TP Informatique n o 2 Révisions sur les structures itératives

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1 TP nformatiqu n o 2 Révisions sur ls structurs itérativs (illustrations sur ls suits t ls séris). Ls structurs d contrôl En informatiqu, on appll structur d contrôl un command qui contrôl l ordr dans lqul ls différnts instructions d un programm sont xécutés. On put distingur plusiurs typs d structurs d contrôl : a) ls structurs séquntills : ls différnts commands sont xécutés ls uns à la suit ds autrs i.. dans un ordr séquntil. b) ls structurs conditionnlls : qui prmttnt d introduir ds branchmnts conditionnls dans l programm. Un programm put comportr plusiurs branchs. Chacun d ll st associé à un condition. La branch xécuté st la prmièr dont la condition st réalisé. c) ls structurs itérativs : qui prmttnt d ffctur la répétition (i.. l itération) d commands. Cs répétitions puvnt s ffctur : un nombr d fois fixé xplicitmnt par l programmur. On utilis alors un boucl for. ou puvnt avoir liu tant qu un condition n st pas réalisé. On utilis alors un boucl whil.. La boucl for.1. Syntax général Un boucl for prmt d réalisr la répétition d un bloc d instructions. En Python, la syntax classiqu d ctt command st la suivant. for i in rang(n): instruction Écrir un programm prmttant d affichr un à un ls élémnts d rang(5). 1 for i in rang(5): 2 print(i) Qul st l résultat d l xécution d c programm? D manièr général qu produit l instruction rang(n)? On obtint l affichag d 0, 1, 2, 3, 4. L instruction rang(n) prmt d produir la list ds ntirs d 0 à n 1. 1

2 En procédant d mêm, décrir c qu produit ls instructions rang(3,9), puis rang(3,9,2) t rang(9,3,-1). Lorsqu l on appliqu la procédur précédnt avc l instruction rang(3,9), on obtint l affichag ds ntirs succssifs d 3 à 8. Avc l instruction rang(3,9,2), on obtint l affichag ds ntirs d 3 à 8 (au maximum) avc un pas d 2. Avc l instruction rang(9,3,-1), on obtint l affichag ds ntirs d 9 à 4 (au minimum) avc un pas d 1. Un spécificité du langag Python st qu il st possibl d itérr sur d nombrux objts. En utilisant l procédé précédnt, écrir un itération sur la chaîn d caractèr "ma chaîn" prmttant d affichr un à un ls élémnts d ct objt. Qu obtint-on? 1 for lt in "ma chaîn": 2 print(lt) On obint l affichag succssif d chaqu lttr d ctt chaîn d caractèr..2. Calcul du m èm élémnt d un suit On considèr la suit (u n ) n2n défini par : 8n 2 N,u n+1 = 2u n + n +1 Écrir un programm qui : u 1 = 1 dmand initialmnt à l utilisatur d ntrr au clavir la valur d un ntir m, affich la valur du m èm élémnt d la suit (u n ). 1 m = int(input("prièr d'ntrr un ntir m : ")) 2 u = 1 3 for i in rang(1,m) 4 u = 2 * u + i print(u) Calculr u 12 t u 20 à l aid du programm précédnt. On obtint u 12 = 8178 t u 20 =

3 Modifir l programm précédnt afin d obtnir un fonction msuitu qui : prnd n paramètr un variabl m, rnvoi l m èm élémnt d la suit (u n ). 1 df msuitu(m) 2 u = 1 3 for i in rang(m-1): 4 u = 2 * u + i rturn(u) Calculr u 7 t u 15 à l aid d la fonction précédnt. On obtint u 7 = 247 t u 15 = Slon vous, quls sont ls avantags d la rprésntation sous form d programm avc dialogu utilisatur? Sous form d fonction? D un point d vu utilisatur, la vrsion avc dialogu utilisatur, plus ludiqu, put êtr plus apprécié. D un point d vu algorithmiqu, il faut privilégir la vrsion sous form d fonction. L avantag st qu l calcul réalisé par msuitu put facilmnt êtr utilisé aillurs (notammnt dans un autr fonction) : il suffit pour c fair d écrir l appl msuitu(m) (avc m choisi corrctmnt)..3. Calcul ds m prmirs élémnts d un suit Écrir un programm qui : dmand initialmnt à l utilisatur d ntrr au clavir la valur d un ntir m, affich la list ds ds m prmirs élémnts d la suit (u n ). 1 m = int(input("prièr d'ntrr un ntir m : ")) 2 l = [1] 3 for i in rang(1,m): 4 l = l + [2 * l[i-1] + i + 1] 5 # ou l.appnd(2 * l[i-1] + i + 1) 7 print(l) Calculr ls 5 prmirs élémnts d la suit à l aid du programm précédnt. On obtint : [1, 4, 11, 2, 57]. 3

4 Modifir c programm afin d obtnir un fonction prmsuitu qui : prnd n paramètr un variabl m, rnvoi la list ds m prmirs élémnts d la suit (u n ). 1 df prmsuitu(m): 2 l = [1] 3 for i in rang(1,m): 4 l = l + [2 * l[i-1] + i + 1] 5 # ou l.appnd(2 * l[i-1] + i + 1) rturn(l).4. Calcul ds somms partills d ordr n On considèr maintnant ls suits (u n ) n2n t (v n ) suivants : 8 < 8n 2 N, u n = n2 v 0 =1 3 n t : 8n 2 N, v n+1 = 2 v n vn + vn On notra par la suit S n = P un t P v n. n P k=0 u k t T n = n P k=0 v k ls somms partills d ordr n ds séris.4.a) Calcul d S n Écrir un fonction calculsn qui : prnd n paramètr un ntir n, rnvoi la valur d S n. 1 df calculsn(n): 2 S = 0 3 for i in rang(n+1): 4 S = S + i**2 / (3**i) 5 rturn(s) Qu vaut S 0? S 5? S 10? S 100? S 1000? On trouv : S 0 =0, S 5 ' , S 10 ' , S 100 ' 1.5 t S 1000 '

5 .4.b) Calcul d T n l s agit ici d illustrr l cas où la suit (u n ) st donné sous form récurrnt. Écrir un fonction calcultn qui : prnd n paramètr un ntir n, rnvoi la valur d T n. 1 import math 2 3 df calcultn(n): 4 T = 1 5 v = 1 for i in rang(n): 7 v = 2 * v / (math.xp(v) + math.xp(-v)) 8 T = T + v 9 rturn(t) Qu vaut T 0? T 100? T 10000? On trouv : T 0 =1, T 100 ' 18.18, T ' Calcul ds n prmièrs somms partills.5.a) Calcul ds n prmièrs somms partills d P u n Soit n 2 N. Qul lin y a-t-il ntr S n t S n+1? S n+1 = S n + (n + 1)2 3 n+1 En tirant profit d l égalité précédnt, écrir un fonction prms qui : prnd n paramètr un variabl n, rnvoi la list ds n prmièrs valurs d la suit (S n ). On n dvra pas ffctur d appl à calculsn. 1 df prms(n): 2 ls = [0] 3 for i in rang(n): 4 ls = ls + [ls[i] + (i+1)**2 / (3**(i+1))] 5 # ou ls.appnd(ls[i] + (i+1)**2 / (3**(i+1))) rturn(ls) Qulls sont ls 5 prmièrs valurs d la suit (S n )? On trouv approximativmnt : 0.33, 0.77, 1.11, 1.3,

6 .5.b) Calcul ds n prmièrs somms partills d P v n Soit n 2 N. Qul lin y a-t-il ntr T n t T n+1? T n+1 = T n + v n+1 En tirant profit d l égalité précédnt, écrir un fonction prmt qui : prnd n paramètr un variabl n, rnvoi la list ds n prmièrs valurs d la suit (S n ). On n dvra pas ffctur d appl à calcultn. 1 df prmt(n): 2 lt = [1] 3 v = 1 4 for i rang(n) 5 v = 2 * v / (math.xp(v) + math.xp(-v)) lt = lt + [lt[i] + v] 7 # ou lt.appnd(lt[i] + v) 8 rturn(lt). La boucl whil.1. Calcul du prmir ntir tl qu un condition st vérifié L problèm qui nous intérss ici st l suivant. Problèm. Donnés : Un suit (u n ) t un suit (d n ) tll qu d n! n!+1 0. L xistnc d un rél tl qu : 8n 2 N, u n d n. But : 1) Détrminr un indic N tl qu l trm u N vérifi : u N ) En déduir un valur approché d à 10 4 près..2. Un xmpl classiqu On commnc par illustrr l problèm t sa résolution par l étud d un suit d typ u n+1 = f(u n ) dans l cadr d l utilisation d l inégalité ds accroissmnts finis. On considèr la fonction f : x 7! x2 2 t on définit la suit (u n ) par : u0 = 1 2 8n 2 N, u n+1 = f(u n )

7 Rapplons ls différnts étaps d c typ d étud. Ls démonstrations sont laissés au lctur. 1) En appliquant l théorèm d la bijction à la fonction g : x 7! f(x) x, on démontr qu l équation f(x) =x admt un uniqu solution dans [0, 1], qul onnot. 2) Après avoir démontré qu l intrvall [0, 1] st stabl par f, on n déduit, par récurrnc qu : 8n 2 N, u n 2 [0, 1]. 3) a) Par étud d la fonction f 0, on démontr : 8x 2 [0, 1], f 0 (x) 1 p. b) On st alors dans l cadr d l application d l AF, qui prmt d démontrr qu : 8n 2 N, u n+1 1 p u n (on démontr n fait qu f(u n ) f( ) p 1 u n ) c) On n déduit qu : 8n 2 N, u n. d) Comm! 0, on n déduit qu (u n) st convrgnt, d limit. n!+1 L but st alors d calculr un valur approché d à 10 4 près. Qull condition prmt d assurr qu u n 10 4? Si 10 4, on n déduit par transitivité qu u n Écrir un programm prmttant d affichr l prmir ntir n tl qu n = 0 2 whil (1 / (math.sqrt(math.xp(1))))**n > 10**(-4): 3 n = n rturn("la valur d n st : ", n) on put améliorr ctt vrsion n calculant au fur t à msur n 1p : 1 n = 0 2 aux = 1 3 whil aux > 10**(-4) 4 aux = aux * 1/(math.sqrt(math.xp(1))) 5 n = n+1 7 print("la valur d n st : ", n) 7

8 Complétr l programm précédnt afin qu il affich un valur approché à 10 4 près d. 1 n = 0 2 u = 1/2 3 whil (1 / (math.sqrt(math.xp(1))))**n > 10**(-4) 4 n = n+1 5 u = math.xp(-u**2 / 2) 7 print("la valur d n st : ", n) 8 print("alpha put êtr approché par : ", u) (on aurait pu, comm précédmmnt, calculr ( 1 p ) n par multiplications succssivs) Détrminr un formul mathématiqu donnant l prmir ntir n tl qu p 10 4, n ln 4 ln(10) (par strict croissanc d la fonction ln), n ln ( p ) 4 ln(10), n > 4 ln(10) ln ( p ) = 4 ln(10) ln( 1 2 ) = 4 ln(10) 1 2 ln() = 8 ln(10) Ainsi, l prmir ntir tl qu 10 4 st l prmir ntir tl qu : n > 8 ln(10). L ntir chrché st donc d8 ln(10). Comparr la valur obtnu dans la qusiton précédnt t cll affiché par l programm. L instruction cil(8 * log(10)) fournit bin l résultat 19 qui corrspond à la valur affiché par l programm. D mêm, donnr la formul prmttant d obtnir l prmir ntir n tl qu ". Par un étud similair, on trouv : d 2ln("). En déduir un fonction calcapproch qui prnd n paramètr un rél ps t qui rnvoi un valur approché d à ps près à l aid d un boucl for. 1 df calcapproch(ps): 2 u = 1/2 3 n = math.cil(-2 * math.log(ps)) 4 for i in rang(n) 5 u = math.xp(-u**2 / 2) 7 rturn(u) 8

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