE ET INTEGRALE 3.1 FONCTION DE TRANSFERT Le signal de commande élaboré par ce correceur es proporionnel au signal d écar ε() e à son inégrale. On a donc : u() = K [ ε() + (1/τ i ) ε() d ] En passan aux ransformées de Laplace, on obien la FT du correceur : C(p) = K [ 1 + (1/τ i p) ] 3.2 REPONSE EN FREQUENCE DU CORRECTEUR PI On a C(p) = K (1 + τ i p )/ (τ i p) G numéraeur ϕ numéraeur db 1/τ i log ω /τ i log ω G dénominaeur ϕ +90 dénominaeur 0 1/τ i 20 log K 1/τ i Courbe de Gain du correceur PI log ω -90 Courbe de Phase du correceur PI On s aperçoi qu en haues fréquences G e ϕ enden vers 0. Le correceur PI n agi pas sur les HF => Pas d effe sur la bande passane, donc pas d effes sur la rapidié du sysème. En basses fréquences, le correceur PI augmene le gain e rearde la phase de 90. Le correceur PI va avoir endance en régime permanen à augmener la commande envoyée au processus grâce à l acion de l inégraion. En régulaion, dès que la sorie s écare de la consigne, ε inégrée => u augmene pour que s rarappe la consigne e. Le correceur PI perme donc de gagner en précision en régime permanen (précision saique). V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 22

23 3.3 ACTION DU CORRECTEUR PI SUR LA PRECISION STATIQUE Eudions le cas d un sysème ype asservissemen de viesse (1er ordre sans inégraion). On applique un échelon de consigne : on souhaie que la viesse de roaion du moeur augmene. Sans le correceur, il exisera un écar enre la consigne e la viesse mesurée indispensable pour que le moeur ourne! (si ε() = 0 alors u() = 0 => arrê du moeur) Consigne de viesse e() échelon + - reour r() Tension de mesure de Ω Ecar ε() PI Commande u() Capeur de viesse : B(p) Process : Moeur F(p) sorie s() = Ω () viesse de roaion ε() u() ε() e u() obenus sans l acion inégrale. u() Acion Inégrale sur ε() ACTION INTEGRALE Ecar Commande PI La commande PI es progressive => pas de variaion bruale, l acion inégrale filre les haues fréquences. La commande PI es persévérane : Tan que ε() Temps (s) es mainenue, u() augmene (inégraion d une consane => rampe) Au vu de cee commande, peu-on dire que la viesse de roaion Ω augmene indéfinimen? Le correceur PI annule l écar saique Tension de commande (V) NON : u() augmene => Ω augmene => r() augmene => ε diminue => u() diminue Ainsi : u() se sabilise à une valeur fixe correspondan à la nouvelle viesse de roaion, alors que ε end vers 0. ε() r() Acion PI sur ε() E E V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 23

24 3.4 EFFET DU CORRECTEUR PI SUR LA FTBO - REGLAGES Exemple d un sysème du 3 ème ordre sans inégraion. La marge de phase es correcemen réglée sans le correceur Mϕ ωx -90 ϕ Soi ω x la pulsaion pour laquelle G FTBO = 0 db, L acion du correceur PI doi se produire avan cee pulsaion, pour ne pas rop désabiliser le sysème par la réducion de la marge de phase Mϕ. On doi donc choisir : 1/τ i << ω x Diag. de Black de la FTBO non corrigée (rai plein) Diag de Black de la FTBOC corrigée (poinillés) Si, comme c es le cas sur le dessin, la marge de phase a un peu diminuée, il fau diminuer K pour ranslaer vers le bas la courbe de Black de la FTBOC. 4 ACTION PROPORTIONNELLE ET DERIVEE 4.1 FONCTION DE TRANSFERT Le signal de commande élaboré par ce correceur es proporionnel au signal d écar ε() e à sa dérivée. On a donc : u() = K [ ε() + τ d dε()/d ] En passan aux ransformées de Laplace, on obien la FT du correceur : C(p) = K (1 + τ d p) 4.2 REPONSE EN FREQUENCE DU CORRECTEUR PD On a C(p) = K (1 + τ d p) G ϕ log K 1/τ d log ω 0 1/τ d Courbe de Gain du correceur PD Courbe de Phase du correceur PD V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 24

25 On s aperçoi qu en basses fréquences G e ϕ enden vers 0. L acion dérivée n agi pas sur les BF => Pas d effe sur le régime permanen, donc pas d effe sur la précision saique. En haues fréquences, le correceur PD augmene le gain e avance la phase de 90. Il a donc endence à augmener la bande passane du sysème, il favorise donc les HF, les variaions bruales son ainsi mieux ransmises, on obien ainsi un gain de rapidié. On peu consaer le même phénomène en raisonnan dans le domaine emporel : Le correceur PD va avoir endance en régime ransioire à augmener la commande envoyée au processus grâce à l acion dérivée permean ainsi de gagner en rapidié de réponse. 4.3 ACTION DU CORRECTEUR PD SUR LA RAPIDITE Eudions le cas d un sysème ype asservissemen de viesse (2 nd ordre sans inégraion). On applique un échelon de consigne : on souhaie que la viesse de roaion du moeur augmene. Sans le correceur, il exisera un écar enre la consigne e la viesse mesurée indispensable pour que le moeur ourne! (si ε() = 0 alors u() = 0 => arrê du moeur) Consigne de viesse e() échelon + - reour r() Tension de mesure de Ω Ecar ε() PD Commande u() Capeur de viesse : B(p) Process : Moeur F(p) sorie s() = Ω () viesse de roaion ε() r() ε() e r() obenus sans l acion dérivée. E Acion Dérivée sur ε() ACTION DERIVEE SEULE Ecar Commande Dérivée La commande dérivée es bruale => appariion d un pic à = 0. La commande dérivée es anicipaive : elle ien compe du sens de variaion de ε(). Tension (V) emps (s) V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 25

26 ε() r() Acion PD E E Plus rapide Précision saique inchangée pour une même valeur de K Régler K pour avoir un amorissemen correc. 4.4 EFFET DU CORRECTEUR PD SUR LA FTBO - REGLAGES Exemple d un sysème du 3 ème ordre sans inégraion. La marge de phase es correcemen réglée sans le correceur Mϕ ωx -90 ϕ Soi ω x la pulsaion pour laquelle G FTBO = 0 db, L acion du correceur PD doi se produire avan cee pulsaion, pour que le gain soi renforcé dans la bande passane du sysème. On doi donc choisir : 1/τ d < ω x Diag. de Black de la FTBO non corrigée (rai plein) Diag de Black de la FTBOC corrigée (poinillés) Si, comme c es le cas sur le dessin, la marge de phase a augmené, il fau augmener K pour ranslaer vers le hau la courbe de Black de la FTBOC. 5 ACTION PROPORTIONNELLE INTEGRALE ET DERIVEE 5.1 FONCTION DE TRANSFERT Le signal de commande élaboré par ce correceur es proporionnel au signal d écar ε() e à son inégrale. On a donc : u() = K [ ε() + τ d dε()/d + (1/τ i ) ε() d ] En passan aux ransformées de Laplace, on obien la FT du correceur : C(p) = K ( 1 + τ i p + τ i τ d p 2 )/(τ i p) V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 26

27 5.2 REPONSE EN FREQUENCE DU CORRECTEUR PID G ϕ log K 1/ τ iτ d log ω 0 1/ τ iτ d Courbe de Gain du correceur PID - 90 Courbe de Phase du correceur PID 5.3 EFFET DU CORRECTEUR PID SUR LA FTBO - REGLAGES Exemple d un sysème du 3 ème ordre sans inégraion. La marge de phase es correcemen réglée sans le correceur. Mϕ -180 ωx -90 ϕ Soi ω x la pulsaion pour laquelle G FTBO = 0 db ou G FTBF = 0 db. On règle τ i e τ d pour avoir : ω x = 1 / (τ i τ d ) τ i = 4 τ d Diag. de Black de la FTBO non corrigée (rai plein) Diag de Black de la FTBOC corrigée (poinillés) Avec ce réglage, l acion inégrale inervien sur les BF e l acion dérivée sur les HF. On ajuse ensuie la marge de phase en agissan sur K pour ranslaer vers le hau ou le bas la courbe de Black de la FTBOC. 5.4 ACTION DU PID SUR LES PERFORMANCES EN BOUCLE FERMEE Le PID perme de combiner les effes de l acion inégrale e dérivée. On obien lorsque ce correceur es correcemen réglé une amélioraion de la rapidié e de la précision saique, ou en conservan une marge de sabilié saisfaisane. V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 27

28 5.5 - REGLAGES DU PID (méhodes emporelles) 1 ère méhode Observer la réponse indicielle en boucle fermée pour P = 1 e uiliser les indicaions ci-dessous pour déerminer les paramères du correceur PID. - Annuler I e D - Mere le gain Kp au minimum - Augmener P jusqu à l obenion d une réponse oscillaoire amorie, soi K 0 l amplificaion correspondane. - Régler alors P à K 0 /2 - Augmener I = ωi = 1/τ i jusqu à l obenion d une réponse oscillaoire amorie. Soi ω i0 la valeur correspondane. - Régler alors I à 0,5*ω i0 - Augmener D jusqu à l obenion d une réponse oscillaoire amorie. Soi τ d0 la valeur correspondane. - Régler alors τ d à τ d0 / 3. 2 ème méhode Relever la réponse indicielle en boucle ouvere pour P = 1 e uiliser les indicaions ci-dessous pour déerminer les paramères du correceur PID. s() On a alors le réglage de Ziegler e Nichols du PID : T 1 T 2 K = 1,2. T 2 / T 1 τ i = 2 T 1 τ d = 0,5 T 1 3 ème méhode Réaliser un essai de pompage (augmener l acion proporionnelle jusqu à l obenion d oscillaions sinusoïdales) e en déduire les paramères de Ziegler e Nichols de réglage du PID. Soi A osc la valeur de l amplificaion conduisan au pompage en boucle fermée e T osc la période des oscillaions. On a alors le réglage de Ziegler e Nichols du PID : K = 0,6 A osc τ i = 0,5 T osc τ d = 0,125 T osc V. Cholle - Cour-auom-11-15/12/2011 page 28